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第44讲 轴对称（提高版）
1、轴对称的性质。
像窗花一样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形为轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点．
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴．
2、性质。
（1）成轴对称的两个图形全等；
（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线．
3、画法。
（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）．
（2）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）．
4、学过的图形中，线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、等腰梯形、圆形、扇形都是轴对称图形，各自有不同数目的对称轴．通过以上图形的组合就可以得到轴对称图形了．
常见轴对称图形的对称轴数量
一．选择题（共8小题）
1．下面图形是轴对称图形的是　　
A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．圆形
2．在等腰梯形、等腰三角形、圆形、扇形中只有一条对称轴的图形有　　个。
A．1 B．2 C．3
3．甲骨文是我国一种古老文字，是汉字的早期形式，如图的甲骨文中，是轴对称图形的有　　个。
A．3 B．4 C．5 D．6
4．下列图形中，　　不是轴对称图形。
A． B．
C． D．
5．一个轴对称图形，对称轴两边　　
A．形状和面积都完全相同 B．形状不同，但面积相同
C．形状相同，但面积不同 D．以上说法都不对
6．如图是2022年北京冬奥会开幕式上的“心花引导牌”图案，它有　　条对称轴。
A．2 B．3 C．6
7．如图，大正方形由9个相同的小正方形拼成。图中已有3个小正方形床上了颜色。如果在图中再涂上1个小正方形，使涂色部分成为一个轴对称图形，一共有　　种不同的涂法。
A．2 B．3 C．4 D．5
8．下列图形一定是轴对称图形的是　　
A．平行四边形 B．长方形 C．梯形
二．填空题（共8小题）
9．如图的两个图形中，图　 　是轴对称图形，共有　 　条对称轴．
10．如图的钟面是从镜子里看到的，实际钟面上的时刻是　 　．
11．我们学过的平面图形中，　　有无数条高，　　只有一条对称轴。
12．小学阶段学过的平面图形中，是轴对称图形的有 　　（至少举3例），对称轴最多的图形是 　　。
13．如图有　　条对称轴，如果每个圆的周长是，长方形的面积是　　．
14．在“”的正方形方格图中，已将图中的5个小正方形涂上阴影（如图），再从其余小正方形中任选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形。那么符合条件的涂法共有 　　种。
15．如图有 　　条对称轴，如果圆的直径是，那么阴影部分的面积是 　　。
16．如图所示是围棋棋盘的一部分，在这个的方格图形中已经放置了5枚棋子，若要将它变为上下左右都对称的图形，则最少还要在棋盘上摆放　 　枚棋子．
三．操作题（共4小题）
17．操作制图，思考解答。
（1）先画出图①绕点顺时针旋转后的图形，再将旋转后的图形向右平移2格，画出平移后的图形。
（2）画出图②按放大后的图形。
（3）以为对称轴，画出图③的另一半，使它成为轴对称图形。
18．①画出图形的另一半，使它成为轴对称图形。
②画出图形绕点顺时针旋转得到的图形。
③在图中画出三角形的缩小后的图形。
19．按要求在格子图上画一画。
（1）以直线为对称轴，画出它的另一半，使它成为一个轴对称的汉字。
（2）请根据，，三个点的位置，画出三角形。
（3）画出三角形绕点顺时针旋转后的图形。
（4）按的比例画出三角形放大后的图形。
20．
（1）以直线为对称轴，画出图形的轴对称图形。
（2）将图形向下平移4格得到图形。
四．解答题（共6小题）
21．（1）画出三角形绕点按逆时针方向旋转后的图形①。
（2）以直线为对称轴画出三角形的轴对称图形②。
（3）现在点的位置若用数对表示是，那么旋转后点的位置用数对表示是 　　。
22．如图每个小正方形的边长都代表1米，请根据要求画图并计算。
（1）以为对称轴，画出图①的对称图，标上“②”。
（2）画出图①绕点逆时针旋转后的图形，标上“③”。
（3）画出图①先向右平移6格，再向上平移5格后的图形，并标上“④”。
（4）找到并标出离点3米处的所有的点。
23．下面小方格边长表示1厘米，请按要求完成下面各题。
（1）学校的位置用数对表示是 　　。
