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第11讲 解方程及其应用（提高版）
1、等式：表示相等关系的式子叫等式。
2、方程：含有未知数的等式叫做方程。
判断一个式子是不是方程应具备两个条件：一是含有未知数；二是等式。所以，方程一定是等式，但等式不一定是方程。
方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立 。方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“=”．
3、等式的性质。
①等式的两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式；
②等式的两边同时乘或除以一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。
4、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
5、解方程的方法
①直接运用四则运算中各部分之间的关系去解。
加数+加数=和 一个加数=和－另一个加数
被减数－减数=差 减数=被减数－差 被减数=差＋减数
被乘数×乘数=积 一个因数=积÷另一个因数
被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=除数×商
②先把含有未知数x的项看作一个数，然后再解。
③ 按四则运算顺序先计算，使方程变形，然后再解。
④利用运算定律或性质，使方程变形，然后再解。
6、列方程解应用题
列方程解答应用题的步骤。
① 弄清题意，确定未知数并用x表示；
② 找出题中的数量之间的相等关系；
③ 列方程，解方程；
④ 检查或验算，写出答案。
一．选择题（共8小题）
1．x＝2是方程（　　）的解。
A．7x+7＝21 B．3x﹣2＝8 C．2x﹣3＝5 D．3×2x﹣5＝66
2．聪聪在计算时，错算成，他的计算结果与正确答案相差　　
A．24 B．19 C．19.2
3．不计算，观察比较下面关于的方程中，　　的解的数值最大。
A． B． C．
4．一个数的2倍加上5，和是25，求这个数。列方程正确的是　　
A． B． C．
5．，则方程　　
A．没有解 B．有无数个解 C．只有一个解
6．下面　　不是方程。
A． B． C．
7．下面各式中，方程有　　个。
①
②
③
④
A．1 B．2 C．3 D．4
8．根据图中的等量关系列出的方程是　　
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
9．当　　时，的结果是1；方程的解是　　。
10．方程的解比方程的解 　　。（填“大”“小”或“相等”
11．甲、乙两人分别从、两地同时出发相向而行，甲每小时走，乙每小时走，1.5小时后两人相遇，、两地相距 　　。
12．如果，那么　　。
13．解方程时，可以在等式两边　 　，就可以得到　 　．
解方程时，可以在等式两边　 　，就可以得到　 　．
14．已知方程的解是，那么　　。
15．在，，，，中，等式有 　　，方程有 　　。
16．如果，根据等式的性质，那么　　。
三．计算题（共2小题）
17．解方程。
5.5x+6.7＝7.8　　　 2.8+x+3.6＝20
3.5x﹣0.8x＝11.34 8x﹣27.54÷2.7＝1.8
18．解方程。
39÷x＝3 x﹣0.2x＝32 4x+11＝35.4 3（x+2）＝10.08
四．解答题（共14小题）
19．公园里有松树120棵，比杨树的棵数少，公园里有杨树多少棵？（列方程解答）
20．学校组织五、六年级同学听抗疫英雄巡回演讲会，一共有972人。报告厅每排可以坐18人，五年级坐了26排，六年级坐了多少排？（列方程解答）
21．甲、乙两车分别从东西两镇同时开车，相向而行。相遇时甲车行了全程的多28千米，乙车行了52千米。东西两镇相距多少千米？（用方程解）
22．甲、乙两地相距230千米，一辆货车与一辆客车同时从两地相对开出，2.5小时后两车相遇，已知货车的速度是客车的1.3倍，货车和客车每小时各行多少千米？（列方程解答）
23．、两地间的路程是425千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，经过2.5小时两车相遇。甲车平均每小时行83千米，乙车平均每小时行多少千米？（列方程解答）
24．一辆快车与一辆慢车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，2.5时后两车相遇。
