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第24讲 盈亏问题（提高版）
1、盈亏问题。
在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。
2、解题关键。
盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。
3、解题规律。
总差额÷每人差额=人数
总差额的求法可以分为以下四种情况：
第一次多余，第二次不足，总差额=多余+ 不足
第一次正好，第二次多余或不足 ，总差额=多余或不足
第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余
第一次不足，第二次也不足， 总差额= 大不足-小不足
一．选择题（共4小题）
1．有一段木头用一根绳子来量，绳子多出150公分，将绳子对折后量，又短了35公分。问这段木头有多长？　　
A．220 B．250 C．320 D．360
2．美猴王带着蟠桃回到花果山分给众猴，先分给3只老猴各6个，每只小猴4个，发现还有4只小猴分不到，于是收回重新分，3只老猴各5个，每只小猴3个，可是还剩下12个，那么花果山共有　　只猴．
A．24 B．25 C．26 D．28
3．米奇专卖店以100元的单价卖出两套不同的童装，其中一套赚，另一套亏本，那么这个童装店卖这两套服装总体核算是　　
A．亏本 B．赚钱
C．不亏也不赚 D．不能确定亏本或赚钱
4．搬运1000块玻璃，规定搬一块可得运费3角，但打碎一块除了得不到运费外还要赔5角，运完后，搬运工共得搬运费260元，搬运工损失了　　元。
A．10 B．5 C．20 D．25
二．填空题（共12小题）
5．一袋糖分给一些小朋友，每人分10粒刚好分完；如果每人分16粒，则有3个小朋友分不到糖。这袋糖共 　　粒。
6．某公司给职工发奖金，每人发250元则缺180元，每人发200元则余220元，那么平均每人能发奖金　 　元．
7．甲、乙、丙三人一起买了8个面包，平分着吃．甲拿出5个面包的钱，乙付了3个面包的钱，丙没带钱，等吃完后核算，丙应拿出4元钱，甲应收回　　钱，乙应收回　　钱．
8．某笔奖金原计划8人均分，现退出1人，其余每人多得200元，这笔奖金共　　元。
9．实验小学的学生乘汽车外出旅游，如果每车坐65人，则有5人无车可乘；如果每车多坐5人，则可少用一辆车．那么，外出旅游的学生有　 　人．
10．学校买来一些皮球，分给五年级各个班．每班3个多3个，每班5个差5个．五年级一共有个　　班，买了　　个皮球．
11．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给了乙，获利，而后来乙又将这手股票转给了甲，但乙损失了，最后甲按乙卖给甲的价格的将这手股票卖给了乙．甲在上述股票交易中　　选填“盈利”或“亏本” 　　元．
12．小慧在统计本组期末考试平均成绩时发现：如果自己多得15分，小组的平均成绩就达到92分；如果自己的成绩少得5分，小组的平均成绩就只有90分；那么小慧他们小组有　 　人．
13．若干学生搬一堆砖，若每人搬8块，则剩下20块未搬走，若每人搬9块，则最后一个学生只搬了6块，那么搬砖的学生共有　 　人．
14．实验小学学生外出参观，如果每辆车坐50人，就会余下20个座位，如果每辆车坐45人，就还可以坐5人．问有　 　辆车，有　 　名学生．
15．公司准备包一辆客车送家在外地的员工回家过年，包车的费用是固定的．根据外地员工人数统计，每人需付15元．后来有6人不回去，这样每人多付3元．包车费用是　 　元．
16．几个人共同种一批树苗，如果每人种15棵，则剩下4棵树苗未种；如果每人种16棵树苗，则缺4棵树苗，则这批树苗共有　　棵．
三．解答题（共14小题）
17．朱老师为参加军训的学生安排宿舍．如果每间宿舍住8人，那么这些宿舍正好住满；如果每间宿舍住6人，那么正好缺4间宿舍．学生宿舍有多少间？参加军训的学生有多少人？
18．小明去体育用品专卖店买乒乓球，买10个还差8.9元，买5个还剩1.6元，小明有多少钱？
19．用一根绳子测量一口枯井的深度，把绳子对折一次量，井外多6米，把绳子对折两次量，井外多1米．井深多少米？绳子长多少米？
20．一条绳子测量井深，单股量，井外余6米，双股量差4米不到井口，求绳长多少米？井深多少米？
