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第二单元第4讲 幂函数与二次函数
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：幂函数的图象与性质
题型二：二次函数的解析式
题型三：二次函数的图象
题型四：二次函数的单调性与最值
题型五：二次函数的恒成立问题
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点 坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减
【讲方法】
1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
3.求二次函数解析式的三个策略：
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
4.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：
轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
二、【练】
【练题型】
【题型一】幂函数的图象与性质
【典例1】(多选)已知幂函数f(x)＝，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都满足>0，若a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，则下列结论可能成立的有(　　)
A．a＋b>0且ab<0
B．a＋b<0且ab<0
C．a＋b<0且ab>0
D．以上都可能
【解析】因为f(x)＝为幂函数，
所以m2－m－1＝1，
解得m＝2或m＝－1.
依题意f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以m＝2，此时f(x)＝x3，
因为f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，
所以f(x)＝x3为奇函数．
因为a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，
所以f(a)因为y＝f(x)为增函数，
所以a<－b，所以a＋b<0.
故选BC.
【典例2】(多选)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有(　　)
A.函数f(x)为增函数
B.函数f(x)为偶函数
C.若x＞1，则f(x)＞1
D.若0＜x1＜x2，则＜f
【解析】将点(4，2)代入函数f(x)＝xα，得2＝4α，则α＝，所以f(x)＝x.
显然f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，A正确；
f(x)的定义域为[0，＋∞)，所以f(x)不具有奇偶性，B不正确；
当x＞1时，＞1，即f(x)＞1，C正确；
当0＜x1＜x2时，
－
＝－
＝－
＝＝－＜0，
即＜f成立，D正确.
故选ACD.
【典例3】若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　)
A．－1B．－1C．－1D．－1【解析】幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，
∴0当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1综上可知，－1故选D.
【题型二】二次函数的解析式
【典例1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
【解析】方法一(利用一般式)：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得
解得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二(利用顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x＝＝.所以m＝.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a＋8.因为f(2)＝－1，
所以a＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法三(利用零点式)：
由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
【典例2】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象过点P(－1，11)，且其对称轴是直线x＝1，则a＋b的值是(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
【解析】因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象的对称轴是直线x＝1，所以－＝1①.又f(－1)＝a－b＋5＝11，所以a－b＝6②.联立①②，解得a＝2，b＝－4，所以a＋b＝－2，故选A.
【典例3】已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f(x)的解析式为f(x)＝________．
【解析】由二次函数f(x)有两个零点0和－2，可设f(x)＝a(x＋2)x，则f(x)＝a(x2＋2x)＝a(x＋1)2－a.
又f(x)有最小值－1，则a＝1.所以f(x)＝x2＋2x.
【题型三】二次函数的图象
【典例1】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5aA．②④ B．①④
C．②③ D．①③
【解析】因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a【典例2】设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
【解析】因为abc>0，
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，那么可知，
在A中，a<0，b<0，c<0，不符合题意；
B中，a<0，b>0，c>0，不符合题意；
C中，a>0，c<0，b>0，不符合题意，故选D.
【典例3】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示．则下列结论正确的是________．
①b2>4ac；②c>0；③ac>0；④b<0；⑤a－b＋c<0.
【解析】由题图知，a<0，－>0，c>0，∴b>0，ac<0，故②正确，③④错误．又函数图象与x轴有两交点，∴Δ＝b2－4ac>0，故①正确；又由题图知f(－1)<0，即a－b＋c<0，故⑤正确．
【题型四】二次函数的单调性与最值
【典例1】已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.
【解析】(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，
函数图象的对称轴为直线
x＝－∈[－2，3]，
∴f(x)min＝f＝－－3＝－，
f(x)max＝f(3)＝15，
∴f(x)的值域为.
(2)函数图象的对称轴为直线x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；
②当－＞1，即a＜－时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意.
综上可知，a＝－或－1.
【典例2】函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________．
【解析】当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上递减知
解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3，0]．故填[－3，0]．
【典例3】二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为f(1)，则f()，f，f()的大小关系是(　　)
A．f()B．fC．f()D．f()【解析】由已知可得二次函数f(x)图象开口向上，对称轴为x＝1，
因为>|－1|>|－1|，
所以f()故选D.
【题型五】二次函数的恒成立问题
【典例1】已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________．
【解析】由题意知2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．
当x＝0时，－3<0，符合题意，a∈R；
当x≠0时，a<2－，
因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
所以当x＝1时，不等号右边式子取最小值，
所以a<.
综上，实数a的取值范围是.