（2）以直线为对称轴，画出①号图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。
（3）画出②号图形先向右平移5格，再向上平移2格后的图形。
（4）按的比，画出③号图形放大后的图形。
24．按要求画一画、填一填。
（1）画出图形关于虚线的轴对称图形。
（2）画出图形以点为中心按顺时针方向旋转后的图形，点的位置用数对表示为　　，　　。
（3）画出图形向右平移6格后的图形。
（4）画出图形按的比放大后的图形。
25．按要求操作。
（1）图中，以点为观测点，点的位置是 　　。
（2）以直线为对称轴，作三角形的轴对称图形。
（3）将三角形绕点顺时针旋转。
26．
（1）画出图的另一半，使它成为一个轴对称图形。
（2）分别画出把图先向右平移5格，再向上平移2格后的图形。
（3）把图绕点逆时针旋转。
（4）把图按的比放大。
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【分析】根据轴对称图形的特点，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，由此解答。
【解答】解：上面图形是轴对称图形的是圆形，另外三个选项中的图形不是轴对称图形。
故选：。
【点评】此题主要考查轴对称图形的特点，能够根据其特点解决有关的问题。
2．【分析】依据轴对称图形的概念，及在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，由此即可判断出给出图形的对称轴的条数。
【解答】解：在等腰梯形、等腰三角形、圆形、扇形中，只有一条对称轴的图形有等腰三角形、等腰梯形和扇形3个。
故选：。
【点评】解答此题的主要依据是：轴对称图形的概念及其特征。
3．【分析】根据轴对称图形的特点，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，由此解答。
【解答】解：甲骨文是我国一种古老文字，是汉字的早期形式，如图的甲骨文中，是轴对称图形的第一个、有第二个、第四个、第六个，共4个。
故选：。
【点评】此题主要考查轴对称图形的特点，能够根据其特点解决有关的问题。
4．【分析】根据轴对称图形的特点，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，由此解答。
【解答】解：上列图形中，不是轴对称图形。
故选：。
【点评】此题主要考查轴对称图形的特点，能够根据其特点解决有关的问题。
5．【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可。
【解答】解：由轴对称图形的意义可知：一个轴对称图形，对称轴两边形状和面积都完全相同。
故选：。
【点评】此题考查了轴对称图形的特点，应注意基础知识的积累。
6．【分析】轴对称：在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴。
【解答】解：如图是2022年北京冬奥会开幕式上的心花引导牌”图案，它有6条对称轴。
故选：。
【点评】此题考查了轴对称的意义及在实际当中的运用。
7．【分析】根据轴对称图形的特征，分别把第一行第一个、第二行第一个或第三个、第三行第一个涂上颜色，都可使涂色部分成为一个轴对称图形，据此解答即可。
【解答】解：分别把第一行第一个、第二行第一个或第三个、第三行第一个涂上颜色，都可使涂色部分成为一个轴对称图形，所以一共有4种不同的涂法。
故选：。
【点评】此题主要考查学生轴对称性的认识，解题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置得出不同图案。
8．【分析】据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可。
【解答】解：根据轴对称图形的意义可知：长方形一定是轴对称图形，而梯形、平行四边形不一定是轴对称图形。
故选：。
【点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合。
二．填空题（共8小题）
9．【分析】根据轴对称图形的定义与判断可知图1是轴对称图形，图2不是轴对称图形，由此即可解答．
【解答】解：根据轴对称图形的定义可知，图形1是轴对称图形，共有1条对称轴；图形2不是轴对称图形，
故答案为：1，1．
【点评】本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
10．【分析】镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反；图中镜子里看到的时间是，由镜面对称左右方向相反特点，镜中时针在6与7之间，实际是在5与6之间，是5时，镜中分针指刻度8，实际中是指刻度4，即20分；据此解答．
