资源简介

2023
2023届江苏省镇江名校高三下学期4月（二模）模拟
数学试题
一、单选题
1．记集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．在如图的平面图形中，已知,则的值为
A． B．
C． D．0
4．图1是世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500m口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系xOy内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为125m，则点P到该抛物线焦点F的距离为（ ）
A．225m B．275m C．300m D．350m
5．某公园有如图所示A至H共8个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为（ ）
A．168 B．336 C．338 D．84
6．已知函数，记等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A． B． C．2023 D．4046
7．已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数x，y满足，则的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人
B．在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，p为每次试验中事件A发生的概率，若，，则
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．已知，则
10．在锐角三角形中，、、是其三内角，则下列一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，平面四边形中，是等边三角形，且，是的中点.沿将翻折，折成三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得与所成角为锐角
B．棱上总会有一点，使得平面
C．当三棱锥的体积最大时，
D．当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积是
12．e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
13．在二项式的展开式中，常数项是______.
14．定义在上的奇函数满足，请写出一个符合条件的函数解析式___________.
15．已知，点A为直线上的动点，过点A作直线与相切于点P，若，则的最小值为__________.
16．如图，已知的顶点平面，点在平面的同一侧，且．若与平面所成的角分别为，则面积的取值范围是_____
四、解答题
17．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________．
(1)求角A的大小；
(2)若D为线段延长线上的一点，且，求的面积．
18．已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
19．如图，，O分别是圆台上、下底的圆心，AB为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点D，，，为圆台的母线，．
(1)证明；平面；
(2)若二面角为，求与平面所成角的正弦值．
20．2021年11月10日，在英国举办的《联合国气候变化框架公约》第26次缔约方大会上，100多个国家政府、城市、州和主要企业签署了《关于零排放汽车和面包车的格拉斯哥宣言》，以在2035年前实现在主要市场、2040年前在全球范围内结束内燃机销售，电动汽车将成为汽车发展的大趋势．电动汽车生产过程主要包括动力总成系统和整车制造及总装．某企业计划为某品牌电动汽车专门制造动力总成系统．
(1)动力总成系统包括电动机系统、电池系统以及电控系统，而且这三个系统的制造互不影响．已知在生产过程中，电动机系统、电池系统以及电控系统产生次品的概率分别为，，．
（ⅰ）求：在生产过程中，动力总成系统产生次品的概率；
（ⅱ）动力总成系统制造完成之后还要经过检测评估，此检测程序需先经过智能自动化检测，然后再进行人工检测，经过两轮检测恰能检测出所有次品，已知智能自动化检测的合格率为95%，求：在智能自动化检测为合格品的情况下，人工检测一件产品为合格品的概率．
(2)随着电动汽车市场不断扩大，该企业通过技术革新提升了动力总成系统的制造水平．现针对汽车续航能力的满意度进行用户回访．统计了100名用户的数据，如下表：
对续航能能力是否满意 产品批次 合计
技术革新之前 技术革新之后
满意 28 57 85
不满意 12 3 15
合计 40 60 100
试问是否有99.9%的把握可以认为用户对续航能力的满意度与该新款电动汽车动力总成系统的制造水平有关联？
参考公式：，
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
21．已知双曲线的右顶点为，左焦点到其渐近线的距离为2，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线交于P，Q两点，直线，分别与直线相交于，两点，试问：以线段为直径的圆是否过定点 若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
22．已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)判断函数在上的单调性，并说明理由；
(3)对任意的，求实数a的取值范围.
2023届江苏省镇江名校高三下学期4月（二模）模拟
数学试题
一、单选题
1．记集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解集合M中的不等式，求集合N中函数的定义域，得到这两个集合，再进行补集和交集的运算.
【详解】不等式解得或，则或，
函数有意义，则有，，
∴，得.
故选：A
2．设复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简出，再计算，最后代模长公式即可求解
【详解】由题知，于是，
所以.
故选：D
3．在如图的平面图形中，已知,则的值为
A． B．
C． D．0
【答案】C
【详解】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：如图所示，连结MN，
由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，
则，
由题意可知：
，，
结合数量积的运算法则可得：
.
本题选择C选项.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
4．图1是世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500m口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系xOy内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为125m，则点P到该抛物线焦点F的距离为（ ）
A．225m B．275m C．300m D．350m
【答案】A
【分析】设抛物线为且，根据在抛物线上求p，利用抛物线定义求P到该抛物线焦点F的距离.
【详解】令抛物线方程为且，
由题设，在抛物线上，则，得，
又且，则P到该抛物线焦点F的距离为米.
