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2023年中考专题复习 开放探究型问题解题策略
题型特点
开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目的特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种方法。这类试题一直是近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．
一、解题策略
由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：
1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．
2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．
3．分类讨论法．当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．
4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．
以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．
二、主要题型分类
1.条件开放型
2.结论开放型
3.综合开放型
4.策略开放型
5.规律开放型
6.存在开放型
7.操作开放型
三、典例剖析
1.条件开放型
【例题1】如图所示，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E，F是对角线AC上的点．
(1)若________________________，则△DEC≌△BFA(请你填上能使结论成立的一个条件)；
(2)证明你的结论．
【变式训练】
如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：△DCA≌△EAC；
（2）只需添加一个条件，即 ，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
2.结论开放型
【例题2】已知：如图(a)，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，试以图中标有字母的点为端点，连接两条线段，如果你所连接的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证明．
【变式训练】
数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，P为边延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N.当CP=6时，EM与EN的比值是多少？
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，分别于F，G，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得EM与EN的比值.
(1) 请按照小明的思路写出求解过程.
(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.
条件与结论双重开放
【例题3-1】如图，点A，D，C，F同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
【例题3-2】小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形． 小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
【变式训练】
1.为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：
二次函数的图象经过点，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．
[观察发现]
请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．
[思考交流]
小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”
小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”
你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．
[概括表达]
小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．
请你探究这个方法，写出探究过程．
4.策略开放型
【例题4-1】问题提出：
（1）如图①，在中，，，，则的面积为______；
（2）如图②，在四边形ABCD中，，，，，点M，N分别为边CB，CD上两动点，且，连接AM，AN，试说明四边形AMCN的面积是定值；
问题解决：
（3）如图③是一块平行四边形空地，其中，，，点M，N分别为边CB，CD上两点，且，连接AM，MN，AN．公司规划在区域修建一座购物商城，在区域修建一个顾客休息中心，在区修建小吃城，最后中间区域进行绿化．公司为了利益最大化，绿化面积即的面积尽可能小．请你计算出绿化面积的最小值和CM的长度．
【例题4-2】有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：，对于方案一，小明是这样验证的：
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：_______________________________________________________________
方案三：_______________________________________________________________
【变式训练】
如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一交点为B，且与y轴交于点C．
求m的值及顶点坐标；
若点P在直线AC上，点Q是平面上一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年中考专题复习 开放探究型问题（解析版）
题型特点
开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目的特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种方法。这类试题一直是近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．
一、解题策略
由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：
1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．
2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．
3．分类讨论法．当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．
4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．
以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．
二、主要题型分类
1.条件开放型
2.结论开放型
3.综合开放型
4.策略开放型
5.规律开放型
6.存在开放型
7.操作开放型
三、典例剖析
1.条件开放型
【例题1】如图所示，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E，F是对角线AC上的点．
(1)若________________________，则△DEC≌△BFA(请你填上能使结论成立的一个条件)；
(2)证明你的结论．
解：(1)AE＝CF；(OE＝OF；DE⊥AC，BF⊥AC；DE∥BF等等)
(2)以AE＝CF为例．
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠DCE＝∠BAF．
又∵AE＝CF．
∴AC－AE＝AC－CF．
∴AF＝CE，∴△DEG≌△BAF．
【变式训练】
如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：△DCA≌△EAC；
（2）只需添加一个条件，即 ，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：
∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E=90°，由（1）得：△DCA≌△EAC，∴∠D=∠E=90°，∴四边形ABCD为矩形；
故答案为：AD=BC（答案不唯一）．
2.结论开放型
【例题2】已知：如图(a)，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，试以图中标有字母的点为端点，连接两条线段，如果你所连接的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证明．
解：可以写出的结论有：CD＝BE，DB∥CE，AF⊥BD，AF⊥CE等．
(1)如图(b)，连接CD，BE，得CD＝BE．
证明：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，AC＝AE．
又∠CAB＝∠EAD，∴∠CAD＝∠E1AB．
∴△ADC≌△ABE．
∴CD＝BE．
(2)如图(c)，连接DB，CE，得DB∥CE．
证明：∵△ABC≌△ADE，∴AD＝AB．
∴∠ADB＝∠ABD．
∵∠ABC＝∠ADE，
∴∠BDF＝∠FBD．
由AC＝AE可得∠ACE＝∠AEC．
∵∠ACB＝∠AED，∴∠FCE＝∠FEC．
∵∠BDF+∠FBD＝∠FCE+∠FEC，
∴∠FCE＝∠DBF．
∴DB∥CE．
(3)如图(d)，连接DB，AF，得AF⊥BD．
∵△ABC≌△ADE，
∴AD＝AB，∠ABC＝∠ADE＝90°．
又∵AF＝AF，∴△ADF≌△ABF．
∴∠DAF＝∠BAF．
∴AF⊥BD．
(4)如图(e)，连接CE、AF，得AF⊥CE．
同(3)得∠DAF＝∠BAF．
可得∠CAF＝∠EAF．
∴AF⊥BD．
【变式训练】
数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，P为边延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N.当CP=6时，EM与EN的比值是多少？
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，分别于F，G，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得EM与EN的比值.
