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第37讲 角的认识（提高版）
1、从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
2、角的分类
锐角：小于90°的角叫做锐角。
直角：等于90°的角叫做直角。
钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。
周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。
一．选择题（共8小题）
1．从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有　　
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
2．钟面上3时30分，时针和分针组成的角是　　
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角
3．把到各角的大小画在一条数线上，那么下面说法正确的是　　
A．和都是锐角 B．和都是钝角
C．是钝角，是锐角 D．是锐角，是钝角
4．钟面上，分针与时针所夹的角是　　
A．直角 B．锐角 C．钝角 D．平角
5．18时，钟面上时针和分针之间成　　
A．直角 B．平角 C．周角
6．下面说法中，错误的有　　个。
①大于的角就是钝角；
②直角三角形也有三条高；
③平行四边形的面积就是三角形面积的2倍；
④三角形任意两条边的和大于第三边；
⑤线段有两个端点，直线没有端点；
⑥三角形的内角和是；
⑦圆柱有无数条高，圆锥只有1条高；
⑧求一个通风管的表面积就是求它的侧面积和一个底面面积之和。
A．5 B．3 C．6 D．8
7．下列说法正确的是　　
A．一个角的边越长，度数就越大。
B．过一点可以画无数条直线。
C．过两点可以画三条直线。
D．长度是，，的线段可以围成三角形。
8．下列说法正确的是　　
A．用一个4倍的放大镜看一个的角，这个角是
B．两个圆的半径比是，那么它们的周长比是，面积比是
C．李师傅生产了110个零件，100个合格，合格率是
D．同样高的杆子离路灯越远影子越短
二．填空题（共9小题）
9．在如图所示的正方形网格中，则的度数为 　　。
10．将一张长方形坻折成图中这样。如果是62度，那么是 　　度。
11．平角的是 　　，周角的是 　　。
12．红领巾最大的角是 　　角，其中最长边长100厘米，一条边长60厘米，另一条长 　　厘米。
13．10月1日8时20分学校举行了庆国庆活动那时钟面上的时针与分针组成的夹角是　　度．
14．照下面的样子画角。
圆形
射线条数 2 3 4 5
组成角的个数 1 3 6 10
当射线条数是6时，可组成 　　个角；射线条数是10时，可组成 　　个角。
15．在一个三角形中，至少有 　　个锐角，最多只能有一个 　　角或 　　角。
16．在钟面上，6时的时候，分针与时针所夹的角的度数是 　　，是一个 　　角。
17．3时整，时针和分针夹的较小角是 　　度，3时半是 　　角。
三．解答题（共11小题）
18．以给出的点为顶点，在方格纸上画一个比直角大的角。
19．写出下面各表盘的时间和指针形成的分别是什么角。
　　　　角
　　　　角
　　　　角
20．连一连，填一填（先观察钟面上时针与分针所成的角，连一连，再填一填）
21．改变斜木板和地面所成的角度，小球滚动的远近一样吗？请简单说说你的发现。
22．用量角器量一量下面的角，再比一比，说说自己的发现。
我发现：　　。
23．依依和苹苹两人进行放风筝比赛，两人所用的风筝线一样长。如图所示，在她们都把风筝线用完了。
（1）量一量。
依依的风筝线与地面的夹角是 　　，苹苹的风筝线与地面的夹角是 　　。
（2）画一画
淘淘也来参加比赛，用完了与她们同样长的风筝线后，他的风筝线与地面的夹角是，请将淘淘的风筝线在图上画出来。
24．
（1）从数学的角度描述图形1的两个特征。
（2）从数学的角度描述图形1与图形2的一个相同特征和两个不同特征。
25．如图，已知图中最大的角是直角，则图中所有锐角的和是多少度？
26．如图中的和是否相等？为什么？
27．如图是一张长方形纸折起来以后的图形．其中度，你能知道是多少度吗？（请写出计算过程）
