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专题02 中点弦问题（设而不求与点差法）
椭圆:
第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则，
第二步：两式相减得，
第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得，此种方法为点差法。
特别提醒：
若是椭圆上不垂直于x轴的两点，是的中点，为椭圆的中心，则直线与的斜率之积为定值
考点一 直线与椭圆
例1．（1）、已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设A（，），B（，），因为A、B在椭圆上将两式相减可得直线AB的斜率与直线OM的斜率的关系，建立关于a，b，c的方程，从而求出所求；
【详解】
设A（，），B（，），又的中点为，则
又因为A、B在椭圆上
所以
两式相减，得：
∵,
∴，∴，平方可得, ∴=,，
故选A.
【点睛】
本题主要考查了点差法求斜率，以及椭圆的几何性质，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
（2）、已知椭圆的左右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与椭圆交于两点，的中点是，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】
设A（x1，y1），B（x2，y2），根据点差法和中点坐标公式和斜率公式可得 ，结合条件可得结果.
【详解】
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，1，
两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，
∵P为线段AB的中点，
∴2xp＝x1+x2，2yp＝y1+y2，
∴ ，
又kAB＝2，
∴，即，
∴
故选D
【点睛】
本题考查了椭圆的简单性质，点差法，直线的斜率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.
（3）、椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设出、两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到、两点的横纵坐标的和，则、中点坐标可求，由斜率公式列式可得的值．
【详解】
设点，，联立，得：，
①．
，
＝．
设是线段的中点，∴（）．∴直线的斜率为．
则,代入①满足△＞0（＞0，＞0）．
故选C．
【点睛】
本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了斜率公式的应用，属于中档题．
【小试牛刀1-1】．已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是______.
【答案】2
【分析】
由已知条件可知，AB的中点为P，所以使用点差法求得直线AB的斜率与中点的关系，利用OP的斜率为即可求得a的值．
【详解】
椭圆，所以焦点在x轴上
因为过左焦点作的直线斜率为－2， P是AB的中点，设，
将A、B坐标代入椭圆方程，可得 ，两式相减，化简得
，即
进一步化简得，代入
解得a=2
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系，点差法在解决弦中点问题的应用，属于中档题．
【小试牛刀1-2】．已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于两点，如果的重心恰好为椭圆的右焦点，直线方程为________．
【答案】
【解析】
由题意得，
又，解得．
∴椭圆的方程为．
∴椭圆右焦点的坐标为，
设线段的中点为，
由三角形重心的性质知，从而，
解得，
所以点Q的坐标为．
设，则，且，
以上两式相减得，
∴，
故直线的方程为，即．
答案：
点睛：弦中点问题的解决方法
（1）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
①设点——设出弦的两端点坐标；
　②代入——代入圆锥曲线方程；
　③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开；
　④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．
（2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
【小试牛刀1-3】．已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为坐标原点.若△是以为底边的等腰三角形，且△外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为___________.
【答案】
【分析】
由外接圆面积求半径，应用正弦定理求△中的，结合已知有，根据中点弦，应用点差法有即可求椭圆的长轴长.
【详解】
由△外接圆的面积为，则其外接圆半径为.
∵△是以为底边的等腰三角形，设，则，
∴，得，
∴或.
不妨设点在轴下方，由△是以为底边的等腰三角形，知：或
又根据点差法可得，有，而此时焦点在轴上，舍去)
∵为椭圆的右焦点，
∴，故椭圆的长轴长为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：利用外接圆的面积求半径，由正弦定理、等腰三角形的性质求相关直线斜率，应用点差法列方程求椭圆参数a.
例2．如图，椭圆的离心率为，点是椭圆内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与椭圆相交于点，与椭圆相交于点．当点恰好为线段的中点时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
分析：（Ⅰ）根据离心率为和弦长|AB|=列一个方程组，解方程组即得a,b,c的值，即得椭圆的方程. （Ⅱ）先求出的表达式，再求函数的最小值即得的最小值．
详解：（Ⅰ）由题意设，即椭圆，
设
由作差得，
又∵,即，
∴AB斜率．
由．
消得，．
则．
解得，于是椭圆的方程为：．
（Ⅱ）设直线, 由消得，
．
于是．
∵
．
同理可得．
∴，
, 当时取等号．
综上，的最小值为．
点睛：本题的难点在求得之后，如何求该函数的最小值.这里可以利用导数，也可以换元，但是最好的方法是利用基本不等式，，所以解题时要注意观察式子的特点，灵活选择方法解答,提高解题效率.
【小试牛刀2-1】．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.
（1）若线段的中点坐标为，求直线的斜率；
（2）若三点共线，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值，
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）设，代入椭圆方程相减得到答案.
（2）设直线，联立方程得到，，得到，计算得到答案.
