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第13讲 比例（提高版）
1、比例的意义。
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
2、比例的基本性质。
在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。
3、解比例。
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。
4、比例尺。
图上距离：实际距离=比例尺
要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。
线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。
单位换算：
在比例尺计算中要注意单位间的换算：1公里=1千米=1×1000米=1×100000厘米
图上用厘米，实地用千米，厘米换千米，去五个零；
千米换厘米，在千的基础上再加两个零．
5、按比例分配。
在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。
6、成正比例的量。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示y/x=k(一定）
7、成反比例的量。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
用字母表示x×y=k(一定)
8、正比例和反比例的区别。
判定方法 公式
正比例 1、两种相关联的量 2、比值一定 =k（一定）
反比例 1、两种相关联的量 2、积一定 xy=k（一定）
一．选择题（共8小题）
1．红红按照一定的比例把一张图片分别画出来，用　　个比例画出的图形最大。
A． B． C． D．
2．购买《小学生学习报》的份数和总价　　
A．成反比例 B．成正比例 C．不成比例
3．下面关系式　　中，与不成比例。
A． B． C． D．
4．下面的式子中，　　是比例。
A． B． C．
5．下面的说法中，正确的是　　
A．小华买了36个苹果，把它们平均放在几个盒子里，每盘放的个数和盘数成正比例
B．用方砖铺微机室地面，每块方砖的面积和方砖的块数成反比例
C．小强的身高和他的年龄成正比例
D．小明从家到学校，已经走的路程和剩下的路程成反比例
6．下面叙述正确的有　　个。
①半径是的半圆，周长是。②2018年二月29天。③一件商品先涨价后再降价，现价比原价降低了。④同一时刻、同一地点（中午12点除外）影长和物体长度成正比例。⑤任何质数加1必是合数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．把比例转化成时，用到了　　
A．等式的性质 B．比例的基本性质
C．比的基本性质
8．下面几组相关联的量的关系，能用如图表示的是（　　）
A．在一幅地图上，图上距离与实际距离
B．圆的面积和半径
C．看一本书，已经看的页数和未看的页数
二．填空题（共8小题）
9．按要求化比：　　
10．在一个比例中，两个外项的积加上两个内项的积结果是160，其中一个外项是20，另一个外项是　　
11．小明骑自行车从家到学校，他骑车的速度和所需时间成　　比例；分数值一定，分子与分母成　　比例．
12．六年级同学排队做广播操，每行人数和排成的行数成 　　比例；出油率一定，花生油的质量和花生的质量，成 　　比例；，和成 　　比例；图上距离一定，实际距离和比例尺成 　　比例。
13．如表，如果与成正比例，那么“？”是 　　；如果与成反比例，那么“？”是 　　。
0.5 ？
10 1.6
14．一个比例中两个外项的积是8，若比例中一个内项是最小的质数，则另一个内项是 　　。
15．一辆汽车从六盘水驶向贵阳，路程与时间的关系如图所示。
（1）汽车每小时行驶 　　千米，行驶245千米需要 　　小时。
（2）汽车行驶的路程与所用时间成 　　比例关系。
16．如果，那么和成 　　比例，如果，那么与成 　　比例。
三．计算题（共2小题）
17．解比例。
（1） （2） （3）
18．求未知数。
四．解答题（共12小题）
19．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友。每包的本数和包数如下表。
每包的本数本 10 20 40
包数包 60 30 15
（1）判断每包的本数和包数是不是成反比例，并说明理由。
（2）如果打包成6包，那么每包多少本？
