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2023初二下数学几何最值专题
轴对称-将军饮马、两动一定-垂线段、三动-对称找三点共线
1．如图，已知△ABC为等边三角形，高AH＝8cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为　 　cm．
2．如图在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝8，AD⊥BC，P为AD上的一动点，E在AB上，则PE+PB的最小值为 　 　．
3．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝，点D是边BC上的任意一点，DE⊥AB于E．则当AD+DE的值最小时，AD＝　 　．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为（　　）
A．3 B． C．3.5 D．
5．如图，在Rt△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是　 　．
6．如图，在矩形ABCD中，AC＝12，sin∠ACB＝，点P是线段AC上的动点，点Q是线段AB上的动点，则CQ+PQ的最小值是 　 　．
7．如图，长方形ABCD中，AD＝a，DC＝b，（a，b为常数），∠CAB＝30°，点P是对角线AC的中点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值为　 　．
8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 　 　．
9．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝4，点P、M、N分别在边AB、BC、CA上，连接PM、MN，NP，则△PMN周长的最小值为　 　．
10．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝30°，点M，N为BC上两个动点，且MN＝2，连接AM，AN，则△AMN周长的最小值为 　 　．
11．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 　 　．
12．如图，△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，P为△ABC内一点，∠APB＝∠APC＝120°，则PA+PB+PC的最小值为 　 　．
13．如图，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝1，点E，F分别是OA，OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于1，则∠AOB＝　 　度．
14．如图，点B在射线AN上，以AB为边作等边△ABC，M为AN中点，且AN＝4，P为BC中点，当PM+PN最小时，AB＝　 　．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，点D在AB上，且BD＝4，点E是BC上任意一点，则ED+EA的最小值为 　 　．
课后练习
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为 　 　．
17．如图，矩形ABCD中，AD＝4，∠CAB＝30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是　 　．
18．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点P，Q，R分别是AB，AC，BC上的动点，PQ+PR+QR的最小值是　 　．
19．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，点P是BD上一点，点M、N分别是BC、CD上任意一点，且PM⊥BC，垂足为M，连接PM、PN，则PM+PN的最小值为 　 　．
参考答案与试题解析
1．如图，已知△ABC为等边三角形，高AH＝8cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为　8　cm．
【解答】解：如图，
作点D关于AH的对称点D′，连接BD′，
交AH于点P，此时PD+PB＝PD′+PB＝BD′最小，
∵△ABC为等边三角形，高AH＝8cm，
∴BD′＝AH＝8cm．
故答案为8．
2．如图在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝8，AD⊥BC，P为AD上的一动点，E在AB上，则PE+PB的最小值为 　4　．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴点C是点B关于AD的对称点，
过点C作CE⊥AB于E，
连接CE，则CE的长度即为PE+PB的最小值，
∵Rt△ABC中，AC＝8，∠BAC＝30°，
∴CE＝AC＝×8＝4，
故答案为：4.
