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2023年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3. 某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，则下列说法中不正确的是( )
A. 支出最高值与支出最低值的比是：
B. 利润最高的月份是月份
C. 第三季度平均收入为万元
D. 月份的支出的变化率与月份的支出的变化率相同
4. 已知，且，则( )
A. B. C. D.
5. 一个几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
A.
B.
C.
D.
6. 函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7. 现从个男生个女生共人中任意选出人参加某校高三年级的百日誓师大会，若选出的人中，在有人是女生的条件下，另人是男生的概率为( )
A. B. C. D.
8. 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为 如图，则旗杆的高度为( )
A. B. C. D.
9. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
10. 已知函数的极值点为，且，则的极小值为( )
A. B. C. D.
11. 如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，，，在矩形内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为，取自非阴影部分的概率为，则( )
A. B. C. D. 大小关系不能确定
12. 设，，，则( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量，，且满足，则 ______ ．
14. 已知圆：和直线：，则与直线平行且与圆相切的直线方程为______ ．
15. 蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点，，，满足，，则该“鞠”的表面积为______ ．
16. 已知当时，有，若对任意的都有，则 ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
记为各项均为正数的等比数列的前项和，且，，成等差数列．
求的通项公式；
设，求的前项和．
18. 本小题分
如图，在四棱锥中，是边长为的正三角形，面面，，，，为的中点．
求证：平面；
线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，求若不存在，请说明理由．
19. 本小题分
随着科技的不断发展，“智能手机”已成为人们生活中不可缺少的必需品，下表是年广西某地市手机总体出货量单位：万部统计表．
年份 年 年 年 年 年
年份代码
手机总体出货量万部
并计算求得
已知该市手机总体出货量与年份代码之间可用线性回归模型拟合，求关于的线性回归方程；
预测年该市手机总体出货量．
附：线性回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，．
20. 本小题分
已知抛物线：经过点，过点的直线与抛物线有两个不同交点，，且直线交轴于，直线交轴于．
求直线斜率的取值范围；
证明：存在定点，使得，且．
21. 本小题分
已知函数，其中为常数，为自然对数底数，，若函数有两个极值点，．
求实数的取值范围；
证明：．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知曲线：为参数，直线：为参数以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
求曲线和直线的极坐标方程；
点在直线上，射线交曲线于点，点在射线上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程．
23. 本小题分
已知，，均为正数，且，证明：
若，则；
．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
或，．
故选：．
可求出集合，然后进行补集和交集的运算即可．
本题考查了一元二次不等式的解放，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由图可知，支出最高值是，支出最低值是，则支出最高值与支出最低值的比是：，故A正确；
由图可知，利润最高的月份是月份和月份，故B错误．
由图可知，第三季度平均收入为，故C正确；
由图可知，月份的支出的变化率与月份的支出的变化率均为，故D正确．
故选：．
结合统计图表逐项分析即可得出结论．
本题考查统计图表相关知识，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，
，
，即，．
则．
故选：．
由题意，先利用二倍角的余弦公式求出，再利用同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角的正弦公式，计算求得的值．
本题主要考查二倍角的余弦、正弦公式的应用、同角三角函数的基本关系，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：当几何体的上部是球，下部为圆柱，则俯视图为：；
当几何体的上部是圆柱，下部是正方体，则俯视图是；
当几何体上部是球，下部是正方体，则俯视图为：．
故选：．
结合一个几何体的正视图，利用组合体的形状，判断俯视图的情况即可得到结果．
本题考查简单几何体的三视图的应用，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，因为中，，
又，即为奇函数，图象关于原点对称，排除，
又由，，在上不是增函数，排除．
故选：．
根据题意，先分析函数的奇偶性排除，再利用特殊值分析可知在上不是增函数，排除，综合可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性的判断，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：选出的人中，在有人是女生的条件下，另人是男生的概率为．
故选：．
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：如图，
依题意知，，
，
由正弦定理知，
，
在中，
即旗杆的高度为．
故选：．
作图，分别求得，和，然后利用正弦定理求得，最后在直角三角形中求得．
本题主要考查了解三角形的实际应用．结合了正弦定理等基础知识，考查了学生分析和推理的能力．
9.【答案】
【解析】解：由题意知椭圆与双曲线的共焦点，，
所以，
因为双曲线的离心率，
所以，，所以双曲线的方程为．
如图：
根据双曲线的定义知，