（1）根据题中信息，画出示意图。
（2）相遇时，快车比慢车多行了20千米。已知快车每时行68千米，则慢车每时行多少千米？（用方程解）
25．王叔叔去商店买了6套衣服，一共用了528元，一条裤子38元，一件上衣多少元？（用方程解答）
26．2022年6月，中国第三艘航空母舰福建舰正式下水，满载排水量约8万吨，比中国第一艘航空母舰辽宁舰满载排水量多，辽宁舰的满载排水量约为多少万吨？
27．某单位10、11月份两个月一共用电1680度，已知11月份的用电量是10月份的。10
月份用电多少度？（列方程解答）
28．故宫博物院的面积是72万平方米，比天安门广场面积的2倍少16万平方米。天安门广场的面积是多少万平方米？（列方程解答）
29．两个修路队合修一条长2700米的路，甲队每天修150米，乙队每天修120米。两个修路队修完这条路需要多少天？（列方程解答）
30．学校电脑房要配置6个新鼠标和6个新键盘，一共用去682.8元。每个鼠标45元，每个键盘多少元？（列出两种不同的方程解答）
31．明德小学和希望小学共有1000名学生。如果从希望小学转150名学生到明德小学，那么此时明德小学的学生人数比希望小学人数的3倍还多100人。原来两校各有学生多少人？
32．学校买来20个篮球和30个足球，共用去4600元，一个篮球比一个足球便宜20元。篮球和足球的单价分别是多少？
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【分析】根据等式的性质分别求出各选项中各个方程的解即可。
【解答】解：7x+7＝21
7x+7﹣7＝21﹣7
7x÷7＝14÷7
x＝2
3x﹣2＝8
3x﹣2+2＝8+2
3x÷3＝10÷3
x＝
2x﹣3＝5
2x﹣3+3＝5+3
2x÷2＝8÷2
x＝4
3×2x﹣5＝66
6x﹣5＝66
6x﹣5+5＝66+5
6x÷6＝71÷6
x＝
故选：A。
【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等。
2．【分析】用减去，计算解答即可。
【解答】解：
答：与正确答案相差19。
故选：。
【点评】熟练掌握乘法分配律以及四则混合运算的方法是解题的关键。
3．【分析】在三个选项中，依据等式的性质可得：中，中，中，所以三个选项中，中方程的解的数值最大。
【解答】解：中，中，中，
因为，，
所以三个选项中，中方程的解的数值最大。
故选：。
【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数除外），两边仍相等。
4．【分析】设这个数是，这个数的2倍是，再加上5是，所以列方程正确的是：。
【解答】解：一个数的2倍加上5，和是25，求这个数。列方程正确的是：。
故选：。
【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程，要熟练掌握，解答此题的关键是弄清楚题中的各个量之间的数量关系。
5．【分析】根据等式的性质，两边同时除以6，求出方程的解即可。
【解答】解：
所以，则方程只有一个解：。
故选：。
【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数除外），两边仍相等。
6．【分析】含有未知数的等式叫做方程。据此判断。
【解答】解：，含有未知数，且是等式，所以是方程；
，含有未知数，但不是等式，所以不是方程；
，含有未知数，且是等式，所以是方程。
故选：。
【点评】熟练掌握方程的概念是解题的关键。
7．【分析】方程是指含有未知数的等式；所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。据此解答。
【解答】解：方程有①、④，共2个。
故选：。
【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程。
8．【分析】根据数量关系：鸭的只数的2倍只鸡的只数，据此解答即可。
【解答】解：根据图中的等量关系列出的方程是。
故选：。
【点评】本题考查根据数量关系列出方程。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
二．填空题（共8小题）
9．【分析】利用等式的性质，分别计算出方程和方程的解即可。
【解答】解：
答：当时，的结果是1；方程的解是。
故答案为：0.4；3.2。
【点评】本题考查了方程的解法，解题过程要利用等式的性质。
10．【分析】利用等式的性质，分别求出两个方程的解，然后进行比较即可。
【解答】解：
故答案为：小。
