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第40讲 圆（提高版）
1、圆的认识。
圆是平面上的一种曲线图形。
圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。
在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。
同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。同圆或等圆的直径都相等
同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。
圆的大小由半径决定。 圆有无数条对称轴。
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
2、圆的画法
把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；
把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上；
把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。
3、圆的周长
围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母∏表示。
4、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
5、计算公式：d=2r r=d/2 c=∏d c=2∏r s=∏r
扇形
1、扇形的认识
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。（半圆与直径的组合也是扇形）。显然， 它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。
圆上AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。
扇形有一条对称轴，是轴对称图形。
2、计算公式：s=n∏r /360
环形
⑴特征：由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。
⑵ 计算公式：s=∏(R -r ）
一．选择题（共8小题）
1．车轮设计成圆形，是因为　　
A．圆有无数条对称轴 B．同一圆内，
C．圆的周长是直径的倍 D．同一圆内所有半径都相等
2．下面各圆中的阴影部分，　　不是扇形。
A． B． C． D．
3．约二千年前，我国古代数学著作《周髀算经》中关于圆周长和直径的关系就有“周三径一”的说法。经过探究，我们发现一个圆的周长是它直径的　　倍。
A． B．3 C．3.14 D．3.1415926
4．把圆分成若干等份，拼成近似的长方形后，周长增加了8分米，原来圆的面积是　　平方分米。
A．50.24 B．25.12 C．12.56
5．用如图的方法可以测量没有标出圆心的圆的直径，这是因为　　
A．圆是轴对称图形
B．直径长度是半径的2倍
C．两端都在圆上的线段中，直径最长
D．圆心确定了，圆的中心位置就确定了
6．圆周率是圆的周长与直径的比值，公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，公元480年左右，南北朝数学家祖冲之进一步得到圆周率小数点后7位的结果。如果如图中线段表示一个圆的周长，那么这个圆的直径可能是　　
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
7．下列说法正确的个数是　　
①圆的直径是半径的2倍
②一个半圆形的周长等于同等半径圆周长的一半
③甲数比乙数大，乙数比甲数小
④等腰三角形的一个角是，这个三角形一定是等腰直角三角形．
⑤设，则的末尾有8个0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
E．5个
8．下列说法正确的有　　个。
①圆周率是圆的周长与直径的比。
②小明与小强高度的比是，小明比小强矮。
③3点15分，时针与分针的夹角为。
④一个三角形中的最小角是，这个三角形一定是锐角三角形。
⑤若数列：1、2、3、中，3和7的倍数共有189个，那么最大是441。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
9．边长是的正方形中放置一个最大的圆，这个圆的半径是 　　，直径是 　　．
10．画一个直径是的圆，圆规两脚间的距离是 　　。
11．用圆规画一个直径是6厘米的圆，圆规两脚尖的距离是 　　厘米，这个圆的位置由 　　决定。
12．　　国的著名数学家 　　把圆周率精确到之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人，这一成就比国外大约要早1000年。
13．填一填．
半径 4.5 　　
直径 　　 26
14．在一个正方形里画最大的圆，这个圆的直径是正方形的　　．
15．把一个直径是8厘米的圆分成若干等份，然后按照图的样子拼起来，拼成的图形的周长是 　　厘米。
