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第23讲 植树问题（提高版）
为使其更直观，用图示法来说明．树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题．
一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形．
1、如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数=间隔数+1．
2、如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数=间隔数．
3、如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数=间隔数-1．
4、如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，再乘二，即：棵树=段数+1再乘二．
二、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=间隔数．
三、在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树．则棵数=（每边的棵数-1）×边数．
非封闭线路上的植树问题主要可分为以下情形：
（1）如果在非封闭线路的两端都要植树，那么：
株数=段数+1=全长÷株距+1
全长=株距×（株数-1）
株距=全长÷（株数-1）
（2）如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数．
一．选择题（共8小题）
1．在一块长方形草地的周围植树，共植树30棵，则间隔有　　个。
A．31 B．30 C．29 D．32
2．在相距120米的两楼之间种树，每隔20米种一棵，共栽了　　棵．
A．6 B．7 C．8 D．5
3．一个圆形广场的半径是150米，在它的边缘每隔3米栽一棵树，一共可以栽　　棵树．
A．313 B．314 C．315 D．316
4．某市一条大街长7200米，从起点到终点共设有9个车站，那么每两个车站之间的平均距离是　　
A．780米 B．800米 C．850米 D．900米
5．一条长的线段，赛门从两端开始，均匀的点了5个点．每两个点之间的长度是　　
A．这条线段的 B． C．
6．马路一边有一些电线杆，每两根电线杆中间有一个广告牌，已知广告牌有20个，那么电线杆有　　根．
A．19 B．20 C．21
7．把一根2米的木材锯成4小段，每锯一次要5分钟，一共要　　分钟才能锯完。
A．12 B．15 C．20 D．30
8．芳芳家所在的楼房共有216级台阶，且每层的台阶数都一样多。已知从一层到四层共有72级台阶，那么这幢楼房一共有　　层。
A．12 B．11 C．10 D．9
二．填空题（共8小题）
9．笑笑陪奶奶在人行道上散步，从第1盏路灯走到第22盏路灯一共用了21分钟，当他们以同样的速度走了40分钟时，能从第一盏路灯走到了第　　盏路灯旁．
10．15个同学在操场上围成一个圆圈做游戏，每相邻两个同学之间的距离都是，这个圆圈的周长是　 　．
11．公路一边每两根电线杆之间的距离是16米，小华从第一根电线杆跑到第11根电线杆，共跑 　　米。
12．市政工人在一段公路的一边每隔40米挖一个污水管道检查井，一共挖了16个这样的污水管道检查井（含两端）。现在需要改成每隔60米挖一个这样的污水管道检查井，那么，这段公路不用重挖的污水管道检查井共有 　　个。
13．一条走廊长45米，每隔5米放一盆花（两端不放），共要放 　　盆花。
14．王大爷要在周长是的圆形鱼池边上植树，每隔3米植一棵，一共要植 　　棵树。
15．一条小路的一侧共栽了9棵树（两端都栽），相邻两棵树之间的距离是，这条小路长 　　；如果在小路两侧每隔放一盆花（两端都不放），一共要放 　　盆花。
16．同学们玩丢手绢游戏。8名男生手拉手围成一个圆圈后，要在每两名男生中间加上一名女生，需要加上 　　名女生。
三．解答题（共14小题）
17．在一条公路的一侧插红旗．每隔5米插一面，且两端都不插，一共需要红旗100面，这条路全长多少米？