20．学校数学兴趣小组为了知道操场边最高的一棵大树的高度，首先在大树的旁边立了一根竹竿，竹竿的高度、影长分别是1.5米和0.5米，此时又测量出这棵大树的影长是8米，这棵大树的实际高度是多少米？（用比例知识解答）
21．河南红十字会计划把一批防疫物资分发到部分区县，计划每车运，16车可以运完。实际每车的运输量比计划少运了的物资，需要多少车可以运完？（用比例知识解答）
22．某工厂生产一批笔记本电脑，原计划每天生产40台，60天完成。实际每天多生产8台，实际提前多少天完成？（用比例解）
23．育才小学为美化校园环境，购买了一些杜鹃花，要栽在一个长方形花园里。如果每行栽24棵，正好可以栽48行；如果每行多栽12棵，现在可以栽多少行？（用比例解答）
24．有数据显示，每回收5吨废纸就能制造4吨新纸，相当于保护了85棵树木。某学校在开展垃圾分类两年以来共回收了7吨废纸，可以制造多少吨新纸？相当于保护了多少棵树木？（用比例方法解答）
25．橙橙练习跳绳，如果每组跳200个，跳5组能完成每天的练习量。如果要求4组跳完，每组应跳多少个？（用比例解答）
26．四名同学都看了《少年学党史》这本书。请填写出每人看完这本书需要的天数。
郑小强 张小华 李小虹 王小新
每天看的页数 6 10 15 20
看的天数 30 　　 　　 　　
照这样的速度看了3天，他们各看了多少页？还剩下多少页？
郑小强 张小华 李小虹 王小新
已看的页数 　　 　　 　　 　　
剩下的页数 　　 　　 　　 　　
题中，每天看的页数和看的天数 　　比例，已看的页数和剩下的页数 　　比例。
27．新冠肺炎疫情期间，口罩需求量大幅上升。某工厂接到任务紧急生产一批口罩，下面是每时生产口罩的数量与完成任务总共需要的时间的关系。
每时生产口罩的数量万只 2 3 4 6
时间时 72 48 36 24
（1）每时生产口罩的数量与时间有什么关系？（1分）
（2）如果每时生产8万只口罩，那么完成这项任务一共需要多少时？（4分）
28．某物流公司将货物运往一加工厂，如果要一次把所有货物全部运出，车辆的载质量与所需车辆的数量如下表．
载质量 2.5 3 5 10
数量辆 48 40 　　 　　
（1）请把上表填写完整．车辆的载质量和所需车辆的数量成什么比例关系？
（2）如果用载质量为的卡车来运，一共需要多少辆？
（3）如果用15辆卡车来运，每辆卡车运多少吨？
29．小李周末骑车去郊外，如图所示的图像表示他骑车的路程和时间的关系。
（1）他骑车的路程和时间成正比例吗？为什么？
（2）小李20分钟大约行了多少千米？行大约用了多少分钟？
30．汽车数量与运货质量的数据如下表，根据表中的数据回答下面各题．
汽车数量辆 1 2 3 4 5 6 7
运货质量吨 4 8 12 16 20 24 28
（1）表中　　和　　是两种相关联的量，　　随着　　的变化而变化．
（2）写出几组这两种量中相对应的两个数的比，求出比值，并比较比值的大小．
（3）上面求出的比值表示的意义是什么？
（4）表中相关联的两种量成正比例吗？为什么？
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【分析】比例尺的前项比后项小是缩小比例尺，前项比后项大是放大比例尺，据此解答。
【解答】解：因为，所以用画出的图形最大。
故选：。
【点评】本题考查了比例尺的认识及选择的应用。
2．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：因为：购买《小学生学习报》的总价：份数《小学生学习报》的单价（一定），是对应的比值一定，
所以购买《小学生学习报》的总价和份数成正比例关系；
故选：．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
3．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：，所以，差一定，所以与不成比例；
，所以（一定），商一定，所以与成正比例；
，即（一定），积一定，所以与成反比例；
，所以（一定），商一定，所以与成正比例。
故选：。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。
4．【分析】根据比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积，判断即可。
【解答】解：，所以选项是比例；
，，内项的积不等于外项的积，所以选项不是比例；
，，内项的积不等于外项的积，所以选项不是比例。
故选：。
【点评】本题主要考查比例的基本性质的应用。