3．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝，点D是边BC上的任意一点，DE⊥AB于E．则当AD+DE的值最小时，AD＝　　．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝．
∴AC＝tan∠B BC＝1．
作A关于BC的对称点A′，得到AC＝A′C＝1、A′D＝AD，如图：
∴AD+DE＝A′D+DE．
当AD+DE的值最小时，即图中的A′F⊥AB时．此时的AD为图中的A′H．
∵∠ACB＝∠A′FB＝90°，∠CHA′＝∠FHB．
∴∠A′＝∠B＝30°．
∴A′H＝cos∠CA′H A′C＝．
故答案为：．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为（　　）
A．3 B． C．3.5 D．
【解答】解：如图所示，作点M关于BD的对称点M'，连接PM'，则PM'＝PM，BM＝BM'＝1，
∴PN+PM＝PN+PM'，
当N，P，M'在同一直线上，且M'N⊥AC时，PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长，
此时，∵Rt△AM'N中，∠A＝30°，
∴M'N＝AM'＝×（7﹣1）＝3，
∴PM+PN的最小值为 3，
故选：A．
5．如图，在Rt△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是　3　．
【解答】解：作BH⊥AC交AD于点E，作EF⊥AB于F，
∵AD平分∠BAC，EH⊥AC，EF⊥AB，
∴EF＝EH，
∴BE+EF＝BE+EH＝BH，
∵H是与B点的距离最短的点，即为BH最短，
∴BE+EF最短为BH，
∵AB＝6，∠BAC＝30°，
∴BH＝AB＝3，
故答案为 3．
6．如图，在矩形ABCD中，AC＝12，sin∠ACB＝，点P是线段AC上的动点，点Q是线段AB上的动点，则CQ+PQ的最小值是 　6　．
【解答】解：作点C关于直线AB的对称点C'．
∴QC＝QC'，BC'＝BC，
∴QC+QP＝QC'+QP，
∴当P、Q、C'在同一直线上且C'P⊥AC时，QC+QP最短，
此时QC+QP＝C'P，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵AC＝12，sin∠ACB＝，
∴，
∴AB＝6，
∴BC＝6，
∴CC'＝6+6＝12，
∵sin∠ACB＝，
∴，
∴C'P＝CC'＝＝6，
即CQ+PQ的最小值是6．
故答案为：6．
7．如图，长方形ABCD中，AD＝a，DC＝b，（a，b为常数），∠CAB＝30°，点P是对角线AC的中点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值为　　．
【解答】解：作点P关于直线CD的对称点P′，如右图所示，
∵长方形ABCD中，AD＝a，DC＝b，（a，b为常数），∠CAB＝30°，点P是对角线AC的中点，
∴AE＝a+0.5a＝1.5a，EP′＝0.5b，tan30°＝，
∴b＝，
∵两点之间线段最短，
∴AQ+QP的最小值就是线段AP′的长度，
∵∠AEP′＝90°，EP′＝0.5b，AE＝1．a，
∴AP′＝＝＝＝，
故答案为：．
8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 　　．
【解答】解：作M点关于BC的对称点M'，作M点关于AC的对称点M''，连接M'M''，分别交AC于点N，交BC于点P，
由对称可得，MN＝M''N，MP＝M'P，
∴PM+MN+PN＝PM'+NP+M''N≥M'M''，
∴M'M''最小时，PM+MN+PN的值最小，
当M'M''⊥BC时，M'M''的值最小，
∴M点与A点重合时，M'M''⊥BC，
∵AB＝8，AC＝6，BC＝10，
∴BC边上的高h＝，
∴M'M''＝2h＝，
∴PM+PN+MN的最小值是，
故答案为：．
9．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝4，点P、M、N分别在边AB、BC、CA上，连接PM、MN，NP，则△PMN周长的最小值为　2　．
【解答】解：如图，作点M关于直线AB、直线AC的对称点K、H，连接HK交AB于P，交AC于N．
∵△PMN的周长＝PM+MN+PN＝Pk+PN+HN＝HK，
∴HK最小时，△PMN的周长最小，
根据对称性，AM＝AK＝AH，∠MAB＝∠BAK，∠MAC＝∠CAH，
∴∠KAH＝2（∠MAB+∠MAC）＝90°，
∴KH＝AM，
∴AM最短时，△PMN的周长最短＝AM，
当AM⊥BC时，AM的值最短，
在Rt△ABM中，∠AMB＝90°，AB＝4，∠B＝60°，
∴BM＝AB＝2，AM＝＝＝2，KH＝2，
∴△PMN的周长的最小值为2．
故答案为：2．
10．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝30°，点M，N为BC上两个动点，且MN＝2，连接AM，AN，则△AMN周长的最小值为 　2+　．