【详解】
（1）设，则，
两式相减，可得，
即，
解得，即直线的斜率为.
（2）显然直线的斜率不为0，设直线，
联立消去整理得，
显然，故，
故的面积，
令，其中，，
当且仅当，即时等号成立，即面积的最大值为.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的关系、基本不等式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
考点二 直线与双曲线
例3.（1）、已知双曲线为该双曲线的右焦点，过的直线交该双曲线于两点，且的中点，则该双曲线的方程为 .
【答案】：.
【解析】解法一：中点弦问题一般采用点差法.，设两式作差得
即
，所以双曲线方程为.
解法二：设直线，消去，可得
所以，
所以双曲线方程为
（2）、（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左 右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用点差法设、，作差即可得到，再根据斜率公式，从而得到，即可得解；
【详解】解：设、，则，，
两式相减可得，
为线段的中点，，，
，又，，
，即，，
故选：D.
（3）、（2023·全国·高三专题练习）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用“点差法”求出l的斜率，再验证作答.
【详解】设点，，因为AB的中点，则有，
又点A，B在双曲线上，则，即，
则l的斜率，此时，直线l的方程：，
由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线交于两点，
所以l的斜率为2.
故选：C
（4）、（2021·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（理））已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】利用点差法，结合直线斜率公式、中点坐标公式、双曲线离心率公式进行求解即可.
【详解】设，，，则，
两式相减得，所以.
因为，，所以.
因为，，
所以，，故.
故选：C
【小试牛刀3-1】．（2023·全国·高三专题练习）双曲线：被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为 ______.
【答案】
【分析】设，由条件可得，，由点差法可求出的值，从而得出离心率.
【详解】设，则，
将两点坐标代入双曲线方程得：；
将上述两式相减可得：
即，也即
所以，即
故答案为：
【小试牛刀3-2】．（2021·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（文））已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为___________.
【答案】
【分析】设，，，两点坐标代入双曲线方程相减可得直线与直线斜率的关系，从而得出齐次式，变形后可得离心率．
【详解】设，，，则，
两式相减得，所以.
因为，，所以.
因为，，
所以，，故.
故答案为：．
【小试牛刀3-3】．（2022·全国·高三专题练习）过点作斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，若M是线段的中点，则双曲线的离心率为___________.
【答案】##
【分析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出双曲线的离心率．
【详解】解：设，，，，则①，②，
是线段的中点，
，，
直线的方程是，
，
过点作斜率为的直线与双曲线相交于，两点，是线段的中点，
①②两式相减可得，即，
．
故答案为：．
例4．（2022·河南·新乡市第一中学高二阶段练习）已知点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)是否存在过点的直线l与双曲线相交于A,B两点，且满足P是线段的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）代入点的坐标，解方程可得的值，即可得双曲线方程；
（2）假设存在，设过的直线方程为：，，两点的坐标为，，，，代入双曲线方程，再相减，运用平方差公式和中点坐标公式，及斜率公式，即可得到所求直线的斜率，进而得到直线方程，代入双曲线方程，检验判别式即可判断．
（1）
解：已知点在双曲线上
所以，整理得：，解得：，则
所以双曲线方程为：.
（2）
解：由题可知若直线存在则直线的斜率存在，故设直线的方程为：
且设交点
则 ，两式相间得：
由于为中点，则
则
即有直线的方程：，即
检验判别式为，方程无实根．
故不存在过点的直线与该双曲线相交A,B两点，且满足P是线段的中点.
【小试牛刀4-1】．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线C过点，其焦点，在x轴上，且．
(1)求双曲线C的标准方程．
(2)是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)不存在被点平分的弦，理由见解析.
【分析】（1）设所求双曲线方程为（，），根据已知求出即得解；
（2）假设存在被点平分的弦，记弦所在的直线为l，设是弦MN的中点，利用点差法求出直线l的方程，再检验即得解.
（1）
解：设所求双曲线方程为（，），
由可知，即．
又点在双曲线上，所以，得，
所以双曲线C的标准方程为．
（2）
解：假设存在被点平分的弦，记弦所在的直线为l，
设是弦MN的中点，
，，则，．
因为点M，N在双曲线C上，所以，，
两式相减得，
所以，
所以直线MN的斜率，
所以直线l的方程为，即．
由，得，显然，所以直线l与双曲线无交点，
所以直线l不存在，故不存在被点平分的弦．
考点三 直线与抛物线
例5.（1）、已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得：设，都在抛物线上
，直线还经过，
所以直线方程为
（2）、（2022·云南·一模（文））经过抛物线：的焦点作直线与抛物线相交于 两点.若，则线段的中点的纵坐标为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】利用抛物线焦点弦的性质即可
【详解】由题可得抛物线标准方程为，设，因为直线过抛物线焦点，所以，所以，中点，所以中点纵坐标为3，
故选：C
（3）、（2022·湖北·高二阶段练习）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，进而根据题意，结合中点弦的问题得，进而再求解准线方程即可.
