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椭圆的焦点三角形初探
一．学习目标：掌握椭圆的焦点三角形及常见结论.
二．概念梳理:
焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：中，
（1）. .
（2）. 焦点三角形的周长为
（3）..
（4）. 焦点三角形的面积为：.
①设、是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，则当P为短轴端点时，最大.
②．S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
（5）. 假设焦点的内切圆半径为，则.
（6）.焦半径公式:设是椭圆上一点，那么，，进一步，有
推导：根据两点间距离公式:，由于代入两点间距离公式可得，整理化简即可得. 同理可证得.
（7）.设是椭圆上一点，那么，由于,故我们有
（8）若约定椭圆，分别为左、右焦点；顶点在第一象限；，则对于椭圆，离心率
（9） 若，对椭圆有，若，对于椭圆，有， 若，对椭圆，有.
（10） 对椭圆焦点三角形的内心的轨迹方程为.
三．典例分析
例1．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（ ）
A．9 B．3 C．4 D．8
例2．已知椭圆，其左 右焦点分别为，，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
例3．已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例4.椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，则的最小值为______.
例4图 例5图
例5.椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在点P，使，则椭圆C的离心率的取值范围是______.
例6.（2019全国1卷）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A． B． C． D．
例7.（2019全国三卷）
设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.
例8．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
四．习题演练
1．设椭圆的左右焦点分别为，，点P在椭圆上，且满足，则的值是（ ）
A．14 B．17 C．20 D．23
2．已知点、为椭圆的左、右焦点，若点为椭圆上一动点，则使得的点的个数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点,,,则的离心率为 ( )
A. B. C. D.
3．设为椭圆上一点，两焦点分别为，，如果，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知为椭圆的焦点，为上一点且,求此椭圆离心率的取值范围.
5．椭圆的两焦点是、，为椭圆上与、不共线的任意一点，为的内心，延长交线段于点，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知分别为双曲线的左 右焦点，点在双曲线上，为的内心，点满足，若且，记的外接圆半径为，则的值为（ ）
A． B． C． D．1椭圆的焦点三角形初探
一．学习目标：掌握椭圆的焦点三角形及常见结论.
二．概念梳理:
焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：中，
（1）. .
（2）. 焦点三角形的周长为
（3）..
（4）. 焦点三角形的面积为：.
①设、是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，则当P为短轴端点时，最大.
②．S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
（5）. 假设焦点的内切圆半径为，则.
（6）.焦半径公式:设是椭圆上一点，那么，，进一步，有
推导：根据两点间距离公式:，由于代入两点间距离公式可得，整理化简即可得. 同理可证得.
（7）.设是椭圆上一点，那么，由于,故我们有
（8）若约定椭圆，分别为左、右焦点；顶点在第一象限；，则对于椭圆，离心率
（9） 若，对椭圆有，若，对于椭圆，有， 若，对椭圆，有.
（10） 对椭圆焦点三角形的内心的轨迹方程为.
三．典例分析
例1．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（ ）
A．9 B．3 C．4 D．8
解析：由焦点三角形面积公式得，故选：B
例2．已知椭圆，其左 右焦点分别为，，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
解析：所以，
而，所以可得，解得，，由，得，所以该椭圆的方程为．故选：A．
例3．已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解析：又，所以，即，故E的离心率为.
故选：C.
例4.椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，则的最小值为______.
解析：如图，由题意，，设，，由椭圆定义，，在中，由余弦定理，
，
当且仅当时取等号，此时P为椭圆的短轴端点，所以的最小值为.
例4图 例5图
例5.椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在点P，使，则椭圆C的离心率的取值范围是______.
解析：椭圆C上存在点P，使等价于最大张角大于等于60°，如图，
，即，又，所以.
例6.（2019全国1卷）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A． B． C． D．
解：如图所示：
设，由，代入焦半径公式到可得：.再由
.结合（1），（2）式可得，，故
，，这样在三角形与三角形中分别使用余弦定理可得:.
小结：通过坐标表示出焦半径的关系，进而解出椭圆上点的坐标是解题的关键.
例7.（2019全国三卷）
设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.
解：由已知可得，
．∴．由焦半径公式可知
设，由焦半径公式可知
再代入椭圆方程可解得的坐标为．
例8．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
解析：∵是的中点，G是的重心，∴三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴知，，则,设内切圆半径为r，则，
∴椭圆的离心率为．故选：A﹒
四．习题演练
1．设椭圆的左右焦点分别为，，点P在椭圆上，且满足，则的值是（ ）
A．14 B．17 C．20 D．23
解析：由前述结论可知，选D.
2．已知点、为椭圆的左、右焦点，若点为椭圆上一动点，则使得的点的个数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
选B.
3．设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点,,,则的离心率为 ( )
A. B. C. D.
解析：，选D
3．设为椭圆上一点，两焦点分别为，，如果，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解析：由于.故即.
故选：A.
4. 已知为椭圆的焦点，为上一点且,求此椭圆离心率的取值范围.
解析：由椭圆的定义，得，平方得①.
由，②，是锐角，由余弦定理得③，③得 ④由②④，得，
是锐角， ，即且
.由②③可知 ⑤由①⑤可得 ，
，，即，.则椭圆离心率的取值范围是.
8．椭圆的两焦点是、，为椭圆上与、不共线的任意一点，为的内心，延长交线段于点，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【详解】连接.在△MF1I中,F1I是∠MF1N的角平分线,根据三角形内角平分线性质定理,，
同理可得,故有，
根据等比定理.
故选：B
4．已知分别为双曲线的左 右焦点，点在双曲线上，为的内心，点满足，若且，记的外接圆半径为，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【详解】设，
由题意得，
因为点满足，
所以点G是的重心，则，
又因为，
所以轴，
则的纵坐标是，
所以，
设，则，
所以，
即，
则，
由余弦定理得，
即，
解得或，
所以，
则，
解得，
故选：A

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