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2023年中考专题复习 阅读理解型解题策略
题型特点
阅读理解题是近几年出现的一种新题型，考查学生的阅读理解能力、自学能力，同时考查学生的数学意识和数学应用能力，这类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律．阅读理解题一般是提供一定的材料，或介绍一个概念，或给出一种解法等，让你在理解材料的基础上，获得探索解决问题的途径，用于解决后面的问题。
阅读理解型问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，题目背景比较新颖，考查的知识也灵活多样，既考查考生的阅读能力，又考查考生的解题能力，是中考的热点问题。
解题策略：
从给的材料入手，通过理解分析本材料的内容，捕捉已知材料的信息，灵活应用这些信息解决新材料的问题．
解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后依题意进行分析、比较、综合、抽象和概括，或用归纳、演绎、类比等进行计算或推理论证，并能准确地运用数学语言阐述自己的思想、方法、观点．展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.
阅读理解题类型：
(1)方法模拟型——通过阅读理解，模拟提供材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题；
(2)判断推理型——通过阅读理解，对提供的材料进行归纳概括；按照对材料本质的理解进行推理，作出解答；
(3)迁移发展型——从提供的材料中，通过阅读，理解其采用的思想方法，将其概括抽象成数学模型去解决类同或更高层次的另一个相关命题．
二、典例剖析
1.方法模拟型
【例题1-1】.（2023·山西晋中·统考一模）通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．
在中，，，的对边分别为a、b、c，的面积为，过点A作，垂足为D，则在中，∵∴∴同理可得，，即……………①由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．又∵∴将等式两边同除以，得，∴…………………②由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．
理解应用：如图，甲船以海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B处，且乙船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的C处，此时两船相距海里．
(1)求：的面积；
(2)求：乙船航行的速度（结果保留根号）．
【例题1-2】阅读下列材料，并解决相应问题：，用上述类似的方法化简下列各式．
(1)；
(2)若是的小数部分，求的值．
【例题1-3】（2023·山西临汾·统考一模）阅读理解下面内容，并解决问题.
用求差法比较大小学习了不等式的知识后，我们根据等式和不等式的基本性质，可知比较两个数或式子的大小可以通过求它们的差来判断．如果两个数或式子为和，那么当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．反过来也正确，即当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．因此，我们经常把要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．这种比较大小的方法被称为“求差法”．例如：已知，比较与的大小．解：∵，∴，，，∴，∴．“求差法”的实质是把两个数（或式子）的大小判断的问题，转化为一个数（或式子）与0的大小比较的问题．一般步骤为①作差；②变形；③判断符号；④得出结论．
请解决以下问题：
(1)用“”或“”填空：______．
(2)制作某产品有两种用料方案，方案：用块型钢板，块型钢板；方案：用块型钢板，块型钢板；已知型钢板的面积比型钢板的面积大，若型钢板的面积为，型钢板的面积为，则从省料的角度考虑，应选哪种方案？并说明理由．
(3)已知，比较与的大小．
【变式训练】
1.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：
S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①
然后在①式的两边都乘以6，得：
6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②
②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想：
如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？你的答案是（　　）
A． B． C． D．a2014﹣1
判断推理型
【例题2-1】【了解概念】
在凸四边形中，若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边．
【理解运用】
（1）在邻等四边形中，，，若是这个邻等四边形的邻等边，则的度数为__________；
（2）如图，凸四边形中，P为边的中点，，判断四边形是否为邻等四边形，并证明你的结论；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，为邻等四边形的邻等边，且边与x轴重合，已知，，，若在边上使的点P有且仅有1个，则m的值是__________．
【例题2-2】（2023·陕西宝鸡·一模）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF　　（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；
(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E．
①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；
②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．
【变式训练】2.