【典例2】函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f(x)≤8恒成立，则实数a的最大值为________．
【解析】令ax＝t，因为a>1，x∈[－1,1]，所以≤t≤a，
原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈，
显然g(t)在上单调递增，
所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8成立，
所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，
又a>1，所以1所以a的最大值为2.
【典例3】已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)＞f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是________.
【解析】由题意知f(x)在R上是增函数，
结合f(－4t)＞f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，
知－4t＞2m＋mt2对任意实数t恒成立，
∴mt2＋4t＋2m＜0对任意实数t恒成立，
∴∴m∈(－∞，－).
【练真题】
【真题1】（2022-上海）A．y＝ B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝
【解析】，定义域为{x|x＞0}，
，定义域为{x|x≠0}，
，定义域为R，
，定义域为{x|x≥0}．
∴定义域为R的是y＝．
故选：C．
【真题2】（2016-江苏）函数y=的定义域是 .
【解析】要使函数有意义，必须，即，．故答案应填：
【真题3】（2015-湖南）已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .
【解析】分析题意可知，问题等价于方程与方程的根的个数和为，若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组有解，
∴，从而；
若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组有解，从而，综上，实数的取值范围是.
【真题4】（2014-浙江）在同意直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
【解析】函数，与，答案Ａ没有幂函数图像，答案Ｂ中，中，不符合，答案Ｃ中，中，不符合，答案Ｄ中，中，符合，故选Ｄ
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　)
A．g(x)＝2x2－3x
B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x
D．g(x)＝－3x2－2x
【解析】二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
设二次函数为g(x)＝ax2＋bx，
可得
解得a＝3，b＝－2，
所求的二次函数为g(x)＝3x2－2x.
故选B.
2. 若函数y＝为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值为(　　)
A．0 B．1或2 C．1 D．2
【解析】由于函数y＝为幂函数，
所以m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，
当m＝1时，y＝x－1＝，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．
当m＝2时，y＝x4，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．
故选C.
3. 已知函数f(x)＝x2－2mx－m＋2的值域为[0，＋∞)，则实数m的值为(　　)
A．－2或1 B．－2
C．1 D．1或2
【解析】因为f(x)＝x2－2mx－m＋2＝(x－m)2－m2－m＋2≥－m2－m＋2，且函数f(x)＝x2－2mx－m＋2的值域为[0，＋∞)，
所以－m2－m＋2＝0，解得m＝－2或m＝1.
故选A.
4. 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.下面四个结论中正确的是(　　)
A．b2<4ac B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0 D．5a【解析】因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1，
所以
解得
因为二次函数的图象开口方向向下，所以a<0，
对于A，因为二次函数的图象与x轴有两个交点，所以b2－4ac＝4a2＋12a2＝16a2>0，
所以b2>4ac，故选项A不正确；
对于B，因为b＝2a，
所以2a－b＝0，故选项B不正确；
对于C，因为a－b＋c＝a－2a－3a＝－4a>0，
故选项C不正确；
对于D，因为a<0，
所以5a<2a＝b，故选项D正确．
故选D.
【多选题】
5. 已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是(　　)
A．a<1
B．若x1x2≠0，则＋＝
C．f(－1)＝f(3)
D．函数y＝f(|x|)有四个零点
【解析】二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a＝4－4a>0，a<1，故A正确；
由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a，
＋＝＝ ，故B正确；
因为f(x)的对称轴为x＝1，点(－1，f(－1))，(3，f(3))关于对称轴对称，故C正确；
当a<0时，y＝f(|x|)只有两个零点，故D不正确．
故选ABC.
6. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最大值为
B．f(x)在(－1，0)上是增函数
C．f(x)>0的解集为(－1，1)
D．f(x)＋2x≥0的解集为[0，3]
【解析】因为x≥0时，f(x)＝x－x2＝－＋，
所以f(x)的最大值为，A正确；
f(x)在上是减函数，B错误；
f(x)>0的解集为(－1，0)∪(0，1)，C错误；
当x≥0时，f(x)＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0，3]，
当x<0时，f(x)＋2x＝x－x2≥0无解，故D正确．
故选AD.
【填空题】
7. 已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3)．则它的解析式为________．
【解析】由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2，又图象与y轴交于点(0，3)，
所以3＝9a，即a＝.
所以y＝(x－3)2＝x2－2x＋3.
8. 已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上递减，则实数m＝________．
【解析】根据幂函数的定义和性质，得m2－m－1＝1.
解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；
当m＝－1时，f(x)＝x0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，
所以m＝2.
