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第二单元第3讲 奇偶性、周期性与对称性
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：判断函数的奇偶性
题型二：函数奇偶性的应用
题型三：函数的周期性
题型四：函数的对称性
题型五：函数的单调性与奇偶性
题型六：函数的奇偶性与周期性
题型七：函数的奇偶性与对称性
题型八：函数的周期性与对称性
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
4.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
5.函数对称性常用结论
(1)f(a－x)＝f(a＋x) f(－x)＝f(2a＋x) f(x)＝f(2a－x) f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)f(a＋x)＝f(b－x) f(x)的图象关于直线x＝对称．
f(a＋x)＝－f(b－x) f(x)的图象关于点对称．
(3)f(2a－x)＝－f(x)＋2b f(x)的图象关于点(a，b)对称．
【讲方法】
1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
2.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
3.利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
4.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
5.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
6.求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心．
7.解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．
8.解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．
9.比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小．
10.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
11.由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．
12. 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
二、【练】
【练题型】
【题型一】判断函数的奇偶性
【典例1】(多选)下列函数中为偶函数的是(　　)
A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x
C.y＝ln |x| D.y＝2－x
【典例2】(多选)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)
A.y＝xsin x 　 　　B.y＝xln x
C.y＝ex－1 　 　　D.y＝xln(－x)
【典例3】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
【题型二】函数奇偶性的应用
【典例1】若函数f(x)＝x3为偶函数，则a的值为________．
【典例2】设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)等于(　　)
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
【典例3】已知函数f(x)＝ax3＋bx5＋2.若f(x)在区间[－t，t]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
【题型三】函数的周期性
【典例1】在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝(　　)
A．0.5 B．1.5
C．2.5 D．3.5
【典例2】已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【典例3】已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1.则f(17)＝________，f(20)＝________．
【题型四】函数的对称性
【典例1】(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于x＝2对称
B.f(x)的图象关于(2，0)对称
C.f(x)的最小正周期为4
D.y＝f(x＋4)为偶函数
【典例2】已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)等于(　　)
A.0 B.m C.2m D.4m
【典例3】已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于x＝2对称.当x∈[0，4]时，f(x)＝x2－4x，则f(2 022)＝________.
【题型五】函数的单调性与奇偶性
【典例1】已知定义域为(－1，1)的奇函数f(x)是减函数，且f(a－3)＋f(9－a2)<0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，3) B．(3，)
C．(2，4) D．(－2，3)
【典例2】设f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为(　　)
A．[－3，3]　　　　　 　　　 B．[－2，4]
C．[－1，5] D．[0，6]
【典例3】(多选)定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的是(　　)
A．f(b)－f(－a)B．f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)
C．f(a)＋f(－b)D．f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)
【题型六】函数的奇偶性与周期性
【典例1】已知定义在R上的奇函数f(x)，对任意实数x，恒有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈时，f(x)＝x2－6x＋8，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＝(　　)
A．6 B．3
C．0 D．－3
【典例2】已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝　(　　)
A． B．
C．π D．
【典例3】已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－1，4) B．(－2，1)
C．(－1，2) D．(－1，0)
【题型七】函数的奇偶性与对称性
【典例1】已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝4x－1，则在(1，3)上，f(x)≤1的解集是(　　)
A． B．
C． D．[2，3)
【典例2】函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)(　　)
A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
【典例3】若函数y＝f(x)在(0，2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(1)B．fC．fD．f【题型八】函数的周期性与对称性
【典例1】已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，现给出下列命题：①函数f(x)是以2为周期的周期函数；②函数f(x)是以4为周期的周期函数；③函数f(x－1)为奇函数；④函数f(x－3)为偶函数，其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【典例2】已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1，0)对称，下列关于f(x)的结论，正确的是(　　)
A．f(x)是周期函数
B．f(x)满足f(x)＝f(4－x)
C．f(x)在(0，2)上单调递减
D．f(x)＝cos 是满足条件的一个函数
【练真题】
【真题1】（2022-乙卷）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则＝（　　）
A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣24
【真题2】（2022-新高考Ⅱ）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则＝（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1
【真题3】（2022-乙卷）若f（x）＝ln|a+|+b是奇函数，则a＝　　 ，b＝　 　．
【真题4】（2021-全国乙卷）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【真题5】（2021-全国甲卷）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A. B. C. D.
