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第38讲 四边形（提高版）
四边形
1、特征。
① 四边形是由四条线段围成的图形。
② 任意四边形的内角和是360度。
③ 只有一组对边平行的四边形叫梯形。
④ 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，它容易变形。长方形、正方形是特殊的平行四边形；正方形是特殊的长方形。
2、分类
① 长方形
A、特征：对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。
B、计算公式：c=2(a+b) s=ab
② 正方形
A、特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。
B、计算公式：c=4a s=a
③ 平行四边形
A、特征：两组对边分别平行的四边形；相对的边平行且相等；对角相等；相邻的两个角的度数之和为180度；平行四边形容易变形。
B、计算公式：s=ah
④ 梯形
A、特征：只有一组对边平行的四边形；中位线等于上下底和的一半；等腰梯形有一条对称轴。
B、计算公式：s=(a+b)h/2=mh
一．选择题（共8小题）
1．把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形的　　一定相等。
A．周长 B．面积 C．上下两底的和 D．高
2．点子图中有一个图形，下面的描述哪些是正确的？正确的选项是　　
①这是一个四边形
②这是一个平行四边形
③这是一个梯形
④这个图形有两条对称轴
⑤这个图形有一个直角
A．①③ B．①⑤ C．①②④ D．①③⑤
3．生活中，人们运用平行四边形的　　生产电动大门。
A．稳定性 B．平衡性 C．易变形性
4．用下面的图表示各图形之间的关系，不正确的是　　
A． B．
C． D．
5．下列说法正确的是　　
A．一个平行四边形拉成长方形后，它的周长、面积都不变
B．一个三角形最少有一个角是锐角
C．用同样长的铁丝围成的长方形、正方形、三角形、和圆，正方形的面积最大
D．只有一组对边平行的四边形是梯形
6．过平行四边形的一个顶点向对边作高，可以作　　条高。
A．1 B．2 C．4 D．无数
7．如图，点、、都在格点上，请在方格纸上找一点在格点上），使四边形是梯形，这样的点有　　个。
A．3 B．4 C．5 D．6
8．关于长方形和平行四边形的共同特点，有如下一些说法：
①对边平行；②对边相等；③四个角的和是；④都是轴对称图形
以上说法正确的是　　
A．①②和③ B．①②和④ C．①③和④ D．②③和④
二．填空题（共8小题）
9．数学知识之间会有很多密切的关系。许多知识可以用如图来表示。
例如：若是长方形，那么可以是 　　。
再如：若是 　　，那么可以是 　　。
10．平行四边形的一边长为，相邻的另一边比它的多，则这个平行四边形的周长为　　．
11．如图所示中，平行四边形边上的高是 　　厘米。
12．任意四边形的内角和都是　 　度．
13．推拉伸缩门是由许多小平行四边形组成，这种门应用了平行四边形 　　的特性。
14．当梯形的上底逐渐缩短到一个点时，梯形就转化成 　　形，当梯形的上底延长到与下底相等时，梯形就转化成 　　形。
15．如图所示，如果要求在图内交叉点中再选一个点，若要使四边形成为一个平行四边形，那么点的选法共有 　　种，若要使四边形成为一个梯形，那么点的选法共有 　　种。
16．一个长方形框架，拉动后变成一个平行四边形（如图），它的高比原来少了，你认为面积有变化吗？请写出你的想法：　　。
三．操作题（共3小题）
17．下面每个小方格都代表边长为1厘米的小正方形，请画出一个高为5厘米的平行四边形。
18．在方格纸上分别画出直角三角形、平行四边形和梯形。
19．在如图所示的方格纸中，画一个底是5厘米，高是3厘米的平行四边形；再画一个等腰梯形，并标出它的上底、下底和高。（每个小方格表示边长为1厘米的正方形）
四．解答题（共9小题）
20．按顺序连接各点，画出围成
