资源简介

(共49张PPT)
9.1.2 分层随机抽样
高一数学
（人教A版2019必修第二册）
【单元目标】
课程目标
1．理解分层抽样的基本思想和适用情形．
2．掌握分层抽样的实施步骤．
3．了解两种抽样方法的区别和联系．
数学学科素养
1.数学抽象：分层抽样的相关概念；
2.数据分析：分层抽样的应用；
3.数学运算：分层抽样中各层样本容量的计算.
【单元知识结构框架】
教学重点：正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本．
教学难点：选择合适的抽样方法解决现实生活中的抽样问题.
1、简单随机抽样的概念:
2、简单随机抽样的特点:
3、简单随机抽样的常用方法：
③机会均等抽样.
①总体个数有限；
②逐个进行抽取；
①抽签法；
②随机数表法.
设一个总体含有有限个个体，并记其个体数为N．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的机会相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.
温故知新
复习回顾
能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？
新课讲授
抽样调查最核心的问题是样本的代表性，简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本，
例如,在对树人中学高一年级学生身高的调查中,可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形,这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数,从而使得估计出现较大的误差.
在对树人中学高一年级学生身高的调查中， 采取简单随机抽样的方式抽取了50名学生。
1.抽样调查最核心的问题是什么？
2.会不会出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形？
3.为什么会出现这种“极端样本”？
4.如何避免这种“极端样本”？
样本代表性
会
抽样结果的随机性个体差异较大
分组抽样，减少组内差距
新课讲授
在树人中学高一年级的712名学生中,男生有326名、女生有386名。
样本量在男生、女生中应如何分配？
自然地，为了使样本的结构与总体的分布相近，人数多的群体应多抽一些，人数少的群体应少抽一些。因此，按男生、女生在全体学生中所占的比例进行分配是一种比较合理的方式，即
这样无论是男生还是女生，每个学生被抽到的概率都相等.当总样本量为50时，可以计算出从男生、女生中分别应抽取的人数为:
分层抽样
每一层抽取的样本数=
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样（stratified random sampling），每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
×总样本量
归纳总结
1.分层抽样的步骤
【提示】　(1)分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的；
(2)分成的各层互不交叉；
(3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量．
2.分层抽样的特点有哪些？
分层随机抽样的平均数
１.在简单随机抽样中如何估计总体平均数？
２.那么在分层随机抽样中如何估计总体平均数呢？
是否也可以直接用样本平均数进行估计？
分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数
概念解析
第1层的总体平均数和样本平均数为:
第2层的总体平均数和样本平均数为:
总体平均数和样本平均数为:
由于用第一层的样本平均数 可以估计第１层的总体平均数 ，第二层的样本平均数 　可以估计第2层的总体平均数 ,因此我们可以用
估计总体平均数
对各层样本平均数加权（层权）求和
分层随机抽样如何估计总体平均数
在比例分配的分层随机中抽样中
典例分析
例1：下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是( 　　)
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C．从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
题型一 分层抽样的概念
【解答】解：A ．总体容量比较少，使用简单抽样即可，
B ．总体容量较多，样本差异比较明显，使用分层抽样，
C ， D ，总体容量较多，差异不明显，可以使用系统抽样，
故选：B ．
变式训练
三种不同的容器中分别装有同一型号的零件个数分别为400，200，150，现在要从这750个零件中抽取一个容量为50的样本，则应该采用的抽样方法是( 　　)
A．抽签法 B．随机数表法
C．系统抽样 D．分层抽样
【解答】解：所述问题的总体中的个体具有明显差异，即出现了3个阶层，
∴适宜用分层抽样法获取样本．
故选：D ．
解题技巧
分层抽样的依据
(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．
(2)样本能更充分地反映总体的情况．
(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．
典例分析
题型二 分层抽样中各层样本容量的计算
例2.一工厂生产了某种产品18000件，它们来自甲、乙、丙3个车间，现采用分层抽样的方法对这批产品进行抽样检查．已知从甲、乙、丙3个车间依次抽取产品的件数恰好组成一个等差数列，则这批产品中乙车间生产的产品件数是( 　　)
A．9000 B．4500 C．3000 D．6000
【解答】解：根据题意，从甲、乙、丙3个车间抽取产品的件数恰好组成一个等差数列，
设3个车间的产品数分别为 、 、 ，
则 ，
，
故选： ．
变式训练
某校高中共有900名学生，其中高一年级400人，高二年级200人，高三年级300人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为( 　　)
A．15，5，25 B．15，15，15
C．30，5，10 D．20，10，15
【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为 ，
则在高一年级抽取的人数是 人，高二年级抽取的人数是 人，
高三年级抽取的人数是 人，
故选： ．
解题技巧
分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法
典例分析
题型三 分层抽样的应用
例3.在2014“双11购物节”到来之际，某公司对员工在当天的网购计划进行了调查，数据绘成表格如下：
计划购物情况 没有计划购物 计划购物1000元以内（不含1000元） 计划购物1000元以上（含1000元）
所占比例
若公司准备采用分成抽样的方式抽取其中的若干人进行座谈，已知每位员工被抽到的概率均为 ，且“计划购物1000元以上”者抽取的人数为4人，则该公司员工总数为 　　
A．100 B．200 C．300 D．600
【解答】解：根据题意得，
，
解得 ；
“计划购物1000元以上”者抽取的人数为4人，
样本容量为 ；
又每位员工被抽到的概率均为 ，
该公司员工总数为 ．
故选： ．
变式训练
有A 、 A 、 C 三种零件，分别为a 个、300个、200个，现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，C 种零件被抽取10个，则此三种零件共有( 　　)
A．900个 B．800个 C．600个 D．700个
【解答】解：设三种零件共有 个，
由分层抽样的定义得 ，解得 ，
故选： ．
解题技巧
分层抽样注意事项
(1)分层抽样实质是利用已知信息尽量使样本结构与总体结构相似．在实际操作时，并不排斥与其他抽样方法联合使用．
