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第12讲 比（提高版）
1、比的意义。
两个数相除又叫做两个数的比。
“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
2、比与分数、除法的关系。
各部分名称以及相当的部分 区别
比 前项 比号 后项 比值 表示两个数之间的相除关系
除法 被除数 除号 除数 商 是一种运算
分数 分子 分数线 分母 分数值 是一个数，也表示两个量之间的关系
3、比的基本性质。
比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。
4、求比值和化简比。
求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。
5、按比例分配问题的解题方法。
（1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤：
a．求出总份数；
b．求出每一份是多少；
c．求出各部分相应的具体数量．
（2）转化成分数乘法来解答．解题步骤：
a．先根据比求出总份数；
b．再求出各部分量占总量的几分之几；
c．求出各部分的数量．
6、按比例分配问题常用解题方法的应用。
（1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量；
（2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量。
一．选择题（共8小题）
1．如果A：B＝，那么（A×9）：（B×9）＝（　　）
A．1 B． C．2 D．81
2．如果一个等腰三角形的边长都是自然数，其中两条边的长度比是2：5，那么它的周长不可能是（　　）
A．12cm B．9cm C．36cm
3．在一张长方形纸上剪下一个最大的正方形，得到一个正方形和一个小长方形，这时，小长方形面积刚好是正方形面积的一半，原来大长方形面积和正方形面积的比是　　
A． B． C．
4．美术课上折花，奇奇需要小时，妙妙需要小时。奇奇和妙妙折花的效率之比是　　
A． B． C． D．无法确定
5．下面四个情境中，不能用表示的是　　
A．弟弟高，小明高，弟弟与小明的身高比
B．一袋大米，已经吃了，吃了的大米与剩下的比
C．龟兔赛跑中，乌龟2分钟跑了3米，乌龟所行路程与时间的比
D．一个直角三角形其中一个锐角是，这个直角三角形两个锐角的度数比
6．两辆汽车的速度比是，行驶的时间比是，那么两辆汽车行驶的路程比是　　
A． B． C． D．
7．甲数和乙数的比是，乙数和丙数的比是，那么甲数和丙数的比是　　
A． B． C． D．
8．某衣物消毒液的使用说明为：将1瓶盖本品与3升水混合，将衣物浸泡15分钟后再正常洗涤。对说明中的“”错误的理解是　　。
A．1份的原液配50份水
B．如果放的原液就要配的水
C．水的体积是原液体积的50倍
D．水与稀释后的液体总体积比为
二．填空题（共8小题）
9．剪纸在我国有着非常悠久的历史。如果同时剪一幅相同的作品，王爷爷用了小时，李爷爷用了45分钟，王爷爷和李爷爷工作效率的最简整数比是 　 　，比值是 　 　。
10．要调制一杯360毫升的奶茶，其中奶与茶的比是，那么应准备 　　毫升茶。
11．某工厂12月份口罩的生产量与医用外科口罩的生产量之比是，则医用外科口罩的生产量是口罩的 　　。
12．六年级有400名同学，男女生人数的比是，则男生有 　　人，女生有 　　人。
13．2008年发射的神舟七号在太空停留3天；2022年4月，神州十三号载人飞船在太空停留183天后成功返回地面，创造了中国航天员连续在轨飞行时长新纪录。“神七”和“神十三”在太空停留的时间比是 　　，比值为 　　。
14．把化成最简单的整数比是 　　，比值是 　　。
15．的后项扩大到原来的4倍，要使比值不变，比的前项5应 　　。
