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【备考2023】湖南省岳阳市中考数学模拟试卷2
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
3．在下列有理数：－5，，0，，中，最大的数是（ ）
A．－5 B． C．0 D．
4．不等式组中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，把一块含30角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=20°，那么∠2的度数为（ ）．
A．20° B．50° C．60° D．70°
6．如图，直线//，点在直线上，点、在直线上，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知样本数据2，4，3，6，5，下列说法正确的是（　　）
A．中位数是3 B．平均数是3 C．极差是3 D．方差是2
8．对于函数y=x2﹣2|x|﹣3，下列说法正确的有(　　)个
①图象关于y轴对称；
②有最小值﹣4；
③当方程x2﹣2|x|﹣3=m有两个不相等的实数根时，m＞﹣3；
④直线y=x+b与y=x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点时，﹣＜b≤﹣3．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．利用因式分解计算：______.
10．将数413000000用科学记数法表示为__________．
11．如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别是120°和240°．让转盘自由转动1次，指针落在白色区域的概率是____．
12．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_______
13．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
14．如果m是方程x2＋2x－3＝0的实根，那么代数式m3－7m的值是 _____．
15．如图，D是△ABC内部的一点，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD，下列结论中，①∠DAC＝∠DCA；②AB＝AC；③BD⊥AC；④BD平分∠ABC．所有正确结论的序号是_____．
16．如图，在中，、的垂直平分线分别交于、两点，并且相交于点，且，则的度数是______．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：．
（2）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
18．如图，在四边形中，，，垂足分别为点E，F，连接．
(1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 ；
(2)在（1）中添加条件后，请证明四边形为平行四边形．
19．如图，已知双曲线与直线交于，两点，．
(1)求，的值；
(2)以为边向左构造正方形，过作轴的垂线交于点，连接，求的长．
20．为了丰富学生课余生活，某区教育部分准备在七年级开设兴趣课堂，为了了解学生对音乐、书法、球类、绘画这四个兴趣小组的喜爱情况，在全区进行随机抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅统计图（信息不完整），请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）此次共调查了多少名同学？
（2）将条形图补充完整，并计算扇形统计图中音乐部分的圆心角的度数；
（3）如果该区七年级共有2000名学生参加这4个课外兴趣小组，则参加绘画兴趣小组的学生有多少名？
21．2020年“春华秋实”文化旅游系列活动﹣﹣吉县苹果文化艺术节在山西省临汾市吉县东城乡苹果小镇开幕，据了解2020年吉县苹果种植面积稳定在28万亩，总产量达到20万吨．小华家2019年苹果销售收入45000元，2020年苹果的产量增加了10%，苹果销售时每斤的价格比2019年提高了0.2元，小华家2020年苹果的销售收入达到52800元．
(1)小华家2019年苹果的产量是多少斤？
(2)吉县农业局积极推进种植技术改进，提高苹果的产量，在种植面积不变的情况下，计划在2022年苹果产量达到24.2万吨．求2021、2022年的年平均增长率．
22．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
(1)求的度数；
(2)已知在灯塔P的周围20海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
23．抛物线y＝x2﹣3mx+2m+1与x轴正半轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C，且OA＝OC．
（1）抛物线的解析式为　 　（直接写出结果）；
（2）如图1，D为y轴上一点，过点D的直线y＝x+n交抛物线于E，F，若EF＝5，求点D的坐标；
（3）将△AOC绕平面内某点逆时针旋转90°至△A'O'C'（点A，C，O的对应点分别为A'，C'，O'），若旋转后的△A'O'C'恰好有一边的两个端点落在抛物线上，请求出点A'的坐标．
24．在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．
(1)如图1，已知点，；