【解答】解：过点A作AD∥BC，且AD＝MN，连接MD，
则四边形ADMN是平行四边形，
∴MD＝AN，
作点A关于BC的对称点A'，连接AA'交BC于点O，连接A'M，
则AM＝A'M，
∴AM+AN＝A'M+DM，
∴三点D、M、A'共线时，A'M+DM最小为A'D的长，
∵AD∥BC，AO⊥BC，
∴∠DAA'＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝3，
∴AO＝AB＝，
∴AA'＝3，
在Rt△ADA'中，由勾股定理得：
A'D＝，
∴△AMN周长的最小值＝A'D+MN＝+2．
故答案为：+2．
11．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 　　．
【解答】解：如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，PA，EM，FN，AE，AF．
∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC＝＝＝5，
由对称的性质可知，AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF，
∵∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝90°，
∴∠EAF＝180°，
∴E，A，F共线，
∵ME＝MP，NF＝NP，
∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF，
∵EM+MN+NF≥EF，
∴EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，
∵EF＝2PA，
∴当PA⊥BC时，PA的值最小，此时PA＝＝，
∴PM+MN+PN≥，
∴PM+MN+PN的最小值为．
故答案为：．
12．如图，△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，P为△ABC内一点，∠APB＝∠APC＝120°，则PA+PB+PC的最小值为 　5　．
【解答】解：如图，将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C，连接PP′，
由旋转的性质，得AP＝AP′，AC＝AC′，PC＝P′C，∠APC＝∠AP'C'＝120°，
∵AP＝AP′，∠PAP′＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴AP＝AP′＝PP′，∠APP′＝∠AP′P＝60°，
∵∠APB+∠APP'＝120°+60°＝180°，
∴点B．P，P'共线，
∵∠AP'C'+∠AP'P＝120°+60°＝180°，
∴点C，P'，P共线，
∴点B，P，P′，C′共线，
过点A作AD⊥BC′于点D，
∵AB＝AC＝AC′，
∴BD＝C′D，
∵AP＝AP′，
∴PD＝P′D，
∴BD﹣PD＝C′D﹣P′D，
∴BP＝C′P′，
∴PC＝P′C′＝BP，
延长AP交BC于点E，
∵∠APB＝∠APC＝120°，
∴∠BPE＝∠CPE＝60°，
∵PC＝PB，BC＝2，
∴PE⊥BC，BE＝BC＝，
∴∠PBE＝30°，
∴PE＝BE＝1，
∴PB＝2PE＝2，
∵AB＝AC＝，
∴AE＝＝＝2，
∴AP＝AE﹣PE＝2﹣1＝1，
∴PA+PB+PC＝1+2+2＝5，
∴PA+PB+PC＝PP′+PB+P′C′＝BC′最小，
∴PA+PB+PC的最小值为5．
故答案为：5．
13．如图，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝1，点E，F分别是OA，OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于1，则∠AOB＝　30　度．
【解答】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．
连接OC，OD，PE，PF．
∵点P与点C关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，
∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，
同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．
∴∠COA+∠DOB＝∠AOP+∠BOP＝∠AOB，OC＝OD＝OP＝1，
∴∠COD＝2∠OAB，
又∵△PEF的周长＝PE+EF+FP＝CE+EF+FD＝CD＝1，
∴OC＝OD＝CD＝1，
∴△COD是等边三角形，
∴2∠AOB＝60°，
∴∠AOB＝30°．
故答案为：30．
14．如图，点B在射线AN上，以AB为边作等边△ABC，M为AN中点，且AN＝4，P为BC中点，当PM+PN最小时，AB＝　　．