5．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例。
【解答】解：小华买了36个苹果，把它们平均放在几个盒子里，总个数一定，每盘放的个数和盘数成反比例，所以由题说法错误。
每块方砖的面积所用方砖的块数微机教室地面（一定），所以每块方砖的面积与所用方砖的块数成反比例的说法正确；
小强的身高和他的年龄不成比例，所以由题说法错误。
已经走的路程剩下的路程总路程（一定），和一定，所以总路程一定，已经走的路程和剩下的路程不成比例。
故选：。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
6．【分析】根据半圆的周长计算、年月日知识、百分数知识、正比例知识等，分析解答即可。
【解答】解：①半径是的半圆，周长是。所以本说法正确；
②2018年是平年，二月28天。所以本题原来说法错误；
③把原价看作单位“1”。
现价和原价相比，原价高。所以一件商品先涨价后再降价，现价比原价降低了。所以本说法正确；
④因为在同一时间、同一地点（中午12时除外），物体的高和它的影长的比值是一定的，所以物体的高和它的影长成正比例关系，所以原题说法正确；
⑤2是质数，，3是质数，所以任何质数加1必是合数的说法错误。
所以叙述正确的有3个。
故选：。
【点评】本题考查的知识点较多，根据题意分析解答即可。
7．【分析】根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，据此判断即可。
【解答】解：把比例转化成时，用到了比例的基本性质。
故选：。
【点评】本题主要考查了比例的基本性质的灵活运用。
8．【分析】观察图形可知是正比例关系，找到3个选项中是正比例关系的即为所求。
【解答】解：A、在一幅地图上，图上距离：实际距离＝比例尺（一定），是正比例关系，符合题意；
B、圆的面积＝π×半径2，不是正比例关系，不符合题意；
C、已经看的页数+未看的页数＝总页数，不是正比例关系，不符合题意。
故选：A。
【点评】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者之间的数量关系：比例尺＝图上距离÷实际距离，灵活变形列式解决问题。
二．填空题（共8小题）
9．【分析】根据比例的基本性质，内项之积等于外项之积，据此解答即可。
【解答】解：
故答案为：200。
【点评】本题考查了比例的基本性质，根据内项之积等于外项之积，结合题意解答即可。
10．【分析】由比例的基本性质得，两个外项的积：，由于一个外项是20，所以另一个外项是。
【解答】解：
答：另一个外项是4。
故答案为：4。
【点评】此题主要考查比例的基本性质：在比例里，两内项的积等于两外项的积。
11．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：速度时间路程（一定）；即从家到学校的路程不变，也就是速度与时间的乘积是一定的．所以他骑车的速度和所需时间成反比例关系．
分子分母分数值（一定）；是比值一定，即分数值一定，它的分子和分母成正比例．
故答案为：反；正．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
12．【分析】判定两种量是否成正、反比例，要看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定就成正比例；如果是乘积一定，就成反比例。
【解答】解：①每行人数排成的行数总人数（一定），是乘积一定，每行人数和排成的行数成反比例；
②花生油的质量花生的质量出油率（一定），是比值一定，花生油的质量和花生的质量成正比例；
③，（一定），是比值一定，和成正比例；
④比例尺实际距离比例尺（一定），是乘积一定，实际距离和比例尺成反比例；
故答案为：反，正，正，反。
【点评】此题是辨识两种量是否成正、反比例，要看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定。
13．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果比值一定，就成正比例，如果乘积一定，就成反比例，为倍数关系的两个数的最小公倍数是较大的数，据此解答。点评：本题主要考查比例在日常生活中的应用，要正确判断哪两种量成反比例是解题关键。
【解答】解：设？为，如果与成正比例，则和的比值一定，则：
设？为，如果如果与成反比例，则和的乘积一定，则：
答：如果与成正比例，那么“？”是0.08；如果与成反比例，那么“？”是3.125。
