资源简介

第41讲 长方体和正方体（提高版）
长方体
1、特征
六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。
相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。
有8个顶点。
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。
两个面相交的边叫做棱。
三条棱相交的点叫做顶点。
把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。
长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
2、计算公式：s=2(ab+ah+bh) V=sh V=abh
正方体
1、特征
六个面都是正方形
六个面的面积相等
12条棱，棱长都相等
有8个顶点
正方体可以看作特殊的长方体
2、计算公式：S表=6a v=a
一．选择题（共8小题）
1．一个长方体的棱长之和是144厘米，相交于一个顶点的三条棱的长度和是　　
A．24 B．36 C．72
2．一件长方体形状的物品，长、宽、高，它可能是　　
A．微波炉 B．冰箱 C．1张复印纸 D．笔记本电脑
3．一个正方体的展开图如图，这个正方体中与数字4所在面相对应的面是数字　　所在的面。
A．3 B．5 C．1
4．下面说法中，不正确的是　　
A．1既不是质数，也不是合数
B．一个数除以真分数，结果都大于原数
C．当时，和不相等
D．一个长方体最多有2个面是正方形
5．正方体木块相对两个面上的数字之和是7，这个木块如图放置后，按箭头所示方向滚动，滚动到最后一格时，木块朝上的数字是　　
A．4 B．5 C．6 D．无法确定
6．如图是由若干个小正方形组成的图形，去掉　　号小正方形后是轴对称图形。
A．① B．② C．③ D．④
7．如表是商品外包装的部分信息，它最可能是　　
外形尺寸
净重
A．微波炉 B．洗衣机 C．电冰箱 D．立式空调
8．某产品说明书上标注包装尺寸为（毫米），它们分别表示这个长方体的长、宽、高。根据这些数据联系生活，想象一下，它可能是　　
A．一部手机 B．一台冰箱 C．一台微波炉 D．一箱牛奶
二．填空题（共8小题）
9．用铁丝焊接一个长、宽、高的长方体框架，至少需要铁丝 　　。
10．笑笑家装修完新居，剩4块玻璃。两块长为，宽为；另外两块长为，宽为。爸爸想做一个长方体的玻璃鱼缸（无盖），还需要配一块长 　　、宽 　　的玻璃。
11．如图，在10个空白的正方形中选1个（把其余9个都剪掉），与分别写有“祝学习进步”字样的5个正方形折成一个正方体纸盒，共有　　种不同的选法。
12．2022年5月10日在人民大会堂举行了“庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会”，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平在会上发表重要讲话强调，青春孕育无限希望，青年创造美好明天。下图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，与“望”字相对面上的字是“　　”。
13．如图是一个正方体的表面展开图，若在正方体的各个面均填上数，使得相对面两数之和是10，则是 　　。
14．做一个长方体鱼缸，用了如图几块长方形玻璃。（单位：
这个鱼缸的底是 　　号玻璃，鱼缸深 　　。
15．一根长60厘米的铁丝，正好可以围成长8厘米，宽4厘米，高 　　厘米的长方体框架；如果可以正好围成正方体框架，正方体框架的棱长是 　　厘米。
16．王叔叔用不锈钢管焊制一种长方形框架。一条钢管如果全部切割成这个长方形较长的边，可以切割10条；如果全部切割成这个长方形较短的边，可以切割15条。用一条这样的钢管，可以制作 　　个这样的长方形框架。
三．操作题（共3小题）
17．在如图添若干个正方形，使它成为一个正方体表面的展开图，再求出这个正方体的体积和表面积。（每个正方形边长为1厘米）
18．将1、2、3、4、5、6分别填在如图中的每个方格内，使折成的正方体中相对的2个面的数之和相等。
19．要拼成一个长方体，从如图中选出合适的6个面，在6个面中画上斜线阴影。
四．解答题（共12小题）
20．如图，用一根彩带捆扎一个长方体礼品盒，接头处的彩带长。这根彩带长多少厘米？
21．如图是一张的方格纸，再保持每个方格完整的条件下将它剪成三部分，使每部分都可以沿某些格线折成一个没有盖的小方盒，应怎样剪？请再图中用线画出来。
22．一个长方体的棱长之和是96厘米，长、宽、高的比是，这个长方体的体积是多少？
23．做一个长方体的木箱，它的所有棱长之和为112厘米，它的长、宽、高之比是．这个木箱的占地面积最大是多少平方厘米？
24．把下面这个展开图折成一个长方体．
（1）如果面在底部，那么　　面在上面．
（2）如果面在前面，从左面看是面，那么　　面在上面．
