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高考数学必须牢记的 136 个关键注意点
1. 因为命题p 与 ﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其 真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．
2. 题目中若有条件 B A ，则应分 B＝ 和 B≠ 两种情况进行讨论．
3. 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或” 连接，而应该用并集符号“∪”连接．
4. 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等．
5. 导数法求最值下章讲解，数形结合求最值见本节方法素养．
6. 求分段函数的单调性时，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
函数具有奇偶性包括两个必备条件：
7. 定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考
虑定义域．
8. 判断f(x)与f(－x)的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关 系式f(x)＋f(－x) ＝0(奇函数)或f(x)－f(－x) ＝0(偶函数)是否成立．
常见特殊结构的奇偶函数：f(x) ＝loga( －x)(a ＞0 且 a≠ 1)为奇函数，f(x)＝ ax ＋a－x(a ＞0 且 a≠ 1)为偶函数．
9. 已知函数奇偶性可以解决的 3 个问题
( 1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x) ＝0 得到关于参数 的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组) ，进而得出参数的值．
10. 函数周期性的判定与应用
( 1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周
期为 T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具 体问题时，要注意结论：若 T 是函数的周期，则 kT(k∈Z 且k≠0)也是函数的周期． 11. 周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进 行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．
12. 奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间 D 上的奇函数，则对任意的 x ∈D ，都有f(x)＋f(－x)
＝0.特别地，若奇函数f(x)在 D 上有最值，则f(x)max＋f(x)min ＝0 ，且若 0∈D ，则 f(0) ＝0.
13. 抽象函数的周期性
( 1)如果f(x ＋a)＝－f(x)(a≠0) ，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期 T＝2a.
(2)如果f(x ＋a)＝(a≠0) ，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期 T＝2a.
(3)如果f(x ＋a)＋f(x)＝c(a≠0) ，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期 T＝2a.
14. 抽象函数的对称性
已知函数f(x)是定义在 R 上的函数．
( 1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线 x ＝对称，特别地，
若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称．
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x) ＝0 ，即f(x)＝－f(2a－x) ，则f(x)的图象关 于点(a ，0)对称．
15. 幂函数的图象与性质特征的关系
( 1)幂函数的形式是y＝xα(α ∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确 定其解析式．
(2)判断幂函数y＝xα(α ∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再 判断．
(3)若幂函数y＝xα在(0 ，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0 ，＋∞)上单调递减，则 α<0.
16. 识别二次函数图象应学会“三看”
[提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指 数，形式力求统一．
17. 指数幂运算的一般原则
[提醒] 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的 前提下才成立的，不能出现 log2 12 ＝log2 [(－3) ×(－4)] ＝log2(－3)＋log2(－4)的错 误．
18. 解与对数函数有关的函数的单调性问题的“一求二判”
19. 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变 换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中再研究，从而使非标准型问题标准 化、复杂问题简单化．换元法经常用于研究指数型、对数型函数的性质、三角函 数式的化简求值、解析几何中计算等．
20. 画函数的图象一定要注意定义域．利用图象变换法时要注意变换顺序，对不 能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对
变换单位及解析式的影响．
21. 当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两
个函数，再根据题设条件和图象确定参数的取值范围．
22. 函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考 查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数 的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数 的图象、性质求解．
23. 求解已知函数模型解决实际问题的关键
( 1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
24. 建模解决实际问题的三个提醒
( 1)建模：抽象出实际问题的数学模型．
(2)解模：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．
(3)回归 ：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的
实际问题中去，得到实际问题的解．
即：
25. 构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．
(
b
)26. 利用模型f(x)＝ax＋ 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件． x
27. 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数 函数模型表示．通常可以表示为y＝N( 1＋p)x(其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对 应求解．
28. 有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求 出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值， 然后根据值回答其实际意义．
29. 求导之前，应利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可 以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则
先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．
30. 对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′ (x0)g(x)＋h(x)(x0 为常数) 的函数，解决这类问题的关键是明确f′ (x0)是常数，其导数值为 0. 因此先求导数 f′ (x) ，令 x＝x0 ，即可得到f′ (x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．
31. “过”与“在” ：曲线y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线” 的区别：前者 P(x0，y0)为切点，而后者 P(x0，y0)不一定为切点．
32. 研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分 类讨论．
33. 所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只
能用“ ，”及“和”隔开．
34. 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的 问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小．
与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数．题目中存在消 去f(x)与f′ (x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设 形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式．