【真题6】（2020-课标II）设函数，则f(x)（ ）
A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减
C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减
【真题7】（2019-课标III）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则
A.
B.
C.
D.
【真题8】（2018-课标Ⅰ）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
A. B. C. D.
【真题9】（2017-课标Ⅰ）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
【真题10】（2016-四川）已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则 = .
【真题11】（2015-福建）下列函数为奇函数的是( )
A． B． C． D．
【真题12】（2015-湖南）设函数，则是（ ）
A.奇函数，且在上是增函数
B. 奇函数，且在上是减函数
C. 偶函数，且在上是增函数
D. 偶函数，且在上是减函数
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 函数f(x)＝x＋(x≠0)是(　　)
A．奇函数，且在(0，3)上是增函数
B．奇函数，且在(0，3)上是减函数
C．偶函数，且在(0，3)上是增函数
D．偶函数，且在(0，3)上是减函数
2. 已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝2x，当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，当x>时，f＝f，则f(5)＝(　　)
A． B．－
C．－2 D．2
3. 设函数f(x)＝，则下列结论错误的是(　　)
A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数
4. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
【多选题】
5. 已知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x＋2)＝－f(x)，且函数f(x－1)为奇函数，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)是周期函数
B．函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称
C．函数f(x)为R上的偶函数
D．函数f(x)为R上的单调函数
6. 已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
B．f(4)＝0
C．f(x＋8)＝f(x)
D．若f(－5)＝－1，则f(19)＝－1
【填空题】
7. 已知函数f(x)＝asin x＋btan x＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝________.
8. 已知函数f(x)，对 x∈R满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝1，则f(26)＝________.
9. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2，4)时，f(x)＝|x－3|，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 022)＝________.
10. 若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________，f(g(－2))＝________．
11. 已知函数f(x)＝则f(2 021)＝________．
【测能力】
【单选题】
1. 若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则满足f(x－1)>－e2的x的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)
2. 已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且满足f(－1)＝0，则关于x的不等式f(x)＜sin πx的解集为(　　)
A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B.(－1，0)∪(1，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(0，1)
D.(－1，0)∪(0，1)
3. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在区间[1，2]上单调递减，令a＝ln 2，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是(　　)
A.f(b)B.f(a)C.f(c)D.f(c)4. 如果定义在R上的奇函数y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数y＝f(x)为“H函数”．下列函数为“H函数”的是(　　)
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝ex
C．f(x)＝x3－3x D．f(x)＝x|x|
【多选题】
5. 已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x＋1)＝f(x－3)，f(1＋x)＝f(3－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－x，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为4
B．f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2
D．当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为－
6. 已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是(　　 )
A．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
B．f(4)＝0
C．f(x＋8)＝f(x)
D．若f(5)＝－1，则f(2 021)＝－1
【填空题】
7. 已知函数f(x)对任意实数x满足f(－x)＋f(x)＝2，若函数y＝f(x)的图象与y＝x＋1有三个交点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则y1＋y2＋y3＝________.
8. 已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________．
9. 设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围为________．
10. 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的图象关于x＝1对称；
③f(x)在[1，2]上是减函数；
④f(2)＝f(0)，
其中正确命题的序号是________．(请把正确命题的序号全部写出来)
11. 已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数．给出以下四个命题：
①函数f(x)是周期函数；
②函数f(x)的图象关于点对称；
③函数f(x)为R上的偶函数；
④函数f(x)为R上的单调函数．
其中真命题的序号为________．
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第二单元第3讲 奇偶性、周期性与对称性
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：判断函数的奇偶性
题型二：函数奇偶性的应用
题型三：函数的周期性
题型四：函数的对称性
题型五：函数的单调性与奇偶性
题型六：函数的奇偶性与周期性
题型七：函数的奇偶性与对称性
题型八：函数的周期性与对称性
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
4.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
5.函数对称性常用结论
(1)f(a－x)＝f(a＋x) f(－x)＝f(2a＋x) f(x)＝f(2a－x) f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)f(a＋x)＝f(b－x) f(x)的图象关于直线x＝对称．
f(a＋x)＝－f(b－x) f(x)的图象关于点对称．
(3)f(2a－x)＝－f(x)＋2b f(x)的图象关于点(a，b)对称．
【讲方法】
1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
2.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
3.利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
4.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
5.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
6.求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心．
7.解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．
8.解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．
9.比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小．
10.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
11.由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．
12. 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
二、【练】
【练题型】
【题型一】判断函数的奇偶性
【典例1】(多选)下列函数中为偶函数的是(　　)
A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x
C.y＝ln |x| D.y＝2－x
【解析】根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项为偶函数；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.
