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(共21张PPT)
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
第八章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.3 平面与平面垂直(第一课时)
学习目标
1.通过直观感知了解二面角、直二面角的意义，会求会求二面角平面角的大小。
2.理解并掌握平面和平面垂直的判定定理，并能运用其解决相关问题。
温故知新
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角.
A
B
O

问题2：在立体几何中，“两条异面直线所成的角”是怎样定义的？
问题3：在立体几何中,“直线和平面所成的角”
又是怎样定义的？
α
a
b
O
b'
a'
问题4：平面和平面能成角吗？又该怎样定义呢？
室内一景
笔记本电脑
在日常生活中，有很多平面与平面相交的例子．
“墙面与地面”，“屏幕面和键盘面”等都给我们两个平面形成的角-二面角的形象。
直观感知 形成概念
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
二面角的定义
A
B


③棱记作l , 这个二面角记作二面角α-l-β或P-l-Q.
①棱为AB , 面分别为α、β的二面角记作二面角α-AB-β.
②也可在α、β内(棱以外的半平面部分)分别取点 P、 Q，
将这个二面角记作二面角P-AB-Q.
思考 在日常生活中, 我们常说“把门开大一些”, 是指哪个角大一些，
受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？
α
β
B
。
O
A
以二面角的棱上任意一点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
探求新知
二面角θ的取值范围为 00 ≤θ ≤180 .
二面角的平面角说明:
(3)角的边都垂直于二面角的棱。
(1)角的顶点在棱上;
(2)角的两边分别在两个面内;
O
A
B
β
α
l
二面角的大小可以用它的平面角来度量, 二面角的平面角是多少度, 就说这个二面角是多少度.
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
探求新知
思考：二面角的平面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗？
为什么？
答：无关. 如图，
根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′
直立式
平卧式
二面角常见形式:
探求新知
牛刀小试
观察 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角
分别指出这些二面角的平面角及其度数.
教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角.
一般地， 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.
画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
探求新知
观察 建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与水平面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于水平面，否则他就认为墙面不垂直于水平面．你能明白这种方法的道理吗？
这种方法告诉我们的是：如果墙面经过水平面的一条垂线，那么墙面与水平面垂直.
这实质就是两个平面垂直的判定定理。
探求新知
平面与平面垂直的判定定理的证明
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直.
证明：
A
B
D
C
E
平面与平面垂直的判定定理
文字语言： 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这
两个平面垂直.
符号语言：
图形语言：
简记：线面垂直 面面垂直
例7 已知：如图, 正方体ABCD-A'B'C'D'.
求证：平面A′BD⊥平面ACC'A'.
∵ABCD-A'B'C'D'是正方体，
∴AA'⊥平面ABCD.
∴AA'⊥BD.
又AC⊥BD，AC∩AA'=A，
∴BD⊥平面ACC'A'，
又BD 平面A'BD，
∴平面A'BD⊥平面ACC'A'.
B
D
C
A′
B′
C′
D′
A
证明：
例题讲解
运用反馈
平面ABD⊥平面BCD
A
B
C
D
平面ABC⊥平面BCD
平面ACD⊥平面ABC
例8：如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A, B的任意一点，求证:平面PAC⊥平面PBC
证明：∵PA⊥平面ABC, BC 平面ABC,
∴PA⊥BC
∵ AB是圆O的直径,
∴∠BCA=90°即BC⊥AC
又PA∩AC=A,PA 平面PAC，AC 平面PAC,
∴BC⊥平面PAC
∴BC 平面PBC
∴平面PAC⊥平面PBC
P
B
O
A
C
例题讲解
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，
∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，
PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面ACM
(2)证明：平面PAD⊥平面PAC.
巩固练习
(1)证明：
连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，
因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．
又M为PD的中点，所以PB∥MO.
因为PB 平面ACM，MO 平面ACM，
所以PB∥平面ACM.
(2)证明：
因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，
所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.
又PO⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PO⊥AD.
而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.
又AD 平面PAD
所以平面PAD⊥平面PAC
巩固练习
求二面角的大小
例题讲解
例题讲解
1.这节课主要学习哪些概念
2.两个平面垂直的判定定理的内容是什么
它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？
线线垂直
线面垂直
面面垂直
空间垂直关系之间的转化
二面角 二面角的平面角 直二面角 两个平面互相垂直

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