由余弦定理，
得，又因，
得，，
根据椭圆的定义知：，所以，
，所以椭圆的方程为．
故选：．
结合椭圆双曲线的定义及焦点三角形的相关知识可得．
本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．
10.【答案】
【解析】解：，，，
所以，解得：，，
，
所以，得，时，，，，
所以是函数的极小值点，．
故选：．
首先求函数的导数，根据条件，列方程组求解，，再求函数的极小值．
考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，阴影部分的面积的一半为：，
于是此点取自阴影部分的概率为．
又，故
故选：．
先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得．
本题考查了几何概型，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：，，，，，
构造函数，则，
在上单调递减，当时，，
，，，
，，
，，
设函数，则，
当时，，在上单调递减，
，
，，
综上，．
故选：．
利用三角函数定义判断，的大小，构造函数，由导数确定单调性后比较与的大小，同理构造函数，比较与的大小后可得结论．
本题考查三角函数定义、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：，，
则，，且满足，
故，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合平面向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．
14.【答案】或
【解析】解：设与直线：平行的直线方程为，
与圆：相切，
，解得或，
直线：或．
故答案为：或．
设与直线：平行的直线方程为，由与圆：相切，由此能出直线的方程．
本题考查圆的切线方程的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：取的中点，连接，，
因，所以且，，
故CE，
因为，所以，
故，
在上取点，使得，则点为等边的中心，则，，
设点为三棱锥的外接球球心，则平面，
连接，，设外接球半径为，则，
过点作，交延长线于点，则，
由于在平面中，故A，故A平面，
过点作于点，则，，，
，，
故，设，则，
由勾股定理得，，，
故，解得，
故，
故该“鞠”的表面积为．
故答案为：
作出辅助线，找到球心的位置，利用余弦定理和勾股定理求出球的半径，得到表面积．
本题考查空间几何体外接球的表面积，考查运算求解能力，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：当时，有，
到，
则，
为展开式中的系数，
因为，所以．
故答案为：．
由得到，则可把转化为，由为展开式中的系数即可求出答案．
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
17.【答案】解：设等比数列的前项和公比为，
且，，成等差数列，
，，即，，
解得，，
．
由可得．
的前项和，
，
相减可得：，
化为．
【解析】设等比数列的前项和公比为，根据且，，成等差数列，利用通项公式与求和公式列出方程组解得，，即可得出．
由可得，利用错位相减法即可得出的前项和．
本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：证明：取的中点，连接和，
为中点，且，
且，，，
四边形为平行四边形，，平面，平面，
平面，
取中点，连接，则等边中，，
面面，面面，
面，，
又，，平面，
以为坐标原点，，，为坐轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，
依题意可得平面的一个法向量为，
又，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，，，
平面的一个法向量为，
设二面角为，则，
解得或舍去，
则．
【解析】取的中点，连接和，可证四边形为平行四边形，从而可得平面；
以为坐标原点，，，为坐标轴建立空间直角坐标系，设，求得平面与平面的一个法向量，利用向量法可得，可得．
本题考查空间直线与平面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，属中档题．
19.【答案】解：由题中统计表得，
，
由题意得，
，
所以关于的线性回归方程为；
由题意得年对应的年份代码，
代入，得，
所以预测年该市手机总体出货量为万部．
【解析】根据公式求出，得到线性回归方程；
代入，估计年该市手机总体出货量．
本题考查了线性回归方程的应用计算，属于中档题．
20.【答案】解：将代入抛物线得，，
依题意可设，，直线：，
由得：，
则，解得且，
又直线交轴于，直线交轴于，所以直线不能过及，
且，
综上，；
证明：设点，，由，
则可设，
，，
故，
同理：，
，
直线，
令得，
同理，
，
，
又，，
所以存在点满足题意．
【解析】先求出抛物线方程，然后和直线联立，得到关于斜率满足的条件，从而求出斜率的取值范围；
设出点的坐标，根据题意表示出和，最后求出定点．
本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：，，
令，则，
因有两个极值点，，故有两个零点，
若，则，单调递增，不可能有两个零点，
所以，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
因为有两个零点，所以，则，
又，，，
故实数的取值范围为．
证明：设，因为，，则，
因为，所以，，
则，取对数得，
令，，则，
令，
则，，在上单调递增．
则，，
，
两边约去后化简整理得，即．
【解析】二次求导后，根据函数有两个极值点，即可求解；
设，先确定，根据，可得，即，令，，则，令，求导后根据单调性可得，从而得到，化简后即可证明．
考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．
22.【答案】解：曲线：为参数，
消去参数可得，，
，，
，
直线：为参数，
消去参数可得，，
则直线的极坐标方程为；
设点的极坐标为，
则，，
，
，即，
点的轨迹的直角坐标方程为．
【解析】先将曲线和直线化为普通方程，再化为极坐标方程；
设出点的坐标，表示出，，，再结合，即可求解．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
23.【答案】证明：若，且，
则，即，
可得，则，当且仅当时等号成立；
，，均为正数，且，
由柯西不等式知，，
即，．
当且仅当时取等号．
【解析】直接利用基本不等式证明；
利用柯西不等式证明．
本题主要考查不等式的证明，柯西不等式以及基本不等式的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
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