18．在一根绳子上每隔2米挂一个灯笼起点和终点都不挂，一共挂了12个灯笼，这根绳子长多少米？
19．马路的一边每隔8米栽一棵杨树．小李乘汽车4分钟看到401棵树，问汽车每分钟行多少米？
20．公园走廊的一侧摆放着31盆花（两端都摆）它们每隔5米．现在要改为只放26盆，（两端都放）它们之间的间隔应改为多少米？
21．在一条长75米的长廊一边摆花盆，起点和终点都摆，一共摆了26盆．相邻两盆花之间的距离相等，相邻两盆花之间相距多远？
22．在一个鱼塘周围筑成周长是1200米的土堤，堤上每隔8米栽1棵杨树，然后在相邻两棵树之间栽一棵松树．土堤上栽杨树和松树各多少棵？
23．实小四（1）班植树25棵，四（2）班植树32棵，四（3）班植树39棵，三个班平均每班植树多少棵？如果将三个班植的树植在池塘四周，可以每9米植一棵，这个池塘四周长多少米？
24．有一根木头每15厘米锯成一段，刚好锯成6段，并且锯一次需要3分钟．这根木头一共长多少厘米？锯这根木头一共需要多少时间？
25．沿着一个圆广场的一周，每隔10米安装一盏路灯，一共需要32盏，这个圆形广场的周长是多少米？
26．在一段100米的街道两旁安装路灯，每隔10米安装一盏（街道的两头都要安装），这段街道一共要安装多少盏路灯？
27．一根钢材截成4段花了2分钟，用同样的速度截另外一段钢材用了12分钟，另一段钢材被截成了几段？
28．校门口两侧种树苗，原打算两侧都种7棵，每隔4米种一棵，实际两侧都种了9棵，每两棵树间的距离是多少？
29．一段街道长1150米，原来在街道的两端各设置一个垃圾桶，中间没有垃圾桶，现在为了方便市民，在中间等距离地增加22垃圾桶（不包括原来两个），现在第16个垃圾桶和第1个垃圾桶相隔多少米？
30．在一条长75米的大路两旁栽一行树，如果首尾都种树，并且每相邻的两棵树之间的距离都是15米，一共需要栽多少棵树？
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【分析】在长方形草地的周围植树，长方形是一个封闭图形，植树棵数间隔数，据此解答即可。
【解答】解：在一块长方形草地的周围植树，共植树30棵，则间隔有30个。
故选：。
【点评】本题主要考查了植树问题，解题的关键是明确围成一个封闭的图形植树时，植树棵数间隔数。
2．【分析】树的间隔数为：个，由于两端都不栽，所以一共栽了棵；据此解答．
【解答】解：，
，
（棵；
答：一共可以种5棵树．
故选：。
【点评】本题考查了植树问题，知识点是：树的棵数间隔数，间隔数总长度间距；知识链接（沿直线上栽）：栽树的棵数间隔数（两端都不栽），植树的棵数间隔数（两端都栽），植树的棵数间隔数（只栽一端）．
3．【分析】先根据圆的周长求出圆形广场的周长，因为围成一个圆圈植树时，植树棵数间隔数，据此用圆形广场的周长除以间距3米求出间隔数即可解答．
【解答】解：
（米
（棵
答：一共可以栽314棵树．
故选：。
【点评】此题考查了围成一个圆圈植树问题：植树棵数间隔数；关键是求出圆形广场的周长．
4．【分析】从起点到终点共设有9个车站，间隔数是：个，用7200除以间隔数就是间距；据此解答即可。
【解答】解：
（米
答：每两个车站之间的平均距离是900米。
故选：。
【点评】如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数间隔数．
5．【分析】均匀的点了5个点，间隔数是个．求每两个点之间的长度，就是每份的长度，用这条线段的长度除以进率平均分成的份数，或根据分数的意义，求1份的长度占这条线段的长度份）所占的分率即可．
【解答】解：每两个点之间的长度：（厘米）
或，每两个点之间的长度占的分率：
故选：．
【点评】解答此题的关键是明白这条线段被平均分成的份数是点数减1．
6．【分析】已知广告牌有20个，相当于20个间隔，那么电线杆有（根；据此解答．
【解答】解：根据分析可得，
（根；
答：电线杆有21根．
故选：．
【点评】本题考查了植树问题，知识点是：植树的棵数间隔数（两端都栽）．
7．【分析】首先求得一根木材锯成段5需要的次数：（次，再乘锯一次需要的时间即可求解。
【解答】解：
（分钟）
答：一共要15分钟才能锯完。
故选：。
【点评】此题的关键是明确锯成的段数与次数之间的关系：锯成的次数锯的段数，依此结合其它条件解决问题。