28．在点子图上分别画出一个锐角、直角、钝角、平角和一组平行线．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【分析】首先根据对钟表的认识，钟面上被平均分成了12个大格，60个小格，分针每分钟走1个小格，时针每分钟走个小格；然后判断出从12时到13时，钟的时针与分针可成直角时，分针和时针之间相距15个小格、45个小格，也就是从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有2次，据此解答即可．
【解答】解：从12时到13时，经过了60分钟，
（分钟）
（分钟）
所以从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有2次，分别是12时分、12时分．
答：从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有2次．
故选：。
【点评】解答此题的关键是判断出从12时到13时，钟的时针与分针可成直角时，分针和时针之间相距15个小格、45个小格．
2．【分析】钟面上3时时，时针和分针组成的角是直角，再过30分，时针和分针形成的角比直角小，比直角小的角是锐角。
【解答】解：钟面上3时30分，时针和分针组成的角是锐角。
故选：。
【点评】本题考查了钟面角的认识。
3．【分析】根据图示可知，大于，小于，所以是锐角；大于，小于180度，所以是钝角，据此解答即可。
【解答】解：根据图示可知，大于，小于，所以是锐角；大于，小于180度，所以是钝角。
故选：。
【点评】本题考查了角的认识和分类知识，根据角的分类知识解答即可。
4．【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，钟面上，时针和分针之间相差的3.5个大格数，用大格数3.5乘即可。根据角的度数判断角的种类，锐角大于0度小于90度，直角等于90度，钝角大于90度小于180度，据此解答。
【解答】解：
105度的角是一个钝角。
故选：。
【点评】本题考查了钟面角的认识，解题的关键是明白两个大格之间的夹角是30度。
5．【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，钟面上18时整，也就是6时，时针和分针之间相差的6个大格数，用大格数6乘即可；根据角的度数判断角的种类，锐角大于0度小于90度，直角等于90度，钝角大于90度小于180度，平角等于180度，据此解答。
【解答】解：
的角是一个平角。
故选：。
【点评】本题考查了钟面角的认识，解题的关键是明白两个大格之间的夹角是30度。
6．【分析】①根据钝角的意义，大于90度小于180度的角叫做钝角。据此判断。
②任何三角形都有三条高。据此判断。
③平行四边形的面积是等底等高的三角形的面积的2倍。据此判断。
④在三角形中，任意两边之和大于第三边。据此判断。
⑤线段有两个端点，直线没有端点。据此判断。
⑥三角形的内角和是。据此判断。
⑦圆柱有无数条高，圆锥只有1条高。据此判断。
⑧通风管只有侧面没有底面，所以一个通风管的表面积就是求它的侧面积。据此判断。
【解答】解：由分析得：
①大于的角就是钝角；此说法错误。
②直角三角形也有三条高；此说法正确。
③平行四边形的面积就是三角形面积的2倍；此说法错误。
④三角形任意两条边的和大于第三边；此说法正确。
⑤线段有两个端点，直线没有端点；此说法正确。
⑥三角形的内角和是；此说法正确。
⑦圆柱有无数条高，圆锥只有1条高；此说法正确。
⑧求一个通风管的表面积就是求它的侧面积和一个底面面积之和。此说法错误。
答：说法错误的有3个。
故选：。
【点评】此题考查的知识点比较多，目的是培养学生认真审题，分析数量关系解决实际问题的能力。
7．【分析】由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角；角的大小与边的长短无关；据此解答；
根据直线的定义及特点进行分析：直线没有端点，无限长，通过一点可以作无数条直线；据此解答；
根据直线的性质：过两点可以画一条直线，据此解答；
根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。
【解答】解：角的大小与边的长短无关，所以一个角的边越长，度数就越大说法错误；
直线没有端点，无限长，通过一点可以作无数条直线；该选项说法正确；