【点评】此题考查的目的是理解掌握利用等式的性质解方程的方法及应用。
11．【分析】分别求出甲乙行驶的路程，甲行驶的路程是千米，乙行驶的路程是千米，然后加在一起即可。
【解答】解：（千米）
答：、两地相距。
故答案为：。
【点评】本题运用路程、速度、时间之间的关系分别表示出路程，进一步求出总路程即可。
12．【分析】根据等式的基本性质，方程两边同时减去6，两边再同时除以2，求出的值，把的值代入，计算即可。
【解答】解：
把代入，得：
故答案为：56。
【点评】熟练掌握等式的基本性质以及代入求值法是解题的关键。
13．【分析】（1）根据等式的基本性质，在等式两边同时减3，就可以得到的值；
（2）根据等式的基本性质，在等式两边同时除以0.5，就可以得到的值．
【解答】解：（1）
，
解方程时，可以在等式两边同时减3，就可以得到；
（2）
，
解方程时，可以在等式两边同时除以0.5，就可以得到．
故答案为：同时减3，1；同时除以0.5，8．
【点评】此题考查了根据等式的性质解方程，即方程两边同加、同减、同乘或同除以某数除外），方程的左右两边仍相等；注意“”号上下要对齐．
14．【分析】把代入方程，得，两边再同时减去16，然后两边再同时除以3即可得解。
【解答】解：把代入方程，得；
故答案为：18。
【点评】熟练掌握代入法和等式的基本性质是解题的关键。
15．【分析】表示两个数或两个代数式相等关系的式子叫做等式；含有未知数的等式叫方程。据此判断。
【解答】解：在，，，，中，等式有，，；方程有，。
故答案为：，，；，。
【点评】明确等式与方程的意义是解题的关键。
16．【分析】等式两边加上同一个数，等式两边仍然相等，据此解答即可。
【解答】解：如果，根据等式的性质，那么。
故答案为：8。
【点评】本题主要考查了等式的基本性质，需要学生熟记并灵活运用。
三．计算题（共2小题）
17．【分析】（1）根据等式的基本性质，两边同时减去6.7，再同时除以5.5即可；
（2）先算2.8+3.6＝6.4，根据等式的基本性质，两边同时减去6.4即可；
（3）先算3.5x﹣0.8x＝2.7x，根据等式的基本性质，两边同时除以2.7即可；
（4）先算27.54÷2.7＝1.02，根据等式的基本性质，两边同时加上1.02，再同时除以8即可。
【解答】解：（1）5.5x+6.7＝7.8
5.5x+6.7﹣6.7＝7.8﹣6.7
5.5x＝1.1
5.5x÷5.5＝1.1÷5.5
x＝0.2
（2）2.8+x+3.6＝20
6.4+x＝20
6.4+x﹣6.4＝20﹣6.4
x＝13.6
（3）3.5x﹣0.8x＝11.34
2.7x＝11.34
2.7x÷2.7＝11.34÷2.7
x＝4.2
（4）8x﹣27.54÷2.7＝1.8
8x﹣10.2＝1.8
8x﹣10.2+10.2＝1.8+10.2
8x＝12
8x÷8＝12÷8
x＝1.5
【点评】解答方程要把能先算出的部分算出来，再观察方程的特点，再灵活选用等式的性质计算。
18．【分析】（1）方程的两边先同时乘x，然后两边同时除以3；
（2）先化简x﹣0.2x，然后方程的两边同时除以（1﹣0.2）的差；
（3）方程的两边先同时减去11，然后两边同时除以4；
（4）方程的两边先同时除以3，然后两边同时减去2。
【解答】解：（1）39÷x＝3
39÷x×x＝3×x
3x÷3＝39÷3
x＝13
（2）x﹣0.2x＝32
0.8x＝32
0.8x÷0.8＝32÷0.8
x＝40
（3）4x+11＝35.4
4x+11﹣11＝35.4﹣11
4x÷4＝24.4÷4
x＝6.1
（4）3（x+2）＝10.08
3（x+2）÷3＝10.08÷3
x+2﹣2＝3.36﹣2
x＝1.36
【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等。
四．解答题（共14小题）
19．【分析】根据题意，这道题的等量关系是：杨树的棵数松树的棵数，根据这个等量关系，列方程解答。
【解答】解：设公园里有杨树棵。
答：公园里有杨树150棵。
【点评】本题考查列方程解应用题，解题关键是找出题目中的等量关系：杨树的棵数松树的棵数，列方程解答。
20．【分析】根据题意，设六年级坐了排；根据题意可得：（五年级坐的排数六年级坐的排数）每排坐的人数总人数，据此列出方程进行解答。
【解答】解：设六年级坐了排，根据题意可得：
答：六年级坐了28排。
【点评】列方程解决实际问题，关健是根据题意设出未知数，找出等量关系，然后再列出方程进行解答。
21．【分析】设东西两镇相距千米，甲车行驶的路程加上乙车行驶的路程等于东西两镇的距离，据此列方程解答即可。
