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2023年滁州市五校联考
高三数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知全集，集合，，则( )
A. 或 B. 或
C. D.
2. 设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
5. 为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲、乙、丙、丁、戊名学生代表参加，活动结束后名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有种．( )
A. B. C. D.
6. 已知是第四象限角，且，则( )
A. B. C. D.
7. 在三棱锥中，底面，，，则三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则( )
A. 关于轴对称
B. 有一条对称轴
C. 是周期函数
D.
10. 已知正方体的棱长为，为的中点，，，平面，下面说法正确的有( )
A. 若，，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
B. 若，平面截正方体所得的截面面积的最大值为
C. 若的和最小，则
D. 直线与平面所成角的最大值为
11. 若直线与抛物线：有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线与抛物线相切，公共点称为切点，且抛物线在点处的切线方程为已知抛物线：上有两点，过点，分别作抛物线的两条切线，，直线，交于点，过抛物线上异于，的一点的切线分别与，交于点，，则( )
A. 直线的方程为 B. 点，，的横坐标成等差数列
C. D.
12. 已知函数和及其导函数和的定义域均为，若，，且为偶函数，则( )
A. B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于直线对称 D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 在的展开式中，含项的系数为 ．
14. 已知圆：，直线：是参数，则直线被圆截得的弦长的最小值为 ．
15. 已知直线与椭圆交于，两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率是______ ．
16. 已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
求；
若，点在边上，且，，求．
18. 本小题分
已知在递增数列中，，为函数的两个零点，数列是公差为的等差数列．
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，证明：．
19. 本小题分
中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见，这是世纪以来第个指导“三农”工作的中央一号文件文件指出，民族要复兴，乡村必振兴，要大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，得到如图所示的散点图．
利用散点图判断，和哪一个更适合作为观看人次和销售量的回归方程类型；只要给出判断即可，不必说明理由
对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：
其中令，根据的判断结果及表中数据，求关于的回归方程，并预测当观看人次为万人时的销售量；
规定：观看人次大于等于万人次的主播为优秀主播，从这名主播中随机抽取名，记其中优秀主播的人数为，求的分布列和数学期望．
参考数据和公式：，
附：对于一组数据，，，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
20. 本小题分
如图，四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点为线段上一点不含端点，平面平面．
证明：；
若，四棱锥的体积为，求二面角的余弦值．
21. 本小题分
我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点，分别为椭圆的左、右顶点．
求双曲线的方程；
设过点的动直线交双曲线右支于，两点，若直线，的斜率分别为，．
试探究与的比值是否为定值若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
求的取值范围．
22. 本小题分
已知定义域为的函数，其导函数为，满足对任意的都有．
若，，求实数的取值范围；
证明：方程至多只有一个实根；
若，是周期为的周期函数，证明：对任意的实数，，都有．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：全集，集合，
则或，而，
所以或．
故选：．
根据给定条件，利用补集、并集的定义求解作答．
本题主要考查了集合补集及并集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
故对应的点为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，求出，再结合复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：向量，，
则，
，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合空间向量的数量积运算，即可求解．
本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：连接，，如图所示：
，，