21．小明从家到某校参加考试，开始时以每分钟50米的速度走了2分钟，这时他根据以往的经验，再以这个速度走下去，肯定要比考试时间迟到5分钟．于是他立即加快速度，每分钟多走10米，结果小明比考试时间早到了5分钟．小明家到某校的路程是多少米？
22．为了测量楼的高度，在楼上将绳子6折后垂至地面，尚余3米；将绳子剪去10米，4折后垂至地面，尚余5米，求绳子和楼高多少米？
23．近年来火车大提速，1427次火车自北京西站开往安庆西站，行驶至全程的，再向前56千米处所用时间比提速前减少了60分钟，而到达安庆西站比提速前早了2小时．问北京西站、安庆西站两地相距多少千米？
24．铸造车间要生产一批零件，如果每天铸造300个，完成任务要延长10天；如果每天铸造350个，完成任务要延长5天．问：按时完成任务要用多少天？
25．小华家买来许多苹果和橘子，橘子的个数是苹果的3倍．如果每人分2个苹果，还多1个苹果；如果每人分8个橘子，还差5个橘子．问小华家有几人？买来苹果和橘子各多少个？
26．某中学组织初一的学生春游，如果租用45座客车若干辆，但有15人没有座位，如果租用同样数量的60座的客车，则多出一辆，其余车恰好坐满．已知45座的客车每日租金为每辆250元，60座的客车每日租金为每辆300元．
（1）这个学校七年级有学生多少人？
（2）怎样租车最经济合算？
27．某小学的部分学生外出参观，如果每辆车坐55人，就会余下30个座位；如果每辆车坐50人，还可以坐10人．有多少辆车？有多少个参观的学生？
28．前进村第一小组村民共同出资购买电动抽水机．如果每户人家出资250元，那么所出的总钱数比电动抽水机的价格少3300元；如果每户人家出资300元，那么钱的总数比电动抽水机的价格多300元．问前进村第一组有多少户人家？电动抽水机的价格是多少元？
29．014子弟学校初一年级天文小实验家科技活动小组，在一次外出活动中，如果四人坐一辆车，那么2辆车是空的； 如果三人坐一辆车，那么缺1辆车；问天文小实验家科技活动小组有几个人？这天找了几辆车？
30．光华玻璃厂委托运输公司包运2000块玻璃，每块运输费0.4元，如损坏一块，要赔偿损失费7元，结果运输公司得到运费711.2元，问运输公司损失玻璃多少块？
参考答案
一．选择题（共4小题）
1．【分析】木头的长度比绳子长度的一半长35公分，所以木头长度的2倍比绳子的长度长了70公分，即2个木头的长度减去绳子长度就是70公分，1个木头的长度加上150公分就是绳子的长度，所以木头的长度减去150公分就是70公分，据此解答即可。
【解答】解：（公分）
答：这段木头长220公分。
故选：。
【点评】明确1段木头的长度比绳子短150公分以及2段木头的长度比绳子长70公分是解题的关键。
2．【分析】设花果山共有只猴，则小猴有只．根据“先分给3只老猴各6个，每只小猴4个，发现还有4只小猴分不到”可知，一共有桃子个桃子．根据“只老猴各5个，每只小猴3个，可是还剩下12个”可知，一共有桃子个桃子．根据桃子总个数不变即可列方程解答．
【解答】解：设花果山共有只猴．
答：花果山共有28只猴．
故选：．
【点评】此类题最好是用方程解答，设其中的一个量为未知数，另一个数也用未知数表示，根据题意，找出数量间的相等关系式，列出方程，解答即可．
3．【分析】先求出每套童装原来的价格，由题意可得，一套赚，就是售出的总价是原价的，原价为；另一套亏本，也就是售出的总价是原价的，原价为，把这两部分的价格加起来，与200元作比较即可．
【解答】解：一套赚，原来的价格为：
，
，
（元；
另一套亏本，原来的价格为：
，
，
（元；
这两套童装原来的价格为：
（元；
实际卖出的价钱为：
（元．
因为，所以亏本了．
故选：．
【点评】此题贴近生活，以商品买卖为出发点，主要考查学生能否积极灵活运用数学观点和方法，分析判断日常生活中的问题的能力．解开表面数字相等，抓住问题的实质，不要误认为“不亏也不赚”．
4．【分析】假设没有打碎玻璃，可得运费（角，这比实得运费260元多了（角，打碎一块除了得不到运费外还要赔5角，这样每破一块玻璃收入就会减少（角，可用（块玻璃打碎了，这50块总价就是损失的钱数。
【解答】解：
（角
（元
答：搬运工损失了25元。
故选：。
【点评】本题属于鸡兔同笼问题范畴，可用假设法解答。
二．填空题（共12小题）