【详解】解：根据题意，设，
所以①，②，
所以，①②得：，即，
因为直线AB的斜率为1，线段AB的中点的横坐标为3，
所以，即，
所以抛物线，准线方程为.
故选：B
【小试牛刀5-1】．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设直线的方程为，其中，设点、、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出、，根据条件可求得的值，即可得出直线的斜率.
【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程为，其中，
设点、、，
联立可得，，，
所以，，
，，
直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以，，
因为，则，因为，解得，
因此，直线的斜率为.
故选：C.
【小试牛刀5-2】．（2021·福建省福州第一中学高三开学考试）已知是抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点，的中点为，过作抛物线准线的垂线交准线于，若的中点为，则__________.
【答案】##
【分析】先设，的坐标，根据，满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率，求出的方程，代入抛物线方程，利用纵坐标的值可求出的值．
【详解】解：设，，抛物线的准线为，
中点的坐标为，
，，，所以的斜率，
所以直线的方程为，
代入抛物线方程可得，
，可得，
．
故答案为：．
【小试牛刀5-3】．（2022·全国·高三专题练习）若、是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则弦中点的横坐标为___________.
【答案】
【分析】设出点A，B的坐标，再求出弦AB的垂直平分线的方程，将代入计算作答.
【详解】设点、的坐标分别是、，则，，
两式相减得，因，即有，
设直线的斜率是，弦的中点是，则，
从而的垂直平分线的方程为，
又点在直线上，所以，而，解得，
弦中点的横坐标为2.
故答案为：2
【小试牛刀5-4】．（2022·吉林·长春市第八中学高二阶段练习）已知直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB的中点为，则线段AB的长度为_______．
【答案】
【分析】首先判断直线的斜率存在，设直线为，，，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，根据，求出参数，再根据焦点弦公式计算可得；
【详解】解：依题意显然直线的斜率存在，设直线为，，，
由，消去整理得
当时，显然不成立．
当时，，
又得，解得，
当时直线，
又焦点满足直线．
所以，
又，
．
故答案为：
例6．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上．
(1)求点F的坐标和抛物线C的准线方程；
(2)过点F的直线l交抛物线C于A、B两点，且线段AB的中点为，求直线l的方程及．
【答案】(1)，准线方程为
(2)；8
【分析】（1）将点代入抛物线方程，可得方程解析式，根据抛物线性质，可得答案；
（2）利用点差法，求得直线的斜率，代入中点，解得答案.
（1）
将点代入抛物线C，得，∴∴，
∴，准线方程为；
（2）
设，，∴，∴
∴直线l的斜率为∴直线l的方程：，∴，
A组 基础巩固
1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】:由结论可得：，得，，选D。
2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线的中心为原点,是的焦点,过的直线与相交于
两点,且的中点为,则的方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】:由结论可得：，得，，选B。
3．已知椭圆以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)
A．－ B． C．－2 D．2
【答案】A
【分析】
由于是弦的中点，根据点差法求出弦所在直线的斜率.
【详解】
设以为中点的弦的两个端点分别为，
所以由中点坐标公式可得，
把两点坐标代入椭圆方程得
两式相减可得
所以，即所求的直线的斜率为.
故选A项.
【点睛】
本题考查通过点差法求弦中点所在直线的斜率，属于中档题.
4．已知椭圆的方程为，斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由点差法化简可得，再由椭圆离心率公式即可得解.
【详解】
设，
则，两式作差得，
又，线段的中点为，
所以，
所以即，
所以该椭圆的离心率为.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是掌握点差法的适用条件及应用.
5．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于、两点，中点的横坐标为，则此椭圆的方程是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设椭圆方程为
联立方程：，整理得：,
设，，则，即，化简得：，
又，易得：，
∴此椭圆的方程是
故选C
点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.
6．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设这条弦的两端点,则：,用点差法得到：，代入中点坐标，即得解斜率k.