四边形为平行四边形，，
异面直线与所成的角为，
为等边三角形，，
异面直线与所成的角为．
故选：．
连接，，则异面直线与所成的角为，再根据为等边三角形，即可求出结果．
本题主要考查了求异面直线所成的角，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意得，名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，
则不同的排法共有种，
故选：．
根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．
本题考查了排列组合的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：是第四象限角，
，则，，
又，，．
，
，．
．
故选：．
由题意，先确定的范围，再利用诱导公式及同角三角函数基本关系式、两角和与差的正切公式，求得要求式子的值．
本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：在三棱锥中，底面，
如图所示：
在中，，，
利用余弦定理：，解得：，
设的外接圆的半径为，利用正弦定理，解得，
过点作的垂线和的垂直平分线交于点，
即点为三棱锥外接球的球心，设球的半径为，
故；
所以．
故选：．
首先利用正弦定理和余弦定理求出三棱锥的外接球的半径，进一步利用球的表面积公式求出结果．
本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，求和三棱锥的关系，球的表面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查构造函数，用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系，判断自变量的大小关系，属较难题．
【解答】
解：为偶函数，
的图象关于对称，
，
设，
则，
又，
，
，
单调递减，
，
，即，
又，
，
，
即不等式的解集是

9.【答案】
【解析】解，
所以的对称轴为，故B正确；
所以，
，
的周期为，故C正确；
为上的奇函数，故A错误；
，
，，，
，
，故D正确．
故选：．
由为奇函数，判断；
由，可得的对称轴为，从而判断；
由题意可得函数的周期为，从而判断；
结合函数的周期为，可得，从而判断．
本题考查了函数的对称性、周期性及奇函数的性质，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：以点为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
对于选项A，设平面交棱于点，设，，
当时，点，
因为平面，平面，平面，
所以，即，
得，所以，
所以点为棱的中点，
设平面交棱于，同理可知点为棱的中点，即，
故，而，
所以，
所以且，
由空间两点间距离公式得，，
由，，则．
所以，
所以四边形是等腰梯形，故选项A正确；
在正方体中，平面，
因为平面，所以，
因为四边形是正方形，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
同理可证，
因为，所以平面，
所以是其中一个截面图形，
易知是边长为的等边三角形，其面积为，
设，，，，，，分别为，，，，，的中点，
易知六边形是边长为的正六边形，其面积为，
且平面平面，
所以平面，
所以六边形也是其中一个截面图形，
易知，六边形是最大截面，
所以平面截正方体所得的截面面积的最大值为，故选项B正确；
对于选项C，将矩形与正方形延展到一个平面内，如下图所示，
若的和最小，则、、三点共线，
因为，所以，
因为，所以，
所以，故，故选项C错误；
对于选项D，，，设点，
因为平面，
则为平面的一个法向量，且，
设直线与平面所成角为，
因为，当时，最大，最大值为，此时，
故直线与平面所成角的最大值为，故选项D正确．
故选：．
对于选项A，，利用空间向量的坐标运算求解判断即可；对于选项 B，画出图形，利用直线和平面垂直，结合面积求解即可；对于选项C，利用展开图，计算距离的最小值，判断即可．
本题考查了空间中的截面形状和截面面积的计算以及线面角的最值等立体几何综合问题，属于难题．
11.【答案】
【解析】解：已知抛物线：，则，抛物线上两点，，过点，分别作抛物线的两条切线，，直线，交于点，则，
则由题意可知：：，：，
对于，联立，当时，，
此时直线方程为，符合，
当，直线的斜率，所以直线的方程为：，
因为在直线上，所以，所以直线的方程为，故A正确；
对于，因为，在抛物线上，所以，则或，
由得，则或，点，，的横坐标不成等差数列，故B不正确；
对于，由，可得，即，点是抛物线上一点，所以，
联立，同理可得，
所以，
，
．
所以，故C正确；
对于，由得，
，
，，
所以，故D正确．
故选：．
根据已知得：，：，结合抛物线上点的坐标关系，可判断，选项；根据直线方程与抛物线方程，列方程组，解出，坐标，根据向量的坐标运算，可判断，选项．
本题考查了直线与抛物线的综合运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，由为偶函数得，即有，
则的图象关于直线对称，
对两边同时求导得：，
令，得，故A正确；
对于，由关于直线对称得，
由，得，
所以，即的图象关于直线对称，故B正确；
对于，对两边同时求导得，
由，得，
则，即，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
对于，由，得，
结合选项可知，，
即，
所以，
所以是函数的一个周期，
由，得也是函数的一个周期，
由，得，
所以，故D错误．
故选：．
根据为偶函数，可得，两边求导即可判断；
由关于直线对称得，结合，即可判断；
根据，两边同时求导得，从而可判断；
先求出函数和的周期，再结合函数的对称性即可判断．
