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第39讲 三角形（提高版）
1、特征：由三条线段围成的图形；内角和是180度；三角形具有稳定性；从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，一个三角形有三条高。
2、计算公式：s=ah/2
3、分类
① 按角分
A、锐角三角形 ：三个角都是锐角。
B、直角三角形 ：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。
C、钝角三角形：有一个角是钝角。
② 按边分
A、不等边三角形：三条边长度不相等。
B、等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。
C、等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。
4、特性
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
具有最稳定的特性。
一．选择题（共8小题）
1．在、、、四根小棒中，选取其中的3根小棒首尾相接成三角形，摆成的三角形，周长可能是　　。
A．20 B．26 C．29 D．32
2．我在研究三角形的内角和时，所得结果相对不太准确的方法是　　
A．测量 B．剪拼 C．推理
3．等边三角形是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形
4．一个三角形，其中有两个角分别是和，第三个角是　　
A． B． C． D．
5．如图，把三角形的边延长到点。则　　
A． B． C．
6．关于三角形，下列说法正确的是　　
A．三角形按角分可以分成两类
B．等边三角形三个内角都是
C．一个三角形中最多能有两个钝角
D．直角三角形只有一条高
7．园艺工人要给花圃围上篱笆，下面围法中，　　围法更牢固些。
A． B．
C． D．
8．有5根小棒，长度分别为3，3，4，6，6，用其中的3根做等腰三角形的边，可以搭出　　种不同的等腰三角形。
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共8小题）
9．在数学学习中，经常要用到三角板，你对它们肯定非常熟悉了。如图是其中的一个。图中是45度，是 　　度，这个三角板的面积是 　　平方厘米。
10．一个等腰三角形，它的顶角与一个底角的比是，那么它的顶角是 　　，底角是 　　。
11．如图，在等腰三角形中，如果沿图中的虚线将三角形剪成两部分，如果那么　　度。
12．如图，把三角形的边延长到点，可以推理说明。你能看懂下面的推理过程吗？在括号内写出推理的依据。
推理过程：
因为（平角的度数是
　　
所以
所以　　
13．等腰三角形的一个角是另一个角的2倍，那么这个三角形的顶角的度数可能是 　　或 　　。
14．一个三角形三个内角度数比是，这个三角形按边分是 　　三角形，按角分是 　　三角形。
15．一个等腰三角形，它的底角与顶角的比是，最大的角是 　　度。
16．直角三角形的一个锐角是，另一个锐角是 　　。直角三角形的两条直角边分别是5厘米和6厘米，它的面积是 　　平方厘米，与它等底等高的平行四边形的面积是 　　平方厘米。
三．操作题（共4小题）
17．在点子图上画一个等腰三角形。
18．如图，王叔叔用木条钉成了一个长方形的木框，请你想办法给这个木框加固，使其不会变形。把你的想法画在图中。
19．在下面梯形中画一条线段，把它分成一个平行四边形和一个三角形，并画出三角形的高。
20．画出下面三角形底边上的高。
四．解答题（共10小题）
21．用22根1厘米长的小棒摆成一个等腰三角形，有几种不同的摆法？请列表说明。
22．已知，，，求的度数。
23．认识三角形后，豆豆和婷婷拿出学具袋中的4根小棒，想用其中的3根小棒围一个等腰三角形。
（1）如果你是豆豆，你觉得可以选哪三根小棒？
（2）为什么这样选？请说说你的理由。
24．在如图的三角形中，已知，，你能求出和的度数吗？想一想：，和有什么关系？
25．一个直角三角形中两个锐角的度数比是，这两个锐角分别是多少度？
26．我们知道，三角形的内角和是，一个平角也是，请你利用以上两个结论完成题目：如图，延长三角形的边到点，请探究、、三者之间的关系，并说明理由。
