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第9讲 因数和倍数（提高版）
1、因数和倍数。
如果数a能被数b整除(b≠0),a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数. 一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身. 一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数. 因数和倍数是相互依存的。
2、2.3.5的倍数数的特征。
2的倍数数的特征: 个位上是0,2,4,6,8,
5的倍数数的特征: 个位上是0或5
3的倍数数的特征: 各个位上的数字的和能被3整除
能同时被2,5整除的数的特征: 个位是0
能同时被2,3,5整除的数的特征: 个位是0,而且各个位上的 数字的和能被3整除。
3、偶数和奇数。
一个自然数,不是奇数就是偶数
偶数:能被2整除的数叫做偶数
奇数:不能被2整除的数叫做偶数
最小的偶数:0
最小的奇数:1
偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数 偶数-奇数=奇数 偶数×偶数=偶数 奇数×奇数=奇数 偶数×奇数=偶数
4、质数与合数。
质数:只有1和它本身两个因数
合数:除了1和它本身还有别的因数
1既不是质数也不是合数
最小的质数:2 最小的合数:
5、最大公因数和最小公倍数。
公因数,最大公因数: 几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数;其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
公倍数,最小公倍数: 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
互质数:公因数只有1的两个数叫做互质数。
互质数的几种特殊情况:
两个数都是质数,这两个数一定互质。
相邻的两个数互质。
1和任何数都互质。
6、求最大公因数和最小公倍数的方法。
如果较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公因数;较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数互质,它们的最大公因数就是1;最小公倍数就是它们的积。
一．选择题（共10小题）
1．正方形的边长是奇数，它的周长一定是　　
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．无法确定
2．6的所有因数是1、2、3、6，这几个因数之间的关系是，像这样的数叫做完全数（也叫完美数）。下面的数中　　是完全数。
A．24 B．28 C．36 D．49
3．古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加的和，这个数就是“完全数”。例如：6的四个因数是1、2、3、6，除本身6以外，，所以6是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是　　
A．28 B．20 C．16
4．小明妈妈今年的年龄既是70的因数，又是5的倍数，她今年是　　岁。
A．20 B．35 C．45 D．50
5．在100以内的数中，既是4的倍数，又是6的倍数的有　　个。
A．4 B．6 C．8 D．10
6．如图的方法表示两个数的公因数，这两个数分别是　　
A．9，12 B．18，12 C．9，18 D．18，24
7．如果是的因数，那么与的最大公因数是　　。
A． B． C．
8．要把：化成最简整数比，比的前项和后项可以同时乘（　　）
A．12和15的最大公因数 B．5和1的最小公倍数
C．12和15的最小公倍数 D．除0以外的相同数
9．著名的哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”。这个猜想的内容是“任意一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和”。下面的算式中符合这个猜想的是　　
A． B． C．
10．下面分解质因数正确的是　　
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．100以内最大的奇数是 　　；中所有奇数的和是 　　（填“奇数”或“偶数” 。
12．在26、12和13这三个数中，　　是 　　的倍数，　　是 　　的因数。
13．一个数既是6的倍数，又是24的因数，这个数最小是 　 　，最大是 　 　。
14．一个数既是6的倍数，又是24的因数，这个数可能是 　　或 　　。
15．同时是2，3，5的倍数的数中最小的两位数是　 　，最大的三位数是　 　．