【解答】解：因为镜中时针在6与7之间，实际是在5与6之间，是5时，
镜中分针指着刻度8，实际中是指刻度4，即20分，
所以实际钟面上的时刻是．
故答案为：．
【点评】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反．
11．【分析】根据题意，长方形、正方形、平行四边形、梯形等图形有无数条高，等腰三角形、等腰梯形等图形只有一条对称轴。
【解答】解：我们学过的平面图形中，平行四边形有无数条高，等腰三角形只有一条对称轴。
故答案为：平行四边形，等腰三角形。（答案均不唯一）
【点评】此题主要考查了高的定义、轴对称的意义及在实际当中的运用。
12．【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可。
【解答】解：小学阶段学过的平面图形中，是轴对称图形的有长方形、正方形、圆（至少举3例），对称轴最多的图形是圆。
故答案为：长方形、正方形、圆；圆。
【点评】掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合。
13．【分析】①根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，据此即可解答．
②根据圆的直径是，求出圆的直径，然后根据长方形的面积公式解答即可．
【解答】解：
（厘米）
（厘米）
（平方厘米）
答：如图有 2条对称轴，如果每个圆的周长是，长方形的面积是；
故答案为：2，128
【点评】此题主要考查如何确定轴对称图形的对称轴条数及位置以及圆的周长和长方形面积计算方法．
14．【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。根据轴对称图形的定义求解即可。
【解答】解：如图所示，有3种情况使之成为轴对称图形：
故答案为：3。
【点评】本题主要考查了轴对称图形的变换，正确把握轴对称图形的性质是解答本题的关键。
15．【分析】阴影部分的面积是从长方形面积中减去两个圆形的面积。
【解答】解：圆的面积
长方形的面积
阴影部分的面积
故答案为：。
【点评】本题主要考查了学生的观察能力，以及用“割法“来求面积。
16．【分析】根据轴对称图形的特点和性质，轴对称图形沿对称轴对折对称轴两边的图形完全重合．由此作出图即可得出结论．
【解答】解：如图：
由图可知，最少还要在棋盘上摆放枚棋子；
故答案为：11．
【点评】此题主要考查轴对称图形的特点，轴对称图形沿对称轴对折对称轴两边的图形完全重合．
三．操作题（共4小题）
17．【分析】（1）抓住旋转三要素，旋转中心、旋转方向、旋转角度，再将旋转后的图形向右平移2格即可；
（2）图②按放大后的图形三条边的长度都是原来是2倍，据此画图即可。
（3）根据轴对称图形的画法，以为对称轴，画出图③的另一半，使它成为轴对称图形即可。
【解答】解：作图如下
【点评】本题考查了旋转、平移、放大、轴对称等知识，结合题意分析解答即可。
18．【分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴（虚线）的左边画出图左半图的关键对称点，依次连接即可画出图形的另一半，使之成为轴对称图形；
根据旋转的特征，三角形绕点顺时针旋转，点的位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形；
根据图形放大与缩小的意义，画出这个三角形的边按缩小后的图形即可。
【解答】解：
【点评】此题考查了作旋转一定度数后的图形、作轴对称图形、图形的放大与缩小。
19．【分析】（1）轴对称图形的定义是：一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，由此即可画出图形的另一半，使它成为一个轴对称图形；
（2）用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，据此画图即可；
（3）根据图形旋转的方法，先把与点相连的两条边顺时针旋转，即可画出旋转后的图形；
（4）根据图形放大的方法，将这个正方形的边长扩大到原来2倍，即可画出三角形放大后的图形。
【解答】解：作图如下：
【点评】本题主要考查了数对、旋转、平移、作轴对称图形及图形放大的灵活应用，结合题意解答即可。
20．【分析】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的右边画出左图的对称点，再连接各点即可得到图形。（2）根据平移的特征，把图形各个顶点分别向下平移4格，再依次连接各顶点，得到图形。
【解答】解：作图如下：
【点评】此题考查了作平移后的图形，以作轴对称图形的方法。掌握补全轴对称图形、作平移后的图形的作图方法是解题的关键。
四．解答题（共6小题）