【详解】
设这条弦的两端点，斜率为，
则：
两式相减得：
变形得：，又弦中点为：，故
故这条弦所在得直线方程为：，即
故选：D
【点睛】
本题考查了点差法在弦中点问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
7．已知椭圆C：的离心率为，直线l与椭圆C交于两点，且线段的中点为，则直线l的斜率为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】
由椭圆的离心率可得的关系，得到椭圆方程为，设出的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l的斜率．
【详解】
解：由，得，
∴，则椭圆方程为，
设，
则，
把A，B的坐标代入椭圆方程得：，
①-②得：，
∴．
∴直线l的斜率为．
故选C．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，是中档题．
8．椭圆的一条弦被点平分，则此弦所在的直线方程是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设过A点的直线与椭圆两交点的坐标，分别代入椭圆方程，得到两个关系式，分别记作①和②，①﹣②后化简得到一个关系式，然后根据A为弦EF的中点，由A的坐标求出E和F两点的横纵坐标之和，表示出直线EF方程的斜率，把化简得到的关系式变形，将E和F两点的横纵坐标之和代入即可求出斜率的值，然后由点A的坐标和求出的斜率写出直线EF的方程即可．
【详解】
设过点A的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），
则有①，②，
①﹣②式可得：
又点A为弦EF的中点，且A（4，2），∴x1+x2=8，y1+y2=4，
∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0
即得kEF=
∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．
故选D．
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系及中点弦问题的求解策略，关键在于对“设而不求法”的掌握．解决直线与椭圆的位置关系,常见方法有：涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．
9．过椭圆C：右焦点F的直线l：交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意，可得右焦点的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，求出的中点的坐标，由直线的斜率可得，的关系，再由椭圆中，，的关系求出，的值，进而可得椭圆的方程．
【详解】
解：直线中，令，可得，所以右焦点，，
设，，，，则，的中点，
联立，整理得，
所以，，
所以，
所以，又，，
所以，，
所以椭圆的方程为，
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是联立直线和椭圆的方程，然后利用韦达定理求出，，进而根据由两点间的斜率公式得，的关系.
10．已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】
设点、，由中点坐标公式可得，所以，
因为，两式作差得，即，
即，所以，，
因此，直线的方程为，即.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.
11．已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设直线与椭圆交于两点，代入椭圆的方程，结合“平方差”法，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】
设直线与椭圆交于两点，
由，可得．
又，所以，解得．
因此直线的方程为，即。
故选：A．
本题主要考查了直线与椭圆的位置的应用，以及中点弦问题的求解，其中解答中熟记中点弦的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，所以基础题.
12．（2021·河南南阳·高二阶段练习（文））已知斜率为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，的中点为，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用点差法可求得的值，结合可求得双曲线的离心率的值.
【详解】设、、，则，
两式相减得，所以．
因为，，所以．
因为，，所以，故，
故．
故选：A.
13．（2020·新疆师范大学附属中学高二阶段练习（理））已知双曲线，以点为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用点差法可求得弦所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】设弦的两个端点坐标分别为、，则，
则，两式作差得，
所以，弦所在直线的斜率，
故所求直线方程为，即.
故选：B.
14．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期末（理））已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用点差法即可求解
【详解】由已知得，又，，可得.
则双曲线C的方程为.设，，
则两式相减得，
即.
又因为点P恰好是弦的中点，所以，，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
经检验满足题意
故选：C
15．（2022·河南安阳·高二期末（理））已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】设，，代入抛物线方程相减可得．
【详解】设，，∵是AB的中点，∴，
由，相减得，
所以直线的斜率，
故选：B．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足（O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为，则实数（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据已知及抛物线的几何性质求出，再由已知求出的值.
【详解】由题意可得抛物线的焦点.
弦AB的中点M的横坐标为，
由已知条件可知直线AB的斜率存在.
设直线AB的方程为，，
则联立，消去y得，
∴，又因为弦AB的中点M的横坐标为，
∴，∴，，
∴点A到准线的距离为，
点B到准线的距离为，
所以∴，
又，故.
故选：D
17．（2022·陕西陕西·二模（理））已知抛物线的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限内的点为线段的中点，则的长度为（ ）
A．12 B．18 C．16 D．8
【答案】C
【分析】设，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由的中点的坐标，求出参数的值，即可得到，再根据焦点弦的性质计算可得；
【详解】解：由条件得，设，，直线的方程为：，
联立得，
∴，由得.
∴，所以.
故选：C
18．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与抛物线交于两点（点在第一象限，点在第四象限），与轴交于点，若线段的中点的横坐标为3，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，直线方程为，然后抛物线标准方程与直线方程联立消，得一个关于一元二次方程，又由线段的中点的横坐标为3，得，转化为，由此即可确定的取值范围.
【详解】解：设，直线方程为，
联立，消去，得，所以，
所以，
因为、中点横坐标为3，所以，
故，又，所以的取值范围为.
19．（2022·江西·模拟预测（文））已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为的直线与C交于两点，若线段中点的纵坐标为，则F到C的准线的距离为_______．
【答案】
【分析】设、，利用点差法可得出，最后根据线段中点的纵坐标为即可求出结果.
【详解】设，，则，，
两式相减得，即，
因为、两点在斜率为的直线上，所以，
所以由得，
因为线段中点的纵坐标为，所以，
则，，
所以F到C的准线的距离为.
故答案为：.