①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是______，最大值是______；
②在，，这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是______．
(2)如图2，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为（5，0）．若点在第一象限，且点D与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；
(3)如图3，已知点，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点（其中）是坐标平面内一个动点，且，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若HK上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．
参考答案：
1．【分析】无理数是无限不循环小数，找出符合的选项即可．
解：、、均属于有理数中的分数，是无限不循环的小数，选项C符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的判断，掌握无理数的判断方法是解题关键．
2．【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．【分析】首先化简各数，有理数大小比较方法即可求解．
解：∵＝27，=
∴＞＞0＞-5
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数的大小比较，正确化简各数是解题关键．
4．【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可．
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：-1≤x＜2，
∴表示在数轴上为：
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．
5．【分析】根据余角的性质和平行线的性质，即可得到答案．
解：∵含30角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=20°，
∴∠1+∠3=90°，即∠3=90°-20°=70°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=70°．
故选D．
【点评】本题主要考查余角的性质以及平行线的性质定理，掌握两直线平行，同位角相等，是解题的关键．
6．【分析】由直线//，可得∠ACB=∠1=70°，由，可得∠BAC=∠ACB=∠1=70°即可，
解：∵直线//，
∴∠ACB=∠1=70°，
又∵，
∴∠BAC=∠ACB=∠1=70°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线性质，等腰三角形性质，掌握平行线性质，等腰三角形性质是解题关键．
7．【分析】分别计算该组数据的中位数、平均数、极差、方差后找到正确的答案即可．
解：A、把这组数据从小到大排列： 2，3，4，5，6则中位数是4，故本选项错误；
B、这组数据的平均数是：（2+4+3+5+6）÷5=4，故本选项错误；
C、这组数据的极差是：6-2=4，故本选项错误；
D、这组数据的方差是，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查中位数、平均数、极差、方差．熟练掌握各种数的定义及方差公式是解题的关键．
8．【分析】①根据进行判断；
②化为顶点式，进而判断；
③用反例法，如当时，解方程得出解的情况，再进行判断；
④由方程，即有3个解，求出b的取值．
解：①∵，
∴y=x2﹣2|x|﹣3的图象关于y轴对称，故①正确；
②∵y=x2﹣2|x|﹣3=(|x|﹣1)2﹣4，
∴当|x|=1即x=±1时，y有最小值为﹣4，故②正确；
③当m=﹣4时，方程x2﹣2|x|﹣3=m为x2﹣2|x|﹣3=﹣4，
可化为(|x|﹣1)2=0，
解得x=±1，有两个不相等的实数根，
此时m=﹣4＜﹣3，故③错误；
④∵直线y=x+b与y=x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点，
∴方程x2﹣2|x|﹣3=x+b，即x2﹣2|x|﹣x﹣3﹣b=0有3个解，
∴方程x2﹣3x﹣3﹣b=0(x≥0)与方程x2+x﹣3﹣b=0(x＜0)一共有3个解，
∴当方程x2﹣3x﹣3﹣b=0(x≥0)有两个不相等的非负数根，
则方程x2+x﹣3﹣b=0(x＜0)有两个相等的负数根；
或当方程x2﹣3x﹣3﹣b=0(x≥0)有两个不相等的非负数根，
则方程x2+x﹣3﹣b=0(x＜0)有一个负数根；
或方程x2﹣3x﹣3﹣b=0(x≥0)有一个非负数根或两个相等的非负数根，
则方程x2+x﹣3﹣b=0(x＜0)有两个不相等的负数根．
即或或，
解得，b=﹣，或b=﹣3，
∴当b=﹣或b=﹣3时，直线y=x+b与y=x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点，故④错误；
故选：B．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数的最值的应用，一元二次方程的根的判别式的应用，关键是灵活运用二次函数的知识进行解答．
9．【分析】利用完全平方公式进行求值.
解：872+87×26+132=(87+13)2=1002=10000.
【点评】因式分解的广泛应用：利用完全平方公式进行求值（a±b）2=a2±2ab+b2.
