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第10章 概率
人教A版2019必修第二册
10.1.4 概率的基本性质
学习目标

1. 理解概率的基本性质，培养学生数学抽象的核心素养；
2. 掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题，培养学生数学抽象、数学逻辑的核心素养。
新知导入
甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3.
【问题】　甲获胜的概率是多少？
【提示】　甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，
两人下成平局的概率是0.3，
则甲胜的概率是p＝0.6－0.3＝0.3.
一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质.例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用.类似地，在给出了概念的定义后，我们来研究概率的基本性质.
思考1：你认为可以从哪些角度研究概率的性质？
下面我们从定义出发研究概率的性质，例如：概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系；等等.
由概率的定义可知：
任何事件的概率都是非负的；
在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生.
一般地，概率有如下性质：
性质1：对任意的事件????，都有????(????)≥0.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即????(????)=1，????(?)=0.
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在“事件的关系和运算”中我们研究过事件之间的某些关系.具有这些关系的事件，它们的概率之间会有什么关系呢？
问题1：设事件????与事件????互斥，和事件????∪????的概率与事件????，????的概率之间具有怎样的关系？
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我们先来看10.1.2节例6.在例6中，事件????=“两次都摸到红球”与事件????=“两次都摸到绿球”互斥，????∪????=“两次摸到的球颜色相同”.
因为????(????)=2，????(????)=2，????(????∪????)=2+2=4，
所以????(????)=????(????)=212，????(????∪????)=412.
因此，????(????∪????)=2+212=????(????)+????(????).
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一般地，因为事件????与事件????互斥，即????与????不含有相同的样本点，所以????(????∪????)=????(????)+????(????)，这等价于????(????∪????)=????(????)+????(????)，即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和.所以我们有互斥事件的概率加法公式：
性质3：如果事件????与事件????互斥，那么????(????∪????)=????(????)+????(????).
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互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况.如果事件????1，????2，…，????????两两互斥，那么事件????1∪????2∪…∪????????发生的概率等于这????个事件分别发生的概率之和，即
????(????1∪????2∪…∪????????)=????(????1)+????(????2)+…+????(????????).
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问题2：设事件????与事件????互为对立事件，它们的概率有什么关系？
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因为事件????与事件????互为对立事件，所以和事件????∪????为必然事件，
即????(????∪????)=1.由性质3，得1=????(????∪????)=????(????)+????(????).
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由此我们得到
性质4： 如果事件????与事件????互为对立事件,那么????(????)=1?????(????)，
????(????)=1?????(????).
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在古典概型中，对于事件????与事件????，如果?????????，那么????(????)≤????(????).于是
????(????)????(????)≤????(????)????(????)，即????(????)≤????(????).
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一般地，对于事件????与事件????，如果?????????，即事件????发生，则事件????一定发生，那么事件????的概率不超过事件????的概率.于是我们有概率的单调性：
性质5：如果?????????，那么????(????)≤????(????).
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由性质5可得，对于任意事件????，因为???????????，所以0≤????(????)≤1.
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思考2：在10.2.1节例6的摸球试验中，“两个球中有红球”=????1∪????2，那么????(????1∪????2)和????(????1)+????(????2)相等吗？如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算????(????1∪????2).
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因为????(????)=12，????(????1)=????(????2)=6，????(????1∪????2)=10，所以????(????1)=????(????2)=612，????(????1∪????2)=1012.因此????(????1∪????2)≠????(????1)+????(????2).
这是因为????1∩????2={(1,2),(2,1)}≠?，即事件????1，????2不是互斥的.容易得到，
????(????1∪????2)=????(????1)+????(????2)?????(????1∩????2).
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一般地，我们有如下的性质：
性质6：设????，????是一个随机事件中的两个事件，我们有
????(????∪????)=????(????)+????(????)?????(????∩????).
?
显然，性质3是性质6的特殊情况.利用上述概念的性质，可以简化概率的计算.
解：(1) 因为C=A∪B，且A与B是互斥事件. 根据互斥事件的概率加法公式，得
例11 从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)= ，那么
(1) 设C=“抽到红花色”，求P(C)；
(2) 设D=“抽到黑花色”，求P(D).
P(C)=P(A)+P(B)
(2) 因为C与D互斥，且C∪D是必然事件，所以C与D互为对立事件. 因此
P(D)=1-P(C)
例12 为了推广一 种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动: 将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料. 若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少?
因为A1A2、 、 两两互斥，所以
P(A)=P(A1A2)+P( )+P( ).
2×1=2
2×4=8
可能结果数
不中奖
中奖
4×2=8
4×3=12
不中奖
中奖
中奖
不中奖
2
4
1
4
2
3
第一罐
第二罐
借助树状图来求相应事件的样本点数.
解1：设事件A=“中奖”，事件A1=“第一罐中奖”，事件A2=“第二罐中奖”，那么事件AlA2=“两罐都中奖”， =“第一罐中奖, 第二罐不中奖”, =“第一罐不中奖, 第二罐中奖”，且A=A1A2∪ ∪ .
因为n(A1A2)=2, n( )=8, n( )=8，
可以得到，n(Ω)=6×5=30.
P(A)=
所以
所以从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为
思考：你还有另外方法求解此题吗？
事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”.
由于 =“两罐都不中奖”，而n( )=4×3=12，
所以P(A)=
1-P( )=
正难则反
此解法说明什么？
解2：
例12 为了推广一 种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动: 将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料. 若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少?