20．（2021·全国·高二专题练习）已知抛物线的准线方程为，在抛物线C上存在A B两点关于直线对称，设弦AB的中点为M，O为坐标原点，则的值为___________.
【答案】5
【分析】先运用点差法得到，然后通过两点距离公式求出结果．
【详解】解：抛物线的准线方程为，
所以，解得，
所以抛物线的方程为，
设点，，，，的中点为，，
则，，
两式相减得，
即，
又因为，两点关于直线对称，
所以，
解得，可得，
则，
故答案为：5．
21．已知点P(1，2)是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程是_____.
【答案】
【分析】
设出直线与椭圆的交点，采用点差法进行分析，由此可求得直线的斜率，再根据直线的点斜式方程则直线的方程可求.
【详解】
设直线与椭圆交于两点，，
所以，所以，
所以，且，
所以，所以即，
故答案为：.
22．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【详解】
分析：（1）设而不求，利用点差法，或假设直线方程，联立方程组，由判别式和韦达定理进行证明．
（2）先求出点P的坐标，解出m，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．
详解：（1）设，，则，．
两式相减，并由得．
由题设知，，于是．
由题设得，故．
（2）由题意得F（1，0）．设，则
．
由（1）及题设得，．
又点P在C上，所以，从而，．
于是．
同理．
所以．
故．
点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得求出m，得到,再有两点间距离公式表示出，考查了学生的计算能力，难度较大．
23．已知椭圆的右焦点为，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B为椭圆C上的两动点，M为线段AB的中点，直线AB，OM（O为坐标原点）的斜率都存在且分别记为k1，k2，试问k1k2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）为定值，此定值为
【分析】
（1）根据已知条件列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）利用点差法求得为定值.
【详解】
由题意得，解得.
所以椭圆的方程为：
设的坐标分别为，点的坐标为，
即
由已知，
所以，
即
则，于是.
所以为定值，此定值为
【点睛】
本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查利用点差法求解有关中点弦的问题，属于中档题.
24．设椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若椭圆的离心率为，的周长为16．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆于点，设弦的中点分别为.证明：三点共线.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析
【分析】
（Ⅰ）由已知椭圆E的离心率为，的周长为16，解得a，b的值，可得椭圆E的方程；（Ⅱ）设，，．利用点差法，可得，，由此可得O，M，N三点共线．
【详解】
（Ⅰ）解：由题意知，，．又，
，，
椭圆E的方程为；
（Ⅱ）证明：当直线AB、CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，
中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；
当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，
且设，，．
则，，相减得，
，即，即，
；
同理可得，
，
所以O，M，N三点共线．
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解中点弦问题，是中档题．
B组 能力提升
25．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题设，利用为的重心，求出线段的中点为，将B代入直线方程得，再利用点差法可得，结合，可求出，进而求出离心率.
【详解】
由题设，则线段的中点为，
由三角形重心的性质知，即，解得：
即代入直线，得①.
又B为线段的中点，则，
又为椭圆上两点，，
以上两式相减得，
所以，化简得②
由①②及，解得：，即离心率.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
26．已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知得直线恒过定点且为圆的圆心，由可得圆的圆心为、两点中点，设而不求，用点差法计算结果
【详解】
直线：，即
直线恒过定点
直线过圆的圆心
，
的圆心为、两点中点
设，
上下相减可得：
化简可得
故选
【点睛】
本题较为综合，考查了直线与圆锥曲线的交点问题，覆盖的知识点较多：直线恒过定点，向量的几何意义，设而不求，点差法计算，椭圆离心率的求解，有一定难度，需要理解题意，灵活运用解题方法
27．已知斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB中点M纵坐标为，点在椭圆上，若的平分线交线段AB于点N，则的值MN为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用点差法可求得坐标，从而得到直线方程；将方程与椭圆联立求得两点坐标，根据两点连线斜率公式求得，由互为相反数知斜率不存在，由此得到点坐标；利用两点间距离公式求得，进而得到结果.
【详解】
设，，，其中
，两式作差整理可得：
解得：
设直线方程为，即
代入椭圆方程整理得：，解得：，
，
， 直线斜率不存在，方程为
，
故选：
【点睛】
本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到点差法的应用、直线与椭圆交点坐标的求解、直线斜率的求解等知识；关键是能够明确当与弦中点有关的问题时，常用点差法来得到中点坐标与斜率之间的关系.
28．已知椭圆C：，A，B是椭圆C上两点，且关于点对称，P是椭圆C外一点，满足，的中点均在椭圆C上，则点P的坐标是___________.
【答案】或.
【分析】
先利用点差法可求出直线AB的斜率为，即可得出直线方程，代入椭圆方程可求出A，B坐标，设出点P，则可表示出PA，PB中点坐标，代入椭圆方程即可求出点P坐标.
