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第42讲 圆柱与圆锥（提高版）
圆柱
1、圆柱的认识
圆柱的上下两个面叫做底面。
圆柱有一个曲面叫做侧面。
圆柱两个底面之间的距离叫做高 。
进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。
2、计算公式：s侧=ch s表=s侧+s底×2 v=sh/3
圆锥
1、圆锥的认识
圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。
从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。
把圆锥的侧面展开得到一个扇形。
2、计算公式：v= sh/3
一．选择题（共8小题）
1．下列是圆柱表面展开图的是　　
A． B．
C． D．
2．以下能准确测量圆锥高的方法是　　
A． B．
C． D．
3．有一个圆柱形纸筒，将它的侧面沿高剪开，展开后的平面图形　　
A．可能是圆形 B．可能是梯形 C．可能是三角形 D．可能是长方形
4．把底面半径是3厘米的圆柱的侧面，沿着一条高展开后是一个正方形，这个圆柱的高是　　厘米。
A．3 B．6 C．18.84
5．一个半径是3厘米、高是12厘米的圆柱形物品，想一想它最有可能是　　
A．牙签筒 B．铅笔 C．水杯 D．胶棒
6．手工课上同学们小组合作制作笔筒。小亮准备了一张长方形的硬纸板作为笔筒的侧面（如图），请联系生活实际思考：下面最适合作为这个笔筒底面的是　　（接头处忽略不计）
A． B．
C．
7．制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种铁皮可供搭配，应选择　　
A．①和③ B．①和④ C．②和③ D．②和④
8．一个圆柱形蛋糕盒，底面半径是15厘米，高是20厘米。用彩带捆扎这个蛋糕盒（如图），打结处大约用15厘米，至少需要　　厘米彩带。
A．155 B．200 C．215
二．填空题（共8小题）
9．周末，彤彤帮忙做家务。她把8个同样的圆柱形玻璃杯（如图按图2所示的方式紧密地放人纸盒中。这个纸盒的长是 　　，宽是 　　，高是 　　。
10．一种圆柱形的铁皮罐头，把它拆开后通常是两个 　　形和一个 　　形或正方形。
11．如图是一个蛋糕盒，盒子上扎了一根漂亮的丝带，已知蛋糕底面周长是，高是，接头处用去了，这根丝带长 　　。
12．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，它的高是，这个圆柱的底面圆的周长是 　　，底面圆的半径是 　　。
13．一个底面半径是的圆柱，侧面沿高展开后刚好是个正方形，这个圆柱的侧面积是 　　。
14．如图，是一个直角三角形，如果以边为轴旋转一周，所得立体图形是 　　，这时它的底周长是 　　厘米。
15．一个圆锥，底面半径是4厘米，高是12厘米，从圆锥的顶点沿高将它切成相同的两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了 　　平方厘米。
16．将一个棱长是的正方体容器装满水后，如果倒入一个底面积是的圆柱形容器正好装满，这个圆柱的高是 　　，如果倒入底面积是的圆锥形容器，正好装满，这个圆锥形的高是 　　。
三．操作题（共2小题）
17．按要求画一画。
画出半径和高都是的圆柱体的表面展开图。作图要求在图中标注上相关数据。
18．在方格纸上画出圆柱的展开图（每个方格边长，并在右边空白处算出这个圆柱的表面积。
四．解答题（共12小题）
19．如图中圆柱的底面周长是，高是，现用包装绳包扎，至少需要多长的包装绳？（接头处需
20．小丽想准确量出圆锥的高，请你结合自己的经验说说自己的测量方法。（可以写出来，也可以画出来）
21．如图是一个圆柱。按要求画一画，算一算。
（1）在方格纸上画出这个圆柱的展开图。（侧面沿高剪开）
（2）请列式计算出这个圆柱的表面积。
22．制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。
（1）你选择的材料是 　　号和 　　号（填序号）
（2）用你选择的材料制作水桶，一共用了多少平方分米的铁皮？
23．已知用一张面积为若干平方厘米的正方形铁皮卷成一个圆柱体，圆柱体底面积为100平方厘米．求围成的圆柱的侧面积？
24．用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图，单位：厘米），打结处正好是底面圆心，打结用去绳长25厘米．扎这个盒子至少用去塑料绳多少厘米？在它的整个侧面贴上商标和说明，这部分的面积是多少平方厘米？
25．选择以下哪些材料（左边），与（右边）长方形可以制作成圆柱形的盒子．
（1）可以选择　　号制作圆柱形盒子．
（2）选择其中的一种制作方法，算出这个圆柱形盒子的体积是多少立方厘米？（得数保留一位小数）
26．如图是一种圆柱形纸杯的展开图，一壶2.2升的开水，约可以给这种杯子倒几杯？的值取3计算）