故选：A
5．某公园有如图所示A至H共8个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为（ ）
A．168 B．336 C．338 D．84
【答案】B
【分析】根据题意，先排男生再排女生，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】第一步：排男生，第一个男生在第一行选一个位置有四个位置可选，第二个男生在第二行有三个位置可选，由于两名男生可以互换，故男生的排法有种，
第二步：排女生，若男生选，则女生有共7种选择，由于女生可以互换，故女生的排法有种，
根据分步计数原理，共有种，
故选：B.
6．已知函数，记等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A． B． C．2023 D．4046
【答案】A
【分析】令，然后可判断出的单调性、奇偶性，然后由，可得，然后由等差数列的求和公式和性质可得答案.
【详解】令，
因为，所以为上的增函数，
因为，所以是奇函数，
因为，，所以，，
所以，即，
所以，
故选：A
7．已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角函数的图象与性质可得及，
继而可得，计算可得结果.
【详解】化简，
在时，，该区间上有零点，故，
又时单调，则，即，
故
故选：C
8．已知实数x，y满足，则的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】对的正负分类讨论，去掉绝对值转化为相应的曲线方程，根据的几何意义利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】依题意，
当时，方程为，
是双曲线在第一象限的部分；
当时，方程为，
不能表示任何曲线；
当时，方程为，
是双曲线在第三象限的部分；
当，方程为，
是椭圆在第四象限的部分；
其图象大致如图所示：
的几何意义是曲线上的点到
直线的距离的两倍，
双曲线的渐近线与平行，
所以曲线在第一、三象限上的点到
的距离，
由图象可知直线与椭圆在第四象限的部分
相切时，距离取得最小值，设切线为：且，
由，可得，
由，解得或（舍去），
所以曲线在第四象限上的点到
的距离.
所以的取值范围是：.
故选：A.
【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
二、多选题
9．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人
B．在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，p为每次试验中事件A发生的概率，若，，则
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．已知，则
【答案】ACD
【分析】根据分层抽样判断A选项，根据独立重复试验中数学期望和方差公式计算判断B选项，正态分布对称性求出对应概率判断C选项，根据互斥事件和的概率公式计算可判断D选项.
【详解】对于A选项：根据分层抽样可得高一抽取20人，高二抽取18人，高三抽取19人，故A选项正确；
对于B选项：在n次独立重复试验中，，，，故B选项错误；
对于C选项：随机变量服从正态分布，若，则，
因为正态分布的对称性关于对称可得，故C选项正确；
对于D选项：互斥，，，
故D选项正确.
故选：ACD.
10．在锐角三角形中，、、是其三内角，则下列一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由正弦定理可判断A；由结合正弦函数的单调性、诱导公式可判断BC；由BC结论可判断D.
【详解】对于A，在三角形中，两边之和大于第三边，则，由正弦定理得，故A错误.
因为是锐角三角形，所以所以B对，同理C对；
对于D，由于，，所以D错.
故选：BC.
【点睛】本题考查三角形中角对应的正弦余弦大小关系，属于基础题.
11．如图，平面四边形中，是等边三角形，且，是的中点.沿将翻折，折成三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得与所成角为锐角
B．棱上总会有一点，使得平面
C．当三棱锥的体积最大时，
D．当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积是
【答案】BC
【分析】取中点，连接，，可证明即可判断A；取中点，连接，可证明平面判断B；三棱锥的体积最大， 的投影在棱上时，此时平面，进而可证明平面得判断C；过作，过点作交于，设为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，进而根据几何关系求解得可判断D.
【详解】解：对于A选项，取中点，连接，，因为是等边三角形，所以，又因为是的中点，所以，因为，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，故错误；
对于B选项，取中点，连接，因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，故正确；
对于C选项，设到平面的距离为，因为且，
所以，所以，故要使三棱锥的体积最大，则最大，所以当的投影在棱上时，最大，且，此时平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，平面，所以，故正确；
对于D选项，因为为直角三角形，所以过作，设为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，所以，过点作交于，如图所示，所以四边形为矩形，所以，所以在中，，即，
在中，，即，进而解得，所以三棱锥的外接球的表面积为，故错误.
故选：BC
12．e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【分析】构建函数根据题意分析可得，对A、D：取特值分析判断；对B、C：根据的单调性，分类讨论分析判断.