27．（1）请在图中选择四个点，依次连接，围成一个平行四边形。
（2）选择图中的三个点，依次连接，能画出 　　个等腰三角形。
（3）画出其中一个等腰三角形，并画出它向右平移3格后的图形。
（4）若所画等腰三角形一个顶点的位置用数对表示，则它平移后的位置用数对　　，　　表示。
28．如图，把三角形的三条边分别延长，会出现如、、这样的角，我们称之为三角形的外角。三角形的外角之和等于360度，即，请你有理有据地推理证明这个结论。
29．（1）过点画出三角形边的高．
（2）以边为直径，画一个圆．
30．求出三角形各个角的度数．
（1）我有一个锐角是．求直角三角形的另一个锐角的度数．
（2）我是等腰三角形，有一个底角是求顶角的度数．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，解答此题即可。
【解答】解：因为
所以、、不能围成三角形，、、不能围成三角形；
因为
所以、、不能围成三角形；
因为
所以、、可以围成三角形。
（厘米）
答：摆成的三角形周长可能是32厘米。
故选：。
【点评】熟练掌握三角形的三边关系，是解答此题的关键。
2．【分析】在探究三角形的内角和的过程中，我们主要通过利用量角器量角的度数，在三角形的特征和分类等知识的基础上进行探讨三角形的内角和。三角形的内角和的理解，主要就是三角形一共有三个内角，其三个内角相加的和称为三角形的内角和。我们可以通过量角的度数，剪和拼的方法来证实这个结论。据此选择。
【解答】解：根据分析得，一般在研究三角形的内角和时，所得的结果相对比较准确的方法是测量和剪拼。所以相对不太准确的方法是推理。
故答案为：。
【点评】三角形的内角和这个知识点主要是利用不同的方法从量、折、剪、拼的活动实践当中去证明三角形的内角和就是180度。
3．【分析】等边三角形是每个角都是，是锐角，所以等边三角形是锐角三角形。
【解答】解：等边三角形是锐角三角形。
故选：。
【点评】本题考查等边三角形的认识。
4．【分析】根据三角形内角和为，用减去两个已知角的度数，即可求出第三个角是度数度。
【解答】解：
答：第三个角是。
故选：。
【点评】本题考查角度的计算。
5．【分析】根据三角形的内角和等于以及平角等于解答即可。
【解答】解：因为
所以
故选：。
【点评】本题考查了三角形内角和定理和平角是的应用。
6．【分析】此题考查了根据角对三角形分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；等边三角形三个角都是60度的锐角；一个三角形最多有一个钝角；任何一个三角形都有3条高。
【解答】解：三角形按角分锐角三角形、直角三角形及钝角三角形；原题说法错误；
等边三角形三个内角都是，原题说法正确；
一个三角形中只能有一个钝角，原题说法错误；
直角三角形有3条高，原题说法错误。
故选：。
【点评】本题考查了三角形的分类、等边三角形的角的特征。
7．【分析】根据三角形具有稳定性的性质，即可选择正确答案。
【解答】解：、和中，围成的图形为四边形，而四边形有容易变形的特点，中围成的图形为三角形，三角形具有稳定性，所以的围法更牢固些。
故选：。
【点评】此题考查了三角形的稳定性，根据图示分析解答即可。
8．【分析】根据三角形边的特征，在三角形中任意两边之和大于第三边，逐一列举出符合题意的情况进而得解。
【解答】解：根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边；可以组成的三角形有：
①、、
②、、
③、、
所以，搭出3种不同的等腰三角形。
故选：。
【点评】此题考查了三角形的特性中的三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数。
二．填空题（共8小题）
9．【分析】根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质，用减去，再减去，即可求出的度数；因为等腰直角三角形的两腰相等，根据三角形的面积公式：，列式解答即可。
【解答】解：
（平方厘米）
答：是45度，这个三角板的面积是50平方厘米。
故答案为：45；50。
【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质，及三角形内角和定理和面积公式。