5．【分析】如果每人分16粒，则有3个小朋友分不到糖，说明糖少了（粒；每人分10粒刚好分完，说明每个小朋友分16粒比分10粒多分了（粒，每个小朋友多分6粒时差了48粒，由此可知：小朋友的数量是（个，糖果有（粒。
【解答】解：（粒
（粒
（个
（粒
答：这袋糖共80粒。
故答案为：80。
【点评】解答此题的关系式为：亏数两次分物数量的差人数。
6．【分析】由题意可知，奖金总数是不变的，员工人数是不变的，有等量关系：人数人数，就可以计算出人数，然后求出奖金总数，除以人数就是平均每人发的奖金数．
【解答】解：设员工共人，则
每人发250元则缺180元，所以奖金总数：
（元，
那平均每人发的奖金数就是：（元，
答：平均每人能发奖金227.5元．
故答案为：227.5．
【点评】本题的关键是根据每人多发的钱数，和应多发的总钱数，求出职工的人数．
7．【分析】要求甲乙各应收回钱多少元，先求出每人分得几个面包，即：个，丙应付4元钱（平均每人付的钱数），根据“总价数量单价”求出每个面包的单价，即元，进而用计算出甲实际付的钱数，用计算出乙实际付的钱数，然后分别减去4元即可．
【解答】解：
（元
甲应收回：（元
乙应收回：（元．
答：甲应收回3.5元，乙应收回0.5元．
故答案为：3.5元；0.5元．
【点评】解答此题应根据单价、总价和数量之间的关系以及平均数的计算方法进行解答即可．
8．【分析】某笔奖金原计划8人均分，现退出1人，此时还有（人，又其余每人多得200元，那么7人共多得了（元，这1400元就是退出的那个人的钱，原来共有8人，则这笔奖金共有（元。
【解答】解：
（元
答：这笔奖金共有11200元。
故答案为11200。
【点评】完成本题要注意是7人每人多得200元，而不是原来的8人。
9．【分析】根据题意知：如果每车多坐5人，则就少了原来坐65人剩下的5人，与现在少一辆车的人数人．据此可求出原来车的辆数，求出车的辆数，就很容易求出学生数．据此解答．
【解答】解：，
，
（辆，
，
，
（人．
答：外出旅游的学生有980人．
故答案为：980．
【点评】本题的关键是根据每车多坐5人时，缺少的人数，求出原来车的辆数，再去求人数．
10．【分析】根据题意，前后班数相差（个，皮球数量相差为（个．也就是说，多出2个班，就要多出8个皮球，因此班数为（个，皮球个数就好求了．
【解答】解：班数为：
，
，
（个；
皮球数量：
（个，
或（个；
答：五年级一共有个4班，买了15个皮球．
故答案为：4，15．
【点评】此题属于盈亏问题，运用了关系式：（盈数亏数）两次分物数量的差分物份数．
11．【分析】要求甲最后是盈利还是亏本，应先计算出第一次卖给乙的价钱，通过题意可知，第一次交易，甲获利，把甲买股票的原价看作单位“1”，卖给乙的价钱是原价的，即卖了1100元；第二次交易，乙损失了，把甲获利后的价钱元）看作单位“1”，卖了1100元的即990元；第三次交易，甲按乙卖给甲的价格的将这手股票卖给了乙，把乙卖给甲的价格（即990元）看作单位“1”，实际卖了990元的即891元；然后根据交易的数据，进行计算即可．
【解答】解：甲乙第一次交易：（元，
第二次交易：（元，
第三次交易：（元，
甲的实际收入：（元，
答：甲在上述股票交易中盈利1元．
故答案为：盈利，1．
【点评】此题属于复杂的分数应用题，做题时应先判断单位“1”，然后根据一个数乘分数的意义进行列式计算，进而得出结论．
12．【分析】两次平均成绩的总分数差是：（分，两次平均成绩的分数的差是：（分，那么小慧他们小组的人数是：（人；据此解答．
【解答】解：，
，
（人；
答：小慧他们小组有10人．
故答案为：10．
【点评】盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，再根据盈亏问题的基本数量关系：一次有余（盈，一次不够（亏，可用公式：（盈亏）（两次每人分配数的差）人数解答．
13．【分析】若每人搬8块，则剩下20块未搬走，若每人搬9块，即还差块，则每人多搬块就要多搬块，根据盈亏问题公式可知，一共有人．
【解答】解：
（人
答：搬砖的学生共有 23人．
故答案为：23．
【点评】本题为一次盈余，一次不足的盈亏问题，计算公式为：（盈亏）两次分配的差分配的对象数．