35. 含参数函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种 可能 ：①方程f′ (x) ＝0 是否有实数根；②若f′ (x) ＝0 有实数根，求出实数根后判 断其是否在定义域内；③若实数根在定义域内且有两个，比较实数根的大小是常 见的分类方法．
36. 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．
37. 在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小 值．
38. 极大值与极小值之间无确定的大小关系．
39. 由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点 ：( 1)由y＝f′ (x)的图象与 x 轴的 交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′ (x) 的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点．
40. 已知函数极值点或极值求参数的两个要领
( 1)列式 ：根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法 求解．
(2)验证 ：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数 法求解后必须验证根的合理性．
41. 若函数y＝f(x)在区间(a ，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a ，b)内绝不是单调函 数，即在某区间上单调函数没有极值．
利用(f(x)＋kx＋b)′＝f′ (x)＋k ，根据导数符号，可得出函数 g(x)＝f(x)＋kx＋b 的单 调性，利用其单调性比较函数值大小、解抽象函数的不等式等．
(
由于
e
x
>
0
，故
[
e
x
f
(
x
)]′
＝
[
f
(
x
)
＋
f
′
(
x
)]
e
x
，其符号由
f
(
x
)
＋
f
′
(
x
)
的符号确定，
e
x
′
＝
，其符号由
f
′
(
x
)
－
f
(
x
)
的符号确定．含有
f
(
x
)±
f
′
(
x
)
类的问题可
以
)f (x )
考虑构造上述两个函数．
42. 常见构造原函数的类型如下：
( 1)对于不等式 xf′(x)＋f(x)>0 ，构造函数 g(x)＝xf(x)．
(2)对于不等式 xf′(x)－f(x)>0 ，构造函数 g(x)＝(x≠0)．
(3)对于不等式 xf′(x)＋nf(x)>0 ，构造函数 g(x)＝xnf(x)．
(4)对于不等式 xf′(x)－nf(x)>0 ，构造函数 g(x)＝(x≠0)．
43. 含f′ (x)tan x±f(x)或f′ (x)±f(x)tan x 型
该类型构造原函数如下：
( 1)对于f′ (x)tan x＋f(x)>0(<0) ，构造函数 h(x)＝f(x)sin x．
(
sin
x
.
)(2)对于f′ (x)tan x－f(x)>0(<0) ，构造函数 h(x)＝f (x )
(3)对于f′ (x)－f(x)tan x>0(<0) ，构造函数 h(x)＝f(x)cos x．
(
cos
x
.
)(4)对于f′ (x)＋f(x)tan x>0(<0) ，构造函数 h(x)＝f (x )
44. 待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函
数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证． ( 1)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两 个函数的最值问题．
(2)在证明过程中，“隔离”化是关键，此处f(x)min>g(x)max 恒成立．从而f(x)>g(x)， 但此处f(x)与 g(x)取到最值的条件不是同一个“x 的值”．
对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨 论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围．
45. “恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等 价转化．
46. 构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的 方法，转化为求函数的最值问题．
47. 已知函数(方程)零点的个数求参数范围
( 1)函数在定义域上单调，满足零点存在性定理．
(2)若函数不是严格的单调函数，则求最小值或最大值结合图象分析．
(3)分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函数图象交点的个数．
[注意] 注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α 的终边逆时针旋转 180°可得角α＋ 180°的终边，类推可知α＋k· 180°(k∈Z)表示终边落在角α 的终边所在直线上的角． 48. 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度．
49. 三角函数线是三角函数的几何表示，正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向 上为正，向下为负；余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．
50. 利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的 基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以 看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方 程组，通过解方程组达到解决问题的目的．
51. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则
52.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将符号“f”脱掉， 使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．
53. 求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求
基本 思路 ①分析结构特点，选择恰当公式； ②利用公式化成单角三角函数； ③整理得最简形式
化简 要求 ①化简过程是恒等变换； ②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值 的要求出值
54. 要注意求函数y＝Asin(ωx ＋p)的单调区间时ω 的符号，若ω<0，那么一定要先 借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．
55. 利用函数的单调性比较大小
( 1)比较同名三角函数的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的三角函 数，利用单调性，由自变量的大小确定函数值的大小；
(2)比较不同名三角函数的大小，应先化成同名三角函数，再进行比较．
[注意] 平移变换和伸缩变换都是针对 x 而言，即 x 本身加减多少值，而不是ωx 加减多少值．
56. 三角函数模型在实际应用中体现的两个方面
( 1) 已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变 量的意义及自变量与因变量之间的对应法则； (2)需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用已知数据建立 拟合函数解决实际问题，此类问题体现了数学建模核心素养，考查应用意识． 三角函数的零点(方程根)个数问题可转化为两个函数图象的交点问题．
57. “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后
要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．
58. 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的 工具性作用．
59. 解决距离问题的两个注意事项
( 1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知 则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一个确定的三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如都可以用，就选便于计算的定理，选定合 适的三角形．
60. 解决高度问题的三个注意事项
( 1)要理解仰角、俯角的定义； (2)在实际问题中可能会遇到空间与平面(底面)同时研究的问题，这时最好画两个 图形，一个空间图形，一个平面图形；
(3)注意山或塔垂直底面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
61. 解决角度问题的三个注意事项
( 1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义；
(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值；
(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化 为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的 优点．
62. 解三角形应用题的 4 个要点
(
63.