故选BC.
【典例2】(多选)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)
A.y＝xsin x 　 　　B.y＝xln x
C.y＝ex－1 　 　　D.y＝xln(－x)
【解析】A中，y＝xsin x为偶函数.
B中，函数y＝xln x的定义域为(0，＋∞)，非奇非偶函数.
C中，f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则y＝ex－1为非奇非偶函数.
D中，y＝xln(－x)是偶函数.
故选BC.
【典例3】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
【解析】(1)由得x2＝3，
解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.
∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，
∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝
＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.
【题型二】函数奇偶性的应用
【典例1】若函数f(x)＝x3为偶函数，则a的值为________．
【解析】方法一　(定义法)∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
∴(－x)3＝x3·，
∴2a＝－＝1，
∴a＝.
方法二　(特值法)f(x)为偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，
又f(－1)＝－a＋2，f(1)＝a＋1，
∴－a＋2＝a＋1，∴a＝.
【典例2】设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)等于(　　)
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
【解析】当x<0时，－x>0，
∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，
∴f(－x)＝e－x－1.
又∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
故选D.
【典例3】已知函数f(x)＝ax3＋bx5＋2.若f(x)在区间[－t，t]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
【解析】令g(x)＝ax3＋bx5，
则g(x)为奇函数，
当x∈[－t，t]时，g(x)max＋g(x)min＝0，
又f(x)＝g(x)＋2，
∴M＝g(x)max＋2，m＝g(x)min＋2，
∴M＋m＝g(x)max＋2＋g(x)min＋2＝4.
【题型三】函数的周期性
【典例1】在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝(　　)
A．0.5 B．1.5
C．2.5 D．3.5
【解析】由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C．
【典例2】已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.
当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点．
故选D.
【典例3】已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1.则f(17)＝________，f(20)＝________．
【解析】因为f(x＋2)＝－，
所以f(x＋4)＝－＝f(x)，
所以函数y＝f(x)的周期T＝4.
f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1.
f(20)＝f(4×4＋4)＝f(4)＝f(2＋2)＝－＝－＝－.
【题型四】函数的对称性
【典例1】(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于x＝2对称
B.f(x)的图象关于(2，0)对称
C.f(x)的最小正周期为4
D.y＝f(x＋4)为偶函数
【解析】∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于x＝2对称，故A正确，B错误；
∵函数f(x)的图象关于x＝2对称，
则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；
∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确.
故选ACD.
【典例2】已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)等于(　　)
A.0 B.m C.2m D.4m
【解析】∵f(x)＋f(－x)＝2，y＝＝1＋.
∴函数y＝f(x)与y＝的图象都关于点(0，1)对称，
∴xi＝0，yi＝×2＝m.
故选B.
【典例3】已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于x＝2对称.当x∈[0，4]时，f(x)＝x2－4x，则f(2 022)＝________.
【解析】∵f(x)的图象关于x＝2对称，
∴f(－x)＝f(x＋4)，
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
故f(x＋4)＝－f(x)，∴T＝8，
又∵2 022＝252×8＋6，
∴f(2 022)＝f(6)＝f(－2)＝－f(2)＝－(4－8)＝4.
【题型五】函数的单调性与奇偶性
【典例1】已知定义域为(－1，1)的奇函数f(x)是减函数，且f(a－3)＋f(9－a2)<0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，3) B．(3，)
C．(2，4) D．(－2，3)
【解析】由f(a－3)＋f(9－a2)<0得f(a－3)<－f(9－a2)．又由奇函数性质得f(a－3)故选A.
【典例2】设f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为(　　)
A．[－3，3]　　　　　 　　　 B．[－2，4]
C．[－1，5] D．[0，6]
【解析】因为f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，所以－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，
由函数f(x)在[－6，0]上为增函数，得f(x)在[0，6]上为减函数．故f(x－1)≥f(3) f(|x－1|)≥f(3) |x－1|≤3，故－2≤x≤4.
故选B.