【解答】解：如图，在AC边上截取CM′＝BM，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠CBA＝60°，
∵P为BC中点，
∴CP＝BP，
在△CPM′和△BPM中，
，
∴△CPM′≌△BPM（SAS），
∴PM′＝PM，
∴PM+PN＝PM′+PN，
∵PM′+PN≥M′N，
当NM′⊥AC时，NM′最小，
∴NM′＝AM′＝2，即PM+PN最小为2，
如图，作PM′⊥AC于点M′，作PM″⊥AB于点M″，连接AP，
∵△ABC是等边三角形，P为BC中点，
∴PM′＝PM″，∠PAM′＝30°，
∵AM′＝AM″＝2，
∴PM″＝PM′＝2×＝，
∵∠PBM″＝60°，
∴BM″＝，
∴AB＝AM″+BM″＝2+＝．
故答案为：．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，点D在AB上，且BD＝4，点E是BC上任意一点，则ED+EA的最小值为 　4　．
【解答】解：如图，
作点A关于BC的对称点A′，连接A′E，DA′，CA′
由对称性可得，
A′E＝AE，
∴DE+AE＝DE+A′E≥DA′，当D，E（图中E′），A′共线时，DE+AE最小，最小值是DA′的长，
作DF⊥AA′于F，
在Rt△ADF中，∠DAF＝BAC＝60°，AD＝AB﹣BD＝12﹣4＝8，
∴DF＝8 sin60°＝4，AF＝8 cos60°＝4，
在Rt△DFA′中，DF＝4，FA′＝AA′﹣AF＝2AB cos∠BAA′﹣AF＝2×12 cos60°﹣4＝8，
∴DA′＝＝4，
∴ED+EA的最小值为：4，
故答案为：4．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为 　　．
【解答】解：如图所示，作点M关于BD的对称点M'，连接PM'，则PM'＝PM，BM＝BM'＝1，
∴PN+PM＝PN+PM'，
当N，P，M'在同一直线上，且M'N⊥AC时，PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长，
此时，∵Rt△AM'N中，∠A＝30°，
∴M'N＝AM'＝×（8﹣1）＝，
∴PM+PN的最小值为 ，
故答案为：．
17．如图，矩形ABCD中，AD＝4，∠CAB＝30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是　4　．
【解答】解：以CD为轴，将△ACD往上翻转180°，如图，
过点A作AE⊥A′C于E点，AE交CD于F点，
当Q与F点重合，P′与E点重合时，AQ+QP＝AF+EF＝AE最短（直线外一点到这条直线中，垂线段最短），
∵矩形ABCD中，AD＝4，∠CAB＝30°，
∴∠A′CD＝∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠A′CA＝60°，
又∵AC＝A′C，
∴△A′CA为等边三角形，且A′A＝2AD＝8，
AE＝A′A sin∠A′CA＝8×＝4．
故答案为：4．
18．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点P，Q，R分别是AB，AC，BC上的动点，PQ+PR+QR的最小值是　2　．
【解答】解：如图，作点P关于AC的对称点P′，点P关于BC的对称点P″，连接P′Q，P″R，CP′，CP″，PC．
根据对称的性质可知：QP′＝QP，RP″＝RP，CP＝CP′＝CP″，∠ACP＝∠ACP′，∠PCR＝∠BCP″，
∵∠ACB＝90°，
∴∠PCP′+∠PCP″＝180°，
∴P′，C′P″共线，
∵CP＝CP′＝CP″，
∴△PP′P″是直角三角形，
∴PQ+RQ+PR＝P′R+QR+RP″≤P′P″，
∴PQ+PR+QR的最小值，就是线段P′P″的长，
当PC⊥AB时，P′P″的长最小，
在Rt△ACB中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AC＝2，AB＝4，
当PC⊥AB时，PC＝＝＝，
∴PQ+PR+QR的最小值是2．
故答案为2．
19．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，点P是BD上一点，点M、N分别是BC、CD上任意一点，且PM⊥BC，垂足为M，连接PM、PN，则PM+PN的最小值为 　6　．
【解答】解：如图，
作EN⊥BD，交AD于E，连接PE，EM，作EF⊥BC于F，作AG⊥BC于G，
∵菱形ABCD关于BD对称，
∴点E和N关于BD对称，
∴PE＝PN，
∴PN+PM＝PE+PM≥EM≥EF，
∴当点P是EF与BD的交点时，PN+PM最小，最小值是EF的长，
在Rt△ABG中，AB＝4，∠ABC＝60°，
∴AG＝4°＝4＝6，
∴EF＝AG＝6，
∴PM+PN的最小值为：6，
故答案为：6．
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