16．18的因数有 　　，24的因数有 　　，18和24的公因数有 　　，最大公因数是 　　。
17．、是不为0的自然数，，和的最大公因数是　 　，最小公倍数是　 　．
18．3和5的最大公因数是 　　；6和9的最小公倍数是 　　。
19．在中，质数是 　　，合数是 　　，既是奇数又是合数的是 　　，既是偶数又是质数的是 　　，　　既不是质数又不是合数。
20．一个两位数，个位上的数字是最小的合数，十位上的数字是最小的质数，把这个数分解质因数是 　　。
三．计算题（共3小题）
21．用短除法求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
16和12 14和28 20和30
22．按要求解答。
①求最大公因数 ②求最小公倍数
52和78 24和18
23．求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。
2和5 4和6 7和49
四．解答题（共11小题）
24．李老师家的电话号码是八位数，从高位到低位排列依次是：既是2的倍数又是3的倍数的最小一位数；最小的质数：最小的合数：既不是质数也不是合数：小于10的最大合数：最大的一位数：最小的奇数和8的最大约数。请你猜一猜，李老师家的电话号码是多少？这个数是质数还是合数？
（1）李老师家电话号码是：
　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　
（2）这个数是：　　 “质数”或“合数” 。
25．从下面四张数字卡片中取出三张，按要求组成三位数．（每种只组一个）
（1）奇数：　 　；偶数：　 　；
（2）同时是2、5、3的倍数：　 　．
26．图中“336”表示3是36的因数，用“”表示图中各数之间的关系．
27．75名同学参加团体操表演。如果要求每排人数必须相等，并且每排不能少于10人，不能多于30人，那么符合要求的队列一共有几种？
28．学校图书馆购进一批图书。其中故事书256本，科技书比故事书的2倍少15本。图书馆购进科技书多少本？
29．数学辩论题．
观察下面的数学现象：3与5互质，5与8互质，3与8也互质；4与7互质，7与9互质，4与9也互质正方：根据上述现象，可得出这样一个结论：若与互质，与互质，则与一定互质．
你（作为反方）是否认同正方观点？如果不同意，请举例予以辩论．
30．自主探索。
任何一个大于1的整数，要么是一个质数，要么是若干个质数的乘积。
（1）认真阅读学习材料，照样子把下面整数写成几个质数相乘的形式。
　　　　　　　　　　
（2）有人把质数称为自然数的“数根”，广泛应用于金融、密码及网络安全技术中，生活中的一些问题也常常用这样的方法来解决：
王奶奶要给三位年龄不同的小朋友过生日，已经知道他们的年龄乘积是693。三位小朋友的年龄分别是多少岁？
31．某电器举办“五周年店庆”抽奖活动，浩浩分到了一张抽奖券。请根据下面的描述，猜一猜，浩浩的抽奖号码是 　　。
这个抽奖号码是一个四位数，最高位上的数字含有因数2和3的一位数，百位上的数字是10以内最大的质数，十位上的数字是最小的合数，个位上的数字既不是质数也不是合数。
32．王老师记得之前给密码锁设置的密码是“2□7□”，他还记得自己设置的这个四位数密码既是5的倍数，又是3的倍数。为了打开锁，他最多需要试几次？为什么？
33．幼儿园有76个小朋友，如果每2个小朋友分成一组，有没有多余的？如果每5人分成一组，有没有多余的？为什么？
34．元旦前，同学们互相送贺年片，如果每人接到贺年片后，要回送一张贺年片，问所送贺年片的总数是单数还是双数？
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【分析】正方形的周长边长，据此可知无论正方形的边长是奇数还是偶数，它的周长都是4的倍数，也就一定是2的倍数，所以一定是偶数；据此还可以根据它的周长是4的倍数，断定这个数也一定是合数，因为除了1和它本身至少还有4这个因数．
【解答】解：因为正方形的周长边长
所以它的周长一定是偶数，也一定是合数．
故选：．
【点评】此题考查了奇数和偶数的初步认识，明确偶数、合数的意义是解决此题的关键．
2．【分析】由题目可知，如果一个自然数等于它的全部因数（不包括本身）的和，这样的数叫“完美数“。依照“完美数”的概念，可先列举出28的所有因数，并通过求和的方法来验证。
【解答】解：因为28的因数有：1、2、4、7、14、28，这几个因数的关系是：。所以28是完美数。
故选：。
【点评】通过题目举例，能够初步理解“完美数”的含义，运用因数的知识进行解答，其中的易错点在于相加的因数不包括这个数本身。
3．【分析】先分别找出这三个数的因数，然后把它的所有因数（本身除外）相加，从而找出哪个数是“完全数”。
【解答】解的因数有1，2，4，7，14，28。，所以28是“完全数”。
的因数有1，2，4，5，10，20。，所以20不是“完全数”。
的因数有1，2，4，8，16。，所以16不是“完全数”。
故选：。
【点评】理解“完全数”的意义是解决此题的关键。