1.定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如，四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”．
【概念理解】（1）如图1，四边形是“对补四边形”．
①若，则________；
②若．且时．则_______；
【拓展提升】（2）如图，四边形是“对补四边形”，当，且时，图中之间的数量关系是 ，并证明这种关系；
【类比应用】（3）如图3，在四边形中，平分；
①求证：四边形是“对补四边形”；
②如图4，连接，当，且时，求的值．
2.（2023·安徽滁州·校考一模）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
（1）如图 1， ABC 的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线” 的四边形，请只用无刻度的直尺，就可以在网格中画出点 D ，请你在图 1 中找出满足条件的点D ，保留画图 痕迹（找出 2 个即可）
（2）①如图 2，在四边形 ABCD 中，DAB 90 , DCB 135 ，对角线 AC 平分 DAB ．请问 AC是四边形 ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；
②若AC＝，求 AD AB 的值．
（3）如图 3，在（2）的条件下，若∠D=∠ACB=90°时，将△ADC 以 A 为位似中心，位似比为缩小 得到△AEF，连接 CE、BF，在△AEF 绕点 A 旋转的过程中，当 CE 所在的直线垂直于 AF 时，请你直接写出 BF的长．
3.迁移发展型
【例题3-1】（阅读理解）设点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点”．例如：如图1，矩形ABCD中，若PA＝PD，则称P为边AD的“和谐点”．
（解题运用）已知，点P在矩形ABCD内部，且AB=10，BC=6．
（1）设P是边AD的“和谐点”，则P 边BC的“和谐点”（填“是”或“不是”）；
（2）若P是边BC的“和谐点”，连接PA，PB，当△PAB是直角三角形时，求PA的值；
（3）如图2，若P是边AD的“和谐点”，连接PA，PB，PD，求tan∠PAB· tan∠PBA的最小值．
【例题3-2】（2023·内蒙古包头·统考一模）阅读下面的材料，并回答所提出的问题：如图所示，在锐角三角形中，求证：
这个三角形不是一个直角三角形，不能直接使用锐角三角函数的知识去处理，所以必须构造直角三角形，过点A作，垂足为D，则在和中由正弦定义可完成证明．
解：如图，过点A作，垂足为D，
在中，，则
中，，则
所以，即
(1)在上述分析证明过程中，主要用到了下列三种数学思想方法的哪一种（　　）
A、数形结合的思想；B、转化的思想；C、分类的思想
(2)用上述思想方法解答下面问题．
在中，，求和的面积．
(3)用上述结论解答下面的问题（不必添加辅助线）
在锐角三角形中，，求的度数．
变式训练
1.（2023·山西太原·山西实验中学校考一模）阅读材料，解决问题
折叠、旋转是我们常见的两种图形变化方式如图1，在中，，点D，E在边上，，若，，求的长．
小明发现，如果将绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接（如图2）．使条件集中在中，可求得（即）的长，具体作法为：作，且，连接，可证，再结合已知中，可证，得，接着在中利用勾股定理即可求得的长，即的长．
(1)请你回答：与全等的条件是__________（填“”、“”、“”、“”或“”中的一个），的长为__________；
(2)如图3，正方形中，点P为延长线上一点，将沿翻折至位置，延长交直线于点F．
①求证：；
②连接交于点O，连接（如图4），请你直接写出的值．
2.（2023·河南周口·校联考一模）请阅读以下材料，完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图1，点，是线段同侧两点，且．
求证：点，，，四点共圆．
证明：作的外接圆，假设点在外或在内．
如图2，若点在外．设与交于点，连接，
则（依据一），
又（依据二），
．
．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立；
如图3，若点在内，
（请同学们补充完整省略的部分证明过程）
综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆．
(1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整；
依据一：　 　；
依据二：　 　．
(2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(3)填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则　 　．
2023年中考专题复习 阅读理解型解题策略（解析版）
二、典例剖析
1.方法模拟型
【例题1-1】.（2023·山西晋中·统考一模）通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．
在中，，，的对边分别为a、b、c，的面积为，过点A作，垂足为D，则在中，∵∴∴同理可得，，即……………①由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．又∵∴将等式两边同除以，得，∴…………………②由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．
理解应用：如图，甲船以海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B处，且乙船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的C处，此时两船相距海里．
(1)求：的面积；
(2)求：乙船航行的速度（结果保留根号）．
【答案】(1)；(2)（海里/每小时）
【详解】（1）解：由题意知：，，，
由结论①知，
，
所以的面积为．
（2）解：由（1）知，，
∴是等边三角形，
∴，，
又，
∴，
由题意知，，
∴，
在中，由材料中结论②得，
∴，
∴乙船航行的速度为：（海里/小时）．
【例题1-2】阅读下列材料，并解决相应问题：，用上述类似的方法化简下列各式．
(1)；
(2)若是的小数部分，求的值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：
（2）解：是的小数部分，
，
【例题1-3】（2023·山西临汾·统考一模）阅读理解下面内容，并解决问题.