(2)在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比．
1．一个工厂生产某种产品27000件，它们来自于甲、乙、丙三条生产线，现采取分层抽样的方法对此批产品进行检测，已知从甲、乙、丙三条生产线依次抽取的个数恰成等差数列，则乙生产线共生产了(　　)件．
A．300 B．13500 C．600 D．9000
【解答】解：设甲、乙、丙3条生产线生产的产品数分别为x、y、z，则由题意可得2y=x+z．
再由x+y+z=27000可得y=9000，即这批产品中乙生产线的产品数量是9000，
故选：D．
课堂检测
2．某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中应抽学生人数是(　　)
A．300 B．200 C．150 D．100
【解答】解；高中生共有9000人，抽取900，抽取比例为900/9000=1/10，
故A类学校中应抽学生2000×1/10=200人．
故选：B．
3．有A、B、C三种零件，分别为a个、300个、200个，现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，C种零件被抽取10个，则此三种零件共有(　　)
A．900个 B．800个 C．600个 D．700个
【解答】解：设三种零件共有x个，
由分层抽样的定义得10/45=200/x，解得x=900，
故选：A．
4．某地区300家商店中，有大型商店30家，中型商店75家，其余的为小型商店，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为40的样本．若采用分层抽样的方法，则抽取的中型商店数是(　　)
A．4 B．5 C．10 D．26
【解答】解：根据分层抽样的定义可得抽取的中型商店数为75/300×40=10，
故选：C．
5．一批热水器共有98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样从中抽出一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽得的热水器的台数是　 　．
【解答】解：∵一批热水器共有98台，用分层抽样从中抽出一个容量为14的样本，
∴每个个体被抽到的概率是14/98=1/7，
∵甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，
∴甲、乙两厂各抽得的热水器的台数是56×1/7=8，42×1/7=6，
故答案为：8、6.
6．某单位共有N个职工，要从N个职工中采用分层抽样法抽取n个样本，已知该单位的某一部门有M个员工，那么从这一部门中抽取的职工数为　　．
【解答】解：从个职工中采用分层抽样法抽取个样本，
每个个体被抽到的概率是，
当一个部门有人时要抽取个，
故答案为：．
7．一所中学有高一、高二、高三学生共1600名，其中高三学生400名．如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个160人的样本，那么应当从高三年级的学生中抽取的人数是　 　．
【解答】解：
故答案是40.
8．已知某校的初中学生人数、高中学生人数、教师人数之比为，若教师人数为120人，现在用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本进行调查，若应从高中学生中抽取60人，则　 　．
【解答】解：高中学生人数所占比例为，故样本容量为
故答案为：148.
9．在100个产品中一等品20个，二等品30个，三等品50个，用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本．
（1）简述抽样过程；
（2）证明：用这种抽样方法可使总体中每个个体被抽到的概率相等．
【解答】（1）解：先将产品按等级分成三层，第一层：一等品20个，第二层：二等品30个，
第三层：三等品50个，然后确定每一层抽取样的品数．因为．
，，．
所以在第一层中抽取4个，第二层中抽取6个，第三层中抽取10个，
最后用简单随机抽样方法在第一层中抽4个，在第二层中抽6个，在第三层中抽10个．
（2）证明：一等品被抽到的概率为，二等品被抽到的概率为，
三等品被抽到的概率为，即每个个体被抽到的概率相等．
10．某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3000名初中生、4000名高中生中作问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估．
（1）应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？
（2）要从3000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？
（3）为了从4000份高中生的答卷中抽取一个容量为64的样本，如何使用系统抽样抽取到所需的样本？
【解答】解：（1）由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样．
因为样本容量，总体个数，则抽样比：，所以有，，，所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64．
分层抽样的步骤是：
①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层．
②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64．
③各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取样本．
④综合每层抽样，组成样本．
这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论．
（2）由于简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数法．
如果用抽签法，要作3000个号签，费时费力，因此采用随机数表法抽取样本，步骤是：
①编号：将3000份答卷都编上号码：0001，0002，0003，…，3000．
②在随机数表上用抽签法选取一个起始位置．
③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，如果读取的4位数大于3000，则去掉，如果遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止．
（3）由于4000÷64=62.5不是整数，则应先使用简单随机抽样从4000名学生中随机剔除32个个体，再将剩余的3968个个体进行编号：1，2，3968，然后将整体分为64个部分，其中每个部分中含有62个个体，如第1部分个体的编号为1，2，62．从中随机抽取一个号码，如若抽取的是23，则从第23号开始，每隔62个抽取一个，这样得到容量为64的样本：23，85，147，209，271，333，395，457，3929．
3、分层随机抽样中如何用样本估计总体平均值。
1、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：
（1）分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠。
（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样。
（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样的方法进行抽样。
2、分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。
课堂小结
1.课本184页练习
2.课本习题9.1的5、7题.
作业布置

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