16．将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是 　　；将一个半圆形沿着它的直径旋转一周，其轨迹所形成的图形是 　　。
三．计算题（共1小题）
17．求直径或半径．
；；．
四．操作题（共3小题）
18．（1）请你画出下面圆的圆心和直径，并用字母标注出来。
（2）正方形的边长为10厘米，求出这个图形阴影部分的面积。
19．找出下面圆的圆心，用字母表示，并画出它的半径。
20．用圆和线段设计出一个有意义的图形，并写出所设计图形的名称。
五．解答题（共9小题）
21．图中、是一个圆中的一条线段，你觉得这条线段是圆的一条半径吗？你准备如何来验证，请用你喜欢的方式表示出你的验证过程．（写出两种办法可以得满分）
22．如图是一张圆形的铁片，没有标明圆心，你能找出它的直径吗？请你叙述或者画出你的方法．
23．如图这个圆的半径是，现在以点为起点，向右滚动一周至点．请在直线上标出点的大概位置．（直线上每段长度为
24．画一画，填一填。（每个小正方形均表示1平方厘米）
（1）用数对表示的位置 　　。
（2）画出把图①绕点逆时针旋转90度后的图形。
（3）在点南偏东方向画一个直径4厘米的圆。
25．生活中喝水杯子的口面一般都设计成圆形，请你解释这样设计的道理。
26．如图，钟表半径为，上方有一个小圆，半径为，此时，小圆中的箭头恰好朝向正上方，且大圆与小圆相切于12点处。若将小圆按顺时针旋转，当箭头再次朝上时，此时的大圆与小圆相切于4点处，求大圆与小圆的半径满足怎样的关系？
27．用下面的方法可以测量没有标出圆心的圆的直径，为什么呢？请说明理由。
28．有一个长方形的长是，宽是，在这个长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的直径是多少？半径是多少？
29．在一个圆中画有一条线段，怎样可以判断这条线段是否是所在圆的半径？（至少写出两种方法）
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【分析】车轮设计成圆形目的是易滚动，是利用了同一个圆内半径都相等的原理设计的。
【解答】解：车轮设计成圆形，是因为同一圆内所有半径都相等。
故选：。
【点评】本题考查了圆在生活中的应用。
2．【分析】一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形，据此判断。
【解答】解：不是扇形。
故选：。
【点评】本题考查了扇形的认识。
3．【分析】根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率；即圆的周长总是直径的3倍多一些，进而解答即可。
【解答】解：我国古代著作中有“周三径一”的记载，是说圆的周长约是直径的倍。
故选：。
【点评】此题考查了圆周率的含义，根据题意解答即可。
4．【分析】根据圆面积公式的推导过程可知：把一个圆平均分成若干等份，拼成近似的长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，又知把圆分成若干等份，拼成近似的长方形后，周长增加了8分米，由此可以求出半径，再根据圆的面积公式：把数据代入公式解答。
【解答】解：
（平方分米）
答：原来圆的面积是5024平方分米。
故选：。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程，以及圆面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
5．【分析】根据直径的含义：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，在圆中直径最长；由此解答即可。
【解答】解：圆是轴对称图形，与本题测量圆的直径无关；
直径长度是半径的2倍，与本题测量圆的直径无关；
两端都在圆上的线段中，直径最长，根据直径的含义可知：直径是圆内最长的线段，两端都在圆上的线段中，直径最长。故此本选项符合题意；
圆心确定了，圆的中心位置就确定了，与本题测量圆的直径无关；
故选：。
【点评】此题考查了圆的认识与圆周率，明确直径的含义，是解答此题的关键。
6．【分析】根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，圆周率用表示，根据圆的周长直径乘，即，直径为，那么周长与直径的比值即是。因为的近似值是3.14，所以图中线段代表一个圆的周长的话，那么这个圆的直径大约是周长的三分之一，据此解答即可。
【解答】解：根据圆的周长直径乘，即，，，图中线段代表一个圆的周长，则圆的直径大约是周长的三分之一，根据图示线段最适合。
故选：。
【点评】此题解答关键是明确大约等于3.14，周长大约是直径的三倍。
7．【分析】根据题意，对各选项进行依次分析、进而得出结论．
【解答】解：①圆的直径是半径的2倍，说法错误，前提是：在同圆或等圆中；
②一个半圆形的周长等于同等半径圆周长的一半，说法错误，半圆的周长多出了一条直径；
③甲数比乙数大，假设乙数是3，则甲数是4，则乙数比甲数小，说法正确；
④等腰三角形的一个角是，此角若是底角，则另一个底角也是，则最大角是，这个三角形一定是等腰直角三角形；的角若是顶角，则一个底角就是，所以说法错误；
⑤设，在中间有5、10、15、20、25、30共6个数，