故答案为：0.08，3.125。
【点评】此题主要考查了正、反比例的意义，解答时要根据已知两种相关联的量，看比值一定还是乘积一定。
14．【分析】根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，先确定出两个外项的积也是8，且一个内项是最小的质数2，进而用即可求得另一个外项的数值。
【解答】解：一个外项是最小的质数2，则另一个外项是：。
故答案为：4。
【点评】此题考查比例性质的运用：在比例里，两内项的积等于两外项的积；也考查了最小的质数是2。
15．【分析】（1）分别观察1小时时所对应的横轴上和纵轴上的数，即可求解，然后用距离速度时间解答即可；
（2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此解答即可。
【解答】解：（1）（小时）
答：汽车每小时行驶70千米，行驶245千米需要3.5小时。
（2）汽车行驶的路程与所用时间成正比例关系。
故答案为：（1）70，3.5；（2）正。
【点评】本题主要考查了正比例知识及根据统计图获取信息并解决问题的能力。
16．【分析】两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例。
【解答】解：由可得：，与的乘积一定，与成反比例。
由可得：，与的比值一定，与成正比例。
故答案为：反，正。
【点评】本题属于辨识两种相关联的量成正比例还是成反比例，就看两种量是比值一定还是乘积一定。
三．计算题（共2小题）
17．【分析】（1）根据比例的基本性质，先把比例化为方程，两边再同时除以7；
（2）根据比例的基本性质，先把比例化为方程，两边再同时除以9；
（3）根据比例的基本性质，先把比例化为方程，两边再同时除以4。
【解答】解：（1）
（2）解：
（3）解：
【点评】熟练掌握比例的性质和等式的基本性质是解题的关键。
18．【分析】（1）根据比例的基本性质，先把比例化为方程，两边再同时乘5；
（2）根据比例的基本性质，先把比例化为方程，两边再同时乘4。
【解答】解：（1）
（2）
【点评】熟练掌握比的基本性质和等式的基本性质是解题的关键。
四．解答题（共12小题）
19．【分析】（1）根据每包的本数和包数的乘积一定，确定每包的本数和包数成反比例。
（2）根据总本数包数每包的本数列除法算式解答。
【解答】解：（1），每包的本数和包数的乘积一定，所以每包的本数和包数成反比例。
（2）（本
答：每包100本。
【点评】两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例；若既不是比值一定也不是乘积一定，两种量不成比例。
20．【分析】同一时间，同一地点测得物体与影子的比值相等，也就是竹竿的高度与影子的比等于树的高与影子的比，设这树的高为米，组成比例，解比例即可。
【解答】解：设这棵树的实际高度是米，则：
答：这棵树的实际高度是24米。
【点评】解答此题的关键是，判断实际高度与影子成正比例，由此列出比例解决问题。
21．【分析】每车运的吨数车数批防疫物资的总吨数（一定），每车运的吨数与车数成反比例关系。把计划每车运的吨数看作单位“1”，则实际运输时每车运的吨数相当于原计划的，根据百分数乘法的意义，实际每车运吨，设实际需要车可以运完，据此即可列比例解答。
【解答】解：设需要车可以运完。
答：需要20车可以运完。
【点评】列比例解答应用题，与列方程相同，就是先设出未知数，再找出含有未知数的等量关系式。
22．【分析】根据题意知道，生产笔记本电脑的总台数一定，即工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例，由此列出比例解答，再用减法计算实际提前的天数。
【解答】解：设实际用天可以完成任务，
　　　　
　
（天
答：实际提前10天完成任务。
【点评】关键是先判断哪两种相关联的量成哪种比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比例解答即可。
23．【分析】购买的这些杜鹃花的棵数一定，即栽的行数每行的棵数总棵数（一定），栽的行数与每行的棵数成反比例关系。设现在可以栽行，即可列比例“”解答。
【解答】解：设现在可以栽行
答：现在可以栽32行。
【点评】列比例解答应用题的关键是先设出未知数，再找出含有未知数的等量关系式。
24．【分析】根据题意，一吨废纸制造新纸的数量一定，废纸的数量与产生的新纸成正比例；回收一吨废纸可以保护多少棵树木一定，回收废纸的数量与保护树木的数量成正比例，据此解答。