(1) 请按照小明的思路写出求解过程.
(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.
【答案】
（1）解：过作直线平行于交，分别于点，，
则，，.
∵，∴.
∴，.
∴.
（2）证明：作∥交于点，
则，.
∵，
∴.
∵，，
∴.∴.
∴.
条件与结论双重开放
【例题3-1】如图，点A，D，C，F同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
解(1)根据SSS即可证明△ABC≌ DEF，即可解决问题
【小问1详解】
解：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF
【小问2详解】
证明：∵△ABC≌△DEF．
∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE．
【例题3-2】小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形． 小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
解：赞成小洁的说法，补充
证明：∵OB＝OD，
四边形是平行四边形，
AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
【变式训练】
1.为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：
二次函数的图象经过点，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．
[观察发现]
请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．
[思考交流]
小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”
小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”
你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．
[概括表达]
小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．
请你探究这个方法，写出探究过程．
解：[观察发现]根据题意，得：抛物线经过点，且不经过第一象限，
画出图象，如下：
[思考交流]不认同他们的说法，举例如下：
抛物线的对称轴为y轴，故小亮的说法不正确，
抛物线图象经过x轴，故小莹的说法不正确；
[概括表达]
设过点的抛物线解析式为，
，
在y=ax2+bx+c中，
，
经过，
，
根据题意，抛物线不经过第一象限，
，，
，
，
综上所述：且．
4.策略开放型
【例题4-1】问题提出：
（1）如图①，在中，，，，则的面积为______；
（2）如图②，在四边形ABCD中，，，，，点M，N分别为边CB，CD上两动点，且，连接AM，AN，试说明四边形AMCN的面积是定值；
问题解决：
（3）如图③是一块平行四边形空地，其中，，，点M，N分别为边CB，CD上两点，且，连接AM，MN，AN．公司规划在区域修建一座购物商城，在区域修建一个顾客休息中心，在区修建小吃城，最后中间区域进行绿化．公司为了利益最大化，绿化面积即的面积尽可能小．请你计算出绿化面积的最小值和CM的长度．
解：（1）如图，过点作，
∵， ，
∴，
∵，
∴的面积为，
故答案为：．
（2）连接，分别过作的垂线，，垂足分别为，
在与中，
∴≌，
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴四边形AMCN的面积为，
即四边形AMCN的面积为定值的长．
（3）如图，过点作，交的延长线于点，
∵，，，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，m，
∴m，
在中，，
由（2）可知四边形AMCN的面积为定值的长即，
如图，过点作，
设的长为，则，
∴，
∴
，
∴当时，取得最大值，即最小，
由（2）可知，四边形AMCN的面积为定值的长，当取得最大值时，最小，
∴最小值为，
∴绿化面积的最小值为，CM的长度为40m．
【例题4-2】有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：，对于方案一，小明是这样验证的：
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：_______________________________________________________________
方案三：_______________________________________________________________
解：方案二：，
方案三：
．
【变式训练】
如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一交点为B，且与y轴交于点C．
求m的值及顶点坐标；
若点P在直线AC上，点Q是平面上一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：把代入二次函数得，
，
，
二次函数的解析式为：，
，
顶点坐标为；
存在，理由：
当时，，
，
，
当时，，
，
，
或3，
，
，
当AB是矩形的边时，此时，对应的矩形为，
，故，
矩形为正方形，
故点的坐标为；
当AB是矩形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，
同理可得，矩形APBQ为正方形，
故点Q的坐标为，
故点Q的坐标为或
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