除了25两个数含有2个因数5外，其它只有1个，所以一共有个，则的末尾有7个0，所以本选项说法错误；
故选：．
【点评】此题涉及的知识点较多，但都比较简单，属于基础题，只要认真，容易完成，注意平时基础知识的积累．
8．【分析】①根据圆的周长公式进行判断；
②已知小明与小强高度的比是，把小明的高度看作5份，小强的高度看作6份；求小明比小强矮几分之几，先用减法求出小明比小强矮的份数，再除以小强的份数；
③找出3点（15分）时，时针与分针的位置，再结合角的分类进行判断；
④三角形的内角和是，已知一个三角形中的最小角是，假设另一个角也是，求出第三个角的度数，再根据三角形按角的分类进行判断；
⑤分别求出里3的倍数的个数，7的倍数的个数，以及3和7的最小公倍数的个数，然后用3的倍数的个数的倍数的个数和7的最小公倍数的个数，即是里3和7的倍数的总个数，据此判断。
【解答】解：①根据可知，，所以圆周率是圆的周长与直径的比，原题说法正确；
②
小明与小强高度的比是，小明比小强矮，原题说法正确；
③3点15分，时针指向3和4的中间，分针指向3，时针与分针的夹角小于，原题说法错误；
④一个三角形中的最小角是，假设另一个角也是，那么第三个角是：
这个三角形一定是锐角三角形，原题说法正确；
⑤3的倍数有：（个
7的倍数有：（个
3和7的最小公倍数：
21的倍数有：（个
3和7的倍数共有：（个
441后面还有442、443，都不会影响3和7的倍数共有189个，所以最大是443；原题说法错误。
综上所述，正确的有①②④，共有3个。
故选：。
【点评】本题考查圆的周长公式、比的应用、钟面上时针与分针所成的夹角、三角形的分类、倍数知识。
二．填空题（共8小题）
9．【分析】在边长是的正方形中放置一个最大的圆，圆的半径是正方形边长的一半，直径就是正方形的边长．
【解答】解：边长是的正方形中放置一个最大的圆，这个圆的半径是：
（米
直径是10米．
故答案为：5，10．
【点评】本题根据是理解正方形中放置一个最大的圆，圆的半径是正方形边长的一半．
10．【分析】圆规两脚间的距离即半径，根据“”进行解答即可。
【解答】解：（厘米）
答：圆规两脚间的距离为4厘米。
故答案为：4。
【点评】本题主要考查圆的认识，根据同圆或等圆中半径和直径之间的关系进行解答即可。
11．【分析】圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，圆规两脚间的距离是半径的长度。
【解答】解：由分析可知，圆规两脚间的距离是（厘米），即这个圆的半径是3厘米；
用圆规画圆，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。所以画一个直径6厘米的圆，圆规两脚间的距离是3厘米，这个圆的位置由圆心决定。
故答案为：3；圆心。
【点评】此题考查的是圆的特征，应注重基础知识的理解和运用。
12．【分析】根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值叫做圆周率，用字母“”表示，是一个无限不循环小数，计算时一般取它的近似值3.14；我国古代数学家祖冲之是第一个把它精确到七位小数的人，据此解答。
【解答】解：我国的著名数学家祖冲之把圆周率精确到之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人，这一成就比国外大约要早1000年。
故答案为：我，祖冲之。
【点评】明确圆周率的含义是解答此题的关键。
13．【分析】根据同圆中直径和半径的关系：，，由此解答即可．
【解答】解：填表如下：
半径 4.5 13
直径 9 26
故答案为：13，9．
【点评】明确同圆中，圆的直径和半径的关系，是解答此题的关键．
14．【分析】在正方形里画一个最大的圆，则圆的直径就是正方形的边长，画图即可容易看出．
【解答】解：如图：
在一个正方形里画最大的圆，这个圆的直径是正方形的 边长．
故答案为：边长．
【点评】此题主要考查的是：在一个正方形内画一个最大的圆，正方形的边长即是这个圆的直径．
15．【分析】由圆的面积推导过程可知：将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，从而再根据长方形的周长公式求解即可。
【解答】解：因为将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，
所以这个长方形的长是：
（厘米）
宽是：（厘米）
周长是：
（厘米）
答：拼成的图形的周长是33.12厘米。
故答案为：33.12。
【点评】解答此题的主要依据是圆的面积推导过程，要注意计算准确。
16．【分析】一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，根据点动成线的原理即可理解。
一个半圆面围绕一条直径为轴旋转一周，根据面动成体的原理即可解。
【解答】解：将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是圆；将一个半圆形沿着它的直径旋转一周，其轨迹所形成的图形是球。
故答案为：圆，球。
【点评】本题考查了点、线、面、体，平面图形旋转可以得到立体图形，体现了点动成线，面动成体的运动观点。
三．计算题（共1小题）