4．【分析】由题意先求出70的因数，找的选项中符合70的因数的即可得解。
【解答】解：70的因数有1，2，5，7，10，14，35，70，
选项中都是5的倍数，只有选项是70的因数。
故选：。
【点评】明确要求的问题是70以内70的因数并且是5的倍数是解题的关键。
5．【分析】先求出4和6的最小公倍数，再一次扩大2倍、3倍、4倍直到倍数接近100而小于100，数出一共有几个即可。
【解答】解：4和6的最小公倍数是12
在100以内的数中，既是4的倍数，又是6的倍数的有8个。
故选：。
【点评】本题考查公倍数和最小公倍数的计算。掌握求最小公倍数的方法是解决本题的关键。
6．【分析】根据一个数的最大的因数是它本身，分别找出两部分中最大的数，就是所求的数。
【解答】解：这两个数分别是18和24。
故选：。
【点评】本题主要考查求两个数的公因数的方法，关键是利用“一个数的最大的因数是它本身”做题。
7．【分析】成倍数关系的两个数与，较小数是两个数的最大公因数。
【解答】解：因为是的因数，和是倍数关系，是较大数，是较小数，与的最大公因数是。
故选：。
【点评】本题是一道有关公因数和最大公因数的题目。
8．【分析】分数比的化简是把比的前项和后项同时乘它们的分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简。要把：化成最简整数比，比的前项和后项可以同时乘分母的最小公倍数。
【解答】解：要把：化成最简整数比，比的前项和后项可以同时乘12和15的最小公倍数60。
：＝：＝25：4
故选：C。
【点评】熟悉分数化简的方法是解决本题的关键。
9．【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。根据质数的意义，先判断等号右面的两个数是不是质数，再进行选择。
【解答】解：．1既不是质数也不是合数，7是质数，所以不符合这个猜想。
．17是质数，19是质数，所以符合这个猜想。
．3是质数，57是合数，所以不符合这个猜想。
故答案为：。
【点评】判断一个数是质数还是合数，关键看它含有的因数的个数。质数只有两个因数，合数至少有三个因数。
10．【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。
【解答】解：，所以原题错误；
，所以原题错误；
，所以原题错误；
，所以原题正确。
故选：。
【点评】熟练掌握合数分解质因数的方法是解题的关键。
二．填空题（共10小题）
11．【分析】根据质数和合数的含义解决本题，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有其它因数，这样的数叫做合数；由此分别找出100以内的最大质数从90开始找，进而找出100以内最大的质数，中有50个奇数，50个偶数，偶数个奇数相加的和是偶数，据此解答。
【解答】解：100以内最大的奇数是97；中所有奇数的和是偶数。
故答案为：97，偶数。
【点评】本题主要考查质数合数的意义，注意平时基础知识的积累。
12．【分析】据因数和倍数的意义：如果数能被数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数；可知因数和倍数是相对而言，不能单独存在；进而判断即可。
【解答】解：因为，所以26是13的倍数，13是26的因数。
故答案为：26，13。
【点评】此题考查了因数和倍数的意义，应注意灵活运用。
13．【分析】根据“一个数的最大的因数是它本身”可得：这个数最大是24；根据“一个数最小的倍数是它本身”可得：这个数最小是6。
【解答】解：一个数既是6的倍数，又是24的因数，这个数最小是 6，最大是 24。
故答案为：6，24。
【点评】解答此题应明确：一个数的最大的因数是它本身，一个数最小的倍数是它本身。
14．【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数，据此解答。
【解答】解：24（包括以内6的倍数有：6、12、18、24，因为18不是24的因数，所以一个数既是6的倍数，又是24的因数，这个数可能是6、12。
故答案为：6，12。
【点评】题考查的目的是理解因数与倍数的意义，掌握求一个数的因数和求一个数的倍数的方法。
15．【分析】（1）互质数的最小公倍数是它们的乘积，2、3、5三个数两两互质，所以它们的最小公倍数是它们的乘积，据此求出最小两位数．
（2）要想是最大的三位数百位上应是9，然后要先满足个位上是0，才能既是2的倍数又是5的倍数，即个位上是0，百位上是9的数，这时，十位上要加上最大的满足是3的倍数的一位数，即，就满足是3的最大的倍数，据此写出能同时是2、3、5倍数的最大的三位数．
【解答】解：，
能同时被2、3、5整除的数中，最大的三位数的末尾应当是0，前两位应当是最大的自然数9，即990，恰好能被3整除．
所以能同时被2、3、5整除的数中，最小的两位是30，最大的三位数是990．
故答案为：30，990．