【典例3】(多选)定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的是(　　)
A．f(b)－f(－a)B．f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)
C．f(a)＋f(－b)D．f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)
【解析】函数f(x)为R上的奇函数，且为单调减函数，
偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，
由a>b>0，得f(a)对于A，f(b)－f(－a)0上成立)，所以A正确；
对于B，f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)>0，这与f(b)<0矛盾，所以B错误；
对于C，f(a)＋f(－b)对于D，f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a) f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]>0，这与f(a)故选AC.
【题型六】函数的奇偶性与周期性
【典例1】已知定义在R上的奇函数f(x)，对任意实数x，恒有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈时，f(x)＝x2－6x＋8，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＝(　　)
A．6 B．3
C．0 D．－3
【解析】根据题意，对任意实数x，恒有f(x＋3)＝－f(x)．则有f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，又由f(x)为定义在R上的奇函数，得f(0)＝0，则f(3)＝－f(0)＝0.又由当x∈时，f(x)＝x2－6x＋8，得f(1)＝3，f(2)＝f(－1＋3)＝－f(－1)＝f(1)＝3.f(4)＝f(1＋3)＝－f(1)＝－3，f(5)＝f(2＋3)＝－f(2)＝－3.
则有f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0，
则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＝[f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(5)]×336＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝3.故选B.
【典例2】已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝　(　　)
A． B．
C．π D．
【解析】由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知f(－x)＝f(x)，且f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x＋2)＝f(x－2)．
所以f(x＋4)＝f(x)，则y＝f(x)的周期为4.
所以F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝.故选B.
【典例3】已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－1，4) B．(－2，1)
C．(－1，2) D．(－1，0)
【解析】因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)＝f(－1)＝f(1)，即<1，化简得(a－4)(a＋1)<0，解得－1故选A.
【题型七】函数的奇偶性与对称性
【典例1】已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝4x－1，则在(1，3)上，f(x)≤1的解集是(　　)
A． B．
C． D．[2，3)
【解析】因为0≤x≤1时，f(x)＝4x－1，所以f(x)在区间[0，1]上是增函数，又函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)在区间[－1，1]上是增函数，因为f(x)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以函数f(x)在区间(1，3)上是减函数，又f＝1，所以f＝1，所以在区间(1，3)上不等式f(x)≤1的解集为，故选C．
【典例2】函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)(　　)
A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
【解析】由f(x)＝f(2－x)得f(x)的图象关于直线x＝1对称．又f(x)是偶函数，故函数f(x)的周期是2，f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数．
故选B.
【典例3】若函数y＝f(x)在(0，2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(1)B．fC．fD．f【解析】因为y＝f(x＋2)是偶函数．所以y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(1)＝f(3)．又f(x)在(0，2)上为增函数，所以f(x)在(2，4)上为减函数，所以f故选B.
【题型八】函数的周期性与对称性
【典例1】已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，现给出下列命题：①函数f(x)是以2为周期的周期函数；②函数f(x)是以4为周期的周期函数；③函数f(x－1)为奇函数；④函数f(x－3)为偶函数，其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，
所以f(－x)＝f(x)＝－f(2－x)，f(x＋2)＝－f(x)，
f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可得f(x)的最小正周期为4，故①错误，②正确；
由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋1)＝－f(x－1)．
又f(－x－1)＝f(x＋1)，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，故f(x－1)为奇函数，③正确；
若f(x－3)为偶函数，则f(x－3)＝f(－x－3)，
又f(－x－3)＝f(x＋3)，
所以f(x＋3)＝f(x－3)，即f(x＋6)＝f(x)，可得6为f(x)的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误，故选B．
【典例2】已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1，0)对称，下列关于f(x)的结论，正确的是(　　)
A．f(x)是周期函数
B．f(x)满足f(x)＝f(4－x)
C．f(x)在(0，2)上单调递减
D．f(x)＝cos 是满足条件的一个函数
【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(－x)＝－f(2＋x)，故f(x＋2)＝－f(x)，故有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，故A正确；可得f(－x)＝f(x)＝f(x＋4)，把x替换成－x可得f(x)＝f(4－x)，故B正确；f(x)＝cos 是定义在R上的偶函数，(1，0)是其图象的一个对称中心，可得D正确；f(x)＝－cos 满足题意，但f(x)在(0，2)上单调递增，故C错误．
故选ABD.
