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北师大版初中数学八年级下册第五单元《分式与分式方程》单元测试卷（含答案解析）
考试范围：第五单元 考试时间：120分钟 总分：120分
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列约分正确的是( )
A. B. C. D.
2. 下列说法正确的是( )
A. 如果，是整式，那么就叫做分式
B. 只要分式的分子为零，则分式的值就为零
C. 只要分式的分母为零，则分式必无意义
D. 因为不是分式，而是整式
3. 下列计算结果正确的有( )
； ；； ；
．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4. 现有甲、乙两个圆，甲圆的半径为，乙圆的半径为，则甲圆的面积是乙圆面积的( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
5. 化简的结果是( )
A. B. C. D.
6. 学完分式运算后，老师出了一道题：化简．
小明的做法是：原式；
小亮的做法是：原式；
小芳的做法是：原式．
对于这三名同学的做法，你的判断是( )
A. 小明的做法正确 B. 小亮的做法正确
C. 小芳的做法正确 D. 三名同学的做法都不正确
7. 如果，那么代数式的值是( )
A. B. C. D.
8. 计算的结果是．( )
A. B. C. D.
9. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是( )
A. B. C. D.
10. 某厂计划加工万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产万个口罩，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
11. 某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
12. 五一劳动节即将来临，某旅游景点超市用元购进甲、乙两种商品个，其中甲种商品比乙种商品少用元，已知甲种商品的单价比乙种商品的单价高那么乙种商品的单价是．( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 当______时，分式的值为．
14. 下图是一个数值转换机的示意图，则输入的值为，的值为时，输出结果为 ．
15. 计算的结果是______．
16. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知分式．
当时，求分式的值．
当为何值时，分式有意义
当为何值时，分式的值为
18. 本小题分
已知，求的值．
19. 本小题分
若，化简；
若满足，求值．
20. 本小题分
有甲、乙两筐水果，甲筐水果重，乙筐水果重其中，售完后，两筐水果都卖了元．
哪筐水果的单价卖得低？
单价高的单价是低的几倍？
现卖高的单价的水果筐，共多少元用含的式子表示
21. 本小题分
老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如图所示：
求被手遮住部分的代数式．
等式左边代数式的值能等于吗请说明理由．
22. 本小题分
先化简，再求值：，其中，满足
23. 本小题分
解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题例如，原问题是“若矩形的两边长分别为和，求矩形的周长”，求出周长等于后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为，且一边长为，求另一边的长”也可以是“若矩形的周长为，求矩形面积的最大值”等等．
设，，求与的积
提出的一个“逆向”问题，并解答这个问题．
24. 本小题分
在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样吨水可多用天，求现在每天用水量是多少吨？
25. 本小题分
在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销．某药店用元购进甲，乙两种不同型号的口罩共个进行销售，已知购进甲种口罩与乙种口罩的费用相同，购进甲种口罩单价是乙种口罩单价的倍．
求购进的甲，乙两种口罩的单价各是多少？
若甲，乙两种口罩的进价不变，该药店计划用不超过元的资金再次购进甲，乙两种口罩共个，求甲种口罩最多能购进多少个？
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查分式的基本性质及变号法则，正确确定公因式是关键，要特别注意性质中“都”和“同”的含义．根据分式的基本性质作答．分式的分子和分母都乘以或都除以同一个不为的数或整式，分式的值不变．逐项判定即可．
【解答】
解：．，故 A错误；
B.，故B错误；
C.，故C正确；
D.，故D错误．
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了分式的定义和分式的值为零，分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为，分式的值为的条件是分子为，分母不为，解答此题根据分式的定义和分式有意义和分式的值为的条件进行解答即可．
【解答】
A.如果，是整式，那么中含有字母，且就叫做分式，故A选项错误；
B.分式的值为，必须满足两个条件，分子为，分母不为，故B选项错误；
C.只要分式的分母为零，则分式必无意义，正确，故C选项正确；
D.分母中含有字母，应为分式，不是整式，判断式子看形，不能约分后判断，故D选项错误；
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键原式各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】
解：， 正确；
，则错误；
， 正确；
，则错误；
，正确；
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查分式的乘除．
分别表示出两个圆的面积，然后用甲圆面积除以乙圆面积即可．
【解答】
解：
甲圆面积，
乙圆面积，
，即甲圆的面积是乙圆面积的倍
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了分式的乘除以及平方差公式，熟练掌握分式的乘除是解题的关键，根据分式的除法法则先把原式化成乘法，进而求解即可．
【解答】
解：
，