【详解】原式变形为，
构造函数，则，
∵，
当时，，则，即；
当时，，则，即；
故在上单调递减，在上单调递增，
对于A：取，则
∵在上单调递增，故，
即满足题意，但，A错误；
对于B：若，则有：
当，即时，则，即；
当，即时，由在时单调递增，且，
故，则；
综上所述：， B正确；
对于C：若，则有：
当，即时，显然成立；
当，即时，令，
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴当时，所以，即，
由可得，即
又∵由在时单调递增，且，
∴，即；
综上所述：，C正确；
对于D：取，，则，
∵在上单调递减，故，
∴故，满足题意，但，D错误.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：指对同构的常用形式：
（1）积型：，
①构造形式为：，构建函数；
②构造形式为：，构建函数；
③构造形式为：，构建函数.
（2）商型：，
①构造形式为：，构建函数；
②构造形式为：，构建函数；
③构造形式为：，构建函数.
三、填空题
13．在二项式的展开式中，常数项是______.
【答案】
【分析】由题意首先结合通项公式写出通项，然后结合展开式的性质整理计算即可求得最终结果.
【详解】展开式的通项公式为：，
令可得：，
则展开式的常数项为：.
故答案为：
14．定义在上的奇函数满足，请写出一个符合条件的函数解析式___________.
【答案】（等其他符合条件的函数也可）
【分析】根据函数的奇偶性、对称性求得符合题意的的解析式.
【详解】依题意是定义在上的奇函数，
由于，所以，
所以的图象关于直线对称，
所以
，
所以是周期为的周期函数.
是定义在上的奇函数，且最小正周期为，
，所以关于对称，符合题意.
故答案为：（等其他符合条件的函数也可）
15．已知，点A为直线上的动点，过点A作直线与相切于点P，若，则的最小值为__________.
【答案】
【分析】设，连接，求出、，求的最小值可转化为求到两点和距离和的最小值，连接可得答案.
【详解】
设，，连接，所以，且，
所以，
，
所以求的最小值可转化为求到两点和距离和的最小值，如图，连接即可，所以，
故答案为：.
16．如图，已知的顶点平面，点在平面的同一侧，且．若与平面所成的角分别为，则面积的取值范围是_____
【答案】
【解析】由题意可得A，B的轨迹，得到当AC、BC与轴l共面时，∠ACB取到最大值和最小值，求得sin∠ACB的范围，代入三角形面积公式得答案．
【详解】∵AC，BC与平面α所成的角分别为，，且|AC|＝2，|BC|＝2，
则A，B分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，
当直线AC，BC与轴l在同一平面内时，∠ACB取到最大值和最小值，
于是，有，
∴sinsin∠ACBsin，即sin∠ACB，
而的面积S＝|AC||BC|sin∠ACB＝sin∠ACB．
∴．
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据题意得到A，B的轨迹，利用几何直观和空间想象进行分析是解题的关键.
四、解答题
17．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________．
(1)求角A的大小；
(2)若D为线段延长线上的一点，且，求的面积．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选择①：由正弦定理边化角得方程，求解即可.
选择②：由正弦定理角化边得关于三边的方程，代入余弦定理可得.
选择③：由正弦定理边化角，再由展开计算可得结果.
（2）设，，，在△ABC中，由、列等式①②，在中，由列等式③，由①②③解方程可得x，y.代入三角形面积公式可得结果.
【详解】（1）若选择①，∵．∴，
∵，∴，
即，
∵∴；
若选择②，∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵∴；
若选择③，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，又∵．∴，
∴，∵，∴；
（2）设，，，
在中，用余弦定理可得，
即 ①，
又∵在中，，
即.即，即 ②，
在中，用余弦定理可得，
即 ③，③+①可得，
将②式代入上式可得，．
18．已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)当 为偶数时 ，当 为奇数时
【分析】（1）运用累乘法计算；
（2）运用裂项相消法求和.
【详解】（1）由题意： ，
，
，
，将 代入上式也成立， ；
（2） ，
，
，
当n为偶数时， ，当n为奇数时， ；
综上， 的通项公式为 ，当 为偶数时，当n为奇数时，.
19．如图，，O分别是圆台上、下底的圆心，AB为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点D，，，为圆台的母线，．
(1)证明；平面；
(2)若二面角为，求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）连接，根据圆的性质知△、△都为等腰直角三角形，进而有为平行四边形，则，根据线面平行的判定证明结论.
（2）构建空间直角坐标系，根据已知求得，再求出、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.
【详解】（1）连接，C为圆O的直径AB所对弧的中点，
所以△为等腰直角三角形，即，
又在圆上，故△为等腰直角三角形，
所以且，又是母线且，则，
故且，则为平行四边形，
所以，而面，面，
故平面.
（2）由题设及（1）知：、、两两垂直，构建如下图示的空间直角坐标系，
过作，则为的中点，再过作，连接，
由圆，即圆，圆，则，又，则，
故二面角的平面角为，而，
所以.