【练真题】
【真题1】（2022-乙卷）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则＝（　　）
A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣24
【解析】∵y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，则g（2﹣x）＝g（2+x），∵f（x）+g（2﹣x）＝5，∴f（﹣x）+g（2+x）＝5，∴f（﹣x）＝f（x），故f（x）为偶函数，
∵g（2）＝4，f（0）+g（2）＝5，得f（0）＝1．由g（x）﹣f（x﹣4）＝7，得g（2﹣x）＝f（﹣x﹣2）+7，代入f（x）+g（2﹣x）＝5，得f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，故f（x）关于点（﹣1，﹣1）中心对称，
∴f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，由f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，f（﹣x）＝f（x），得f（x）+f（x+2）＝﹣2，
∴f（x+2）+f（x+4）＝﹣2，故f（x+4）＝f（x），f（x）周期为4，
由f（0）+f（2）＝﹣2，得f（2）＝﹣3，又f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，
所以＝6f（1）+6f（2）+5f（3）+5f（4）＝11×（﹣1）+5×1+6×（﹣3）＝﹣24，
故选：D．
【真题2】（2022-新高考Ⅱ）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则＝（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1
【解析】令y＝1，则f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），即f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），
∴f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x），f（x+3）＝f（x+2）﹣f（x+1），
∴f（x+3）＝﹣f（x），则f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），
∴f（x）的周期为6，
令x＝1，y＝0得f（1）+f（1）＝f（1）×f（0），解得f（0）＝2，
又f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），
∴f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1，
f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2，
f（4）＝f（3）﹣f（2）＝﹣1，
f（5）＝f（4）﹣f（3）＝1，
f（6）＝f（5）﹣f（4）＝2，
∴，
∴＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝﹣3．
故选：A．
【真题3】（2022-乙卷）若f（x）＝ln|a+|+b是奇函数，则a＝　　 ，b＝　 　．
【解析】f（x）＝ln|a+|+b，
若a＝0，则函数f（x）的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不具有奇偶性，
∴a≠0，
由函数解析式有意义可得，x≠1且a+，
∴x≠1且，
∵函数f（x）为奇函数，∴定义域必须关于原点对称，
∴1+＝﹣1，解得a＝﹣，
∴f（x）＝ln||+b，定义域为{x|x≠1且x≠﹣1}，
由f（0）＝0得，ln+b＝0，
∴b＝ln2，
故答案为：﹣；ln2．
【真题4】（2021-全国乙卷）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【解析】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【真题5】（2021-全国甲卷）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【真题6】（2020-课标II）设函数，则f(x)（ ）
A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减
C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减
【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【真题7】（2019-课标III）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则
A.
B.
C.
D.
【解析】是R的偶函数，．
，
又在(0，+∞)单调递减，
∴，
，故选C．
【真题8】（2018-课标Ⅰ）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
A. B. C. D.
【解析】因为是定义域为 的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
【真题9】（2017-课标Ⅰ）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
【解析】因为为奇函数且在单调递减，要使成立，则满足，从而由得，即满足成立的的取值范围为，选D.
【真题10】（2016-四川）已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则 = .
【解析】因为函数 是定义在 上周期为 2 的奇函数, 所以
, 所以 , 即 ，
【真题11】（2015-福建）下列函数为奇函数的是( )
A． B． C． D．
【解析】函数是非奇非偶函数；和是偶函数；是奇函数，故选D．
【真题12】（2015-湖南）设函数，则是（ ）
A.奇函数，且在上是增函数
B. 奇函数，且在上是减函数
C. 偶函数，且在上是增函数
D. 偶函数，且在上是减函数
【解析】显然, 定义域为 , 关于原点对称, 又 为奇函数, 显然, 在 上单调递增, 故选 A.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 函数f(x)＝x＋(x≠0)是(　　)
A．奇函数，且在(0，3)上是增函数
B．奇函数，且在(0，3)上是减函数
C．偶函数，且在(0，3)上是增函数
D．偶函数，且在(0，3)上是减函数
【解析】因为f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)＝x＋为奇函数．
又f′(x)＝1－，在(0，3)上f′(x)<0恒成立，
所以f(x)在(0，3)上是减函数．
故选B.