用求差法比较大小学习了不等式的知识后，我们根据等式和不等式的基本性质，可知比较两个数或式子的大小可以通过求它们的差来判断．如果两个数或式子为和，那么当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．反过来也正确，即当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．因此，我们经常把要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．这种比较大小的方法被称为“求差法”．例如：已知，比较与的大小．解：∵，∴，，，∴，∴．“求差法”的实质是把两个数（或式子）的大小判断的问题，转化为一个数（或式子）与0的大小比较的问题．一般步骤为①作差；②变形；③判断符号；④得出结论．
请解决以下问题：
(1)用“”或“”填空：______．
(2)制作某产品有两种用料方案，方案：用块型钢板，块型钢板；方案：用块型钢板，块型钢板；已知型钢板的面积比型钢板的面积大，若型钢板的面积为，型钢板的面积为，则从省料的角度考虑，应选哪种方案？并说明理由．
(3)已知，比较与的大小．
【答案】(1)；(2)应选方案，理由见解析；(3)当时，；当时，；当时，．
【分析】（1）利用求差法进行大小比较即可；
（2）先表示方案的面积，再表示方案的面积，最后求差比较方案和方案的大小即可；
（3）利用求差法分情况讨论即可得到正确的结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵若型钢板的面积为，型钢板的面积为，
∴方案的面积为：；方案的面积为：，
∴，
∵型钢板的面积比型钢板的面积大，
∴，
∴，
∴方案省料．
（3）解：∵，
∵，
∴①当，即时，，
∴，
∴②当，即时，，
∴，
∴③当，即时，，
∴，
综上可知：当时，；当时，；当时，．
【变式训练】
1.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=BC=2，
在Rt,AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴即，
解得CD=，
同理BE=，
∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，
∴DE=CD-CE=4-8，
∴S△ABC===，
故选：A.
在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：
S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①
然后在①式的两边都乘以6，得：
6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②
②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想：
如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？你的答案是（　　）
A． B． C． D．a2014﹣1
【解析】试题分析：设S=1+a+a2+a3+a4+…+a2014，①
则aS=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2015，②，
②﹣①得：（a﹣1）S=a2015﹣1，
∴S=，
故选B．
判断推理型
【例题2-1】【了解概念】
在凸四边形中，若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边．
【理解运用】
（1）在邻等四边形中，，，若是这个邻等四边形的邻等边，则的度数为__________；
（2）如图，凸四边形中，P为边的中点，，判断四边形是否为邻等四边形，并证明你的结论；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，为邻等四边形的邻等边，且边与x轴重合，已知，，，若在边上使的点P有且仅有1个，则m的值是__________．
【解析】
解：（1）∵CD为邻等边，
∴∠C＝∠D，
又∵，，
∴∠C＝∠D＝（360°﹣∠A﹣∠B）÷2＝130°，
∴∠C＝130°．
故答案为：130°；
（2）四边形ABCD是邻等四边形，
理由如下：∵△ADP∽△PDC，
∴，∠DAP＝∠DPC，∠APD＝∠PCD，∠ADP＝∠PDC，
又∵P为AB的中点，
∴AP＝BP，
∴，
∴，
∵∠APD+∠BPC＝180°﹣∠DPC，∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠DPC，
且∠APD＝∠PCD，
∴∠BPC＝∠PDC，
∵∠ADP＝∠PDC，
∴∠ADP＝∠BPC，
∴△BPC∽△ADP，
∴∠B＝∠A，
∴四边形ABCD为邻等四边形；
（3）若点B在点A右侧，如图，
∵AB为邻等边，则有∠DAB＝∠ABC＝∠DPC，
又∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，
∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，
∴∠DAB＝∠DPC，∠ADP＝∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴＝，
设点P（n，0），
∵A（﹣2，0），D（2，4），
∴∠BAD＝45°，
∴∠ABC＝45°，
过点C作CE⊥x轴于点E，
则∠CEB＝90°，∠BCE＝∠ABC＝45°，
∴CE＝BE，
∵点C（m，3），
∴CE＝3，
∴BE＝3，
∴B（m+3，0），
∴AP＝n+2，BP＝m+3﹣n，
∴AD＝＝，BC＝＝，
代入＝得： ，
整理可得：﹣n2+（m+1）n+2m﹣18＝0，
由题意可知n只有一个解，
∴△＝（m+1）2+4（2m﹣18）＝0，
解得：m＝﹣5±4，
又∵点C在点D右侧，
∴m＝﹣5+4；
②若点B在点A左侧，如图，
此时，∵A（﹣2，0），D（2，4），
∴∠OAD＝45°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠DPC＝135°，
∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，
∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，
∴ADP＝∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴＝，
由①得：B（m+3，0），C（m，3），P（n，0），
AP＝﹣2﹣n，BP＝n﹣m﹣3，AD＝，BC＝，
∴，
解得：m＝﹣5±4，
又∵点C在点D左侧，
∴m＝﹣5﹣4；
综上所述：m＝﹣5±4．
【例题2-2】（2023·陕西宝鸡·一模）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF　　（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；
(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E．
①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；
②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．
【答案】(1)是；(2)①见解析，BE的长是8；
②△BCM周长的最小值为210
【详解】（1）∵将△BCE绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上，
∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠ABE+∠ABF＝90°，即∠EBF＝∠D＝90°，
∴∠EBF+∠D＝180°，
∵∠EBF＝90°，BF＝BE，
∴四边形BEDF是“直等补”四边形．
故答案为：是；
（2）①证明：∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，
∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，
∴∠D＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥BE，
∴∠DEF＝90°，∠CFE＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴DE＝CF，EF＝CD＝2，
∵∠ABE+∠A＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠A＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE＝CF，AE＝BF，
∵DE＝CF，
∴BE＝DE；
∵四边形CDEF是矩形，
∴EF＝CD＝2，
∵△ABE≌△BCF，
∴AE＝BF，
∴AE＝BE﹣2，
设BE＝x，则AE＝x﹣2，
在Rt△ABE中，x2+（x﹣2）2＝102，解得：x＝8或x＝﹣6（舍去），
∴BE的长是8；
②∵△BCM周长＝BC+BM+CM，
∴当BM+CM的值最小时，△BCM的周长最小，
如图，延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，
∵∠ADC＝90°，
∴点C与点G关于AD对称，
∴BM+CM＝BM+MG≥BG，即BM+CM≥BM′+M′C，
∴当点M与M′重合时，BM′+M′C的值最小，即△BCM的周长最小，
在Rt△ABE中，AE6，
∵四边形ABCD是“直等补”四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠GCH＝180°，
∴∠A＝∠GCH，
∵∠AEB＝∠H＝90°，
∴△ABE∽△CGH，
∴，即，
∴GH，CH，
∴BH＝BC+CH＝10，
∴BG2，
∴△BCM周长的最小值为210．
【变式训练】2.