8．【分析】共有216级台阶，每两层楼之间都是级台阶，根据除法的意义可知，用总的台阶数除以两层楼之间的台阶，求出楼梯间隔，楼梯间隔加1就是这幢楼房的层数。
【解答】解：
（层
答：这幢楼房一共有10层。
故选：。
【点评】完成此类问题时要注意一楼是没有楼梯的，因此计算出楼梯间隔数后要加1。
二．填空题（共8小题）
9．【分析】从第1盏路灯走到第22盏路灯一共是21个间隔，用21分钟除以21，就是每个间隔需要的时间，再用40分钟除以每个间隔需要的时间，就是经过的间隔数，最后用间隔数加上1即可求解．
【解答】解：
（分钟）
（根；
答：能从第一盏路灯走到了第 41盏路灯旁．
故答案为：41．
【点评】本题属于两端都栽的类型：间隔数植树棵数．
10．【分析】15个同学在操场上围成一个圆圈就有15个间隔，每相邻两个同学之间的距离都是2米，所以这个圆圈的周长是米．
【解答】解：（米
答：这个圆圈的周长是30米．
故答案为：30．
【点评】解答此题的关键是明确：围成一个圆圈时，人数间隔数．
11．【分析】从第一根电杆到第11根电线杆，共跑了10段，也就是10个16米。总长度即可求。
【解答】解：
（米
故答案为：160。
【点评】明确植树问题的具体情形是解决本题的关键。
12．【分析】根据题干，路的两端都挖，所以先用挖水管道检查井的总数减去1，再乘间距40米，求出这条公路的总长度，因为40和60的最小公倍数是120，所以用总长度除以120再加上1即可得出不用重挖的污水管道检查井的个数。
【解答】解：
（米
60和40的最小公倍数是120，
（个
答：这段公路不用重挖的污水管道检查井共有6个。
故答案为：6。
【点评】解决本题根据最小公倍数和两端都栽的植树问题的数量关系解决问题。
13．【分析】先求出间隔数为个，再根据“走廊两端都不放”，所以再减去1后就是一共放花的盆数。
【解答】解：
（盆
答：共要放8盆花。
故答案为：8。
【点评】抓住两端都不放花的情况：放花的盆数间隔数，代入数据即可解答。
14．【分析】此题属于环形植树问题，公式是：植树棵数间隔数，间隔数间隔总长间隔距离。据此计算即可。
【解答】解：（棵
答：一共要植28棵树。
故答案为：28。
【点评】此题主要考查了环形植树问题的公式，要熟练掌握。
15．【分析】由于从一端到另一端一共栽了9棵树，共有间隔数为：个；又由于间距是3米，根据总距离间距间隔数，可以求出这条小路的长。当两端都不放花时，花的盆数间隔数，间隔数小路总长，最后再乘2（两侧都放花）。据此解答。
【解答】解：
（米
答：这条小路长24米。
（个
（盆
（盆
答：一共要放22盆花。
故答案为：24，22。
【点评】本题是植树问题，栽树的棵数间隔数（两端都不栽），植树的棵数间隔数（两端都栽），植树的棵数间隔数（只栽一端）。
16．【分析】由题意，8名男生手拉手围成一个圆圈后，每相邻两个男生中间有一个女生，如果男生有8名，间隔数和人数相等，就有8个间隔，所以女生有8名，据此解答。
【解答】解：8个男生围成一圈，间隔数和人数相等，就有8个间隔，所以女生有8名。
答：需要加上8名女生。
故答案为：8。
【点评】本题主要考查了植树问题，解题的关键是明确在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数间隔数。
三．解答题（共14小题）
17．【分析】两端都不要插时，间隔数红旗面数，所以这里一共有个间隔，再乘以5就是这条公路的长度．
【解答】解：（米
答：这条路全长505米．
【点评】此题属于植树问题中两端都要栽的情况：抓住间隔数植树棵数即可解答．
18．【分析】由于两端都不挂，从这一头到那一头灯笼的间隔数为：个，所以再乘2，即可求出绳子的长度，据此解答．
【解答】解：
（米
答：这根绳子长26米．
【点评】本题考查了植树问题，知识点是：灯笼的个数间隔数，间隔数总长度间距；知识链接（沿直线上栽）：栽树的棵数间隔数（两端都不栽），植树的棵数间隔数（两端都栽），植树的棵数间隔数（只栽一端）．
19．【分析】根据题意可知，路边有401棵树，共有个间隔，每个间隔距离是8米，用可以求出汽车4分钟行驶的距离，再根据路程时间速度，可以求出汽车的速度．
【解答】解：根据题意可得：
，
，
（米分）．
答：汽车每分钟行800米