平面向量的两点提
醒
(
1)
向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．
(
2
)
任意向量
a
的模都是非负实数，即
|
a
|≥0.
64
.
平面向量有关概念的四个关注点
(
1)
相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(
2)
共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(
3)
向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函
数图象的移动混淆
．
(4)
非零向量
a
与
|
a
a
|
的关系：
|
a
a
|
是与
a
同方向的单位向量．
6
5.
证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．
66.
当且仅当
x
2
y
2
≠0
时，
a
∥
b
与
x
1
＝
y
1
等价．
x
2
y
2
即
两
个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
67.
运算遵法则
基底定分
解
(
1)
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则
)
进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条 件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
68. 向量共线的两种表示形式
设 a＝(x1，y1) ，b ＝(x2，y2) ，①a ∥b a＝λb(b≠0) ；②a ∥b x1y2－x2y1 ＝0 ，至于 使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.
69. 两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行) ，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的 充要条件可以列出方程(组) ，求出未知数的值．
70. 计算向量数量积的三个角度
( 1)定义法 ：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即 a·b＝ |a||b|cos θ(θ是 a 与 b 的夹角)．
(2)基向量法 ：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化 为基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法 ：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行 求解．
71. 向量的模的求法
( 1)求形如 ma ＋nb 的向量的模，可通过平方，转化为数量的运算． (2)用定义法和坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用 函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合的思想，常用三角
不等式进行最值的求解．
72. 解决复数概念问题的方法及注意事项 ( 1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的 条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即 可．
(2)解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a ，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
73. 复数的几何意义及应用
( 1)复数 z、复平面上的点 Z 及向量O→Z相互联系，即 z＝a＋bi(a ，b∈R) Z(a，
b) O→Z.
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、 向量与解 析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 74. 在解答题中证明一个数列为等差数列时，只能用定义法．
如果{an }为等差数列，m ＋n＝p＋q，则 am ＋an＝ap ＋aq(m，n，p，q∈N*) ．因此， 若出现 am －n ，am ，am ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与 am(或其他 项)有关的条件；若求 am 项，可由 am ＝(am －n ＋am ＋n)转化为求 am －n ，am ＋n 或 am －n ＋am ＋n 的值．
75. 等差数列前 n 项和的性质
在等差数列{an }中，Sn 为其前 n 项和，则
( 1)S2n＝n(a1 ＋a2n)＝ …＝n(an ＋an＋1)；
(2)S2n－1 ＝(2n－1)an；
(3)当项数为偶数 2n 时，S 偶 －S 奇＝nd ；项数为奇数 2n－1 时， S 奇 －S 偶 ＝a 中 ，S 奇 ∶S 偶 ＝n ∶(n－1)．
76. 等比数列的 4 点提醒
( 1)在解答题中证明一个数列为等比数列时，只能用定义法； (2)如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数 列即可．
(3)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件．利用性质，特别是性 质“若 m ＋n＝p＋q ，则 am ·an＝ap ·aq” ，可以减少运算量，提高解题速度． (4)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变 形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
77. 与等比数列前 n 项和 Sn 相关的结论
( 1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an }中，公比为 q.