9. 设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈R，f(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是____________．
【解析】当m＝0时，f(x)＝－1<0，符合题意．当m≠0时，f(x)为二次函数，则由f(x)<0恒成立得即解得－4故实数m的取值范围是(－4，0]．
10. 已知函数f(x)＝4x2＋kx－8在[－1,2]上不单调，则实数k的取值范围是________．
【解析】函数f(x)＝4x2＋kx－8的对称轴为直线x＝－，则－1<－<2，
解得－1611. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，且满足f(－x)＝f(－1＋x)，则函数f(x)在[－1,3]上的值域为________．
【解析】因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，
所以f(0)＝0，所以b＝0.
因为f(－x)＝f(－1＋x)，
所以函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－，
所以a＝1，所以f(x)＝x2＋x＝2－，
由f(x)的图象知，x∈[－1,3]时，f(x)min＝f ＝－，f(x)max＝f(3)＝12.
故f(x)的值域为.
【测能力】
【单选题】
1. 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的是(　　)
A．a＋b>0，ab<0 B．a＋b>0，ab>0
C．a＋b<0，ab<0 D．以上都可能
【解析】由于函数f(x)为幂函数，故m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝，当m＝2时，f(x)＝x3.由于“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0”，故函数在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)＝x3.由于f(－x)＝－f(x)，故函数是单调递增的奇函数．由f(a)＋f(b)<0可知f(a)<－f(b)＝f(－b)，所以a<－b，即b<－a，所以a＋b<0.当a＝0时，b<0，ab＝0；当a>0时，b<0，ab<0；当a<0时，ab<0(00(b<0)均有可能成立．故选C.
2. 已知函数f(x)＝2x2－mx－3m，则“m>2”是“f(x)<0对x∈[1,3]恒成立”的(　　)
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】若f(x)<0对x∈[1,3]恒成立，
则
解得m>3，
{m|m>3}是{m|m>2}的真子集，
所以“m>2”是“f(x)<0对x∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件．
故选C.
3. 若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　)
A．－1C．－1【解析】幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴04. 幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－等于(　　)
A．0 B．1 C. D．2
【解析】由BM＝MN＝NA，点A(1,0)，B(0,1)，
∴M，N，
将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，
得
∴.
故选A.
【多选题】
5. 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则在函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是(　　)
A．f(－1) B．f(1)
C．f(2) D．f(5)
【解析】因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2.当a>0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a<0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)．故选ACD.
6. 已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2－ax，对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下说法，其中正确的是(　　)
A．对于不相等的实数x1，x2，都有m＞0
B．对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有n＞0
C．对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有m＝n
D．存在实数a，对任意不相等的实数x1，x2，都有m＝n
【解析】任取x1≠x2，则m＝＝＝2>0，A正确；
由二次函数的单调性可得g(x)在上单调递减，
在上单调递增，可取x1＝0，x2＝a，
则n＝＝＝＝0，B错误；
m＝2，n＝＝
＝
＝x1＋x2－a，则m＝n不恒成立，C错误；
m＝2，n＝x1＋x2－a，若m＝n，则x1＋x2－a＝2，
只需x1＋x2＝a＋2即可，D正确．
故选AD.
【填空题】
7. 若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是________．
【解析】二次函数图象的对称轴为x＝，且f ＝－，f(3)＝f(0)＝－4，结合函数图象(如图所示)，
可得m∈.
8. 设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．
【解析】由题意有
且Δ＝4m2－4(2－m)≥0，
解得m≤－2或m≥1，
α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m2＋2m＋1，
令f(m)＝4m2＋2m＋1，
而f(m)图象的对称轴为m＝－，
且m≤－2或m≥1，
所以f(m)min＝f(1)＝7.
9. 定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a【解析】因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x0为均值点，所以＝m＝f(x0)，
即关于x0的方程－x＋mx0＋1＝m在(－1，1)内有实数根，
解方程得x0＝1或x0＝m－1.
所以必有－1所以实数m的取值范围是(0，2)．
10. 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)，若f(－1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)，则f(x)的表达式为f(x)＝________；若当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，则实数k的取值范围是________．
【解析】因为f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，f(－1)＝a－b＋1＝0，所以a＝b－1，①
又因为f(x)＝a＋1＝a＋1－，所以a>0且f(x)min＝1－＝0，②
联立①②解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋1.
因为g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1＝＋1－，所以当≥2或≤－2时，函数g(x)在[－2，2]上是单调函数，故实数k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
11. 如图，正方形OABC的边长为a(a＞1)，函数y＝3x2的图象交AB于点Q，函数y＝x－的图象交BC于点P，则当|AQ|＋|CP|最小时，a的值为________.