【解答】解：设可以制造吨新纸。
答：可以制造5.6吨新纸。
设相当于保护了棵树木。
答：相当于保护了119棵树。
【点评】本题先单一的量一定，再根据这个不变的单一的量求出总量。
25．【分析】橙橙每天练习跳的个数一定，每组跳的个数组数每天练习跳的个数，每组的个数与组数成反比例关系。设每组应跳个，即可列比例“”解答。
【解答】解：设每组应跳个。
答：每组应跳250个。
【点评】列比例解答应用题时，首先弄清两种量成正比例关系还是成反比例关系，然后设出未知数，再找出含有未知数的等量关系式。
26．【分析】（1）用郑小强每天看的页数看的总天数这本书的总页数，用总页数分别除以张小华、李小虹、王小新每天看的页数，就是他们分别看的天数；
（2）分别用郑小强、张小华、李小虹、王小新每天看的页数乘3天，就是他们3天各自看的页数，再用郑小强每天看的页数看的总天数这本书的总页数，用总页数减去他们3天各自看的页数，就是他们各自剩下的页数；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：（1）（页
（天
（天
（天
答：张小华需要看18天，李小虹需要看12天，王小新需要9天。
（2）（页
（页
（页
（页
（页
（页
（页
（页
（页
答：他们分别看了18页、30页、45页、60页，分别剩下162页、150页、135页、120页。
因为每天看的页数看的天数（页（一定），乘积一定，所以每天看的页数和看的天数成反比例；
已看的页数剩下的页数（页（一定），和一定，所以已看的页数和剩下的页数不成比例。
故答案为：18，12，9；18，30，45，60；162，150，135，120；成反，不成。
【点评】明确每天看的页数看的天数看的页数以及辨识成正、反比例的量的方法是解题的关键。
27．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：（1）因为每时生产口罩的数量与时间的积一定，所以每时生产口罩的数量与时间成反比例。
（2）（时
答：完成这项任务一共需要18小时。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
28．【分析】，得出：运用车辆的载重量所需车辆的数量总重量，则用总重量分别除以5，10求出各用的辆数．填写统计表．
（1）由统计表中的数量可以看出，车辆的载重量与所需车辆的数量的乘积一定，所以车辆的载重量与所需车辆的数量成反比例．
（2）运用总重量除以6就是运用卡车的辆数．
（3）运用总重量除以卡车的量数15就是每辆卡车运多少吨．
【解答】解：
（辆
（辆
载质量 2.5 3 5 10
数量辆 48 40 24 12
（1）因为（吨
（吨
因为车辆的载重量与所需车辆的数量的乘积一定，
所以车辆的载重量与所需车辆的数量成反比例．
（2）（辆
答：用载重量6吨的卡车来运，一共需要20辆．
（3）（吨
答：每辆卡车运8吨．
故答案为：24；12．
【点评】本题考查了学生正反比例的判断情况，能运用统计表提供的信息解决问题．同时考查了学生理解分析问题的能力．
29．【分析】（1）根据正比例的图像是一条经过原点的直线，进行判断；
（2）由（1）可知，骑车的路程和时间成正比例关系，据此设小李20分钟大约行了千米，行大约用了分钟，列出比例式解答即可。
【解答】解：（1）他骑车的路程和时间成正比例，因为图像是一条经过原点的直线；
（2）设小李20分钟大约行了千米。
答：小李20分钟大约行了5.3千米。
答：行大约用了75分钟。
【点评】熟练掌握正比例图像的特征以及正比例关系的应用是解题的关键。
30．【分析】（1）根据题意知：表中有汽车数量和运货质量两种量，它们是两种相关联的量，一个量变大，另一个量也随着变大，它们的比值一定，所以汽车数量和运货质量成正比例关系．
（2），，，，它们的比值相等．
（3）根据题意可知，这个比值表示每辆汽车的运货质量．
（4）相关联的两种量成正比例，因为它们的比值一定．
【解答】解：（1）表中有汽车数量和运货质量两种量，它们是两种相关联的量，一个量变大，另一个量也随着变大，它们的比值一定，所以汽车数量和运货质量成正比例关系．
（2），，，，它们的比值相等．
（3）根据题意可知，这个比值表示每辆汽车的运货质量．
（4）相关联的两种量成正比例，因为它们的比值一定．
故答案为：汽车数量；运货质量；运货质量；汽车数量．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．

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