【解答】解：设东西两镇相距千米。
答：东西两镇相距120千米。
【点评】本题考查列方程解决实际问题，明确等量关系：甲车行驶的路程加上乙车行驶的路程等于东西两镇的距离是解题的关键。
22．【分析】相遇时两车行的路程和就是两地之间的距离，根据相遇问题的数量关系式：（客车速度货车速度）相遇时间路程，列方程解答。
【解答】解：设客车每小时行千米，货车每小时行千米。
（千米）
答：货车每小时行52千米，客车每小时行40千米。
【点评】本题考查列方程解应用题，解题关键是找出题目中的等量关系：（客车速度货车速度）相遇时间路程，列方程解答。
23．【分析】设乙车每小时行千米，根据题意可得等量关系式：速度和相遇时间、两地的距离，列方程解答即可。
【解答】解：设乙车平均每小时行千米。
答：乙车平均每小时行87千米。
【点评】本题考查了用方程解决相遇问题，明确题目中的等量关系是解题的关键。
24．【分析】（1）画一条线段表示甲、乙两地的距离。两车2.5小时行完全程，标出相遇点，并标出甲比乙多行的路程。
（2）用20除以2.5就得快车比慢车每小时多行的路程，用快车速度减去每小时多的路程就得慢车的速度。
【解答】解：（1）示意图如下：
（2）设慢车每小时行千米，可得，
答：慢车每时行60千米。
【点评】明确相遇问题数量间的关系是解决本题的关键。
25．【分析】根据题意可知，每套衣服的价格×6＝528元，设一件上衣x元，据此列方程解答。
【解答】解：设一件上衣x元。
（38+x）×6＝528
（38+x）×6÷6＝528÷6
38+x＝88
38+x﹣38＝88﹣38
x＝50
答：一件上衣50元。
【点评】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，设出未知数，由此列方程解答。
26．【分析】根据题意可得等量关系式：福建舰的排水量辽宁舰的排水量，然后列方程解答即可。
【解答】解：辽宁舰的满载排水量约为万吨。
答：辽宁舰的满载排水量约为6万吨。
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为，由此列方程解决问题。
27．【分析】设10月份用电度，则11月份的用电量为度，两个月合起来共1680度，据此列方程解答。
【解答】解：设10月份用电度，则11月份的用电量为度。
（度
答：10月份用电1050度。
【点评】利用列方程解决问题的关键是找准题目中的等量关系。
28．【分析】由题意可以得到数量关系：天安门广场的面积故宫的面积，设出天安门广场的面积，依据得到的等量关系，即可列出符合题意的方程。
【解答】解：设天安门广场的面积是万平方米。
答：天安门广场的面积44万平方米。
【点评】解答此题的关键是：依据题意，把一倍的量设为未知数，然后找出等量关系，即可列出方程。
29．【分析】设两个修路队修完这条路需要天，列出方程，解出方程即可。
【解答】解：设两个修路队修完这条路需要天。
答：两个修路队修完这条路需要10天。
【点评】解答本题关键是理解和运用工作量工作效率时间。
30．【分析】（1）根据“单价数量总价”，可列等量关系式：鼠标的数量鼠标的单价键盘的数量键盘的单价总价，设每个键盘元，据此列方程解答。
（2）根据“单价数量总价”，可列等量关系式：键盘的数量键盘的单价总价标的数量鼠标的单价，设每个键盘元，据此列方程解答。
【解答】解：（1）设每个键盘元。
答：每个键盘68.8元。
（2）设每个键盘元。
答：每个键盘68.8元。
【点评】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。
31．【分析】根据题意可知，明德小学的人数希望小学的人数人，设希望小学转出150人后还有人，则明德小学现在有人，据此列方程解答。
【解答】解：设希望小学转出150人后还有人，则明德小学现在有人。
（人
（人
答：希望小学原来有375人，明德小学原来有625人。
【点评】此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为，另一个未知数用含的式子来表示，进而列并解方程即可。
32．【分析】根据“20个篮球和30个足球，共用去4600元”，可以提炼出这道题的等量关系是：篮球的单价足球的单价，根据这个等量关系，列方程解答。
【解答】解：设一个足球元。
（元
答：篮球的单价是80元，足球的单价是100元。
【点评】本题考查列方程解应用题，解题关键是找出题目中的等量关系：篮球的单价足球的单价，列方程解答。

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