故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的加减、合并同类项，解答本题的关键是明确分式加减的计算方法，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的方法计算．
根据题目中的三个同学的作法可以分别指出做错同学的错误之处，从而可以解答本题．
【解答】解：小明的作法是错误的，错误在于第二个等号后面的分子书写错误，忘记加括号了，分子部分正确书写是；
小亮的作法是错误的，错误在于第一个等号后面的部分，此处应该是通分，而小亮直接把分母漏掉了；
小芳的作法是正确的；
故选：．
7.【答案】
【解析】 当时，
原式，故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查分式的混合运算．
先约分，再通分即可．
【解答】
解：．
9.【答案】
【解析】解：，
由得，，
由得，
不等式组的解集为，
，
，
，
，
，
，
，
方程的解为负整数，
，
解得：，
，
，，，
，
，
，
的取值为，，
所有满足条件的整数的值之和是，
故选：．
由一元一次不等式组的解可得，再解分式方程得，由方程的解为负整数，且，可求的值为，，即可求解．
本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式方程的解，一元一次不等式的解法，注意分式方程增根的情况是解题关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
由原计划每周生产的口罩只数结合一周后提高的速度，可得出一周后每周生产万个口罩，根据工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前一周完成任务第一周按原工作效率，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【解答】
解：原计划每周生产万个口罩，一周后以原来速度的倍生产，
一周后每周生产万个口罩，
依题意，得：．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：设原计划每间直播教室的建设费用是元，则实际每间建设费用为，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：原计划每间直播教室的建设费用是元，
故选：．
设原计划每间直播教室的建设费用是元，则实际每间建设费用为元，根据“实际每间建设费用增加了，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了元”列出方程求解即可．
考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
根据分式值为零的条件可得且，再解即可．
【解答】
解：由题意得：且，
解得：，
故答案为：．
14.【答案】略
【解析】略
15.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：
异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，然后再加减．
此题考查了分式的加减运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．
16.【答案】且
【解析】
【分析】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，数练掌握运算法则是解本题的关键．
表示出分式方程的解，由解为正数，确定出的范围即可．
【解答】
解：去分母得：
解得：
由分式方程的解为正数，
得到，且
得：且．
17.【答案】略
【解析】略
18.【答案】解：设，
则，，．
原式．
【解析】见答案
19.【答案】解：
；
，
或，
而要使得有意义，则，，，
，，
，
将代入，得．
【解析】本题考查了分式的乘除和有意义的条件，关键是根据法则将化简求值．
根据分式的乘除法法则可将原式化为，再化简即可．
由，得或，由分式有意义的条件可知，，所以将再代入即可得答案．
20.【答案】解：根据单价售价重量，得：甲筐水果的单价是：元，乙筐的单价是：元，
，
又，
，
，
，
，
甲筐水果的单价高于乙筐水果的单价，即乙筐水果的单价低；
根据题意得：．
答：单价高的单价是低的倍；
由知甲的单价高，
元，
答：卖高的单价的水果筐，共元．

【解析】本题考查列分式及分式的乘除运算应用，理解题意列出正确的式子并比较大小是解答本题的关键．
根据公式：单价售价重量，列出甲筐和乙筐水果的单价，利用做差法比较和的大小，从而得到两个单价的高低；
根据题意列出算式，计算即可得到结果；
根据公式：售价单价重量，即可得到答案．
21.【答案】解：设被手遮住部分的代数式为．
则
当时，，且，即，
而时，，
原式无意义，
，
等式左边代数式的值不能为．
【解析】本题考查的是分式的乘除有关知识，以及分式的值为零的条件、分式有意义的条件．
由题意可得被手遮住部分的代数式为，直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案；
根据分式值为求出的值，而此时分式无意义，故不能为．
22.【答案】略
【解析】略
23.【答案】略
【解析】略
24.【答案】解：设原来每天用水量是吨，则现在每天用水量是吨，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：现在每天用水量是吨．
【解析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设原来每天用水量是吨，则现在每天用水量是吨，根据现在吨水比以前可多用天，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
25.【答案】解：元．
设乙种口罩的单价为元，则甲种口罩的单价为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲种口罩的单价为元，乙种口罩的单价为元．
设该药店购进甲种口罩只，则购进乙种口罩只，
依题意，得：，
解得：．
答：甲种口罩最多购进只．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设乙种口罩的单价为元，则甲种口罩的单价为元，根据数量总价单价，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设该药店购进甲种口罩只，则购进乙种口罩只，根据总价单价数量结合进货总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
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