【解析】依题意得Q，P，
则|AQ|＋|CP|＝＋＝＋，
记＝t(t＞1)，f(t)＝|AQ|＋|CP|，
则f(t)＝＋，
所以f(t)＝＋≥2，
当且仅当＝，即t2＝时取等号，此时a＝.
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第二单元第4讲 幂函数与二次函数
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：幂函数的图象与性质
题型二：二次函数的解析式
题型三：二次函数的图象
题型四：二次函数的单调性与最值
题型五：二次函数的恒成立问题
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点 坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减
【讲方法】
1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
3.求二次函数解析式的三个策略：
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
4.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：
轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
二、【练】
【练题型】
【题型一】幂函数的图象与性质
【典例1】(多选)已知幂函数f(x)＝，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都满足>0，若a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，则下列结论可能成立的有(　　)
A．a＋b>0且ab<0
B．a＋b<0且ab<0
C．a＋b<0且ab>0
D．以上都可能
【典例2】(多选)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有(　　)
A.函数f(x)为增函数
B.函数f(x)为偶函数
C.若x＞1，则f(x)＞1
D.若0＜x1＜x2，则＜f
【典例3】若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　)
A．－1B．－1C．－1D．－1【题型二】二次函数的解析式
【典例1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
【典例2】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象过点P(－1，11)，且其对称轴是直线x＝1，则a＋b的值是(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
【典例3】已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f(x)的解析式为f(x)＝________．
【题型三】二次函数的图象
【典例1】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5aA．②④ B．①④
C．②③ D．①③
【典例2】设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
【典例3】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示．则下列结论正确的是________．
①b2>4ac；②c>0；③ac>0；④b<0；⑤a－b＋c<0.
【题型四】二次函数的单调性与最值
【典例1】已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.
【典例2】函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________．
【典例3】二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为f(1)，则f()，f，f()的大小关系是(　　)
A．f()B．fC．f()D．f()【题型五】二次函数的恒成立问题
【典例1】已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________．
【典例2】函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f(x)≤8恒成立，则实数a的最大值为________．
【典例3】已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)＞f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是________.
【练真题】
【真题1】（2022-上海）A．y＝ B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝
【真题2】（2016-江苏）函数y=的定义域是 .
【真题3】（2015-湖南）已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .
【真题4】（2014-浙江）在同意直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　)
A．g(x)＝2x2－3x
B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x
D．g(x)＝－3x2－2x
2. 若函数y＝为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值为(　　)
A．0 B．1或2 C．1 D．2
3. 已知函数f(x)＝x2－2mx－m＋2的值域为[0，＋∞)，则实数m的值为(　　)
A．－2或1 B．－2
C．1 D．1或2
4. 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.下面四个结论中正确的是(　　)
A．b2<4ac B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0 D．5a【多选题】
5. 已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是(　　)
A．a<1
B．若x1x2≠0，则＋＝
C．f(－1)＝f(3)
D．函数y＝f(|x|)有四个零点
6. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最大值为
B．f(x)在(－1，0)上是增函数
C．f(x)>0的解集为(－1，1)
D．f(x)＋2x≥0的解集为[0，3]
【填空题】
7. 已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3)．则它的解析式为________．
8. 已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上递减，则实数m＝________．
9. 设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈R，f(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是____________．
10. 已知函数f(x)＝4x2＋kx－8在[－1,2]上不单调，则实数k的取值范围是________．
11. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，且满足f(－x)＝f(－1＋x)，则函数f(x)在[－1,3]上的值域为________．
【测能力】
【单选题】
1. 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的是(　　)
A．a＋b>0，ab<0 B．a＋b>0，ab>0
C．a＋b<0，ab<0 D．以上都可能
2. 已知函数f(x)＝2x2－mx－3m，则“m>2”是“f(x)<0对x∈[1,3]恒成立”的(　　)
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3. 若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　)
A．－1C．－14. 幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－等于(　　)
A．0 B．1 C. D．2
【多选题】
5. 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则在函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是(　　)
A．f(－1) B．f(1)
C．f(2) D．f(5)
6. 已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2－ax，对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下说法，其中正确的是(　　)
A．对于不相等的实数x1，x2，都有m＞0
B．对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有n＞0
C．对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有m＝n
D．存在实数a，对任意不相等的实数x1，x2，都有m＝n
【填空题】
7. 若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是________．
8. 设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．
9. 定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a10. 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)，若f(－1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)，则f(x)的表达式为f(x)＝________；若当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，则实数k的取值范围是________．
11. 如图，正方形OABC的边长为a(a＞1)，函数y＝3x2的图象交AB于点Q，函数y＝x－的图象交BC于点P，则当|AQ|＋|CP|最小时，a的值为________.
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