2. 已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝2x，当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，当x>时，f＝f，则f(5)＝(　　)
A． B．－
C．－2 D．2
【解析】因为当x>时，f＝f，所以f(x＋1)＝f(x)，所以f(5)＝f(1)．因为当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝－f(－1)．又当x<0时，f(x)＝2x，所以f(5)＝f(1)＝－f(－1)＝－2－1＝－，故选B.
3. 设函数f(x)＝，则下列结论错误的是(　　)
A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数
【解析】因为f(x)＝，
则f(－x)＝＝－f(x)．
所以f(x)是奇函数．
因为f(|－x|)＝f(|x|)，
所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数．
故选D.
4. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
【解析】因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，
所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.
【多选题】
5. 已知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x＋2)＝－f(x)，且函数f(x－1)为奇函数，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)是周期函数
B．函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称
C．函数f(x)为R上的偶函数
D．函数f(x)为R上的单调函数
【解析】因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函数，故A正确；
因为函数f(x－1)为奇函数，所以函数f(x－1)的图象关于原点中心对称，所以函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称，故B正确；
因为函数f(x－1)为奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，
根据f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋1)＝f(－x－1)，f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为R上的偶函数，故C正确；
因为函数f(x－1)为奇函数，所以f(－1)＝0，又函数f(x)为R上的偶函数，所以f(1)＝0，所以函数f(x)不单调，D不正确．
故选ABC.
6. 已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
B．f(4)＝0
C．f(x＋8)＝f(x)
D．若f(－5)＝－1，则f(19)＝－1
【解析】根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(－x)＝－f(x)，
又由函数f(x＋2)为偶函数，
则函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
则有f(－x)＝f(4＋x)，
则有f(x＋4)＝－f(x)，
则f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
则函数f(x)是周期为8的周期函数；
据此分析选项：
对于A，函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，A错误；
对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，又由函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(4)＝0，B正确；对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x＋8)＝f(x)，C正确；
对于D，若f(－5)＝－1，则f(19)＝f(－5＋24)＝f(－5)＝－1，D正确．
故选BCD.
【填空题】
7. 已知函数f(x)＝asin x＋btan x＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝________.
【解析】令g(x)＝asin x＋btan x，
则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋1，
∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，
∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4.
8. 已知函数f(x)，对 x∈R满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝1，则f(26)＝________.
【解析】∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(26)＝f(2).
∵对 x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝1，即f(26)＝1.
9. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2，4)时，f(x)＝|x－3|，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 022)＝________.
【解析】∵f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，
∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为4，
∴f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，即f(1)＝0.
在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，
令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 022)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝0.
10. 若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________，f(g(－2))＝________．
【解析】因为f(x)是R上的奇函数 ，所以f(0)＝0，即a＝0，若x<0，则－x>0，则f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)，则g(2x)＝－(x2－2x－1)，令x＝－1，则g(－2)＝－(1＋2－1)＝－2，f(－2)＝－f(2)＝－(4＋4－1)＝－7，故f(g(－2))＝－7.
11. 已知函数f(x)＝则f(2 021)＝________．
【解析】当x>0时，f(x)＝f(x－2)＋1，
则f(2 021)＝f(2 019)＋1＝f(2 017)＋2＝…
＝f(1)＋1 010＝f(－1)＋1 011，
而f(－1)＝0，故f(2 021)＝1 011.
【测能力】
【单选题】
1. 若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则满足f(x－1)>－e2的x的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)
【解析】∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝1－a＝0，∴a＝1，
∴f(x)＝ex－e－x，
∴f(x)为R上的增函数，
又f(－2)＝e－2－e2＝－e2，
∴原不等式可化为f(x－1)>f(－2)，
∴x－1>－2，即x>－1.
故选B.
2. 已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且满足f(－1)＝0，则关于x的不等式f(x)＜sin πx的解集为(　　)
A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B.(－1，0)∪(1，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(0，1)
D.(－1，0)∪(0，1)
【解析】∵f(x)为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，
由此可在坐标系中画出y＝f(x)与y＝sin πx的大致图象，如图所示，
由图象可知，当x∈(－∞，－1)∪(0，1)时，f(x)＜sin πx，
即当x∈(－∞，－1)∪(0，1)时，
f(x)＜sin πx.
故选C.
3. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在区间[1，2]上单调递减，令a＝ln 2，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是(　　)
A.f(b)B.f(a)C.f(c)D.f(c)【解析】依题意，定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋2)＝f(－x)，即函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(0)＝0.