的图形，围成的图形是 　　。
21．在方格纸上画一画。
（1）画出上面梯形的一条高。
（2）再画一个梯形，与原来的梯形正好拼成一个平行四边形。
22．（1）图1是平行四边形的两条边，请将这个平行四边形补充完整。
（2）在点子图画一个直角梯形，并用一条线段把这个梯形分成一个直角三角形和一个钝角三角形。
23．如图小方格的边长是。
（1）找到点，与图上点、、构成平行四边形，并连接与；过点画平行四边形边上的高，并标上垂足和垂直符号。
（2）如果将点向右平移 　　格，则四边形就变成了直角梯形；如果将点向左平移 　　格，则四边形就变成了等腰梯形。
24．若你把一个梯形两腰的中点进行连接，得到的这条线段就是这个梯形的中位线．
（1）试画出这个梯形的中位线．（用铅笔和直尺作图）
（2）量一量中位线的长度，再量一量这个梯形上底和下底的长度，你发现了什么？把你的发现写在下面？
25．一个直角梯形中有一个角是，这个梯形的其它几个角分别是多少度？
26．一个平行四边形的周长是64米，其中一条边是20厘米，平行四边形另外三条边分别是多少厘米？
27．根据要求画图：
（1）底是，高是的平行四边形；
（2）底是，高是的三角形；
（3）上底是，下底是，高是的梯形．
28．平行四边形的周长是56厘米，其中一条边长是10厘米．平行四边形另外三条边分别是多少厘米？
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【分析】平行四边形的两组对边是平行的，它的高有无数条且都是相等的，所以无论怎样分割成两个梯形，它们的高都是相等的，由此可选出正确答案。
【解答】解：把一个平行四边形任意分割成两个梯形后，两个梯形的高还等于原平行四边形的高；由于平行四边形有无数条高且都是相等的，所以两个梯形的高是相等的。
答：这两个梯形的 高总是相等的。
故选：。
【点评】把平行四边形分成两个梯形，这两个梯形的高都是平行四边形的高，长度相等。
2．【分析】由图可知，这个图形是一个四边形，但两组对边都不平行，所以不是梯形也不是平行四边形，这个图形有一条对称轴和一个直角，据此解答即可．
【解答】解：这是一个四边形，不是梯形也不是平行四边形，有一条对称轴和一个直角．所以①⑤正确；
故选：。
【点评】此题考查了四边形的特征、平行四边形、梯形的判定方法和对称轴条数的辨别方法．
3．【分析】根据平行四边形的易变性进行解答即可。
【解答】解：生活中，人们运用平行四边形的易变形性生产电动大门。
故选：。
【点评】此题考查了平行四边形的易变性，结合题意分析解答即可。
4．【分析】等边三角形是特殊的等腰三角形，它们都属于三角形；
平行四边形和梯形都是四边形；
锐角三角形、钝角三角形、直角三角形都是三角形的一种；
正方形是特殊的长方形，它们都属于平行四边形。
据此解答。
【解答】解：所给图示表示的关系，不正确的是。
故选：。
【点评】本题主要考查四边形、三角形的分类。
5．【分析】平行四边形拉成长方形后，周长不变，面积变大；一个三角形至少有2个锐角；周长相同的长方形、正方形、三角形和圆，圆的面积最大；只有一组对边平行的四边形是梯形。
【解答】解：一个平行四边形拉成长方形后，它的周长不变、面积变大；
一个三角形最少有两个角是锐角；
用同样长的铁丝围成的长方形、正方形、三角形、和圆，圆的面积最大；
只有一组对边平行的四边形是梯形。
故选：。
【点评】本题考查了平行四边形、三角形、梯形的特征。
6．【分析】根据平行四边形高的含义：从平行四边形一条边上的一点到它的对边引一条垂线，这一点和垂足之间的距离，即平行四边形的高；每一个顶点所对的边有两条，所以平行四边形的一个顶点可以向对边作2条高（如下图）；进而解答即可。
【解答】解：如图，可以作2条高：
故选：。
【点评】此题应根据平行四边形高的含义进行分析、解答。
7．【分析】根据梯形的特征，梯形中有两边平行，以为底，即与平行的底有3种情况，以为底，即与平行的也有2种情况，这样一共有5种情况。
【解答】解：在给定的正方形点子图上，找一点在格点上），使四边形是一个梯形．那么符合条件的点的位置有5个。如图：
故选：．