10．【分析】运用科学记数法的概念，即把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫科学记数法，即可解答．
解：根据科学记数法的概念可得：
．
故答案为：．
【点评】本题考查了科学记数法的概念，熟知概念是解题的关键．
11．【分析】根据概率的求法，分别求出指针落在白色以及黑色区域的概率，进而即可得出答案．
解：由图得：白色扇形的圆心角为120°，
故转动一次，指针落在白色区域的概率为．
故答案为．
【点评】本题考查了几何概率的求法，正确求出转动一次指针指向某一区域的概率是解题关键．
12．【分析】利用判别式的意义得到，然后解关于k的方程即可．
解：∵，，，
根据题意得，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
13．【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
解：根据分式有意义的条件可知，
x+10，
解得x-1，
故答案为：x-1．
【点评】本题考查分式有意义的条件，当分式的分母不等于0时，分式有意义．
14．【分析】先求出m的值，再代入代数式求解即可．
解： x2＋2x－3＝0
m是方程x2＋2x－3＝0的实根
或
故答案为：．
【点评】本题考查了代数式的计算问题，掌握解一元二次方程的方法、代入法是解题的关键．
15．【分析】根据等腰三角形的性质和判定定理以及线段垂直平分线的性质即可得到结论．
解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，故①正确；
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD+∠DAC＝∠BCD+∠DCA，
即∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，故②错误；
∵AB＝BC，AD＝DC，
∴BD垂直平分AC，故③正确；
∴BD平分∠ABC，故④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定以及等腰三角形的判定和性质．
16．【分析】根据四边形内角和为求出，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，进而得到，，结合图形计算，得到答案．
解：、的垂直平分线相交于点，，
，
，
、的垂直平分线分别交于、两点，
，，
，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
17．【分析】（1）先开方和求绝对值，再加减
（2）先求出每个不等式的解集，再综合求两个不等式的交集为不等式组的解集．
解：（1）原式
故答案为：
（2）
由得：
由得：
综上所述得：
故符合条件的非负正数解有：0,1,2
故答案为：0,1,2
【点评】本题考查实数的加减、开方运算和不等式组的求解，掌握这些知识和方法是本题关键．
18． 【分析】（1）根据已知条件可知，再添加即可；
（2）根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可．
（1）解：；
根据，，可得，
再添加，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定；
故答案为：（答案不唯一）．
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
19．【分析】（1）将代入，，即可求解；
（2），关于原点中心对称，，得出，过作轴垂线交于点，连接，继而得出四边形是矩形，勾股定理即可求解．
（1）解：将代入，得，
解得：，
将代入，
即，
解得：；
（2）解：∵，关于原点中心对称，，
∴，
∴，
过作轴垂线交于点，连接，
∴，
则是等腰直角三角形，
∵，是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
∵轴，轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数结合，反比例函数与几何图形结合，正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
20．【分析】（1）由图可知球类的人数为120人，所占的百分比为，由此可计算出此次共调查的同学人数；（2）音乐人数等于抽查的学生总数减去绘画、球类、书法的人数，同样，计算出音乐所占百分比，再乘以即为它所对的圆心角度数；（3）先求出绘画所占百分比，再用七年级共有的学生总数乘以百分比即可.
解：（1）此次共调查同学（人）
（2）音乐人数为，条形图补充完整如图所示
扇形统计图中音乐部分的圆心角的度数为
（3）参加绘画兴趣小组的学生有 （人）
【点评】本题主要考查了用样本估计总体、条形与扇形统计图的综合，条形统计图表示的是每组的具体数据，扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，理解条形与扇形统计图各自的特征,灵活应用两个图中的数据是解题的关键.