16．把的后项扩大到原来的1000倍，要使比值不变，前项也应 　　，这是运用了 　　。
三．计算题（共2小题）
17．先将各比化成最简单的整数比，再求比值。
（1） （2）
（3） （4）
18．化简比与求比值。
（化简比） 吨：750千克（求比值）
四．解答题（共12小题）
19．甲乙两地相距450千米，现有一辆客车和一辆货车同时从两地面对面开出，经过3小时相遇。已知客车与货车的速度比是8：7，客车和货车每小时各行多少千米？
20．学校买来270本图书，把图书总数的分给六年级后，再把剩下的图书按的数量比分给五年级和四年级。六年级、五年级和四年级分别分到多少本图书？
21．一批物资第一次运走了36吨，第二次运走了总物资的，剩下的物资与运走的物资的质量比是，这批物资原来共有多少吨？
22．一辆客车从甲地到乙地，第一天行驶了全程的，第二天行驶了450千米，这时已行路程和剩下路程的比是，甲、乙两地相距多少千米？
23．小明用一根192厘米长的铁丝焊了一个长方体框架，已知这个框架的长、宽、高的比是。则这个长方体框架的长、宽、高各是多少厘米？
24．工厂加工一批零件，第一天完成的零件个数与未完成的零件个数的比是，如果再加工300个，就可以完成这批零件的一半。这批零件共有多少个？
25．小李和小张两人同时录入一份文稿，已知两人的效率比为，完成任务时，小张比小李多录入1100个字，这篇文稿有多少个字？
26．王大爷想给家门口一块周长48米的长方形空地种上蔬菜，这块地长与宽的比为，请你帮王大爷算一下这块地的面积是多少平方米？
27．教育部出台了小学生睡眠管理的通知，明确要求小学生每天睡眠时间应达到10小时。王欢是一个六年级学生，她每天睡眠时间与其他时间比是。王欢每天的睡眠时间是否达到要求？
28．两列火车同时从两城相对开出，经6小时相遇，乙车与甲车的速度比是，已知乙车速度是每小时行驶60千米。
（1）甲车每小时行驶多少千米？
（2）两城相距多少千米？
29．六年级一班，原来有42个学生，其中男生占，后来又转进女生若干人，这时男生和女生人数的比是，转来女生多少人？
30．酸梅汤是夏季防暑去火的上佳饮品。林阿姨多次尝试，发现用60毫升的酸梅原汁和140毫升的水配制的酸梅汤口感最佳。现在林阿姨打算配制3600毫升同样口感的酸梅汤，需要酸梅原汁多少毫升？
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【分析】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。据此解答。
【解答】解：如果A：B＝，那么（A×9）：（B×9）＝
故选：B。
【点评】熟练掌握比的性质是解题的关键。
2．【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”的性质及等腰三角形的意义及三边长都是自然数，这个三角形的腰为5，底为2，三边之比是5：5：2。这个三角形的周长必须是（5+5+2）的倍数。
【解答】解：根据题意，这个等腰三角形的三边的比是5：5：2
5+5+2＝12
12÷12＝1，符合题意；
9÷12＝，不符合题意；
36÷12＝3，符合题意。
故选：B。
【点评】由于这个三角形的三边长均为自然数，因此，周长必须是各边比的各项之和的倍数。
3．【分析】根据题意，一张长方形纸上剪下一个最大的正方形，小长方形面积刚好是正方形面积的一半，原来大长方形面积就是小长方形面积的3倍，正方形面积是小长方形面积的2倍，据此解答即可。
【解答】解：因为小长方形面积刚好是正方形面积的一半，所以原来大长方形面积就是小长方形面积的3倍，正方形面积是小长方形面积的2倍，所以原来大长方形面积和正方形面积的比是。
故选：。
【点评】本题考查了图形的剪拼、长方形的面积及比的意义知识，结合题意分析解答即可。
4．【分析】把折花的工作量看作“1”，根据“工作效率工作量工作时间”即可分别求出奇奇和妙妙的工作效率，再根据比的意义即可写出二人的工作效率比，并化成最简整数比。
【解答】解：