【详解】
设， A，B是椭圆C上两点，
则，两式相减得，
是AB中点，则，即，
故直线AB斜率为，则直线AB方程为，即，
将直线方程代入椭圆得，解得，
则可得，
设，则PA中点为，PB中点为，
，的中点均在椭圆C上，
则，解得或，
的坐标为或.
故答案为：或.
【点睛】
本题考查中点弦问题，解题的关键是先利用点差法求出直线斜率，进而求出A,B坐标，再结合题意求解.
29．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为__________.
【答案】
【分析】
先求出直线的斜率为，设，，再利用点差法求出直线的斜率为，利用斜率相等可得之间的关系，结合
即可求离心率.
【详解】
由题意知，，
所以直线的斜率为，
设，，则①，②，
①-②得：，
即，
因为是的中点，所以，，
所以，所以，
因为，所以，即，所以，
所以，所以，所以，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是利用点差法设设，，则，，两式相减得，是的中点，所以
，，可得，再计算，
利用结合即可求离心率.
30．设椭圆的短轴长为4，离心率为．
（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
（2）设点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题目条件可以求出，的值，然后写出椭圆的方程，联立直线方程与椭圆方程，使求解；
（2）采用点差法求解出斜率，然后写出直线的方程.
【详解】
解：（1）因为离心率，所以，
又因为椭圆的短半轴长，
所以，即椭圆方程为，
联立得，
因为直线与椭圆有公共点，
所以，
即，解得．
（2）设，由在椭圆内，
过点的直线与椭圆有两个交点,
再由椭圆的对称性可确定直线的斜率一定存在.
则，
整理得：
所以斜率，所以直线的方程为．
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系及中点弦问题，难度一般.解答直线与椭圆的位置关系一般需要联立直线方程与曲线方程，根据判断，中点弦问题可以采用点差法求解.
31．椭圆，右焦点为，是斜率为的弦，的中点为，的垂直平分线交椭圆于，两点，的中点为.当时，直线的斜率为（为坐标原点）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设原点到直线的距离为，求的取值范围；
（3）若直线，直线的斜率满足，判断并证明是否为定值.
【答案】（1）；（2）；（3）是定值，证明过程见解析.
【分析】
（1）先设，，根据题意，得到，两式作差，根据弦中点的坐标，由题意，求出，再根据焦点坐标，得到，两式联立，即可求出结果；
（2）先设直线的方程为：，与椭圆方程联立，设，，
根据韦达定理，求出，得到的方程为：，与椭圆方程联立，设，，
求出，表示出，根据点到直线距离公式，表示出，进而可根据换元法求取值范围；
（3）根据（2）的结果，由，求出，再由弦长公式，分别求出与，进而可得出结果.
【详解】
（1）设，，
由题意，，两式作差，得，
整理得：，
又是斜率为的弦，的中点为，当时，直线的斜率为，
所以，即，即①，
又椭圆右焦点为，所以②，
由①②解得：，，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）设直线的方程为：，
由消去得，，
设，，
则，所以，
故，
因为是的垂直平分线，所以的方程为：，
即，
由消去得，，
设，，
则，
所以，
即的中点的坐标为，
因此
，
又原点到直线的距离，
所以，
令，则；
（3）由（2）可得：，
所以，
因为直线，直线的斜率满足，
所以，整理得：，所以，
所以，
，
因此.
即取定值.
【点睛】
本题主要考查求椭圆的方程，椭圆中的范围，以及定值问题，熟记椭圆的标准方程的求法，中点弦问题，椭圆的性质，根据韦达定理，弦长公式等即可求解，难度较大.
32．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆的一条弦（不经过原点），直线经过弦的中点，与椭圆交于、两点，设直线的斜率为.
（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；
（2）求证：为定值；
（3）过作轴的垂线，垂足为，若直线和直线倾斜角互补，且的面积为，求椭圆的方程.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】
（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，由此可求得椭圆的方程；
（2）设点、，利用点差法可得出，再利用可求得的值；
（3）设点，根据直线和的倾斜角互补和面积公式计算出点的坐标，进而可求得椭圆的方程.
【详解】
（1）由已知条件得，解得，因此，椭圆的方程为；
（2）设点、，则线段的中点坐标为，
，.
由题意可得，，，
由于点、都在椭圆上，则，
两式作差得，（定值）；
（3）设点，则、，，
直线与直线的倾斜角互补，，
又，且，则，解得.
的面积为且，解得，，即点.
，解得，因此，椭圆的标准方程为.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，考查了点差法的应用，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于难题.
33．已知直线：与椭圆：交于，两点.
（1）若直线过椭圆的左焦点，求；
（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据椭圆的方程，求得左焦点，得到直线的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，以及直线与圆锥曲线的弦长公式，即可求解；
（2）设，，得到线段的垂直平分线方程为，将点 代入椭圆的方程，两式相减整理得，再由，两两方程组，求得中点坐标，即可求解.