①若共有 2n 项，则 S 偶 ∶S 奇＝q；
②若共有 2n＋1 项，则 S 奇 －S 偶 ＝(q≠ 1 且 q≠－1)．
(2)分段求和：Sn ＋m ＝Sn ＋qnSm qn ＝(q 为公比)．
78. 分组转化法求和的常见类型
( 1)若 an ＝bn±cn ，且{bn } ，{cn }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an }的前 n 项和．
(
b
n
，
n
为奇
数，
c
n
，
n
为偶
数
差数列，可采用分组转化法求和
．
)(2)通项公式为 an＝ 的数列，其中数列{bn } ，{cn }是等比数列或等
79. 利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注 意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． 80. 平面图形与其直观图的关系
( 1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于 x 轴的线段平行性不变， 长度不变；平行于y 轴的线段平行性不变，长度减半．
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S 直观图 ＝S 原图形．
81. 求解与数学文化有关的立体几何问题，首先要在阅读理解上下功夫，明确其 中一些概念的意义，如“斩堵”“阳马”
和“鳖臑”等的特征是求解相关问题的前提，其次目标要明确，根据目标联想相关 公式，然后进行求解．
82. 点共线、线共点等都是应用公理 3 ，证明点为两平面的公共点，即证明点在 交线上．
83. 应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线 作辅助平面来确定交线．该定理的作用是由线面平行转化为线线平行．
84. 立体几何中的最值或范围问题，常用函数思想来解决．常见问题是求几何体 截面面积或周长的最值或范围，动点的轨迹等，解题关键是通过对几何体中条件
的分析和转化，设出未知量，建立函数关系式或轨迹方程．
85. 平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解 决．注意遵循“空间到平面”“低维”到“高维”的转化关系．
86. 构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后利用模型对问题直 观地作出判断．这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致的解题错误．由 于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直及面面垂 直等各种位置关系．故构造长方体或正方体来判断空间直线、平面间的位置关系， 显得直观、易判断．构造时注意其灵活性，想象各种情况反复验证．
87. 求异面直线所成的角的两个关注点 ( 1)用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来
求解的．
(2)由于两异面直线所成角的范围是θ∈ 0 ， ，两方向向量的夹角α 的范围是
[0 ，π] ，所以要注意二者的区别与联系，应有 cosθ＝|cosα|.
88. 判断两条直线位置关系应注意：
〈1 〉注意斜率不存在的特殊情况．
〈2 〉注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．
89. 解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
90. 在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂 线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
91. 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
92. 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，然后求切线方 程．若点在圆上(即为切点) ，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点 的切线有两条(若通过上述方法只求出一个 k，则说明另一条切线的斜率一定不存 在，此时另一条切线的方程为 x＝x0)．
93. 判断圆与圆的位置关系时，一般不用代数法，因为利用代数法不能判断内切 与外切，内含与外离；利用几何法的关键是判断圆心距|C1 C2 |与 R ＋r，R －r 的关 系．
94. 椭圆定义的应用技巧
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是明确平面内与两定点有关的轨迹是否为椭 圆；二是当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1，F2 组成的三角形通常称为“焦点 三角形” ，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1 | · |PF2 | ，通过整体 代入可求其面积等．
95. 当椭圆焦点位置不明确时，可设为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为Ax2 ＋By2＝1(A>0 ，B>0 ，且 A≠B)．
96. 对于椭圆方程，在第二步中得到的方程的二次项系数一定不为 0 ，故一定为 一元二次方程．
97. 双曲线定义的应用
( 1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲 线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1 |－|PF2 || ＝2a， 运用平方的方法，建立|PF1 |与|PF2 |的关系．
98. 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是 双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
99. 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于 x 轴，y 轴 对称．
100. 解决概念型多项选择题的关键如下：
( 1)明概念，巧借选项所给信息，正确理解概念，明确辨析点；
(2)辨问题，结合概念的内含和外延，对题中所述概念再进一步深层次辨析； (3)定选项，利用概念对选项作选择，也可借助反例法、特值法求解．
101. 解决运算求解型问题多项选择题就是根据题中已知条件，通过运算求得结 果，然后进行判断的问题，此类问题实质就是一个定量的分析问题．其解题关键 如下：