答：奇奇和妙妙折花的效率之比是。
故选：。
【点评】此题主要考查了比的意义及化简。关键是根据工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系，求出二人的工作效率。
5．【分析】根据比的意义，分别写出四个选项中的比，然后即可作出选择。
【解答】解：、
弟弟高，小明高，弟弟与小明的身高比是；
、
一袋大米，已经吃了，吃了的大米与剩下的是；
、龟兔赛跑中，乌龟2分钟跑了3米，乌龟所行路程与时间的是；
、
一个直角三角形其中一个锐角是，这个直角三角形两个锐角的度数比是。
故选：。
【点评】此题考查了比的意义及化简。
6．【分析】把这两辆汽车的速度看作“6”、“5”，行驶的时间为“5”、“4”，根据“路程速度时间”，即可求出这两辆汽车所行驶的路程，再根据比的意义，即可写出两辆汽车行驶的路程比，再化成最简整数比。
【解答】解：
答：两辆汽车行驶的路程比是。
故选：。
【点评】此题考查了比的意义及化简。关键是掌握路程、时间、速度三者之间的关系。
7．【分析】根据比的基本性质，把甲、乙两数比的前、后项都3，乙丙两数比的前、后项都乘2，即可求出甲、乙、丙三数的连比，由此可得出甲、丙两数的比。
【解答】解：甲数和乙数的比
乙数和丙数的比
甲数、乙数和丙数的比
由此得出甲数和丙数的比是
故选：。
【点评】此题考查了比的意义及比的基本性质的应用。乙数作为桥梁，关键是把两个比中的乙数化成相同的数，然后求出三数的连比。
8．【分析】是指1份的原液与50份的水混合，即水是原液的50倍，稀释后的液体为。据此即可作出选择。
【解答】解：、是指1份的原液配50份水。原题说法正确；
、，如果放的原液就要配，即。原题说法正确；
、是指水的体积是原液体积的50倍。原题说法正确；
、水与稀释后的液体总体积比是，原题说法错误。
故选：。
【点评】关键是弄清中“1”、“50”所表示的意义。
二．填空题（共8小题）
9．【分析】要求王爷爷和李爷爷工作效率比，先把单位化统一，可以把小时换算成36分钟，再根据工作效率＝工作总量÷工作时间，写比并化简比求值即可解决。
【解答】解：小时＝36分钟
（1÷36）：（1÷45）＝：＝5：4＝
答：王爷爷和李爷爷工作效率的最简整数比是5：4，比值是。
故答案为：5：4，。
【点评】此题考查写比并化简比及求值，要注意：先把单位化统一后再写比，进而化简比求值。
10．【分析】奶与茶的比是，把奶看作4份，茶看作5份，则奶和茶一共是（份，由此求出1份，进一步求出奶和茶的数量即可。
【解答】解：
（毫升）
（毫升）
答：应准备200毫升茶。
故答案为：200。
【点评】也可以这样想，奶占奶和茶的，茶占奶和茶的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答即可。
11．【分析】把12月份口罩的生产量平均分成8份，医用外科口罩的生产量占其中的5份，用5除以8求医用外科口罩的生产量占口罩的生产量百分比即可。
【解答】解：
答：医用外科口罩的生产量是口罩的。
故答案为：62.5。
【点评】正确理解比的含义，是解答此题的关键。
12．【分析】把六年级总人数平均分成份，先用除法求出1份的人数，再用乘法分别求出13份（男生）、12份（女生）人数。
【解答】解：
（人
（人
（人
答：男生有208人，女生有192人。
故答案为：208，192。
【点评】此题考查了比的应用。此题除按上述解答方法外，也可分别求出男、女生人数所占的分率，再根据分数乘法的意义解答。
13．【分析】求神七”和“神十三”在太空停留的时间比，就是求3与183的比，再求出这个比的比值即可。
【解答】解：
答：神七”和“神十三”在太空停留的时间比是，比值为。
故答案为：，。
【点评】解答本题需明确：求两个数的比，其结果要化成最简整数比，求比值的结果是一个值。
14．【分析】（1）根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数除外）比值不变；