14．【分析】由“如果每辆车坐50人，就会余下20个座位”，说明如果再加上20人就能坐满全部的车辆；由“如果每辆车坐45人，就还可以坐5人”，说明如果再加上5人也能坐满全部的车辆．前后人数差为（人，每辆车坐的人数差为（人．也就是说，每辆车多坐5人，就会多坐25人．那么，车的数量为（辆，人数就好求了．
【解答】解：车的数量：
（辆；
学生人数：
（人；
答：有5辆车，有230个参观的学生．
故答案为：5，230．
【点评】此题解答的关键是先根据关系式“（大亏数小亏数）两次分物数量的差分物份数”求出车的辆数，然后再求人数．
15．【分析】根据题意知：原来的人数每人付的钱数（原来的人数现在每人付的钱数，据此数量关系可列方程解答．
【解答】解：设原来有人，则现在的人数是人．根据题意得
，
，
，
，
，
．
（元．
答：包车费用是540元．
故答案为：540．
【点评】本题的关键是找出数量关系，再列方程解答．
16．【分析】总差额是（棵，每份的差额是（棵人），将这两个差相除，就可求出由多少人，再根据每人种15棵剩下4棵，求出树苗总数即可．
【解答】解：总人数为：
（人
树苗总数：（棵
答：这批树苗共有124棵
故答案为：124．
【点评】本题主要考查了盈亏问题，需要学生熟练掌握解盈亏问题的公式．
三．解答题（共14小题）
17．【分析】如果每个房间住6人，则少4间宿舍，即盈人；如果每个房间住8人，那么房间正好住满；两次分配的差为人，人数总差为24人，根据盈亏问题公式可知共有宿舍间，则共有学生人；据此解答．
【解答】解：
（间
（人
答：学生宿舍有12间，参加军训的学生有96人．
【点评】盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额，将这两个差相除，就可求出总份数，然后再求物品数；基本关系式为：总差额每份的差额总份数．
18．【分析】两次购物的总差额是：（元，两次购物的个数的差额是：（个，那么每个球的单价是：（元；则小明有：（元；据此解答．
【解答】解：单价：，
，
（元；
共有：（元；
答：小明有12.1元．
【点评】盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，再根据盈亏问题的基本数量关系：一次有余（盈，一次不够（亏，可用公式：（盈亏）（两次每份分配数的差）份数解答．
19．【分析】由题意可知，绳子长度的比井深多6米，长度的比井深多1米，所以绳长的比它的多5米，因此绳长：（米；井深：，计算即可．
【解答】解：绳长：
（米；
井深：
（米；
答：井深4米，绳子长20米．
【点评】此题也可用方程解答，设井深为米：由题意得，解得．绳长：（米．
20．【分析】此为典型盈亏问题，单股量，井外余6米，盈余的总米数为6米，双股量差4米不到井口，则亏的总米数为米，盈亏总数米；由此可得井深：米，绳长米．
【解答】解：井深为：
（米；
绳长为：（米；
答：绳长20米，井深14米．
【点评】此为一次有余（盈，一次有够（亏的盈亏问题，计算公式为：（盈亏）两次分配的差所求数量．
21．【分析】由题意，以每分钟50米的速度走了2分钟，以这个速度走下去，肯定要比考试时间迟到5分钟，每分钟多走10米，结果小明比考试时间早到了5分钟，由此可知：迟到5分钟，离学校还有（米，后来每分钟走（米，早到5分钟，即超过学校（米，由此可求出原定时间，加迟到5分钟的路程，进而求得小明家到学校的路程。
【解答】解：迟到5分钟，离学校还有：（米
后来每分钟走：（米，则早到5分钟，超过学校：（米
按开始的速度到达学校还需要：
（分
因为开始时走了2分钟，所以到学校所需时间为
（分
小明家到学校的路程是
（米
答：小明家到某校的路程是3100米。
【点评】此题属于盈亏问题，求出原计划行走时间是解题关键．
22．【分析】同一根绳子第一次从楼上折6折后垂至地面，尚余3米，而第二次剪掉10米后折4次尚余5米，可以把这两次利用这同一根绳来建立一个等量关系来求解，设楼高为米则第一次可以记作：；而第二次可以记作：；利用同一根绳子把前后两次建立起一个等式：；解得，则绳长就是米．
【解答】解：设楼高为米，则有：
则绳长就是：
（米
答：楼高是6米，绳长是54米．
【点评】本题主要是考查怎么样利用楼高和两次的条件，建立一个等量关系来求解，知道楼高的高度，就可求出绳子的长度．
23．【分析】根据“行驶至全程的，再向前56千米处所用时间比提速前减少了60分钟，而到达安庆西站比提速前早了2小时”，可知行驶至全程的，再向前56千米处就行了全程的，就是全程的就是56千米．据此解答．