( 1)定问题，即根据选项明确所求解的问题，建立相应的求解目标；
(2)析条件，即分析题中与所求目标相关的条件，确定计算所需的基本量，如圆 锥曲线方程中的参数、数列中的通项公式和项数、三角函数中的角等；
(3)求数值，即通过目标建立相关问题的模型，然后利用相应的数学知识求解相
关数值；
(4)定选项，根据所求解的结果判断选项的正误，从而得到正确的结果．
102. 逻辑推理型多项选择题就是根据已知条件，利用相关的定理、性质等逐项 进行推理论证的多项选择．解决此类问题的关键如下：
( 1)判断类型，即判断选项涉及的数学问题类型，确定数学模块归属； (2)确定依据，即根据选项确定解决此类问题的模块理论依据，如不等式的性质、 空间线面关系的判定定理、函数的性质等；
(3)逻辑推理，即利用相关的定理、推理、性质等对选项进行逐项判断，然后选 出正确选项．
103. 数据分析就是根据统计图表，提取相关数据，并根据数据的特征以及变化
进行分析判断，从而得到相关结论．解题关键如下：
( 1)提取数据，即根据选项研究的问题，从统计图表中读取相应的数据； (2)分析数据，即分析提取数据的特征，如变化率、变化趋势、最值等，根据选 项研究的问题进行简单分析；
(3)确定选项，即根据数据分析的结果逐项判断选项的正误，从而得到正确结果． 104. 综合型多选题就是同一道选择题中，定量、定性问题都出现，此类问题既 需要利用相关理论进行逻辑推理，又必须根据条件进行定量分析，所以思考量比 较大．解决此类问题的基本思路是先分类，再逐项进行检验．其解题步骤如下： ( 1)合理分类：即根据选项研究的问题类型进行合理分类，将其分为定性型问题(如 空间中的线面关系、函数的性质的判断等)与定量型问题(如求角、距离、面积、
体积等)两大类．
(2)逐类判断 ：即对归类后的问题进行逐类分析，对于定性型问题，可利用相关 的定理、性质等进行逻辑推理，进而判断正误；对于定量型问题，如几何体的体 积、平面图形的面积、圆锥曲线的离心率等的求解，可根据已知条件代入求值，
进而判断正误．
(3)确定选项：即根据判断结果得到正确选项．
105. 利用抛物线的定义可解决的常见问题
①轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否
为抛物线.
②距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在
解题中利用两者之间的相互转化.
[提醒] 一定要验证定点是否在定直线上.
106. 抛物线定义的应用规律
107. 建立函数关系后，一定要根据题目的条件探求自变量的取值范围，即函数 的定义域．
108. 涉及弦的中点、斜率时，可采用“点差法”求解．
109. 与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义， 将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时
所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算．
110. 若抛物线上的点 P 到直线 l 的距离最小，则过点 P 与 l 平行的直线与抛物线 相切，且最小距离为两平行直线间的距离，所以可将问题转化为求与抛物线相切 的直线，然后求两平行直线间的距离．
111. 解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公 式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解．解题的关键是根据所给抛物线方 程设出动点坐标．
112. 对于证明问题，一般是根据已知条件，运用所涉及的知识通过运算化简， 利用定义、定理、公理等，直接推导出所证明的结论即可，证明不等式常用不等 式的性质，或基本不等式求得最值．
113. 圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广，但无论证明什么，其常用 方法有直接法和转化法，对于转化法，先是对已知条件进行化简，根据化简后的 情况，将证明的问题转化为另一问题．本题证明的关键是能够利用抛物线的定义 将所证结论转化为证明 HN∥y 轴．通过直线与抛物线联立得到根与系数的关系 的形式，利用根与系数的关系的结论证得 HN∥y 轴．
114. 求解圆锥曲线中的最值问题，即通过圆锥曲线的定义、几何性质将最值转 化，利用平面几何中的定理、性质，结合图形的直观性求解最值问题．常用的结
论有：
( 1)两点间线段最短；
(2)点到直线的垂线段最短．
115. 指构建所求式子的不等关系，通过不等式变形或不等式的求解确定范围的
方法．解决问题的关键如下：
( 1)构建所求式子的不等关系，可根据已知条件中的不等式(组)建立不等关系或根 据题意建立不等关系．一般通过以下几何条件建立不等关系：三角形两边之和大 于第三边、直角三角形斜边大于直角边、点的横(纵)坐标大小比较、直线的斜率、 圆锥曲线中线段长的范围等．
(2)求范围，利用不等式的性质或解不等式求解所要求的式子的范围．
圆锥曲线的最值与范围问题中，若目标表达式与已知条件具有比较明确的关系， 则可以考虑建立目标函数，通过研究函数的单调性、图象或基本不等式等来解决，
116. 破解最值或范围类问题的关键如下：
( 1)定变量，根据题目定变量以及变量的取值范围．
(2)定目标函数，根据题目信息确定目标函数(一般以所求式子为函数解析式)． (3)求最值或范围，根据目标函数解析式，借助配方、基本不等式、三角函数的 有界性、函数的单调性(可借助导数研究)等确定目标函数的最值或取值范围． 证明直线或曲线过某一定点(定点坐标已知) ，可把要证明的结论当条件，逆推上 去，若得到使已知条件成立的结论，则证明了直线或曲线过定点．
117. 分类加法计数原理的两个条件
( 1)根据问题的特点能确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类． (2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方 法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．
118. 利用分步乘法计数原理解题分步必须满足两个条件 ：一是步骤互相独立， 互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成． ( 1)解决排列组合问题经常用到分类讨论思想，其分类原则经常为 ：一是按元素 的性质分类，二是按事件发生的过程分类，本例是按元素的性质分类． (2)由于排列、组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果 时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用 多种不同的方法求解，看结果是否相同．
