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2023年中考数学二轮复习培优：圆中定弦定角问题 学案
理论知识
【模型1】定弦定角模型
如图28-1，在中，BC的长为定值，为定角度，
（1）确定点A的运动轨迹，有3种情况：
①如图28-2，当时，点A的运动轨迹为优弧（不与B、C点重合）；
②如图28-3，当时，点A的运动轨迹为⊙O（不与点B、C重合）；
③如图28-4，当时，点A的运动轨迹为劣弧（不与B、C点重合）。
（2）构成等腰三角形（AB=AC）时：点A到BC的距离最大，且此时的面积最大。
【模型变式1】
如图28-5，已知点A、B是的边PF上的两个定点，点Q是边PE上一动点，则当点Q在何处时，最大。
当的外接圆与边PE相切于点Q时，最大。
【证明】如图28-6，作的外接圆⊙O，设点为PE上不同与Q点的任意一点，连接、，与⊙O交于点D，连接BD，
当的外接圆与边PE相切于点Q时，最大。
例题：
【例1】如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为__________．
【例2】数学概念
若点在的内部，且、和中有两个角相等，则称是的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称是的“强等角点”.
理解概念
（1）若点是的等角点，且，则的度数是 .
（2）已知点在的外部，且与点在的异侧，并满足，作的外接圆，连接，交圆于点.当的边满足下面的条件时，求证：是的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）
①如图①，
②如图②，
深入思考
（3）如图③，在中，、、均小于，用直尺和圆规作它的强等角点.（不写作法，保留作图痕迹）
（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：
①直角三角形的内心是它的等角点；
②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；
③正三角形的中心是它的强等角点；
④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；
⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号）中小学教育资源及组卷应用平台
2023年中考数学二轮复习培优：圆中定弦定角问题 学案
理论知识
【模型1】定弦定角模型
如图28-1，在中，BC的长为定值，为定角度，
（1）确定点A的运动轨迹，有3种情况：
①如图28-2，当时，点A的运动轨迹为优弧（不与B、C点重合）；
②如图28-3，当时，点A的运动轨迹为⊙O（不与点B、C重合）；
③如图28-4，当时，点A的运动轨迹为劣弧（不与B、C点重合）。
（2）构成等腰三角形（AB=AC）时：点A到BC的距离最大，且此时的面积最大。
【模型变式1】
如图28-5，已知点A、B是的边PF上的两个定点，点Q是边PE上一动点，则当点Q在何处时，最大。
当的外接圆与边PE相切于点Q时，最大。
【证明】如图28-6，作的外接圆⊙O，设点为PE上不同与Q点的任意一点，连接、，与⊙O交于点D，连接BD，
当的外接圆与边PE相切于点Q时，最大。
例题：
【例1】如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为__________．
【答案】2
【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC=120°，根据定弦定角，可得点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，连接MA交于E′，此时AE′的值最小．
【解析】解：如图，连接CE．
∵AP∥BC，
∴∠PAC=∠ACB=60°，
∴∠CEP=∠CAP=60°，
∴∠BEC=120°，
,为定值，则点E的运动轨迹为一段圆弧
如图，点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，过点作
∴中优弧度数为=240°，则劣弧度数为120°
∴△BMC是等腰三角形，∠BMC=120°，
∵∠BCM=30°，BC=，
∴MB=MC=8，
∴连接MA交于E′，此时AE′的值最小．
∵∠ACB=60°，∠BCO=30°，
∴∠ACM=90°，
∴MA==，
∴AE的最小值为=．
故答案为：2
【例2】数学概念
若点在的内部，且、和中有两个角相等，则称是的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称是的“强等角点”.
理解概念
（1）若点是的等角点，且，则的度数是 .
（2）已知点在的外部，且与点在的异侧，并满足，作的外接圆，连接，交圆于点.当的边满足下面的条件时，求证：是的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）
①如图①，
②如图②，
深入思考
（3）如图③，在中，、、均小于，用直尺和圆规作它的强等角点.（不写作法，保留作图痕迹）
（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：
①直角三角形的内心是它的等角点；
②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；
③正三角形的中心是它的强等角点；
④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；
⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号）
【答案】（1）100、130或160；（2）选择①或②，理由见解析；（3）见解析；（4）③⑤
【分析】（1）根据“等角点”的定义，分类讨论即可；
（2）①根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明；
②弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论；
（3）根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即可；
（4）根据“等角点”和“强等角点”的定义，逐一分析判断即可．
【解析】（1）（i）若=时，
∴==100°
（ii）若时，
∴（360°－）=130°；
（iii）若=时，
360°－－=160°，
综上所述：=100°、130°或160°
故答案为：100、130或160．
（2）选择①：
连接
∵
∴
∴
∵，
∴
∴是的等角点．
选择②
连接
∵
∴
∴
∵四边形是圆的内接四边形，
∴
∵
∴
∴是的等角点
（3）作BC的中垂线MN，以C为圆心，BC的长为半径作弧交MN与点D，连接BD，
根据垂直平分线的性质和作图方法可得：BD=CD=BC
∴△BCD为等边三角形
∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°
作CD的垂直平分线交MN于点O
以O为圆心OB为半径作圆，交AD于点Q，圆O即为△BCD的外接圆
∴∠BQC=180°－∠BDC=120°
∵BD=CD
∴∠BQD=∠CQD
∴∠BQA=∠CQA=（360°－∠BQC）=120°
∴∠BQA=∠CQA=∠BQC
如图③，点即为所求．
（4）③⑤．
①如下图所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心
假设∠BAC=60°，∠ACB=30°
∵点O是△ABC的内心
∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=15°
∴∠AOC=180°－∠CAO－∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO－∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO－∠BCO=120°
显然∠AOC≠∠AOB≠∠BOC，故①错误；
②对于钝角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角点的定义，故②错误；
③正三角形的每个中心角都为：360°÷3=120°，满足强等角点的定义，所以正三角形的中心是它的强等角点，故③正确；
④由（3）可知，点Q为△ABC的强等角，但Q不在BC的中垂线上，故QB≠QC，故④错误；
⑤由（3）可知，当的三个内角都小于时，必存在强等角点．
如图④，在三个内角都小于的内任取一点，连接、、，将绕点逆时针旋转到，连接，
∵由旋转得，，
∴是等边三角形．
∴
∴
∵、是定点，
∴当、、、四点共线时，最小，即最小．
而当为的强等角点时，，
此时便能保证、、、四点共线，进而使最小．
故答案为：③⑤．

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