10．【分析】根据三角形的内角和等于和等腰三角形的两个底角相等，解答此题即可。
【解答】解：
（度
（度
答：它的顶角是，底角是。
故答案为：108；36。
【点评】熟练掌握三角形的内角和知识和等腰三角形的性质，是解答此题的关键。
11．【分析】根据三角形的内角和等于和等腰三角形的两个底角相等，解答此题即可。
【解答】解：
（度
（度
答：是。
故答案为：65。
【点评】熟练掌握三角形的内角和与等腰三角形的性质，是解答此题的关键。
12．【分析】（1）根据平角的含义，等于的角是平角，所以和组成平角；
（2）三角形的三个内角的和是180度，所以，又因为和组成一个平角，所以，没变，所以．据此解答即可。
【解答】解：因为（平角的度数是
（三角形的内角和是
所以
所以（等量代换）。
故答案为：三角形的内角和是；等量代换。
【点评】解题关键是灵活运用三角形的内角和定理和平角的特征解答。
13．【分析】根据题意，等腰三角形的一个角是另一个角的2倍，可以设这个角的度数为度，然后根据三角形内角和是，列方程解答即可。
【解答】解：第一种情况：
设这个角的度数为度，另一个角的度数就是度。
第二种情况：
设这个角的度数为度，另一个角的度数就是度。
答：个三角形的顶角的度数可能是或。
故答案为：36；90。
【点评】本题考查了三角形内角和知识和等腰三角形特征知识，结合题意分析解答即可。
14．【分析】首先根据题意，把三角形的内角和看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用三角形的内角和乘这个三角形最大的角占的分率，求出这个三角形的最大角是多少；然后根据三角形的分类方法，判断出这个三角形是什么三角形即可。
【解答】解：
所以这个三角形的最大角是是一个钝角，因此按角分是钝角三角形；
因为这个三角形中三个内角度数的比是，所以这个三角形按边分是等腰三角形。
故答案为：等腰，钝角。
【点评】此题主要考查了比的应用，分数乘法的意义的应用，以及三角形的分类方法，要熟练掌握，解答此题的关键是求出这个三角形的最大角是多少。
15．【分析】等腰三角形中，一个底角和顶角的度数比是，即三个角的比为，所以最大角为顶角，进而根据按比例分配知识求出顶角即可。
【解答】解：
所以顶角最大为：
答：最大的角是顶角是。
故答案为：120。
【点评】此题主要利用三角形的内角和与按比例分配知识来解决问题。
16．【分析】根据三角形的内角和定理，三角形的内角和等于，其中一个角是，另外两个锐角的和是，用就是另一个锐角的度数；
直角三角形的面积是它两条直角边乘积的一半，与它等底等高的平行四边形的面积是是三角形面积的2倍，据此解答。
【解答】解：根据三角形的内角和定理及直角三角形的意义，直角三角形两锐角的度数之和是。
答：直角三角形的一个锐角是，另一个锐角是。
解：
（平方厘米）
（平方厘米）
答：它的面积是15平方厘米，与它等底等高的平行四边形的面积是30平方厘米。
故答案为：55，15，30。
【点评】此题主要是考查三角形内角和定理，直角三角形的意义、角度的计算方法、三角形面积公式等，根据题意解答即可。
三．操作题（共4小题）
17．【分析】根据等腰三角形的定义，画出有两条边相等的三角形即可。
【解答】解：
【点评】根据等腰三角形的定义，解答此题即可。
18．【分析】利用三角形的特性，因为三角形的稳定性很好，三角形越多，稳定性越好。将长方形构造为三角形，增强了它的稳定性即可。
【解答】解：根据分析得，可以斜着加一根木条，利用三角形的稳定性，可以使它更牢固。
如图：
（答案不唯一）
【点评】此题的解题关键是灵活利用三角形的稳定性并运用在实际生活中。
19．【分析】把梯形分成一个平行四边形和一个三角形，因平行四边形的两组对边都平行，梯形的一组对边平行，所以要分成一个平行四边形和一个三角形，就要用原来梯形一组平行的边，作为平行四边形的一组对边，再过梯形的上底顶点作另一个腰的平行线，既可得到一个平行四边形和一个三角形。
根据三角形高的意义，在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，再根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法，由此作图即可。
【解答】解：如下图，红色线段为分割线，绿色线段为三角形的高。