【点评】本题主要考查2，3，5倍数的特征，注意要想是最小的三位数百位上应是1，要想是最大的三位数百位上应是9．
16．【分析】首先找一个数的因数，可以一对一对的找，把18和24分别写出两个数的乘积，然后每一个乘积中的因数都是它们的因数，再写出18和24的公因数和最大公因数是多少即可。
【解答】解：因为，所以18的因数有：1、2、3、6、9、18；
因为，所以24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；
所以18和24的公因数有：1、2、3、6，最大公因数是6。
即：18的因数有1、2、3、6、9、18，24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，18和24的公因数有1、2、3、6，最大公因数是6。
故答案为：1、2、3、6、9、18；1、2、3、4、6、8、12、24；1、2、3、6；6。
【点评】此题考查了找一个数的因数和找两个数的公因数、最大公因数的方法，要熟练掌握。
17．【分析】因为，得出和是相邻的两个非0自然数，即这两个数是互质数，根据是互质数的两个数，最大公约数是1，最小公倍数是这两个数是乘积，解答即可．
【解答】解：和都是非零自然数，如果，那么和的最大公因数是1，最小公倍数是；
故答案为：1，．
【点评】解答此题的关键是：根据求几个数的最大公约数和最小公倍数的方法进行解答即可．
18．【分析】求两数的最大公因数和最小公倍数，就看两个数之间的关系，两个数互质，则最大公因数是1，先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数。
【解答】解：3和5两个数互质，所以3和5的最大公因数是1；
所以6和9的最小公倍数是。
故答案为：1，18。
【点评】熟练掌握求两个数最大公因数和最小公倍数的方法是解决此题的关键。
19．【分析】合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数；质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数；数的末尾有1，3，5，7，9的数是奇数；偶数是指数的末尾有0，2，4，6，8的数，据此定义解答。
【解答】解：在中，质数是 2、3、5、7，合数是 4、6、8、9、10，既是奇数又是合数的是 9，既是偶数又是质数的是 2，1既不是质数又不是合数。
故答案为：2、3、5、7；4、6、8、9、10；9；2；1。
【点评】在自然数中，注意特殊的数2既为偶数，同时也为质数。
20．【分析】在自然数中，除了1和它本身外还有别的因数的数为合数；除了1和它本身外，没有别的因数的数是质数，则最小的合数是4，最小的质数是2，这个数是24，然后根据分解质因数的方法解答即可。
【解答】解：一个两位数，个位上的数字是最小的合数，十位上的数字是最小的质数，这个数是24；
。
故答案为：。
【点评】明确质数与合数的意义以及分解质因数的方法是解题的关键。
三．计算题（共3小题）
21．【分析】用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时，从两个数公有的最小质因数除起，一直除下去，直到除得的两个商互质为止。
【解答】解：
所以16和12的最大公因数是，最小公倍数是；
所以14和28的最大公因数是，最小公倍数是；
所以20和30的最大公因数是，最小公倍数是。
【点评】熟练掌握用短除法求最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。
22．【分析】先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。
【解答】解：①
所以52和78的最大公因数是；
②
所以24和18的最小公倍数是。
【点评】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数。
23．【分析】两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数；先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。
【解答】解：2和5互质，所以2和5的最大公因数是1，最小公倍数是；
所以4和6的最大公因数是2，最小公倍数是；
因为，所以7和49的最大公因数是7，最小公倍数是49。
【点评】熟练掌握求两个数最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。
四．解答题（共11小题）
24．【分析】既是3的倍数，也是2的倍数的一位数是6，最小的质数是2；最小的合数是4，既不是质数，也不是合数的数是1；最大的一位数9；既是合数，也是奇数是9；最小的奇数是1，8的最大因数是8，据此解答。