【详解】
（1）由题意，椭圆，可得，
则，左焦点，
则直线的方程为，设，，
联立方程，整理得，
所以，且，，
所以.
（2）设，，的中点，
由题知线段的垂直平分线方程为，直线不平行于轴，即，
由，两式相减整理得 ①，
因为是的中点，所以，，
因为，所以，
所以①变形为，解得，所以，
代入直线，可得，解得.
【点睛】
直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：
对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．
34．（2022·河南安阳·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与C交于A，B两点．
(1)若的倾斜角为且过点F，求；
(2)若线段AB的中点坐标为，求的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先可得直线的方程，设，然后联立直线与抛物线的方程消元，然后可得的值，然后可得答案.
（2）利用点差法求出的斜率即可得答案.
（1）
因为的倾斜角为，，
所以直线的方程为，
联立可得，
设，则，
所以；
（2）
设，则，
所以，
因为线段AB的中点坐标为，所以，
所以，所以的斜率为，
所以的方程为，即.
35．（2022·上海交大附中高三开学考试）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过且与轴垂直的直线交于、两点，交于、两点，且.
(1)求的离心率；
(2)设是与的公共点，若，求与的标准方程；
(3)直线与交于、，与交于、，且在直线上按、、、顺序排列，若，求.
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）求出、，可得出关于、的齐次方程，进而可求得椭圆的离心率的值；
（2）设点，由两点间的距离公式结合抛物线的定义可得出关于、的方程，求出的值，可求得、的值，进而可求得椭圆和抛物线的方程；
（3）分析可知，设点、，可得出点、的坐标，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，将点、的坐标代入椭圆方程，结合韦达定理推导出，从而可知直线过原点，且点为坐标原点，求出点的坐标，可得出点的坐标，代入椭圆方程求出的值，利用抛物线的定义可求得.
（1）
解：设椭圆的焦距为，则，
将代入椭圆的方程得可得，所以，，
设抛物线的标准方程为，则，可得，
所以，抛物线的方程为，
将代入抛物线的方程可得，解得，所以，，
因为，即，所以，，即，
因为，解得，故椭圆的离心率为.
（2）
解：设点，则，则，
则
，
由抛物线的定义可得，
所以，，解得，则，，
所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.
（3）
解：若，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
所以，，由题意可知，为的中点，为的中点，
设点、，则、，
设，则，，抛物线的方程为，
联立可得，，可得，
由韦达定理可得，，
椭圆的方程为，即，
因为点、均在椭圆上，则，
可得，即.
若，则，可得，
所以，则，
所以，，则点，
将点的坐标代入椭圆的方程可得，
化简可得，
显然，所以，不成立.
所以，，则必有或，
此时直线过原点，则直线的方程为，则、关于原点对称，
所以，点为坐标原点，故，
联立解得，即点，故点，
将点的坐标代入椭圆的方程可得，
可得，解得，
所以，，
所以，.
【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.专题02 中点弦问题（设而不求与点差法）
椭圆:
第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则，
第二步：两式相减得，
第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得，此种方法为点差法。
特别提醒：
若是椭圆上不垂直于x轴的两点，是的中点，为椭圆的中心，则直线与的斜率之积为定值
考点一 直线与椭圆
例1．（1）、已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
（2）、已知椭圆的左右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与椭圆交于两点，的中点是，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是
A．2 B． C． D．
（3）、椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为
A． B． C． D．
【小试牛刀1-1】．已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是______.
【小试牛刀1-2】．已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于两点，如果的重心恰好为椭圆的右焦点，直线方程为________．
【小试牛刀1-3】．已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为坐标原点.若△是以为底边的等腰三角形，且△外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为___________.
例2．如图，椭圆的离心率为，点是椭圆内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与椭圆相交于点，与椭圆相交于点．当点恰好为线段的中点时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的最小值．
【小试牛刀2-1】．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.
（1）若线段的中点坐标为，求直线的斜率；
（2）若三点共线，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值，
考点二 直线与双曲线
例3.（1）、已知双曲线为该双曲线的右焦点，过的直线交该双曲线于两点，且的中点，则该双曲线的方程为 .
（2）、（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左 右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）
A．2 B． C． D．
（3）、（2023·全国·高三专题练习）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
（4）、（2021·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（理））已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【小试牛刀3-1】．（2023·全国·高三专题练习）双曲线：被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为 ______.
【小试牛刀3-2】．（2021·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（文））已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为___________.
【小试牛刀3-3】．（2022·全国·高三专题练习）过点作斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，若M是线段的中点，则双曲线的离心率为___________.