【点评】根据题意，在植树问题中，如果两端都栽，那么间隔数间隔距离路程长，再根据路程时间速度，进一步解答即可．
20．【分析】根据题意，公园走廊的一侧摆放着31盆花（两端都摆），那么间隔数是（个，再乘上间隔距离5米可以求出走廊的长度；现在要改为只放26盆（两头都要摆），这时的间隔数是（个，用走廊长度除以间隔数，就是间隔距离．
【解答】解：（米；
（米．
答：现在的间隔应该是6米．
【点评】两端不植树，间隔数比植树棵数多1；两端植树，间隔数比植树棵数少1；然后再进一步解答即可．
21．【分析】根据题意可知，一共有的间隔数比花盆数少1，即个间隔数，然后用长廊的长度除以间隔数就是相邻两盆花之间的距离．
【解答】解：
（米
答：相邻的两盆花之间的距离是3米．
【点评】植树问题，要看清是两侧，还是一侧，然后根据一侧的棵数，求出间隔数，就不难求出相邻两棵树之间的距离．
22．【分析】（1）围成一个圆圈植树时：植树棵数间隔数，由此先求出间隔数，从而得出杨树的棵数；
（2）由上面求出的间隔数就是栽种的松树棵数．
【解答】解：（棵
（棵
答：土堤上栽杨树和松树各150棵．
【点评】围成圆圈植树时：植树棵数间隔数，由此即可解决此类问题．
23．【分析】（1）求出三个班的总棵数，然后除以班级数就是平均每班植树多少棵；
（2）属于在封闭图形上植树，根据间隔数植树棵数解答即可．
【解答】解：（1）
（棵；
答：三个班平均每班植树32棵．
（2）
（米
答：这个池塘四周长864米．
【点评】此题可以归属在封闭图形上植树的情况，只要求出间隔数问题即可解决．
24．【分析】根据题意，每15厘米锯成一段，刚好锯成6段，用可以求出这根木头的长度；锯成6段需要锯次，再乘上锯一次时间3分钟即可．
【解答】解：
（厘米）；
（分钟）．
答：这根木头一共长90厘米，锯这根木头一共需要15分钟．
【点评】锯成的段数减去1，就是锯的次数．再乘上锯每次的时间，然后再进一步解答．
25．【分析】围成圆圈植树时，植树棵数间隔数，由此可得这个广场一周的周长有32个间隔，一个间隔的长度是10米，根据乘法的意义，米就是这个圆形广场的周长．
【解答】解：（米，
答：这个圆形广场的周长是320米．
【点评】抓住围成圆圈植树时，植树棵数间隔数，即可解决此类问题．
26．【分析】两端都要安装时，路灯盏数间隔数，由此先求出间隔数是：，再加上1，最后乘以2即可．
【解答】解：，
，
（盏，
答：这段街道一共要安装22盏路灯．
【点评】此题属于植树问题中的两端都要栽的情况：抓住植树棵数间隔数即可解答．
27．【分析】根据锯的次数锯出的段数，锯成4段，则是锯了次，由此求出锯1次需要的时间是分钟，“用同样的速度截另外一段钢材用了12分钟”，说明是锯了次，由此即可解决问题．
【解答】解：锯1次需要：（分钟），
（次，
（段，
答：另一段钢材被锯成了19段．
【点评】此题属于植树问题，关键是抓住锯的次数锯出的段数，先利用除法的意义求出锯1次需要的时间，再求出12分钟锯的次数即可解答．
28．【分析】此题只考虑一侧植树情况即可：原打算植树7棵，则有个间隔，所以校门口一侧的总长度是：米，实际一共植9棵树，即有个间隔，由此即可求出每个间隔的长度．
【解答】解：，
，
（米；
答：每两棵树之间的距离是3米．
【点评】此题属于植树问题中的两端都要栽的问题：植树棵数间隔数，根据原计划植树棵数求出校门口一侧的长度，是解决本题的关键．
29．【分析】根据题干可知，此题可以看做是两端都不栽的情况：间隔数植树棵数，所以间隔数是，全长是1150米，所以每个间隔的长度是米，因为第16个垃圾桶和第1个垃圾桶之间一共有个间隔，所以距离是米．
【解答】解：
（米
答：第16个垃圾桶和第1个垃圾桶相隔750米．
【点评】此题考查植树问题中，两端都不栽的情况是：间隔数植树棵数；两端都要栽的情况是：间隔数植树棵数；由此即可解答问题．
30．【分析】先求出大路一旁植树棵数：两端都要栽时，植树棵数间隔数，由此先求出间隔数为：，再加上1就是大路一旁植树棵数，再乘2即可．
【解答】解：，
，
（棵，
答：一共要种12棵．
【点评】此题是植树问题中的两端都要栽的情况，抓住植树棵数间隔数即可解答，这里要注意两旁，不要忘记乘2．

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