（3）如果要求这个长方体的表面积和体积，至少要量出哪些边的长度？
25．用长5厘米、宽3厘米的长方形硬纸做成一个棱长1厘米的小正方体有盖，应如何剪？（接头处忽略不计）在下面的图中画一画，用阴影部分表示正方体的展开图，至少给出两种不同的方案．图中每个小正方体的棱长表示1厘米．
26．下面两个图中五个相连的正方形可以折成一个无盖的正方体纸盒，你能在原图的基础上，把他们设计成有盖的正方体纸盒吗？请把图画出来．
27．右面是一个长方体的展开图，请同学们看图列式计算它的体积和表面积．（单位：厘米）
28．如图是一个正方体的展开图，请你在3个空格中填上适当的数字，使得在原正方体中，两个相对的面上的数字相加的和都是10．
29．小明生日那天，妈妈给他买了一个礼品，用彩带捆扎这个礼品盒，打结用去彩带20厘米，捆扎这个礼品盒至少用去彩带多少厘米？
30．一个长方体的棱长总和是，长、宽、高的比是，它的宽是多少厘米？
31．右图是一个长方体展开图中的四个面，请你画出其余两个面，使它成为一个完整的展开图，然后量出这个长方体的长、宽、高（一位小数），
（1）这个长方体的表面积是多少平方厘米？
（2）这个长方体的体积是多少立方厘米？
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【分析】根据长方体的特征，长方体的12条棱中互相平行的一组4条棱的长度相等，长方体的棱长总和（长宽高），本题实质就是求（长宽高）的值，由此解答。
【解答】解：（厘米）
答：相交于一个顶点的三条棱的长度和是36厘米。
故选：。
【点评】此题主要考查长方体的特征和棱长总和的求法．关键是理解题意。
2．【分析】根据长方体的特征，长、宽、高决定长方体的大小，再根据生活经验可知，长、宽、高的物体有可能是笔记本电脑。据此解答即可。
【解答】解：一件长方体形状的物品，长、宽、高，它可能是笔记本电脑。
故选：。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及应用，重点是考查学生的空间关键及想象能力。
3．【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图为正方体展开图的“”型，折成正方体后，数字1与4相对，2与6相对，3与5相对。
【解答】解：如图：
这个正方体中与数字4所在面相对应的面是数字1所在的面。
故选：。
【点评】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。
4．【分析】根据质数与合数的定义可知：1既不是质数，也不是合数；
一个数除外）除以真分数，结果都大于原数；
把，代入求解，再比较即可判断；
根据长方体的特征，它有12条棱，分为3组，互相平行的一组4条棱的长度相等；它的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等。
【解答】解：根据质数和合数的定义可得：1既不是质数，也不是合数，所以本选项说法正确；
一个数除外）除以真分数，结果都大于原数，所以本选项说法不正确；
当时，，，和不相等，所以本选项说法正确；
根据长方体的特征可知：特殊情况一个长方体最多有2个面是正方形，其余的面都是长方形，所以本选项说法正确。
故选：。
【点评】本题主要考查了质数与合数、用字母表示数、真分数、长方体的特征及应用。
5．【分析】根据正方体木块相对两个面上的数字之和是7，即可分别求出1、2、3的对面数字，再根据箭头所示方向滚动，即可确定每次滚动后，哪个数字朝上，哪个数字朝下。
【解答】解：由题意可知，数字1的对面是6，2的对面是5，3的对面是4
按箭头指向滚动第一次，3朝下，4朝上；滚动第一次，3朝下，4朝上；2朝下，5朝上。
故选：。
【点评】关键根据题意弄清1、2、3对面数字分别是几。此题可按图亲自操作一下。
6．【分析】根据轴对称图形的特征，去看④号图形，剩余的5个正方形就是轴对称图形。
【解答】解：如图：
故选：。
【点评】如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线叫做对称轴。
7．【分析】根据长方体体积的意义，以及生活经验可知，一个长502毫米，宽413毫米，高302毫米的物体，这个物体最有可能是微波炉。据此解答即可。
【解答】解：外形尺寸是：；净重15.5千克的物体最有可能是微波炉。
故选：。
【点评】解答此题主要根据长方体的特征，以及生活经验解决问题。
8．【分析】由题意可知712毫米是长方体的长，712毫米分米，667毫米是长方体的宽，667毫米分米，1888毫米是长方体的高，1888毫米分米，长7分米多，宽6分米多，高18分米米，高1米多接近2米，所以它可能是一台冰箱，据此解答即可。
【解答】解：包装尺寸为（毫米），可知长7分米多，宽6分米多，高18分米多，即高1米多接近2米，所以它可能是一台冰箱。
故选：。
【点评】先把毫米化为分米，然后联系生活实际，想象一下就可以得出结论。
二．填空题（共8小题）
9．【分析】根据长方体的棱长总和（长宽高），把数据代入公式即可求出铁丝的长度。