（2）用比的前项除以后项即可．
【解答】解：
故答案为：；。
【点评】注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。
15．【分析】比的前项和后项同时乘或除以相同的数除外），比值不变，据此解答。
【解答】解：的后项扩大到原来的4倍，要使比值不变，比的前项5应乘4。
故答案为：乘4。
【点评】熟练掌握比的基本性质是解题的关键。
16．【分析】根据比的基本性质，比的前项和比的后项同时乘或除以相同的数除外），比值不变，由此解答。
【解答】解：把的后项扩大到原来的1000倍，要使比值不变，前项也应扩大到原来的1000倍，这是运用了比的基本性质。
故答案为：扩大到原来的1000倍；比的基本性质。
【点评】关键是掌握并灵活运用比的基本性质。
三．计算题（共2小题）
17．【分析】根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数除外）比值不变；再用最简比的前项除以后项即可。
【解答】解：（1）
（2）
（3）
（4）
【点评】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数，小数或分数。
18．【分析】根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数除外）比值不变，进而把比化成最简比；用比的前项除以后项，所得的商即为比值。
【解答】解：
吨：750千克
千克：750千克
【点评】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。
四．解答题（共12小题）
19．【分析】根据“速度＝路程÷时间”，用甲乙两地的距离除以两车的相遇时间就是两车的速度之和。相遇时两车的速度之比就是所行的路程之比。把两车的速度之和平均分成（8+7）份，先用除法求出1份是多少千米，再用乘法分别求出8份、7份各是多少千米，即客车和货车每小时行的千米数。
【解答】解：450÷3÷（8+7）
＝150÷15
＝10（千米）
10×8＝80（千米）
10×7＝70（千米）
答：客车每小时行80千米，货车每小时行70千米。
【点评】关键明白：相遇时两车的速度之比就是所行的路程之比，再根据路程、时间、速度三者之间的关系求出两边的速度之和，然后再根据按比例分配问题解答。
20．【分析】先把总本数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用总本数乘就是分给六年级的本数；总本数减分给六年级的本数就是分给四、五年级的本数，把分配四、五年级的本数平均分成份，先用除法求出1份的本数，即分给四年级的本数，再用乘法即可求出5份的本数，即分给五年级的本数。
【解答】解：六年级：（本
（本
（本
答：六年级分到162本图书，五年级分到90本图书，四年级分到18本图书。
【点评】此题属于按比例分配问题，根据分数乘法的意义求出分给六年级的本数之后，除按上述解答方法外，也可分别求出分给四、五年级的本数占剩下本数的分率，再根据分数乘法的意义解答。
21．【分析】把这批货物的质量看作单位“1”，第一次运走了36吨，第二次运走了总质量，两次运走总质量了，则36吨占总质量的，根据分数（百分数）除法的意义，用36吨除以就是总吨数。
【解答】解：
（吨
答：这批物资原来共有120吨。
【点评】此题考查了比的应用。关键是把比转化成分数，进而求出36吨所占的分率（或百分率），再根据分数（或百分数）除法的意义解答。
22．【分析】把甲、乙两地的距离看作单位“1”，第一天行驶了全程的，第二天行了450千米，已行驶的路程占全程的，则450千米占全程的，根据分数除法的意义，用450千米除以进率就是全程。
【解答】解：
（千米）
答：甲、乙两地相距4500千米。
【点评】此题是考查比的应用。关键是把比转化成分数，进而求出450千米占全程的几分之几，再根据分数除法的意义解答。