27．如图．一个直角三角形的两条直角边分别为4厘米和3厘米．
（1）以直角边为轴旋转一周后能形成两个大小不相等的　 　体．
（2）其中较大的体积是多少立方厘米？
28．在正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，恰好围成一个圆锥模型（如图）。如果扇形的半径为8厘米，那么，做这个圆锥模型至少需要多少平方厘米的铁皮？（写出主要过程）
29．一根圆柱形钢材，长75厘米，横截面直径是2厘米，如果这种钢材每立方厘米重7.8克，这根钢材大约重多少克？（得数保留整数）
30．画出一个底面直径为2厘米、高3厘米的圆柱体（侧面沿高）展开图，并标出相关数据．（每个小正方形的边长是1厘米；
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【分析】根据圆柱体的特点：圆柱由两个完全一样的底面（圆形）和侧面组成，即可选出正确答案。
【解答】解：下列是圆柱表面展开图的是。
故选：。
【点评】此题是圆柱体展开图特点的应用。
2．【分析】根据圆锥高的定义，从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高。因此，在测量圆锥高的时候，要准备两把直尺（或一把直尺、一个三角板），测量圆锥的高把一把直尺靠近圆锥的底面竖起来，另一把直尺（或三角板）放在圆锥的顶点处且与竖放的直尺垂直。据此解答即可。
【解答】解：根据圆锥高的定义和测量圆锥高的方法可知，图正确的测量圆锥高的方法。
故选：。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆锥的特征、圆锥高的意义，理解掌握测量圆锥高的方法及应用。
3．【分析】任何圆柱的侧面展开后是一个长方形或正方形，若是长方形，则它的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；若是正方形，则长与宽相等，即圆柱的底面周长与高相等，据此解答。
【解答】解：有一个圆柱形纸筒，将它的侧面沿高剪开，展开后的平面图形可能是长方形。
故选：。
【点评】此题主要考查圆柱的侧面展开图与圆柱之间的关系。
4．【分析】“一个圆柱的侧面展开是一个正方形，”知道圆柱的底面周长与圆柱的高相等，根据底面半径是3厘米，根据底面周长，代入数字计算即可。
【解答】解：
（厘米）
答：圆柱的高是18.84厘米。
故选：。
【点评】此题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的底面周长等于圆柱的高等于正方形的边长。
5．【分析】根据生活经验判断解答，一个一个半径是3厘米、高是12厘米的圆柱形物品可能是牙签筒。
【解答】解：一个半径是3厘米、高是12厘米的圆柱形物品是牙签筒。
故选：。
【点评】本题考查了圆柱的特征及应用。
6．【分析】分两种情况：（1）当圆柱形笔筒以为高时，圆柱的底面周长是，用周长除以3.14，再除以2，求出底面圆的半径；
（2）当圆柱形笔筒以为高时，圆柱的底面周长是，用周长除以3.14，再除以2，求出底面圆的半径。
根据生活实际，底面周长12.56，圆柱形笔筒以为高时，笔筒过高，不符合生活实际，据此只能以为高。
【解答】解：（1）
答：最适合作为这个笔筒底面的是半径为的圆形纸片。
故选：。
【点评】明确解决此题要分情况讨论以及根据圆的周长求出圆的半径的方法是解题的关键。
7．【分析】根据圆柱的侧面的长等于底面的周长，算出③、④两种底面的周长就是所需要的侧面的长，据此可以判断。
【解答】解：（分米）
所以③与②可以搭配。
（分米）
所以没有与④相匹配的。
故选：。
【点评】此题考查了圆柱的侧面的长与底面周长之间的关系，关键是圆柱侧面的长等于底面的周长。
8．【分析】彩带的长为4条直径加上4条高和打结处用去的彩带长，据此即可求解。
【解答】解：
（厘米）
答：至少需要215厘米彩带。
故选：。
【点评】此题主要考查圆柱的特征。
二．填空题（共8小题）
9．【分析】根据图示，长方体纸盒的长是圆柱底面的4个直径的长度；长方体的宽是2个直径的长度，高就是圆柱玻璃杯的高度，据此解答。
【解答】解：（厘米）
（厘米）
答：这个纸盒的长是，宽是，高是。
故答案为：24，12，10。
【点评】本题考查了圆柱及长方体的特征。
10．【分析】围成圆柱的侧面的是一个圆筒，沿高线剪开，会得到长方形或正方形，两个底为圆形，据此解答即可。
【解答】解：一种圆柱形的铁皮罐头，把它拆开后通常是两个圆形和一个长方形或正方形。
故答案为：圆；长方。
【点评】本题考查圆柱的展开图，理解一个圆柱是有两个底和一个侧面组成。
11．【分析】根据图示，这条丝带的长度是8条直径加8条高的长度和接头处的长度；首先根据圆柱的底面周长求出底面直径即可解答。
【解答】解：（厘米）
（厘米）
故答案为：414。
【点评】本题考查圆柱的知识在生活中的应用。
12．【分析】因为圆柱的侧面展开图是正方形，所以圆柱的高等于底面周长，由此根据圆的周长公式，知道，即可求出半径。
【解答】解：这个圆柱的高是，那么圆柱的底面周长是6.28厘米。