1.定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如，四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”．
【概念理解】（1）如图1，四边形是“对补四边形”．
①若，则________；
②若．且时．则_______；
【拓展提升】（2）如图，四边形是“对补四边形”，当，且时，图中之间的数量关系是 ，并证明这种关系；
【类比应用】（3）如图3，在四边形中，平分；
①求证：四边形是“对补四边形”；
②如图4，连接，当，且时，求的值．
【解析】
（1），
设，
根据“对补四边形”的定义，
，
即，
解得，
，
，
．
故答案为：．
②如图1，连接，
，，
，
在中
，
在中
，
，
，
，
故答案为：．
（2），理由如下：
如图2，延长至点,使得，连接，
四边形是“对补四边形”，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
,
，
，
即，
故答案为：．
（3）①证明：如图3，过点作于点，于点，
则，
平分，
，
，
，
，
，
，
与互补，
四边形是“对补四边形”；
②由①可知四边形是“对补四边形”，
，
，
，
设，则
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：．
在中，，
．
2.（2023·安徽滁州·校考一模）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
（1）如图 1， ABC 的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线” 的四边形，请只用无刻度的直尺，就可以在网格中画出点 D ，请你在图 1 中找出满足条件的点D ，保留画图 痕迹（找出 2 个即可）
（2）①如图 2，在四边形 ABCD 中，DAB 90 , DCB 135 ，对角线 AC 平分 DAB ．请问 AC是四边形 ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；
②若AC＝，求 AD AB 的值．
（3）如图 3，在（2）的条件下，若∠D=∠ACB=90°时，将△ADC 以 A 为位似中心，位似比为缩小 得到△AEF，连接 CE、BF，在△AEF 绕点 A 旋转的过程中，当 CE 所在的直线垂直于 AF 时，请你直接写出 BF的长．
【答案】（1）见解析；（2）①AC 是四边形 ABCD的“相似对角线”，理由见解析；② AD AB 的值为10；（3） BF的长为或．
【详解】解：（1）如图1所示．AB＝，BC＝2，∠ABC＝90°，AC＝5，
∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，
①当∠ACD＝90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∴CD＝2.5或CD＝10，
同理：当∠CAD＝90°时，AD＝2.5或AD＝10，
如图中， 即为所求；
（2）①∵，AC平分 ，
∴，
∴，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴AC是四边形 ABCD的“相似对角线”，
②∵，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）①由（2）可知△ADC为等腰直角三角形，，
∴ ，
∵ ，且相似比为 ，
∴ ， ，
如图，延长CE交AF于点H，由题意可得：EH⊥AF于H，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ,
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴即 ，
∴ ；
②如图，设AF与EC交于点G，
∵AF⊥CE，
∴△AGE为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
在Rt△AGC中， ，
∴ ，
同理可证 ，
∴ 即 ，
∴ ，
综上，或．
3.迁移发展型
【例题3-1】（阅读理解）设点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点”．例如：如图1，矩形ABCD中，若PA＝PD，则称P为边AD的“和谐点”．
（解题运用）已知，点P在矩形ABCD内部，且AB=10，BC=6．
（1）设P是边AD的“和谐点”，则P 边BC的“和谐点”（填“是”或“不是”）；
（2）若P是边BC的“和谐点”，连接PA，PB，当△PAB是直角三角形时，求PA的值；
（3）如图2，若P是边AD的“和谐点”，连接PA，PB，PD，求tan∠PAB· tan∠PBA的最小值．
【解析】
（1）是；
连接PB,PC
∵P是边AD的“和谐点”，
∴PA=PD，
∴∠PDA=∠PAD，
∵∠CDA=∠BAD=90°，
∴∠CDP=∠BAP，
∵AP=DP，AB=CD，
∴△PAB≌△PDC（SAS），
∴PB=PC；
（2）∵P是BC的和谐点，
∴P也是AD的和谐点，
∴PB=PC，PA=PD，
∴P在AD和BC的垂直平分线上，
过P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，
易证四边形PEAF为矩形，
∴PF=AE，
又∵PA=PD，PE⊥AD，
∴AE=AD=3，
∴PF=3，
又∵△ABP为直角三角形，且P在矩形内部，
∴只能∠APB=90°，
又∵PF⊥AB，
∴PF2=AF·BF（射影定理），