21．【分析】（1）设小华家2019年苹果的产量是x斤，则小华家2020年苹果的产量是(1+10%)x斤，利用销售单价＝销售总价÷销售数量，结合小华家2020年苹果销售时每斤的价格比2019年提高了0.2元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设2021、2022年的年平均增长率为m，利用2022年吉县苹果总产量＝2020年吉县苹果总产量×(1+年平均增长率)2，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：(1)设小华家2019年苹果的产量是x斤，则小华家2020年苹果的产量是(1+10%)x斤，
依题意得：，
解得：x＝15000，
经检验，x＝15000是原方程的解，且符合题意．
答：小华家2019年苹果的产量是15000斤；
(2)设2021、2022年的年平均增长率为m，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：2021、2022年的年平均增长率为10%．
【点评】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
22． 【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题；
（2）作PD⊥AB于D．求出PD的值即可判定；
解：（1）由题意得，∠PAB=30°，∠PBD=60°，
∴∠APB=∠PBD-∠PAB=30°，
（2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°，
∴PB=AB=40（海里） 过点P作PD⊥AB于点D，
在Rt△PBD中， PD=BPsin60°=（海里），
，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
23．【分析】（1）点C（0，2m+1），OA＝OC，则点A（2m+1），将点A的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；
（2）联立①与直线EF的表达式并整理得：x2﹣8x+8﹣4n＝0，则a+b＝8，ab＝8﹣4n，设直线EF的倾斜角为α，则tan，则cosα＝，则b﹣a＝＝2，即可求解；
（3）分A′C′在抛物线上、O′C′在抛物线上两种情况，分别求解即可．
解：（1）点C（0，2m+1），OA＝OC，则点A（2m+1，0)
将点A的坐标代入抛物线的表达式并解得：m＝，
故抛物线的表达式为：y＝（x2﹣6x+8）＝x2﹣x+2…①，
故答案为y＝x2﹣x+2；
（2）由抛物线的表达式知，点A、C的坐标分别为：（2，0）、（0，2），
则点D（0，n），设点E、F的纵坐标为：a，b，
联立①与直线EF的表达式并整理得：x2﹣8x+8﹣4n＝0，
则a+b＝8，ab＝8﹣4n，
设直线EF的倾斜角为α，则tan，则cosα＝，
则b﹣a＝＝2，
（b﹣a）2＝（a+b）2﹣4ab＝64﹣4（8﹣4n）＝（2）2，解得：n＝，
故点D的坐标为：（0，）；
（3）将△AOC绕平面内某点逆时针旋转90°至△A'O'C'（点A，C，O的对应点分别为A'，C'，O'），
若旋转后的△A'O'C'恰好有一边的两个端点落在抛物线上，如图所示，
①当A′C′在抛物线上时（左侧图），
设点A′（x，y），则点C′（x﹣2，y﹣2），
将点A′、C′的坐标代入抛物线表达式得：
y＝（x2﹣6x+8），y﹣2＝ [（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+8）]，
解得：x＝6，y＝2，故点A′（6，2）；
①当O′C′在抛物线上时（右侧图），A与C’重合，
由图象及旋转可得：OC=AB=2,OA=A’B=2
∴点A′（4，2）；
综上，点A′的坐标为：（6，2）或（4，2）．
【点评】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、三角函数及旋转的性质.
24．【分析】（1）①观察图像d的最小值是OA，最大值为OB，由勾股定理即可求解；②根据平衡点的定义即可求解；
（2）如图，可得OE1=3，解得此时的x=，OE2=7，解得x=，即可得到范围；
（3）由点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，推出以C为圆心2为半径的圆刚好与相切，此时要想上的任意两点都是圆的平衡点，需要满足，，分两种情况求出b值即可判断．
解：（1）由题意可知，OA=3，，
则d的最小值为3，最大值为，
根据平衡点的定义，点P1与点O是线段AB的一对平衡点；
（2）如图，
由题意点D到⊙O的距离是4，最远距离是6，
∵点D与点E是⊙O的一对平衡点，此时需要满足E1到⊙O的最大距离是4，
即OE1=3，可得，
同理：当E2到⊙O的最小距离是6时，OE2=7，此时，
综上所述，满足条件的x的值为：；
（3）∵点C在以O为圆心，5为半径的圆上运动，
∴以C为圆心、2为半径的圆刚好与相切，此时要想上任意的两点都是⊙C的平衡点需要满足，，
如下图，当CK=6时，作CM⊥HK于点M，
根据题意有：
，解得：，（b为负值的舍去），
当CH=6时，如下图，同理可得，
在两者中间时，a=0，b=5，
观察图像可知：满足条件的b的取值范围：．
【点评】本题属于圆的综合题，考查了点P到点Q是图形W的一对平衡点、两圆的位置关系、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊位置解决问题，属于压轴题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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