21．【分析】（1）根据图形旋转的方法，先把三角形与点相连的两条直角边绕点逆时针旋转90度后，再把第三条边连接起来即可得出旋转后的图形①。
（2）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出关键对称点，连接即可画出三角形的轴对称图形②。
（3）根据用数对表示物体位置的方法，数对的第一个数表示列，第二个数表示行，据此表示出旋转后点的数对即可。
【解答】解：（1）、（2）如图：
（3）现在点的位置若用数对表示是，那么旋转后点的位置用数对表示是。
故答案为：。
【点评】作对称图形的关键是把对称点画正确，图形的旋转要注意旋转中心、旋转方向和旋转角度。
22．【分析】（1）根据轴对称图形的画法，以为对称轴，在对称轴的右边找出三角形的三个顶点，然后连接即可画出图①的对称图，标上“②”即可。
（2）根据旋转的知识，将图①绕点逆时针旋转，点不动，据此画图，标上“③”即可。
（3）根据平移知识，把图①各个顶点先向右平移6格，再向上平移5格，然后依次连接，即可画出平移后的图形，并标上“④”即可。
（4）根据圆的知识，找到并标出离点3米处的所有的点，就是以为圆心，以3米为半径画一个圆。
【解答】解：根据要求，作图如下：
【点评】本题考查了轴对称图形、旋转、平移以及画圆的知识，结合题意分析解答即可。
23．【分析】（1）写出数对即可；
（2）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出原半图的关键对称点，依次连接即可；
（3）看清平移的方向和距离，画出平移后的图形即可；
（4）按的比，画出③号图形放大后的图形即可。
【解答】解：（1）学校的位置用数对表示是。
（2）（3）（4）
故答案为：。
【点评】根据轴对称图形的特点和平移的规律，解答此题即可。
24．【分析】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的下边画出图形的关键对称点，依次连接即可得到图形。
（2）根据旋转的特征，图形绕点顺时针旋转，点的位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形；根据点所的列、行及用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数即可用数对表示出点的位置。
（3）根据平移的特征，把图形的各顶点分别向右平移6格，依次连接即可得到平移后的图形。
（4）根据图形放大与缩小的特征，把图形的两直角边均放大到原来的2倍，所得到的图形就是图形按的比放大后的图形。
【解答】解：（1）画出图形关于虚线的轴对称图形（下图）。
（2）画出图形以点为中心按顺时针方向旋转后的图形（下图），点的位置用数对表示为。
（3）画出图形向右平移6格后的图形（下图）。
（4）画出图形按的比放大后的图形（下图）。
故答案为：3，7。
【点评】此题考查了作轴对称图形、作平移后的图形、作放置一定度数后的图形、图形的放大与缩小、数对与位置等。
25．【分析】（1）根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以点的位置为观测点，即可确定点的方向（所偏的度数图中已标注）。
（2）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴（虚线）的上边画出三角形的关键对称点，依次连接即可。
（3）根据旋转的特征，三角形绕点顺时针旋转，点的位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。
【解答】解：（1）图中，以点为观测点，点的位置是北偏西方向处。
（2）以直线为对称轴，作三角形的轴对称图形（下图）。
（3）将三角形绕点顺时针旋转（下图）。
故答案为：北偏西方向处。
【点评】此题考查的知识点：作轴对称图形、作旋转一定度数后的图形、根据方向和距离确定物体的位置。
26．【分析】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的下边画出上半图的关键对称点，依次连接即可。
（2）根据平移的特征，把图的各顶点分别向右平移5格，再微信上平移2格，依次连接即可得到平移后的图形。
（3）根据旋转的特征，图绕逆时针旋转，点的位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。
（4）根据图形放大与缩小的意义，把图形的各边均放大到原来的3倍，对应角不变，即可画出按放大后的图形。
【解答】解：根据题意画图如下：
【点评】图形平移、旋转、轴对称，大小、形状不变，改变的是位置、方向；图形放大或缩小后，形状不变，改变的是大小。

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