23．【分析】根据长方体的特征，长方体的12条棱分3组，每组4条，长度相等，192厘米除以4就是一组的长度，即长方体的长、宽、高之和。把这个长方体的长、宽、高之和平均分成份，先用除法求出1份的长度，再用乘法分别求出5份、3份、4份的长度，即这个长方体框架的长、宽、高。
【解答】解：
（厘米）
（厘米）
（厘米）
（厘米）
答：这个长方体框架的长是20厘米，宽是12厘米，高是16厘米。
【点评】解答此题的关键是根据长方体的特征，求出这个长方体框架的长、宽、高之和，然后再根据按比例分配问题解答。求这个长方体框架的长、宽、高之和后，除按上述解答方法外，也可分别求出这个长方体框架的长、宽、高各占长、宽、高之和的几分之几，再根据分数乘法的意义解答。
24．【分析】把这批零件的个数看作单位“1”，第一天加工了这批零件的，再加300个，就是这批零件的，根据分数除法的意义，用300个除以，就是这批零件的个数。
【解答】解：
（个
答：这批零件共有1400个。
【点评】此题是考查比的应用。关键是把比转化成分数，进而求出300个占这批零件个数的几分之几，再根据分数除法的意义解答。
25．【分析】小李、小张两人的效率比为，即两人完成任务时，所录入的字数之比为。小张比小李多录入1100个字，小张比小李多录入了份，先用除法求每份的数字，再用1份的数字乘份，就是这篇文稿的字数。
【解答】解：
（个
答：这篇文稿有12100个字。
【点评】此题是考查比的应用。除按上述解答方法外，也可把总字数看作单位“1”，求出二人录入的字数的分率之差，再根据分数除法的意义解答。
26．【分析】先计算出长方形菜地长与宽的和，再根据按比分配的一般方法，把长与宽的和平均分成份，分别计算出这样的5份、3份是多少，再根据长方形面积公式“”解答即可。
【解答】解：（米
（米
（米
（平方米）
答：这块地的面积是135平方米。
【点评】本题主要考查了按比例分配应用题的特点以及解答规律，先求出总份数，用它作公分母，再分别求出各部分占总数的几分之几，然后根据一个数乘分数的意义，用乘法解答。
27．【分析】把一天的时间小时）看作单位“1”，她的睡眠时间占，根据分数乘法的意义，用一天的时间乘，就是她的睡眠时间，再根据计算结果用10小时进行比较，即可确定王欢每天的睡眠时间是否达到要求。
【解答】解：
（小时）
答：王欢每天的睡眠时间是达到要求。
【点评】此题是考查比的应用。关键是把比转化成分数，再根据分数乘法的意义，求出该同学每天的睡眠时间。
28．【分析】（1）已知乙车速度和乙车与甲车的速度比，可以计算出甲车的速度；
（2）由（1）可知甲车的速度，且两车相遇时间已知，根据关系式：两车速度和相遇时间路程，代入相应数据，即可解答。
【解答】（1）解：设甲车每小时行驶千米。
答：甲车每小时行驶90千米。
（2）
（千米）
答：两城相距900千米。
【点评】解答本题的关键是根据甲乙两车速度比，求出两车速度和，再运用关系式求出两城距离。
29．【分析】男生人数没变，看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用原来的人数乘，就是男生人数；又转进女生若干人，这时男生和女生人数占总人数的，根据分数除法的意义，用男生人数除以，就是此时的总人数，再用此时的总人数减原来的人数，就是转来的女生人数。
【解答】解：
（人
答：转来女生2人。
【点评】关键抓住男生人数没变，看作单位“1”，求出男生人数，再把比转化成分数，根据分数除法的意义，求出转来几名女生后的人数。
30．【分析】由信息“60毫升的酸梅原汁和140毫升的水配制酸梅汤，口感最佳”可知，酸梅与水的比是一定的，根据此列出方程解答。设需要酸梅毫升，那么水就有毫升，根据酸梅：水的比一定列出比例即可。
【解答】解：设需要酸梅毫升，那么水就有毫升。
2000
答：需要酸梅原汁毫升1080毫升。
【点评】解答此题关键找出酸梅的浓度不变，根据此列比例解答即可。

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