【解答】解：
答：至少需要铁丝。
故答案为：60。
【点评】此题主要考查长方体的棱长总和公式的灵活运用，关键是熟记公式。
10．【分析】根据题意可知，要配上的这块玻璃的长是5分米，宽是4分米，做成鱼缸的长是5分米，宽是4分米，高是3分米。
【解答】解：两块长为，宽为；另外两块长为，宽为。爸爸想做一个长方体的玻璃鱼缸（无盖），还需要配一块长、宽的玻璃。
故答案为：5；4。
【点评】本题考查了长方体的特征知识，结合题意分析解答即可。
11．【分析】正方体的展开图共有11种，“型”的6种基本图形，“型”的3种基本图形，“型”的1种基本图形，“型”的1种基本图形；在正方体的展开图中，不能出现“凹”字形和“田”字形，据此进行求解。
【解答】解：如图所示，共有4种不同的选法：
故答案为：4。
【点评】本题考查的是正方体的展开图，掌握正方体的展开图的特点是解题的关键。
12．【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“”，汉字“青”与“望”相对，“春”与“育”相对，“孕”与“希”相对。
【解答】解：如图：
是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，与“望”字相对面上的字是“青”。
故答案为：青。
【点评】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。
13．【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“”型，折成正方体后，字母与数字4相对，与2相对，与1相对，再根据对面两数之和是10，即可求得是几。
【解答】解：如图：
折成正方体后，与2相对
答：是8。
故答案为：8。
【点评】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。
14．【分析】根据长方体的特征，长方体有6个面，相对的面面积相等，因为鱼缸无盖，通过观察图形可知，用①号玻璃做底面，这个鱼缸的长是6分米，宽是3厘米，高是4分米。据此解答。
【解答】解：这个鱼缸的底是①号玻璃，这个鱼缸的长是6分米，宽是3厘米，高是4分米，所以鱼缸的深4分米。
故答案为：①，4。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及应用。
15．【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，用棱长总和除以4减去长和宽即可求出它的高；根据正方体的特征，12条棱的长度都相等，根据正方体的棱长总和棱长，用棱长总和除以12即可求出正方体的棱长。
【解答】解：
（厘米）
（厘米）
答：可以围成长8厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体框架；正方体框架的棱长是5厘米。
故答案为：3，5。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体的特征，以及它们的棱长总和公式的灵活运用。
16．【分析】可以设长方形的长为，宽为，由题意可得长和宽的关系，根据长方形的周长（长宽），列关系式求解即可。
【解答】解：设长方形的长为，宽为，
则
答：可以制作3个这样的长方形框架。
故答案为：3。
【点评】本题主要考查长方形的特征及周长公式的应用，关键是明确长和宽的关系。
三．操作题（共3小题）
17．【分析】根据正方体展开图的11种形式，结合所给图示的特点作图；利用正方体体积和表面积的计算方法计算。
【解答】解：如图：
（画法不唯一）
（立方厘米）
（平方厘米）
答：这个正方体的体积是1立方厘米，表面积是6平方厘米。
【点评】本题主要考查正方体展开图的特征及正方体表面积和体积的计算。
18．【分析】1、2、3、4、5、6这6个数字，如果分成三组，每组两数之和相等，只有，即1与6相对，2与5相对，3与4相对。根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方展开图的“”型，折成正方体后，第一行与第三行的两个正方形相对，中间一行的第一个与第三个正方形相对，第二个与第四个正方形相对。据此可将1、2、3、4、5、6分别填在如图中的每个方格内，使折成的正方体中相对的2个面的数之和相等。
【解答】解：
（填法不唯一）。
【点评】弄清此图折成正方体后，哪些面相对，1、2、3、4、5、6这6个数字中哪两个数字相加和相等是关键。
19．【分析】根据长方体的特征：长方体的四条长相等，四条宽相等，四条高相等；据此求解即可。
【解答】解：如图：用①③⑤⑥⑧可组成一个长为、宽为、高为的长方体。
【点评】本题主要考查了长方体的特征及灵活运用。
四．解答题（共12小题）
20．【分析】根据图形可知：所需彩带的长度等于长方体的两条长、两条宽、4条高的长度和，再加上接头处的25厘米，根据长方体的长、宽、高的数值，代入进行计算即可解答。