所以从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为
解3：设不中奖的4罐记为1, 2, 3, 4, 中奖的2罐记为a, b，随机抽2罐中有一罐中奖，就表示能中奖，其样本空间为：
(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, a)，(1, b)，
(2, 3)，(2, 4)，(2, a)，(2, b)，
(3, 4)，(3, a)，(3, b)，
(4, a)，(4, b)，
(a, b).
共15个样本点. 而中奖的样本点有9个，所以
能中奖的概率 P=9/15 =0.6.
例12 为了推广一 种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动: 将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料. 若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少?
上述解法没有考虑顺序，其结果是一样的.
易错分析
不能区分事件是否互斥而做错
坑①
抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面出现1，2，3，4，5，6的概率都是六分之一，记事件A为“出现奇数点”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A∪B)
P(A∪B)=P(A)+P(B)= 16×3+16×3=1
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记事件“出现1点” “出现2点” “出现3点” “出现5点”分别为M,N,P,Q，由题意可知这4个事件彼此互斥.
错解中认为事件A和事件B是互斥事件，所以得出P(A∪B)=1
所以P(A∪B)=P(M)+P(N)+P(P)+P(Q)= 16×4=23
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某战士射击一次，击中环数大于7的概率是0.6，击中环数是6或7或8的概率相等，且和为0.3，求该战士射击一次击中环数大于5的概率.
记“击中6环”为事件A，“击中7环”为事件B，“击中7环以上”位事件C，事件A，B，C彼此互斥，且易知P(A)=P(B)=0.3÷3=0.1，P(C)=0.6，记“击中5环以上”为事件D，故P(D)=P(A∪B∪C)=0.1+0.1+0.6=0.8
对立事件的概率公式使用错误
坑②
某商店月收入(单位：元)在下列范围内的概率如表所示：
记这个商店月收入在[1000,1500), [1500,2000), [2000,2500), [2500,3000)元范围内的事件分别为A,B,C,D，因为A,B,C,D互斥，且P(A)+P(B)+P(C)+P(D),
所以P(B∪C∪D)=0.67-P(A)=0.55
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}月收入
[1000,1500)
[1500,2000)
[2000,2500)
[2500,3000)
概率
0.12
????
????
0.14
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}月收入
[1000,1500)
[1500,2000)
[2000,2500)
[2500,3000)
概率
0.12
0.14
已知月收入在[1000,3000)元范围内的概率为0.67，求月收入在[1500,3000)元范围内的概率
宋老师和小黄豆下棋，和棋的概率是 0.5，小黄豆获胜的概率是0.3，求：
(1)宋老师获胜的概率 (2)宋老师不输的概率
(1)“宋老师获胜”可看做是“和棋”或“小黄豆获胜”的对立事件，所以宋老师获胜的概率为1-0.5-0.3=0.2
(2)“宋老师不输”可看做是“和棋”或“宋老师获胜”这两个互斥事件的和事件，所以宋老师获胜的概率0.5+0.2=0.7
课堂练习
1.已知P(A)=0.5，P(B)=0.3.
(1) 如果B?A，那么P(A∪B)=_____ ，P(AB)=______ ;
(2) 如果A, B互斥，那么P(A∪B)=_____ ，P(AB)=_____.
0.5
0.3
0.8
0
2.指出下列表述中的错误:
(1) 某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率为0.5;
(2) 如果事件A与事件B互斥，那么一定有P(A)+P(B)=1.
解：(1) 因为明天下雨与明天不下雨是对立事件, 且明天下雨的概率为0.4, 所以明天不下雨的概率为0.6.
(2) 因为事件A与事件B互斥，但不一定不对立，所以不一定有P(A)+P(B)=1.
3. 在学校运动会开幕式上，100 名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别
(M (男)、F (女) )及年级(G1 (高一)、G2(高二)、G3(高三))分类统计的人数如下表:
若从这100名学生中随机选一名学生， 求下列概率:
P(M) =______，
P(F) =______，
P(M∪F) =______，
P(MF) =______，
P(G1) = ______，
P(M∪G2) =_______，
P(FG3) =______.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
G1
G2
G3
M
18
20
14
F
17
24
7
0.52
0.48
1
0
0.35
0.76
0.07
随堂检测
1.在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：
计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率：
(1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18).
【解】记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥.
(1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.
所以年最高水位(单位：m)在[10，16)，[8，12)，[14，18)的概率分别为0.82，0.38，0.24.
2.甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求：
(1)甲获胜的概率；
(2)甲不输的概率.
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解　(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率p＝1－12－13＝16.
即甲获胜的概率是16.
(2)法一　设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝16＋12＝23.
法二　设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－13＝23.
即甲不输的概率是 23.
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3.一个盒子里有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
【解析】(1)由题意知，(a，b，c)所有的可能结果为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．所以P(A)＝327＝19.即“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为 19.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B的对立事件包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P(B)＝1－327＝89.
即“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为 89.
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课堂小结：
性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
P(Ω)=1，P(?)=0.
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么
P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 即P(A)+P(B)=1.
性质5 如果A?B，那么P(A)≤P(B).
性质6 设A、B是一个随机试验中的两个事件，则有
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).(或P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).)
推论 如果事件A1, A2, …, Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即
P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
对任意事件A，有P(A)∈[0,1].

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