过两点只能画一条线段，该选项说法错误；
因为，所以不能围成三角形；该选项说法错误。
故选：。
【点评】本题考查角的定义，直线的定义及性质，三角形的特性。
8．【分析】（1）一个4倍放大镜看一个的角，只是把角的两条边的长度放大了，度数不变（整体形状不变）；据此解答即可；
（2）圆的周长，则（定值），即圆的周长与其半径成正比，圆的面积，则（定值），即圆的面积与其半径的平方成正比，据此进行判断；
（3）合格率指的是在产品质量检测中，合格产品数占产品总数的百分之几，合格率的计算公式合格产品数产品总数，由此解答即可；
（4）物体离光源越近影子越短，离光源越远，影子越长；离路灯同样的距离，杆子越高影子越长，据此解答。
【解答】解：用一个4倍的放大镜看一个的角，这个角仍然是，故此说法是错误的；
两个圆的半径比是，因为圆的周长与其半径成正比，那么它们的周长比是；因为圆的面积与其半径的平方成正比，所以面积比是，故此说法是正确的；
，故此说法是错误的；
同样高的杆子离路灯越远影子越长，故此说法是错误的。
故选：。
【点评】此题主要考查角的意义和特征、圆的周长及面积与其半径的比例关系、合格率的计算方法、物体与光源的距离与影子长短的关系。
二．填空题（共9小题）
9．【分析】根据直角三角形的特征，通过观察图形可知，所在的三角形和所在三角形是一样的，所以；同理：，，，再根据加法交换律、加法结合律，用加法解答即可。
【解答】解：因为所在的三角形和所在三角形是一样的，所以；同理：，，，
则
故答案为：315。
【点评】此题考查的目的是理解掌握角的意义，直角三角形的特征及应用。
10．【分析】根据题意，是虚线部分的角折上去的，因此虚线角与相等，且这两个角与合成一个平角，利用180度减去2个62度的角就是的度数，据此解答。
【解答】解：
答：是56度。
故答案为：56。
【点评】本题考查了平角的概念，关键是看哪几个角的和合起来是180度。
11．【分析】我们知道平角，周角，然后根据一个数乘分数的意义：求一个数的几分之几是多少，用乘法解答。
【解答】解：（度
（度
即平角的是，周角的是。
故答案为：120，280。
【点评】此题考查了平角角、周角的含义，应注意基础知识的理解。
12．【分析】钝角是大于且小于的角，根据生活经验可知：红领巾最大的角是钝角，并且是一个等腰三角形，等腰三角形的两腰相等，其中最长边长100厘米，一条边长60厘米，另一条长60厘米；由此解答即可。
【解答】解：红领巾最大的角是钝角，其中最长边长100厘米，一条边长60厘米，另一条长60厘米。
故答案为：钝，60。
【点评】解答此题的主要依据是钝角的定义和等腰三角形特征。
13．【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可．
【解答】解：因为“4”至“8”的夹角为，时针偏离“8”的度数为，
所以时针与分针的夹角应为．
故答案为：130．
【点评】本题考查钟表分针所转过的角度计算．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动时针转动，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
14．【分析】观察规律解答，射线的条数加1，角的数量等于射线的数量（射线的数量，据此计算解答。
【解答】解：
（个
（个
答：当射线条数是6时，可组成15个角；射线条数是10时，可组成45个角。
故答案为：15，45。
【点评】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力。
15．【分析】锐角小于90度的直角，钝角大于90度的直角，三角形的内角和是180度，据此解答。
【解答】解：在一个三角形中，至少有2个锐角，最多只能有一个直角或钝角。
故答案为：2，直，钝。
【点评】本题考查了角的分类及三角形角的特征。
16．【分析】根据时针指向几，分针指向12就是几时及角的分类即可解答。
【解答】解：在钟面上，6时的时候，分针与时针所夹的角的度数是，是一个平角。
故答案为：；平。
【点评】本题主要考查时针指向几，分针指向12就是几时。
17．【分析】根据锐角、直角、钝角、平角的意义大于0度小于90度的角叫做锐角，90度的角是直角，大于90度小于180度的角叫做钝角，180度的角是平角。据此解答。