【点评】解答此题的关键是抓住梯形中上、下底平行，两腰不平行这一特征，解题的关键是分别以为底、以为底找点。
8．【分析】长方形、平行四边形都是由四条线段围成的图形，所以都是四边形，任意一个四边形的内角和都是，所以它们四个内角的和都是；两组对边分别平行并且相等的四边形叫做平行四边形，长方形是四个角为直角的平行四边形，所以长方形和平行四边形的对边平行并且相等．据此进行判断．
【解答】解；由分析知：长方形、平行四边形都是四边形，所以它们四个内角的和都是；
长方形是特殊的平行四边形，所以具备平行四边形的特征：对边平行并且相等；
所以①、②、③都对，
故选：．
【点评】此题考查了长方形和平行四边形的特征．
二．填空题（共8小题）
9．【分析】长方形是有1个角是直角的平行四边形，正方形是邻边相等的长方形，即正方形是特殊的长方形，长方形的特殊的平行四边形，由此解答即可。
【解答】解：例如：若是长方形，那么可以是平行四边形。
再如：若是长方形，那么可以是正方形。
故答案为：平行四边形，长方形，正方形。
【点评】明确长方形、正方形、平行四边形的含义及特征，是解答此题的关键。
10．【分析】平行四边形的周长就是围成它的四条边的和，要求这个平行四边形的周长是多少厘米，先求出邻边的长度，即比9厘米的多厘米，先根据一个数乘分数的意义，用乘法求出9厘米的，然后加上1求出邻边的长，再用这条边的长度加上邻边的和乘2即可．
【解答】解：（厘米）
（厘米）
答：这个平行四边形的周长为．
故答案为：32．
【点评】此题主要考查平行四边形的周长的意义和求法．
11．【分析】根据平行四边形的高和底的意义：从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂线段是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底，解答此题。
【解答】解：如图所示中，平行四边形边上的高是11厘米。
故答案为：11。
【点评】此题主要考查平行四边形的底和高的对应关系的掌握情况。
12．【分析】根据三角形的内角和是180度，四边形的内角和是360度；进行解答．
【解答】解：根据四边形的特点可知：任意四边形的内角和是360度；
故答案为：360．
【点评】此题考查了四边形的特点．
13．【分析】根据平行四边形具有不稳定性，解答此题即可。
【解答】解：推拉伸缩门是由许多小平行四边形组成，这种门应用了平行四边形具有不稳定性的特性。
故答案为：具有不稳定性。
【点评】熟练掌握平行四边形的特性，是解答此题的关键。
14．【分析】此题应结合图形进行分析、解答即可。
【解答】解：如图当梯形的上底由点逐渐缩短到与点重合时，梯形就转化成三角形，当梯形的上底增长到与下底相等时，梯形就转化成平行四边形。
故答案为：三角，平行四边。
【点评】解答此题的关键是通过画图，进行分析，继而得出结论。
15．【分析】若要使四边形成为一个平行四边形，可以在点左、右的3个长度的地方，那么点的选法共有2种；若要使四边形成为一个梯形，那么点的选法共有4种，分别在点左、右1个、2个长度的地方。
【解答】解：如果要求在图内交叉点中再选一个点，若要使四边形成为一个平行四边形，那么点的选法共有2种，若要使四边形成为一个梯形，那么点的选法共有4种。
故答案为：2；4。
【点评】本题考查了平行四边形及梯形的特征。
16．【分析】当长方形被拉成平行四边形后，根据平行四边形的面积底高，高变小了，所以面积就变小了。
【解答】解：长方形被拉成平行四边形后，它的长和宽没变，但是高变小了，根据平行四边形的面积底高，所以面积就变小了。
故答案为：平行四边形面积变小了，因为平行四边形的面积底高，高变小了，所以面积变小了。
【点评】此题主要考查平行四边形易变形的特征及面积公式的灵活应用。
三．操作题（共3小题）
17．【分析】平行四边形对边相等且平行，据此根据高的定义和长度画图即可。
【解答】解：如图：
（画法不唯一）
【点评】本题考查了平行四边形的特征及画法。