∴PF2=AF·（AB-AF），
设AF=x，
∴x(10-x)=9，
x2-10x+9=0，
(x-1)(x-9)=0，
∴x1=1，x2=9，
当AF=9时 PA==，
AF=1时 PA==，
∴AF的值为或；
（3）作PF⊥AB于F，由（2）可知PF=3，
∴tan∠PAB=，tan∠PBA=，
∴tan∠PAB·tan∠PBA==
设AF=x，则BF=10-x，
∴AF·BF=（10-x）·x=-x2+10x=-（x-5）2+25，
当x=5时，AF·BF有最大值25，
∴有最小值是，
∴tan∠PAB·tan∠PBA的最小值是．
【例题3-2】（2023·内蒙古包头·统考一模）阅读下面的材料，并回答所提出的问题：如图所示，在锐角三角形中，求证：
这个三角形不是一个直角三角形，不能直接使用锐角三角函数的知识去处理，所以必须构造直角三角形，过点A作，垂足为D，则在和中由正弦定义可完成证明．
解：如图，过点A作，垂足为D，
在中，，则
中，，则
所以，即
(1)在上述分析证明过程中，主要用到了下列三种数学思想方法的哪一种（　　）
A、数形结合的思想；B、转化的思想；C、分类的思想
(2)用上述思想方法解答下面问题．
在中，，求和的面积．
(3)用上述结论解答下面的问题（不必添加辅助线）
在锐角三角形中，，求的度数．
【答案】(1)B；(2)；(3)
【详解】（1）由求解过程可知主要用到了转化的思想
故选：B；
（2）过A作于D，在直角三角形中，，
∴，
∴，
直角三角形中，根据勾股定理可得，
，
；
（3）由题意可得：＝，
即：，
∴sinB＝，
∴．
变式训练
1.（2023·山西太原·山西实验中学校考一模）阅读材料，解决问题
折叠、旋转是我们常见的两种图形变化方式如图1，在中，，点D，E在边上，，若，，求的长．
小明发现，如果将绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接（如图2）．使条件集中在中，可求得（即）的长，具体作法为：作，且，连接，可证，再结合已知中，可证，得，接着在中利用勾股定理即可求得的长，即的长．
(1)请你回答：与全等的条件是__________（填“”、“”、“”、“”或“”中的一个），的长为__________；
(2)如图3，正方形中，点P为延长线上一点，将沿翻折至位置，延长交直线于点F．
①求证：；
②连接交于点O，连接（如图4），请你直接写出的值．
【答案】(1)，；(2)①证明见详解；②
【分析】（1）根据绕点A按逆时针方向旋转得到可得，，结合可得，根据边角边定理即可得到证明，在中利用勾股定理即可得到答案；
（2）①连接，根据定理即可得到，即可得到证明；
②连接，过C作交延长线于一点G，根据折叠得到，，由①可得，，即可得到，从而得到，根据正方形性质可得，，结合可得，即可得到，即可得到答案.
【详解】（1）解：∵绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∵，，
∴，
∵绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
在中，
，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）解：①连接，
∵沿翻折至位置，四边形是正方形，
∴，，
在在与中，
，
∴，
∴；
②连接，过C作交延长线于一点G，
∵沿翻折至位置，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
在中，
，
∴.
2.（2023·河南周口·校联考一模）请阅读以下材料，完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图1，点，是线段同侧两点，且．
求证：点，，，四点共圆．
证明：作的外接圆，假设点在外或在内．
如图2，若点在外．设与交于点，连接，
则（依据一），
又（依据二），
．
．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立；
如图3，若点在内，
（请同学们补充完整省略的部分证明过程）
综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆．
(1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整；
依据一：　 　；
依据二：　 　．
(2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(3)填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则　 　．
【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；(2)见解析；(3)
【分析】（1）由圆周角定理和三角形的外角性质即可得出结论；
（2）作的外接圆，假设点在外或在内．由反证法、圆周角定理以及三角形的外角性质即可得出结论；
（3）证点，，，四点共圆，再由相似三角形得，然后由为中点，得，即可解决问题．
【详解】（1）解：依据一：同弧所对的圆周角相等；
依据二：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）如图3，若点在内，延长与交于点，连接，
则，
又，
．
．
这与已知条件“”矛盾，故点在内不成立；
（3），
点，，，四点共圆，
∵，
∴，
∴，
，
为中点，
，
，，
，
，
解得：（负值已舍去），
故答案为：．
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