【解答】解：3时整，时针和分针夹的较小角是90度（直角），3时半是锐角。
故答案为：90，锐。
【点评】此题考查的目的是理解掌握锐角、直角、钝角、平角的意义及应用。
三．解答题（共11小题）
18．【分析】直角等于90度，钝角大于直角，据此根据钝角的特征利用三角板的直角画一个钝角即可。
【解答】解：如图：
（画法不唯一）
【点评】本题考查了角的画法。
19．【分析】钟面上有12个大格，12个数字，先看时针所指的数字，时针指向几表示几时，分针走一个大格表示5分，数一下几个大格乘5就是分的时间；利用三角板的直角测量判断时针与分针的夹角即可。
【解答】解：，直角
，钝角
，锐角
故答案为：，直；，钝；，锐。
【点评】本题考查了钟面时间和角的认识。
20．【分析】时针走一个大格表示1个小时，分针走一个大格表示5分，钟表图一时针在2和3之间，分针指向6，表示的时间是；图二是分针过30分，得到的时间，时针指向3，分针指向12，此时时间是；图二到图三经过了70分钟，图三，此时时针指向4多一点，分针指向2，此时时间是；图四是图三过30分得到，此时时针指向过4接近5，分针指向8，此时时间表示，钟面上时针与分针的夹角利用三角板的直角测量判断，据此解答。
【解答】解：
【点评】本题考查了钟面角及时间的认识。
21．【分析】在实验中，我们发现了斜木板与地面所成的角度是小于时，小球向前滚动的力量比较小，小球滚动的就比较近；斜木板与地面所成的角度是大于，小球着地时，小球总是蹦好几下，特别是乒乓球和玻璃球，这样小球滚动得比较近；斜木板与地面所成的角度是，小球着地时，小球向前滚动的力量比较大并且几乎不蹦，这样小球滚动得就特别远。
【解答】解：改变斜木板和地面所成的角度，小球滚动的远近不一样，当斜木板与地面所成的角度在一定的范围内时，角度越大，小球滚动得越远。
【点评】本题考查了角的大小对小球距离产生的影响。
22．【分析】通过图示发现，角的两边越来越长，角的大小确没有改变，据此解答。
【解答】解：角的大小与边的长短没有关系，与两边开叉大小有关。
故答案为：角的两边的长短与角的大小无关。
【点评】本题考查了影响角的大小的因素。
23．【分析】先用量角器量出角的大小，把量角器的中心与角的顶点重合，0度刻度线与角的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数；
再用量器画出一个的角，把量角器的中心与淘淘的顶点重合，0度刻度线与射线重合，过量角器上刻度画与原来射线是公共顶点的射线，据此解答即可。
【解答】解：（1）依依的风筝线与地面的夹角是，苹苹的风筝线与地面的夹角是。
（2）淘淘也来参加比赛，用完了与她们同样长的风筝线后，他的风筝线与地面的夹角是，淘淘的风筝线在图上画出来如下：
故答案为：，。
【点评】用量角器画角、量角，量角器的正确、熟练使用是关键。
24．【分析】（1）图一是一个三角形，利用三角板的直角判断三角形各角的度数，再量一下边的特征；
（2）图一是三角形，图二是四边形，边的数量和角的数量不同，但是两条腰相等。
【解答】解：（1）图一是三角形，有两条边相等，3个角都是锐角；
（2）图一和图二都有两条相等的腰，图一是三角形，有3条边3个角，图二是四边形，有4条边，4个角，图二有2个钝角，2个锐角。
【点评】本题考查了三角形和四边形的特征。
25．【分析】由题意可知，图中最大的角是直角共有3个锐角组成，且这5个锐角都是由、、组成，找出5个锐角，相加即可。
【解答】解：
因为
所以
答：所有锐角的和是195度。
【点评】本题考查了锐角的定义的应用。
26．【分析】如图：因为，，所以，据此解答．
【解答】解：因为，，
所以．
【点评】本题主要是利用直角是90度解决问题．
27．【分析】如图，，由，得出，由对折的性质可知，进一步求得即可．
【解答】解：由对折的性质可知，
因为，，，
所以，
．
答：的度数为．
【点评】此题考查利用对折重叠的两个角相等和平角等于来解决有关角度计算的问题．
28．【分析】小于的角是锐角，等于的角是直角，大于小于的角是钝角，等于的角叫做平角，在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，据下面画法可画图．
【解答】解：作图如下：
【点评】本题考查了学生锐角、直角、钝角、平角的定义及角和平行线的画法．

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