18．【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形；两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，根据图形的特点画图即可。
【解答】解：如图：（画法不唯一）
【点评】解答此题的关键一定清楚直角三角形、平行四边形及梯形的特点。
19．【分析】根据平行四边形的对边平行且相等的性质，可画一个底是4厘米、高是3厘米的平行四边形即可；根据等腰梯形的定义，画出等腰梯形即可。
【解答】解：
（答案不唯一）。
【点评】此题考查平行四边形的特征、等腰梯形的特征。
四．解答题（共9小题）
20．【分析】先按要求画图，然后进行判断即可。
【解答】解：按顺序连接各点，画出围成的图形，围成的图形是平行四边形。
故答案为：平行四边形。
【点评】此题考查了平行四边形的特征。
21．【分析】（1）根据梯形高的意义，从梯形一底的任一点作另一底的垂线，这点与垂足间的距离叫做梯形的高，据此画出梯形的高。
（2）根据梯形的面积推导公式知：两个完全一样的梯形可拼成一个平行四边形，据此画图即可。
【解答】解：作图如下：
【点评】此题考查的目的是理解掌握梯形、平行四边形的特征，梯形高的画法及应用。
22．【分析】（1）根据平行四边形的对边平行，画出平行四边形即可；
（2）先画出直角梯形，再用一条线段把这个梯形分成一个直角三角形和一个钝角三角形即可。
【解答】解：
【点评】熟练掌握平行四边形、直角梯形、直角三角形、钝角三角形的特征，是解答此题的关键。
23．【分析】（1）根据平行四边形的对边相等且平行，从点出发向左找到与边相等的格子数即可画出平行四边形；根据平行四边形的高的意义，从顶点作它对边的垂线段，这条垂线段就叫高，据此画出即可；
（2）有一个角是直角的梯形叫做直角梯形，两条腰相等的梯形叫做等腰梯形，据此特征解答。
【解答】解：（1）画图如下：
（2）如果将点右平移2格，则四边形就变成了直角梯形；如果将点向左平移4格，则四边形就变成了等腰梯形。
故答案为：2；4。
【点评】本题考查了平行四边形、直角梯形和等腰梯形的特征，结合题意分析解答即可。
24．【分析】（1）先找到两腰的中点，再连接即可求解；
（2）根据线段的测量方法量出中位线的长度，上底和下底的长度，再依此找到它们的规律即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）我的发现：梯形中位线上底和下底的和的一半．
【点评】考查了梯形的特征及分类，关键是熟悉梯形中位线上底和下底的和的一半．
25．【分析】根据直角梯形的性质可知梯形有两个内角等于，由于一个直角梯形还有一个内角是，根据四边形的内角和等于，列式计算即可。
【解答】解：
故答案为：，，。
【点评】考查了直角梯形的性质和四边形的内角和，本题关键是掌握直角梯形有两个内角等于。
26．【分析】平行四边形的周长是相邻两条边的长度和的2倍，则与长20厘米的边相邻的边的长度是厘米。根据平行四边形的两组对边平行且相等这一特征，求出另外两条边的长度是20厘米和厘米。
【解答】解：
（厘米）
答：平行四边形另外三条边分别是12厘米、20厘米、12厘米。
【点评】本题考查平行四边形的特征和周长，关键是求出与20厘米长的边相邻的边的长度。
27．【分析】根据平行四边形、三角形、梯形的特征，结合题干中给出的数据，即可画图．
【解答】解：根据题干分析画图如下：
【点评】此题主要考查平行四边形、三角形、梯形的画法，此题答案不唯一，只要符合题意即可．
28．【分析】如图所示，已知平行四边形的周长，则根据平行四边形的性质可知等于的周长，假设的长度为10厘米，则可算出的长度．根据平行四边形的对边相等的性质可得出每一条边的长度．
【解答】解：厘米，
假设厘米，所以厘米，
由于平行四边形的对边相等则，
所以厘米，厘米．
答：平行四边形另外三条边分别是10厘米、18厘米、18厘米．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．

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