又f(x)在区间[1，2]上单调递减，则f(x)在区间[0，1]上单调递增，则f(1)>0.
由0f(0)＝0，
b＝＝＝2，
则f(b)＝f(2)＝f(0)＝0，
c＝log2＝－1，
则f(c)＝f(－1)＝－f(1)<0，
所以f(c)故选C.
4. 如果定义在R上的奇函数y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数y＝f(x)为“H函数”．下列函数为“H函数”的是(　　)
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝ex
C．f(x)＝x3－3x D．f(x)＝x|x|
【解析】根据题意，对于任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，则有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数．对于A，f(x)＝sin x为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f(x)＝ex为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f(x)＝x3－3x为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f(x)＝x|x|＝为奇函数且在R上为增函数，符合题意．故选D.
【多选题】
5. 已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x＋1)＝f(x－3)，f(1＋x)＝f(3－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－x，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为4
B．f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2
D．当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为－
【解析】由f(x＋1)＝f(x－3)得，f(x)＝f[(x－1)＋1]＝f[(x－1)－3]＝f(x－4)，故函数f(x)的周期为4，A正确；由f(1＋x)＝f(3－x)可得f(2＋x)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；作出函数f(x)在[0，8]上的大致图象如图所示，由图可知，当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为f(2)＝2.C正确；当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为f＝f＝－，D错误．故选ABC.　
6. 已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是(　　 )
A．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
B．f(4)＝0
C．f(x＋8)＝f(x)
D．若f(5)＝－1，则f(2 021)＝－1
【解析】根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(－x)＝－f(x)，
又由函数f(x＋2)为偶函数，
则函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
则有f(－x)＝f(4＋x)，
则有f(x＋4)＝－f(x)，
即f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
则函数f(x)是周期为8的周期函数；
据此分析选项：
对于A，函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，A错误；
对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，又由函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(4)＝0，B正确；
对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x＋8)＝f(x)，C正确；
对于D，若f(5)＝－1，则f(2 021)＝f(5＋2 016)＝f(5)＝－1，D正确．
故选BCD.
【填空题】
7. 已知函数f(x)对任意实数x满足f(－x)＋f(x)＝2，若函数y＝f(x)的图象与y＝x＋1有三个交点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则y1＋y2＋y3＝________.
【解析】因为f(－x)＋f(x)＝2，
则f(x)的图象关于点(0,1)对称，
又直线y＝x＋1也关于点(0,1)对称，
因为y＝f(x)与y＝x＋1有三个交点，
则(0,1)是一个交点，另两个交点关于(0,1)对称，
则y1＋y2＋y3＝2＋1＝3.
8. 已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________．
【解析】根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝.
9. 设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围为________．
【解析】由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，
由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．
当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，
两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得所以x的取值范围为.
答案：
10. 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的图象关于x＝1对称；
③f(x)在[1，2]上是减函数；
④f(2)＝f(0)，
其中正确命题的序号是________．(请把正确命题的序号全部写出来)
【解析】因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．
令x＝y＝0，
所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x，
所以f(0)＝f(x)＋f(－x)．
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
因为f(x)在x∈[－1，0]上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数．
由f(x＋2)＝－f(x) f(x＋4)＝－f(x＋2)
f(x＋4)＝f(x)，
所以周期T＝4，
即f(x)为周期函数．
f(x＋2)＝－f(x) f(－x＋2)＝－f(－x)．
又因为f(x)为奇函数，
所以f(2－x)＝f(x)，
所以函数关于x＝1对称．
由f(x)在[0，1]上为增函数，
又关于x＝1对称，
所以f(x)在[1，2]上为减函数．
由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．
答案：①②③④
11. 已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数．给出以下四个命题：
①函数f(x)是周期函数；
②函数f(x)的图象关于点对称；
③函数f(x)为R上的偶函数；
④函数f(x)为R上的单调函数．
其中真命题的序号为________．
【解析】由f＝－f(x)，得f(x＋3)＝－f，即f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为3的周期函数，①正确．由函数y＝f为奇函数，得f＝－f，所以函数y＝f的图象关于点对称，②正确．由f＝－f(x)，得f＝－f.又f＝－f，所以f＝f，即f(x)＝f(－x)，故③正确．由①知f(x)为周期函数，所以f(x)不可能单调，故④错误．因此真命题的序号为①②③.
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