本题考查了复合函数的奇偶性、周期性、对数性及复合函数的求导、导数的对称性及奇偶性，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意，其展开式的通项为，
令，解得，则含的系数为．
故答案为：．
根据二项式定理，写出展开式通项，利用赋值法，可得答案．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：圆：的圆心坐标为，半径为．
由直线：，得，
联立，解得．
直线过定点，又，
点在圆内部，则当直线与线段垂直时，直线被圆截得的弦长最小．
此时．
直线被圆截得的弦长的最小值为．
故答案为：．
由圆的方程求出圆心坐标与半径，由直线方程可得直线过定点，求得，再由垂径定理求得直线被圆截得的弦长的最小值．
本题考查直线与圆的位置关系，考查了垂径定理的应用，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意设中点，又，
直线的斜率为，又，
直线的斜率为，
设，，
则，两式相减可得：
，
，
，
椭圆的离心率，
故答案为：．
根据直线垂直的条件，点差法，方程思想，化归转化思想，即可求解．
本题考查椭圆的离心率的求解，点差法的应用，方程思想，属中档题．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查曲线的切线问题，为中档题．
【解答】
解：设切点为，直线的斜率为，又，
则，所以切线方程为
将代入化简得，所以方程有两个不同的实数解，
所以，且，所以或，
即实数的取值范围为

17.【答案】解：根据题干条件，整理化简可得，
进一步整理得到，
即，
因为，
所以，
所以可以解得．
在和中，由余弦定理可得到，
，
，整了到，
联立，可以解得，．
【解析】利用两角和差的余弦公式结合正弦定理边化角化简可得，即可求得答案；
在和中，分别利用余弦定理可得关于，的方程，解方程组可得答案．
本题主要考查解三角形，属于中档题．
18.【答案】解：在递增数列中，，为函数的两个零点，
可得，，公差，
则数列是首项为，公差为的等差数列，则，
则；
证明：，
则，
因为，所以．
【解析】令，解方程可得，，再由等差数列的通项公式和数列的恒等式，等差数列的求和公式，计算可得所求通项公式；
求得，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质可得证明．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：由散点图可知，散点分布在一条对数型曲线附近，
所以选择回归方程更适合；
令，则，
因为，，
所以，
又，，
所以，
所以与的线性回归方程为，
故关于的回归方程为．
令，代入回归方程可得千件，
所以预测观看人次为万人时的销售量约为件；
由散点图可知，这名主播中，优秀主播的个数有个，
所以的可能取值为，，，，
所以，，，，
所以的分布列为：
数学期望．
【解析】观察散点图，根据散点的分布规律判断应采用的模型；
令，先求与的线性回归方程，由此可得与的回归方程，再利用回归方程预测；
确定随机变量的的可能取值，再求取各值的概率，由此可得的分布列，利用均值公式求其期望．
本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
20.【答案】证明：平面，且平面，过点所有垂直于的直线都在平面内，
平面平面，且平面，存在一条过的直线平面，且平面，
平面，，则平面，平面平面，与为同一条直线，
即平面，平面，；
在平面内，过作，且，连接，作图如下：
平面，且平面，，同理可得，
，，，平面，平面，
平面，为二面角的平面角，
在中，，且，则，
在四棱锥中，底面的面积，则其体积，解得，
在中，，
故二面角的余弦值为．
【解析】利用面面垂直性质定理与线面垂直性质定理，结合公理，可得线面垂直，可得答案；
根据二面角的平面角定义作图，利用等面积法以及棱锥体积公式，求得边长，结合直角三角形的性质，可得答案．
本题考查了线线垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．
21.【答案】解：由题意可设双曲线：，
则，解得，
双曲线的方程为；
设，，直线的方程为，
由，消去得，则，，
且，，
；
设直线：，代入双曲线方程并整理得，
由于点为双曲线的左顶点，此方程有一根为，
，解得，
点在双曲线的右支上，，
解得，即，
同理可得，
由，
，

【解析】由题意可设双曲线：，利用，可求；
设，，直线的方程为，与双曲线联立方程组可得，，进而计算可得为定值．
设直线：，代入双曲线方程可得，进而可得，，进而由可得，进而求得的取值范围．
本题考查椭圆和双曲线的标准方程与离心率，双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，渐近线与双曲线的位置关系，属中档题．
22.【答案】解：因为，，所以，
由题意知，在上恒成立，即在上恒成立，
所以，即在上恒成立，
令，易知，在上，函数和均单调递增，
所以，即实数的取值范围是．
证明：令，故，
所以函数是严格减函数，故至多只有一个实根；
证明：设的最大值为，最小值为，
在一个周期内，函数值必能取到最大值与最小值，
设，，
因为函数是周期为，取一个周期，且，
则有，
若，则成立，
若，设，即，故，且，则，
所以成立，
综上，对任意实数，都成立，所以原式得证．
【解析】根据题意，将问题转化成恒成立问题，即在上恒成立，再利用函数的单调性即可求出结果；
构造函数，由题易知在定义域上严格单调，从而得到证明；
利用函数是定义域为的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再对与的大小关系进行分类讨论，即可得出结论．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
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