底面半径是：（厘米）
答：圆柱的底面周长是6.28厘米，底面半径是1厘米。
故答案为：6.28，1。
【点评】解答此题的关键是知道圆柱的侧面展开图正方形与圆柱的关系，由此再灵活利用相应的公式解决问题。
13．【分析】因为该圆柱的侧面展开后是正方形，根据“圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高”可知：该圆柱的底面周长和高相等，因为圆柱的底面是圆形，所以求出圆柱的底面周长，即圆柱的高。
【解答】解：（厘米）
（平方厘米）
答：这个圆柱的侧面积是985.96平方厘米。
故答案为：985.96。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，圆的周长公式的应用。
14．【分析】通过观察图形可知，以边为轴旋转一周，得到一个底面半径是8厘米，高是6厘米的圆锥，根据圆的周长公式，把数据代入公式解答。
【解答】解：（厘米）
答：所得立体图形是圆锥，这时它的底周长是50.24厘米。
故答案为：圆锥，50.24。
【点评】此题主要考查圆锥知识的灵活运用，关键是熟记圆锥的特征知识。
15．【分析】从圆锥的顶点沿着高把他切成两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了2个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形的面积，由此利用圆锥的底面周长18.84厘米求出它的底面直径即可解决问题。
【解答】解：切割后表面积增加了：
（平方厘米）
答：表面积之和比原来圆锥表面积增加96平方厘米。
故答案为：96。
【点评】抓住圆锥的切割特点，得出增加部分的面积是2个以底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形的面积是解决此类问题的关键。
16．【分析】先根据正方体的容积（体积）公式：，求出水的体积，根据圆柱的体积公式，利用即可；再根据圆锥的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。
【解答】解：（立方分米）
（分米）
（分米）
答：这个圆柱的高是，如果倒入底面积是的圆锥形容器，正好装满，这个圆锥形的高是。
故答案为：8，24。
【点评】此题主要考查正方体的容积（体积）公式、圆柱的体积公式及圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
三．操作题（共2小题）
17．【分析】沿圆柱的高展开，得到一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，由此根据圆的周长公式，求出圆柱的底面周长，即长方形的长；圆柱的上下两个面都是半径为1厘米的圆，进而画出即可。
【解答】解：（1）长方形的长是：（厘米）
【点评】解答此题的关键是，知道圆柱的展开图与圆柱的关系，并求出展开图相应的边长，即可做出图。
18．【分析】根据圆柱的特征，圆柱的上下底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面，侧面沿高展开是一个长方形。据此画出圆柱的展开图，再根据圆柱的表面积公式：，把数据代入公式解答。
【解答】解：作图如下：
（平方厘米）
答：这个圆柱的表面积是25.12平方厘米。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱展开图的特征，圆柱的表面积公式及应用。
四．解答题（共12小题）
19．【分析】根据题意和图形可知，所需彩带的长度等于4条高，4条直径，再加打结处用的15厘米，由此列式解答。
【解答】解：15分米厘米
底面直径：
（厘米）
（厘米）
答：至少需要647厘米的包装绳。
【点评】此题属于圆柱体知识的实际应用，解答关键是弄清是如何捆扎的，也就是弄清是求哪些数据的长度和。
20．【分析】根据测量圆锥高的方法进行解答即可。
【解答】解：测量圆锥高的方法：
①先把圆锥的底面放平；
②用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面；
③竖直地量出平板和底面之间的距离，就是圆锥的高。
【点评】此题考查了测量圆锥高的方法，应注意平时基础知识的积累。
21．【分析】圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高，利用求出长方形的长，长方形的宽是3厘米；圆柱的表面积侧面积两个底面积，用字母表示：。据此解答。
【解答】解：（1）（厘米）
长方形的长是6.28厘米，宽是3厘米。
如图：
（2）
（平方厘米）
答：圆柱的表面积是25.12平方厘米。
【点评】本题考查了圆柱的侧面展开图及表面积的应用。
22．【分析】（1）根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形。这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，根据圆的周长公式：，或，把数据代入公式求出两个圆的周长，然后与两个长方形的长进行比较即可。