119. 概率与频率的关系
120. 离散型随机变量分布列的性质的应用
( 1)利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个 概率值均为非负值．
(2)若 X 为随机变量，则 2X＋1 仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的
随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．
121. 独立重复试验的特点
①每次试验中，事件发生的概率是相同的；
②每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
122. 判断随机变量X 服从二项分布的条件(X~B(n，p))
①X 的取值为 0 ，1 ，2 ，… ，n；
②P(X＝k) ＝Cpk( 1－p)n －k(k＝0 ，1 ，2 ，… ，n，p 为试验成功的概率)．
123. 在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可
视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．
124. 均值与方差的实际应用
( 1)D(X)表示随机变量 X 对 E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越 大，说明X 的取值越分散；反之，D(X)越小，X 的取值越集中在 E(X)附近，统计 中常用来描述X 的分散程度．
125. 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取 值偏离于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于 方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定． 126. 抽签法与随机数法的适用情况 ①抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的 情况．
②一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：
一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较 小时可用抽签法．
127. 分层抽样问题类型及解题思路
①求某层应抽个体数量，根据该层所占总体的比例计算． ②已知某层个体数量，求总体容量，根据分层抽样即按比例抽样，列比例式进行 计算．
③确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．
128. 通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系．
129. 折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适 用于显示在相等时间间隔下数据的趋势．
130. 由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况 ，这一点同频率分布直方图类 似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信 息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示．其缺点是当样本容量较大时，作图较 烦琐．
131. 准确理解频率分布直方图的数据特点： ①频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵 轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆． ②频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1，这是解题的关键，常利用频率 分布直方图估计总体分布．
132. 众数、中位数、平均数、方差的意义及常用结论
( 1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反 映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和
标准差描述波动大小．
(2)方差的简化计算公式 ：s2 ＝[(x1 (2)＋x2 (2)＋ … ＋xn (2)) －n－x 2]或写成 s2 ＝(x1 (2)＋x2 (2)＋ … ＋xn (2))－－x 2 ，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．
133. 频率分布直方图是表达和分析数据的重要工具，破解此类频率分布直方图 的关键：一是会求频率，即会观图、读数据，利用频率分布直方图中每一个小矩 形的高乘以组距求出这一组的频率；二是会求频数，利用频率乘以样本容量，即 可求出样本数据落在对应区间上的频数．
134. 统计与概率“搭台” ，方案选择“唱戏”
破解此类频率分布直方图、分层抽样与概率相交汇的开放性问题的关键：一是活 用性质，即利用频率分布直方图中各小矩形面积和为 1 ，得含参数的方程，从而 达到求参数的目的；二是不混淆，即利用频率分布直方图求中位数与平均数时， 注意区分其本质的不同，中位数左边和右边的直方图的面积相等，平均数等于频 率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
135. 破解频数分布表、独立性检验、离散型随机变量的分布列与期望相交汇题 的易错点有三处：一是忽视关键字眼，导致所得的数据出错，从而补全 2×2 列联 表时出错，如本题，若把“不少于 60 元”误以为“少于 60 元”，则会导致求解出错； 二是计算 K2 的观测值时不会利用分子、分母先约分再计算的技巧，导致计算结
果出错，从而推断出错；三是二项分布与超几何分布搞混，或把非二项分布误以 为二项分布，导致求期望值出错，如本题，误以为是二项分布，导致误得 E(X)
＝3×＝1.
136. 正态分布下的概率计算常见的两类问题 ( 1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态 曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与 x 轴之间的面积为 1.
(2)利用 3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ ，σ进 行对比联系，确定它们属于(μ －σ，μ ＋σ] ，(μ －2σ，μ ＋2σ] ，(μ －3σ，μ ＋3σ]中的 哪一个．

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