17．【分析】根据题干，利用；即可计算完成．
【解答】解：
故答案为：，，．
【点评】此题考查了有关圆的公式的计算方法．
四．操作题（共3小题）
18．【分析】（1）圆心到圆上一点的距离都相等，直径通过圆心且两端都在圆上。据此画出即可。
（2）圆的半径直径，先求出正方形面积边长边长，再减去圆的面积即可。
【解答】解：（1）作图如下：
（2）
（平方厘米）
答：这个图形阴影部分的面积是21.5平方厘米。
【点评】此题主要考查长方形、圆的面积公式的应用。
19．【分析】只要连接正方形的两条对角线，正方形对角线的交点，即圆的圆心；再标出半径即可解答。
【解答】解：
【点评】此题考查了找圆心的方法。
20．【分析】用三个大小不同的圆和三条线段可拼成一个小鸡的图形，其中的三条线段可表示小鸡的嘴和两条腿。
【解答】解：
【点评】此题考查了利用已知图形拼组组合图形的能力。
五．解答题（共9小题）
21．【分析】根据圆的半径的定义去判断，圆的半径是从圆心到圆周上任意一点的线段．
【解答】解：圆的半径是从圆心到圆周上任意一点的线段；
方法①：把圆规的两脚放在线段的端点上，固定一端，看另一端旋转是否与圆重合；
方法②：这条线段从圆心出发，另一端是否在圆周上．
【点评】此题主要考查的是圆的半径的定义，注意两个关键处“从圆心出发”和“另一端必须在圆周上”即可很容易判断是否是圆的半径．
22．【分析】根据圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的直线，因而可以采用折叠的方法确定圆心；
圆心在弦的垂直平分线上，可以作两条线，这两条弦的垂直平分线的交点就是圆的圆心；
利用三角形外接圆的圆心在三边的垂直平分线的交点上的性质在圆上任意取三点，然后将这三点顺次连接起来，作其中任意两边的垂直平分线，他们的交点就是圆心．
【解答】解：方法一：将圆进行一次对折，则折痕就是圆的直径，另外折叠一次，得到另一条直径，则两直径的交点就是圆心；
方法二：作圆的两条不平行的弦，然后作两条弦的中垂线，两中垂线的交点就是圆的圆心．
方法三：在圆上任意取三点，然后将这三点顺次连接起来，作其中、的垂直平分线，他们的交点就是圆心．
【点评】本题考查了圆心的确定方法，正确理解圆的轴对称性是解决本题的关键．
23．【分析】以点为起点，向右滚动一周至点，滚动的就是圆的周长，圆的周长，求出周长约为厘米，直线上每段长度为，则6.28厘米接近于6.3厘米，就是把6厘米和7厘米之间平均分成10份，取其中的3份，据此标出即可．
【解答】解：（厘米）
作图如下：
【点评】此题考查了圆的认识和周长的求法．
24．【分析】（1）用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行；
（2）根据旋转的意义，找出图中三角形3个顶点，再画出按逆时针方向旋转90度后的形状即可；
（3）按上北下南，左西右东的方向确定圆心的位置，再把圆规的两脚开口调成2厘米，画圆即可。
【解答】解：（1）用数对表示的位置。
（3）（厘米）
（2）和（3）如图：
【点评】本题考查了旋转、数对确定位置及圆的画法。
25．【分析】连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径；在同一圆内，所有的半径长度都相等，据此解答。
【解答】解：生活中喝水杯子的口面一般都设计成圆形，主要利用了同一圆内所有的半径长度都相等的性质。杯盖不会掉到杯子里面。
【点评】明确圆的特征，是解答此题的关键。
26．【分析】根据题意，再次朝上，观察图示可知，大圆走了4个刻度，小圆走了（个刻度，大圆走过的路程占圆周长的，小圆占，根据路程相等列出关系式即可。
【解答】解：由此图示和分析可知：
答：大圆是小圆的2倍。
【点评】解答此题的关键是了解大圆走过刻度和小圆走过的刻度占圆周长的几分之几。
27．【分析】圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，如图测量圆中的线段，其中最长的线段即为圆的直径。
【解答】解：在同一个圆内有无数条直径，直径是圆中最长的线段，如图所示，测量出圆中最长的线段就是圆的直径。
【点评】本题解题的关键是明确直径的含义。
28．【分析】根据长方形内最大的半圆的特点可得，这个最大的半圆的直径是9分米，据此利用直径与半径的关系即可解答．
【解答】解：根据题干分析可得这个最大的半圆的直径是9分米，
（分米）
答：这个半圆的直径是9分米，半径是4.5分米．
【点评】解答此题要明确长方形内的最大半圆一般是以长边为直径．
29．【分析】根据圆的半径的定义去判断，圆的半径是从圆心到圆周上任意一点的线段．
【解答】解：圆的半径是从圆心到圆周上任意一点的线段；
方法①：把圆规的两脚放在线段的端点上，固定一端，看另一端旋转是否与圆重合；
方法②：这条线段从圆心出发，另一端是否在圆周上．
方法③把圆形纸片沿着线段对折，再对折，如果圆的边沿能够完全重合，且展开后，观察，如果点在两条相互垂直的折痕的交点上，这条线段就为所在圆的半径，否则不是所在圆的半径．
【点评】此题主要考查的是圆的半径的定义，注意两个关键处“从圆心出发”和“另一端必须在圆周上”即可很容易判断是否是圆的半径．

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