则，，，，
所以，，，
若为面的一个法向量，则，令，则，
，故与平面所成角的正弦值.
20．2021年11月10日，在英国举办的《联合国气候变化框架公约》第26次缔约方大会上，100多个国家政府、城市、州和主要企业签署了《关于零排放汽车和面包车的格拉斯哥宣言》，以在2035年前实现在主要市场、2040年前在全球范围内结束内燃机销售，电动汽车将成为汽车发展的大趋势．电动汽车生产过程主要包括动力总成系统和整车制造及总装．某企业计划为某品牌电动汽车专门制造动力总成系统．
(1)动力总成系统包括电动机系统、电池系统以及电控系统，而且这三个系统的制造互不影响．已知在生产过程中，电动机系统、电池系统以及电控系统产生次品的概率分别为，，．
（ⅰ）求：在生产过程中，动力总成系统产生次品的概率；
（ⅱ）动力总成系统制造完成之后还要经过检测评估，此检测程序需先经过智能自动化检测，然后再进行人工检测，经过两轮检测恰能检测出所有次品，已知智能自动化检测的合格率为95%，求：在智能自动化检测为合格品的情况下，人工检测一件产品为合格品的概率．
(2)随着电动汽车市场不断扩大，该企业通过技术革新提升了动力总成系统的制造水平．现针对汽车续航能力的满意度进行用户回访．统计了100名用户的数据，如下表：
对续航能能力是否满意 产品批次 合计
技术革新之前 技术革新之后
满意 28 57 85
不满意 12 3 15
合计 40 60 100
试问是否有99.9%的把握可以认为用户对续航能力的满意度与该新款电动汽车动力总成系统的制造水平有关联？
参考公式：，
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）；
(2)有99.9%的把握可以认为用户对续航能力的满意度与该新款电动汽车动力总成系统的制造水平有关联.
【分析】（1）（ⅰ）根据独立事件的概率公求出三个系统不产生次品的概率，再利用对立事件的概率公式可求得结果；（ⅱ）根据题意利用条件概率公式求解即可；
（2）利用公式求解，然后由临界值表判断即可.
【详解】（1）（ⅰ）由题意得在生产过程中，动力总成系统产生次品的概率为
；
（ⅱ）设自动化检测合格为事件，人工检测为合格品为事件，则，
所以；
（2）根据题意得
，
所以有有99.9%的把握可以认为用户对续航能力的满意度与该新款电动汽车动力总成系统的制造水平有关联.
21．已知双曲线的右顶点为，左焦点到其渐近线的距离为2，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线交于P，Q两点，直线，分别与直线相交于，两点，试问：以线段为直径的圆是否过定点 若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
(2)以线段为直径的圆过定点和．
【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解，进而联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解，
（2）联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在轴上，进而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解.
【详解】（1）∵双曲线的左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，而，∴．
∴双曲线的方程为．
依题意直线的方程为．
由 消去y整理得：，
依题意：，，点A，B的横坐标分别为，
则．
∵，∴．
∴，∴．
即，解得或（舍去），且时，，
∴双曲线的方程为．
（2）依题意直线的斜率不等于0，设直线的方程为．
由消去整理得：，
∴，．
设，，则，．
直线的方程为，令得：，∴．
同理可得．由对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则该定点一定在轴上，
设该定点为，则，，
故
．
解得或．
故以线段为直径的圆过定点和．
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上，结合向量垂直的坐标运算化简求解就可，对计算能力要求较高.
22．已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)判断函数在上的单调性，并说明理由；
(3)对任意的，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)在上单调递增；
(3)
【分析】（1）通过导数的几何意义计算即可；
（2）由三角函数的有界性将导函数转化为，即可判定单调性；
（3）将问题转化为恒成立，结合第二问的结论得出符合题意，再利用导数去证明其充分性即可.
【详解】（1）由题意可得：，
故，所以在处的切线方程为：
（2）由上知 ，而，
故在上有，即，
令，即在上单调递增，
故，所以，故在上单调递增；
（3）问题转化为：恒成立，
令，则，
由（2）得在上单调递增，
而，满足题意，则，即（必要性）；
下证充分性，
当时，
令，
由（2）可得，故在上单调递增，，故，满足充分性.
综上，实数a的取值范围为.
【点睛】本题考察三角函数与导数结合，属于压轴题.第二三两问关键在利用三角函数的有界性放缩转化；而对于函数恒成立问题的处理方法有：必要性探路法、分离参数法、同构法等，需要较好的计算能力、分析能力，只有勤于总结练习才能更好的处理这类问题.

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