例4．（2022·河南·新乡市第一中学高二阶段练习）已知点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)是否存在过点的直线l与双曲线相交于A,B两点，且满足P是线段的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【小试牛刀4-1】．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线C过点，其焦点，在x轴上，且．
(1)求双曲线C的标准方程．
(2)是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
考点三 直线与抛物线
例5.（1）、已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线的方程是（ ）
A. B. C. D.
（2）、（2022·云南·一模（文））经过抛物线：的焦点作直线与抛物线相交于 两点.若，则线段的中点的纵坐标为（ ）
A． B．3 C． D．4
（3）、（2022·湖北·高二阶段练习）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【小试牛刀5-1】．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【小试牛刀5-2】．（2021·福建省福州第一中学高三开学考试）已知是抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点，的中点为，过作抛物线准线的垂线交准线于，若的中点为，则__________.
【小试牛刀5-3】．（2022·全国·高三专题练习）若、是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则弦中点的横坐标为___________.
【小试牛刀5-4】．（2022·吉林·长春市第八中学高二阶段练习）已知直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB的中点为，则线段AB的长度为_______．
例6．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上．
(1)求点F的坐标和抛物线C的准线方程；
(2)过点F的直线l交抛物线C于A、B两点，且线段AB的中点为，求直线l的方程及．
A组 基础巩固
1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为 ( )
A. B. C. D.
2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线的中心为原点,是的焦点,过的直线与相交于
两点,且的中点为,则的方程为 ( )
A. B. C. D.
3．已知椭圆以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)
A．－ B． C．－2 D．2
4．已知椭圆的方程为，斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于、两点，中点的横坐标为，则此椭圆的方程是
A． B． C． D．
6．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是
A． B． C． D．
7．已知椭圆C：的离心率为，直线l与椭圆C交于两点，且线段的中点为，则直线l的斜率为（　　）
A． B． C． D．1
8．椭圆的一条弦被点平分，则此弦所在的直线方程是
A． B． C． D．
9．过椭圆C：右焦点F的直线l：交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021·河南南阳·高二阶段练习（文））已知斜率为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，的中点为，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
13．（2020·新疆师范大学附属中学高二阶段练习（理））已知双曲线，以点为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期末（理））已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·河南安阳·高二期末（理））已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足（O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为，则实数（ ）
A． B． C．3 D．4
17．（2022·陕西陕西·二模（理））已知抛物线的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限内的点为线段的中点，则的长度为（ ）
A．12 B．18 C．16 D．8
18．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与抛物线交于两点（点在第一象限，点在第四象限），与轴交于点，若线段的中点的横坐标为3，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·江西·模拟预测（文））已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为的直线与C交于两点，若线段中点的纵坐标为，则F到C的准线的距离为_______．
20．（2021·全国·高二专题练习）已知抛物线的准线方程为，在抛物线C上存在A B两点关于直线对称，设弦AB的中点为M，O为坐标原点，则的值为___________.
21．已知点P(1，2)是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程是_____.
22．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．
23．已知椭圆的右焦点为，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B为椭圆C上的两动点，M为线段AB的中点，直线AB，OM（O为坐标原点）的斜率都存在且分别记为k1，k2，试问k1k2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
24．设椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若椭圆的离心率为，的周长为16．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆于点，设弦的中点分别为.证明：三点共线.
B组 能力提升
25．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
26．已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
27．已知斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB中点M纵坐标为，点在椭圆上，若的平分线交线段AB于点N，则的值MN为（ ）
A． B． C． D．
28．已知椭圆C：，A，B是椭圆C上两点，且关于点对称，P是椭圆C外一点，满足，的中点均在椭圆C上，则点P的坐标是___________.
29．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为__________.
30．设椭圆的短轴长为4，离心率为．
（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
（2）设点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．
31．椭圆，右焦点为，是斜率为的弦，的中点为，的垂直平分线交椭圆于，两点，的中点为.当时，直线的斜率为（为坐标原点）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设原点到直线的距离为，求的取值范围；
（3）若直线，直线的斜率满足，判断并证明是否为定值.
32．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆的一条弦（不经过原点），直线经过弦的中点，与椭圆交于、两点，设直线的斜率为.
（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；
（2）求证：为定值；
（3）过作轴的垂线，垂足为，若直线和直线倾斜角互补，且的面积为，求椭圆的方程.
33．已知直线：与椭圆：交于，两点.
（1）若直线过椭圆的左焦点，求；
（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求.
34．（2022·河南安阳·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与C交于A，B两点．
(1)若的倾斜角为且过点F，求；
(2)若线段AB的中点坐标为，求的方程．
35．（2022·上海交大附中高三开学考试）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过且与轴垂直的直线交于、两点，交于、两点，且.
(1)求的离心率；
(2)设是与的公共点，若，求与的标准方程；
(3)直线与交于、，与交于、，且在直线上按、、、顺序排列，若，求.

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