【解答】解：，
，
（千米）；
答：北京西站、安庆西站两地相距1232千米．
【点评】本题的关键是让学生理解“行驶至全程的，再向前56千米处就行了全程的”，然后再根据分数除法的意义列式解答．
24．【分析】由题意可知：这批零件的总量是一定的，则每天生产的数量与生产天数成反比例，据此即可列比例求解．
【解答】解：设按时完成任务用天，
则有
答：按时完成任务用25天．
【点评】解答此题的关键是明白：若两个相关联量的乘积一定，则这两个量成反比例，从而可以列比例求解．
25．【分析】苹果每人分2个多1个，橘子是苹果的3倍，也就是说：如果橘子每人分6个多3个；再由“如果每人分8个橘子，还差5个橘子”，可知橘子前后共相差：（个；前后每人分得的橘子相差：（个，也就是每人多分2个橘子，就会多出8个橘子，那么人数为：（人；则有苹果：（个；橘子：（个．
【解答】解：人数为：
，
，
（人；
苹果数量：
（个；
橘子数量：
（个．
答：小华家有4人，买来苹果9个，橘子27个．
【点评】此题解答的关键是根据“苹果每人分2个多1个，橘子是苹果的3倍”，推出“橘子每人分6个多3个”这一关键条件．
26．【分析】（1）由题意“租用45座客车若干辆，但有15人没有座位”，说明多出15人；由“租用同样数量的60座的客车，则多出一辆”，说明少了60人．因此，前后每辆车座位之差是（个，人数之差为（人．所以车的数量为（辆；人数为或，计算即可；
（2）45座车平均每人费用：（元，60座车平均每人费用：（元，所以尽量多的租用60座车，且尽量减少空座。
【解答】解：（1）车的数量为：
，
，
（辆；
人数为：
，
，
（人；
答：这个学校七年级有学生240人．
（2）尽量多的租用60座车，且没有空位则最合算，
（辆
（元
答：租用4辆60座的车最合算。
【点评】此题考查了盈亏问题以及最优化问题，在求车的数量时，运用了关系式：（盈数亏数）两次分物数量差分物份数（车的数量）．
27．【分析】由“如果每辆车坐55人，就会余下30个座位”，说明如果再加上30人就能坐满全部的车辆；由“如果每辆车坐50人，还可以坐10人”，说明如果再加上10人也能坐满全部的车辆．前后人数差为（人，每辆车坐的人数差为（人．也就是说，每辆车多坐5人，就会多坐20人．那么，车的数量为（辆，人数就好求了．
【解答】解：车的数量：
，
，
（辆；
学生人数：
，
，
（人；
答：有4辆车，有190个参观的学生．
【点评】此题解答的关键是先根据关系式“（大亏数小亏数）两次分物数量的差分物份数”求出车的辆数，然后再求人数．
28．【分析】由“每户人家出资250元，比电动抽水机的价格少3300元；每户人家出资300元，比电动抽水机的价格多300元”可知，前后每户出资相差（元，总钱数相差元．也就是说，每户多出50元，就多出3600元，因此户数为（户．那么，电动抽水机的价格是或，解决问题．
【解答】解：户数为：
，
，
（户；
电动抽水机的价格：
，
（元；
答：前进村第一组有21300户人家，电动抽水机的价格是21300元．
【点评】此题属于盈亏问题，先根据关系式“（亏数盈数）两次分物数量的差”求出户数，再根据户数与有关数据求出电动抽水机的价格，解决问题．
29．【分析】两次的总差额是：（人，两次每车的差额是：（人，那么车的辆数是：（辆；则总人数：（人；据此解答．
【解答】解：车：，
，
（辆；
人数：（人；
答：天文小实验家科技活动小组有36个人，这天找了11辆车．
【点评】盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，再根据盈亏问题的基本数量关系：一次有余（盈，一次不够（亏，可用公式：（盈亏）（两次每人分配数的差）人数解答．
30．【分析】根据题意，每块运输费是0.4元，如损坏一块要赔偿7元，意思是损坏一块不但得不到0.4元的运费，还要赔偿7元，也就是损坏一块要从运费中扣除元，由此解答．
【解答】解：假如没有损坏应得运费：
（元；
损失一块跟完好相比相差：
（元；
所以损坏了：
（块；
答：运输公司损失玻璃12块．
【点评】此题的解答关键是理解损坏一块不但得不到0.4元的运费，还要赔偿7元，也就是损坏一块要从运费中扣除元，由此列式解答即可．

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