【解答】解：（1）李老师家的电话号码是八位数，从高位到低位排列依次是：既是2的倍数又是3的倍数的最小一位数是6；最小的质数是2，最小的合数是4，既不是质数也不是合数的数是1，小于10的最大合数是9：最大的一位数是9：最小的奇数是1，8的最大约数是8，李老师家的电话号码是62419918。
（2）这个数是一个合数。
故答案为：62419918；合数。
【点评】此题主要考查根据质数、合数、奇数、偶数的意义：自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数；除了1和它本身外，还含有其它因数的数是合数。
25．【分析】能被2整除的数为偶数，不能被2整除的数为奇数．所以偶数个位数必一定是偶数，奇数的个位数一定是奇数，则奇数可为875，偶数可为758；能被2、3、5整除的数个位必为零，且各位上的数字相加是3的倍数，所以同时是2、5、3的倍数可为870．
【解答】解：根据偶数与奇数的定义与能同时被2、3、5整除的数特征可知，由8、7、0、5可组成的三位数：
（1）奇数：875；偶数：758；
（2）同时是2、5、3的倍数：870；
故答案为：875，758，870．
【点评】本题主要考查了学生对于奇数与偶数定义的理解．
26．【分析】根据题意可知：3是36的因数，3是18的因数，3是6的因数，6是18的因数，6是36的因数，18是36的因数；进而用箭头画出即可．
【解答】解：如图，
【点评】此题考查了因数和倍数的意义．
27．【分析】由题意，把75拆成2个因数的积，要求每排人数必须相等，而且每排不能少于10人，也不能多于30人，即75的一个因数应大于10小于30，找出符合要求的因数，有几组就有几种排列；据此解答。
【解答】解：
由于每排人数必须相等，并且每排不能少于10人，不能多于30人，所以每排人数可以为25或15。
答：符合要求的队列一共有2种。
【点评】根据题意，把75拆成2个因数的积，从而找出符合要求的因数是解答此题的关键。
28．【分析】用故事书的本数乘2，再减去15本，可以计算出图书馆购进科技书多少本。
【解答】解：
（本
答：图书馆购进科技书497本。
【点评】本题考查表内乘法的应用，理解求几个相同加数的和用乘法计算，求两个数的和用加法计算。
29．【分析】若与互质，与互质，则与不一定互质，并举例说明即可．
【解答】解：若与互质，与互质，则与不一定互质，
例如：3与5互质，5与9互质，但3与9不互质，3和9的公因数有：1、3．
【点评】此题主要考查了合数与质数的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：若与互质，与互质，则与不一定互质．
30．【分析】（1）分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解；
（2）把693分解质因数即可解答。
【解答】解：（1）
（2）
所以三位小朋友的年龄分别是（岁、7岁、11岁。
答：三位小朋友的年龄分别是9岁、7岁、11岁。
故答案为：2，13；3，5，7。
【点评】根据题中提供的信息，把合数分解质因数即可解答。
31．【分析】含有因数2和3的一位数是6，10以内最大的质数是7，最小的合数是4，1既不是质数也不是合数。据此写数。
【解答】解：某电器举办“五周年店庆”抽奖活动，浩浩分到了一张抽奖券。请根据下面的描述，猜一猜，浩浩的抽奖号码是6741。
故答案为：6741。
【点评】本题考查了因数、质数、合数是意义，要根据题干中的描述准确分析出符合条件的数字。
32．【分析】这个四位数是5的倍数，所以可能是2□70或2□75，只要保证百位上的数加上其它数位上的数加在一起的和是3的倍数即可解答。
【解答】解：这个四位数是5的倍数，末尾只能是0或者5；
又是3的倍数，当个位上的数是5时，，则百位上可以是1、4、7；
当个位上的数是0时，，则百位上可以是0、3、6、9；
所以说最多需要试试、：（次
答：他最多需要试7次。因为密码可能是2070、2370、2670、2970、2175、2475、2775。
【点评】本题考查了3和5的倍数特征，熟记3和5的倍数特征是解决本题的关键。
33．【分析】要使每组没有多余，那么76应是每组人数的倍数，判断出76是不是2或者5的倍数即可求解．
【解答】解：76的个位是6，所以76是2的倍数，不是5的倍数；
那么如果每2个小朋友分成一组，没有多余的，如果每5人分成一组，有多余的．
【点评】解决本题关键是熟练掌握2、5的倍数的特征．
34．【分析】据题意可知，如果共有名学生，那么每位学生会收到卡片（因为自己不会送自己），那么全班会共送出张，如果偶数的话，为奇数，如果奇数的话，为偶数，偶数奇数偶数，所以，所送贺年片的总数肯定为双数．
【解答】解：设共有名学生，则：
每位学生会收到卡片（因为自己不会送自己），那么全班会共送出张；
如果偶数的话，为奇数，如果奇数的话，为偶数，偶数奇数偶数，所以，所送贺年片的总数肯定为双数．
答：所送贺年片的总数是双数．
【点评】完成本题要明确偶数奇数偶数，奇数奇数奇数．

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