（2）根据圆柱的侧面积公式：，圆的面积公式：，把数据代入公式解答。
【解答】解：（1）（分米）
（分米）
所以我选择的材料是②号和③号。
（2）
（平方分米）
答：一共用了75.36平方分米的铁皮。
故答案为：②、③。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，圆的周长公式、圆柱的侧面积公式、圆的面积公式及应用，关键是熟记公式。
23．【分析】根据侧面展开图的特点可得，围成圆柱底面的周长正方形的边长，设这个圆柱的底面半径为，则这个正方形的边长就是，所以围成的圆柱的侧面积即这个正方形的面积；因为圆柱底面积为100平方厘米，根据圆的面积公式可得：，把它代入侧面积公式中即可求得这个圆柱的侧面积．
【解答】解：设这个圆柱的底面半径为，则
所以
围成的圆柱的侧面积即这个正方形的面积：
（平方厘米）
答：围成的圆柱的侧面积是1256平方厘米．
【点评】解答此题的关键是根据圆柱体的底面积是100平方厘米，求出，然后代入圆柱的侧面积公式中即可求得这个圆柱的侧面积．
24．【分析】（1）要求扎这个盒子至少用去塑料绳多少厘米，就是求8条直径、8条高和打结用去的绳长的总和；
（2）求商标的面积是多少平方厘米，就是求圆柱形蛋糕盒的侧面积，根据“圆柱的侧面积”解答即可．
【解答】解：（1），
，
（厘米），
面积：，
，
（平方厘米）；
答：扎这个盒子至少用去塑料绳545厘米，在它的整个侧面贴上商标和说明，这部分的面积是2355平方厘米．
【点评】解答此题用到的知识点：①圆柱的侧面积的计算方法；②圆柱的特征．
25．【分析】（1）由圆柱的侧面展开图的特点可知：圆柱的侧面展开后，是一个长方形，长方形的长等于底面周长，宽等于圆柱的高，据此即可计算长方形的长与圆形的底面周长，若相等，则可以选择，否则不能选择；
（2）求盒子的体积可以利用圆柱的体积公式，即圆柱的体积底面积高，将数据分别代入公式即可求其体积．
【解答】解：（1）因为①号的周长是：（厘米），
等于右边材料的宽，所以可以选①号和长方形搭配；
又因为③号的周长是：（厘米），
则等于右边材料的长，
所以也可以选择③号和长方形搭配；
（2）选择③号制作的盒子的体积是：
，
，
，
（立方厘米）
（立方厘米）；
答：可以选择①或③号制作圆柱形盒子；选择③号制作的盒子的体积大约是78.9立方厘米．
故答案为：①或③．
【点评】解答此题的关键是明白：长方形的长或宽与圆形的底面周长，若相等，则可以选择，否则不能选择．
26．【分析】根据题意，可根据圆柱的体积公式底面积高计算出这个纸杯的容积，然后再用2.2升的水除以杯子的容积即可得到可用倒的杯数，列式解答即可得到答案．
【解答】解：纸杯的底面半径为：（厘米），
纸杯的容积为：
，
（立方厘米），
216立方厘米立方分米升，
（杯；
答：约可以给这种杯子倒10杯水．
【点评】解答此题的关键是利用圆柱的体积公式确定纸杯的容积，然后再用一壶水的体积除以杯子的容积即可．
27．【分析】（1）根据圆锥的定义，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．该直角边叫圆锥的轴（也就是圆锥的高）．另一条直角边是呀锥的底面半径．
（2）根据圆柱的体积公式：，以3厘米长的直角边为轴旋转得到的圆锥的体积较大．由此解答．
【解答】解：（1）以直角边为轴旋转一周后能形成两个大小不相等的圆锥体．
（2），
，
（立方厘米）；
答：（1）形成两个大小不相等的圆锥体，（2）其中较大的体积是50.24立方厘米．
故答案为：圆锥．
【点评】此题主要考查圆锥的特征和体积的计算，根据体积公式解答．
28．【分析】首先设圆的半径为，求出半径为的圆的面积，然后用扇形的面积加上圆的面积即可求得圆锥的表面积。
【解答】解：设圆的半径为，
因为扇形的弧长等于圆锥底面周长，
所以
圆锥的表面积：
（平方厘米）
答：做这个圆锥模型至少需要62.8平方厘米的铁皮。
【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解。
29．【分析】首先根据圆柱的体积公式算出这根圆柱形钢材的体积；又知道每立方厘米钢材的重量，进一步列式解答即可．
【解答】解：
（立方厘米）
（克
克
答：这根钢材大约重1837克．
【点评】考查了关于圆柱的应用题，解答此题的关键是掌握圆柱的体积计算公式．
30．【分析】由圆柱的侧面展开图的特点可知：圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，圆柱的底面直径和高已知，求出底面周长，于是可以画出其侧面展开图．
【解答】解：如图所示，即为所要求画的圆柱的侧面展开图：
（厘米），
【点评】解答此题的关键是明白：圆柱的侧面展开后是一个长方形，这个长方形的长就是圆柱的底面周长，宽就是圆柱的高．

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