（答案不唯一）
【点评】本题主要考查了学生根据平行四边形、三角形、梯形的定义来对图形进行分割的能力以及三角形高的意义和高的画法。
20．【分析】过三角形指定底边的对角顶点向指定底边作垂线，顶点与垂足间的线段，就是三角形指定底边上的高。
【解答】解：
【点评】本题是考查作三角形的高。注意作高通常用虚线，并标出垂足。
四．解答题（共10小题）
21．【分析】根据题意，三角形任意两边的之和必须大于第三边，据此先把22平均分成2份，那么两腰的和必须大于11厘米，据此推理解答即可。
【解答】解：如表：
，一共有5种摆法。
【点评】本题考查了三角形的三边关系，两边之和必须大于大三边，两边之差必须小于第三边。
22．【分析】根据三角形的内角和等于180度，解答此题即可。
【解答】解：
答：
【点评】熟练掌握三角形的内角和定理，是解答此题的关键。
23．【分析】（1）根据等腰三角形的两腰相等，解答此题；
（2）根据三角形任意两边之和大于第三边，解答此题。
【解答】解：（1）选2厘米、6厘米、6厘米的三根小棒；
（2）因为
所以2厘米、6厘米、6厘米的三根小棒能围成等腰三角形。
【点评】熟练掌握等腰三角形的特征，和三角形的三边关系，是解答此题的关键。
24．【分析】根据三角形的内角和等于和平角等于，解答此题即可。
【解答】解：
，所以。
答：等于，等于，。
【点评】熟练掌握三角形的内角和和平角的定义，是解答此题的关键。
25．【分析】根据三角形的内角和等于，可得一个直角三角形中两个锐角的度数和是，把平均分成5份，再求出两个锐角即可。
【解答】解：
答：这两个锐角分别是、。
【点评】熟练掌握三角形的内角和知识，是解答此题的关键。
26．【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三个内角的和是以及它的推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，三角形的外角可以转化成三角形的内角来考虑。
【解答】解：结合图示可知，三角形的内角和是，所以。
一个平角是，所以。
综上所述，所以，导出，即：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
【点评】正确理解三角形的外角性质是解题的关键，可以结合图形来考虑。
27．【分析】（1）结合题意，选择、、、四个点连接即可画出平行四边形。
（2）根据等腰三角形的特点，选择图中的三个点，依次连接，能画出三角形、三角形、三角形等3个等腰三角形。
（3）根据平移的方法，画出其中一个等腰三角形，然后向右平移3格后画出即可
（4）根据数对知识和用字母表示数的知识解答即可。
【解答】解：（1）选择四个点，依次连接，围成一个平行四边形（如图）。
（2）选择图中的三个点，依次连接，能画出三角形、三角形、三角形等3个等腰三角形。
（3）画出其中一个等腰三角形，画出它向右平移3格后的图形（如图）。
（4）若所画等腰三角形一个顶点的位置用数对表示，则它平移后的位置用数对表示。
故答案为：（2）3；（4），。
【点评】本题考查了平行四边形、等腰三角形、平移及数对等知识，结合题意解答即可。
28．【分析】与成一个平角，即，同理，，，由此可求出，根据三角形内角和定理，，由此即可求出。
【解答】解：我的根据、理由如下：
因为，，，
所以
又因为
所以
。
【点评】解答此题的关键是平角的意义及三角形内角和定理。
29．【分析】（1）使用直尺和三角板，利用三角板的直角边画出过点的边的高；
（2）以为直径，以的中点为圆心，用圆规画一个圆即可．
【解答】解：解答如图：
【点评】此题考查作三角形的高、角的度量、画圆，根据相关知识正确解答即可．
30．【分析】（1）直角三角形两个锐角和为，即可得另一个锐角度数；
（2）等腰三角形的两个底角相等，所以它的另一个底角也是，根据三角形的内角和是，即可求出这个三角形的顶角的度数．
【解答】解：（1）（度
答：另一个锐角的度数是55度；
（2）
答：它的顶角是．
【点评】此题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质以及三角形的内角和是的综合应用．

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