【解答】解：
（厘米）
答：这根彩带长245厘米。
【点评】本题考查长方体的特征，关键是能确定有几条长、几条宽、几条高。
21．【分析】根据正方体的表面展开图的判断方法即可解答。
【解答】解：
【点评】此题考查了正方体的展开图。
22．【分析】根据长方体的棱长总和公式：长方体的棱长总和（长宽高），用棱长总和除以4求出长、宽、高的和，再利用按比例分配的方法，分别求出长、宽、高；再利用长方体的体积公式计算即可．
【解答】解：长、宽、高的和：（厘米），
（份，
长：（厘米），
宽：（厘米），
高：（厘米），
体积：（立方厘米）；
答：这个长方体的体积是480立方厘米．
【点评】此题考查了长方体的棱长总和与长方体的体积公式的综合应用．
23．【分析】先根据所有棱长之和为112厘米，即长、宽、高之比是求出长方体的木箱的长、宽、高．再将乘积最大的面：长12厘米，宽10厘米的一面放在地面上，可使长方体木箱占地面的面积最大．
【解答】解：（厘米），
，
（厘米），
（厘米），
（厘米），
（平方厘米）．
答：这个木箱的占地面积最大是120平方厘米．
【点评】考查了长方体的特征和长方形的面积，本题关键是根据比求出长方体的木箱的长、宽、高．再由长、宽、高的长度找到占地面面积最大的是长12厘米，宽10厘米的一面．
24．【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等．
（1）如果面在底部，那么面在上面．
（2）如果面在前面，从左面看是面，那么面在上面．
（3）如果要求这个长方体的表面积和体积，至少要量出的长、宽和的宽（长方体的高）边的长度．据此解答．
【解答】解：（1）如果面在底部，那么面在上面．
（2）如果面在前面，从左面看是面，那么面在上面．
（3）如果要求这个长方体的表面积和体积，至少要量出的长、宽和的宽（长方体的高）边的长度．
故答案为：；．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及应用．
25．【分析】每个正方形边长为1厘米，方法很多，只要是竖排不超过3个正方形，横为4个就可以了．
【解答】解：如图：
【点评】此题考查的是正方体的展开图，只要明确正方体有6个面，通过对展开图的分析，即可得出答案．
26．【分析】根据正方体展开图的11种特征，在这两个图的下面、上面分别再添上一个正方形（要与原正方形中的其中一个对齐），即可成为正方体展开图的“”型，即能折叠成有盖的正方体纸盒．
【解答】解：如图，
【点评】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．
27．【分析】根据长方体的展开图，可以求出长方体的宽是：（厘米），然后根据长方体的体积公式和表面积公式即可解答．
【解答】解：长方体的宽是：（厘米），
长方体的体积：，
，
（立方厘米）；
长方体的表面积：，
，
，
（平方厘米）；
答：长方体的体积是105立方厘米；表面积是142平方厘米．
【点评】本题关键是求出长方体的宽，这就需要学生有一定的空间想象能力，知道哪两个面是相对的面．
28．【分析】首先这是正方体展开图中最基本的一种类型，首先找出2的相对面是同行的第三个，3的相对面必须隔一个列，只能是第一行的第二个，最后一个是4的相对面，再按要求得出答案．
【解答】解：答案如图，
【点评】此题考查正方图展开图的特点：相对的两个面在同行中间隔一个，异行中间隔1列，容易找出同行相对面，进一步分析得出异行相对面，得出结论．
29．【分析】根据题意和图形可知，所需彩带的长度等于2条长棱，2条宽棱，4条高棱，再加上打结处用的20厘米．由此列式解答即可．
【解答】解：
（厘米）；
答：扎这个礼品盒至少用去彩带102厘米．
【点评】此题属于长方体的棱长总和的实际应用，解答关键是弄清是如何捆扎的，也就是弄清是求哪些棱的长度和，还要记得加上打结所用的彩带的长度．
30．【分析】根据长方体的棱长总和（长宽高），已知一个长方体的棱长总和是，用棱长总和除以4求出长、宽、高的和；又知长、宽、高的比是，那么宽占长、宽、高和的，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答．
【解答】解：，
，
（厘米）；
答：它的宽是12厘米．
【点评】此题考查的目的是掌握长方体的特征，根据长方体的棱长总和公式解决问题．
31．【分析】依据长方体的特征，即相对的面面积相等，从而可以作出符合要求的图．量出这个长方体的长是2.5厘米、宽2厘米、高0.5厘米，分别代入长方体的体积和长方体的表面积，即可分别求出其体积和表面积．
【解答】解：如图所示，即为所要求的作图：
这个长方体的长是2.5厘米、宽2厘米、高0.5厘米，
（1）表面积：
，
，
（平方厘米）；
答：这个长方体的表面积是14.5平方厘米；
（2）体积：（立方厘米），
答：这个长方体的体积是2.5立方厘米．
【点评】此题主要考查长方体的特征及长方体展开图的特点，以及长方体的体积和表面积的计算方法．

展开更多......

收起↑