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高考二轮直线与圆专项训练
（原卷+答案）
考点一　直线的方程——活选方程，注意斜率
1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
2．三种距离公式
(1)两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离：|AB|＝.
(2)点到直线的距离：d＝(其中点P(x0，y0)，直线的方程为Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0))．
(3)两平行线间的距离：d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不全为0))．
[例1]　(1)[数学文化]我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为(　　)
A．x＋(－1)y－＝0 B．(1－)x－y＋＝0
C.x－(＋1)y＋＝0 D．(－1)x－y＋＝0
(2)[一题多解]已知两条直线l1：(m－2)x＋3y＋1＝0，l2：x＋my＋1＝0平行，则m＝(　　)
A. 3 B．－1
C. 1或－1 D．3或－1
(3)[一题多解]已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为____________．
[听课记录]
[考查知识]　(1)以数学文化为背景考查直线方程的相关知识；(2)两条直线的位置关系的判断与应用；(3)直线的交点、点到直线距离等．
[核心素养]　直观想象，逻辑推理，数学运算．
归纳总结
求解直线方程的两种方法
直接法 根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．
待定 系数法 ①设出所求直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式或一般式)； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程．
2.利用直线的一般方程判断位置关系
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论．
[拓展训练1]　(变条件)若例1(2)中将“平行”变为“垂直”，则m的值为____________．
[拓展训练2]　(变问题)若例1(2)中条件不变，求l1与l2之间的距离为____________．
[拓展训练3]　(变问题)若例1(3)中将“点P(0，4)到直线l的距离为2”变为“点P(0，4)到直线l的距离的最大值为____________．”
对点训练
1.[2021·河南郑州模拟]数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点B(－1，0)，C(0，2)，AB＝AC，则△ABC的欧拉线方程为(　　)
A．2x－4y－3＝0 B．2x＋4y＋3＝0
C．4x－2y－3＝0 D．2x＋4y－3＝0
2．[2021·福建泉州模拟]设点A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|＝|PB|.若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　)
A．x＋y＋5＝0 B．2x－y－1＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x＋y－7＝0
考点二　圆的方程——“几何”、“代数”巧选取
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以为圆心，为半径的圆．
[例2]　(1)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________________________________________________________________________；
(2)已知圆心在直线x－y－1＝0上的圆与y轴的两个交点的坐标分别为(0，4)，(0，－2)，则该圆的方程为____________________．
[听课记录]
[考查知识]　(1)抛物线的几何性质和圆的标准方程；
(2)直线与圆相交的性质．
[核心素养]　直观想象，数学运算．
归纳总结
圆的方程的求法
(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程；
(2)代数法，用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程．一般采用待定系数法.
对点训练
1.若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．
C．(－2，0) D．
2．已知圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，则圆C关于直线y＝－x－4对称的圆的方程是(　　)
A．(x＋4)2＋(y＋6)2＝1
B．(x＋6)2＋(y＋4)2＝1
C．(x＋5)2＋(y＋7)2＝1
D．(x＋7)2＋(y＋5)2＝1
3．已知圆C的圆心在y轴上，点M(3，0)在圆C上，且直线2x－y－1＝0经过线段CM的中点，则圆C的标准方程是(　　)
A．x2＋(y－3)2＝18 B．x2＋(y＋3)2＝18
C．x2＋(y－4)2＝25 D．x2＋(y＋4)2＝25
考点三　直线(圆)与圆的位置关系——紧扣“距离”与“半径”
1．直线与圆的位置关系判定
(1)代数法．将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0 相交；Δ＝0 相切；Δ＜0 相离；
(2)几何法．把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d＜r 相交；d＝r 相切；d＞r 相离．
2．圆与圆的位置关系判定
(1)d＞r1＋r2 两圆外离；
(2)d＝r1＋r2 两圆外切；
(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2 两圆相交；
(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2) 两圆内切；
(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2) 两圆内含．
[例3]　(1)[一题多解]已知圆C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝5与圆C2相交于A(0，2)，B(－1，1)两点，且四边形C1AC2B为平行四边形，则圆C2的方程为(　　)
A．(x－1)2＋y2＝5
B．(x－1)2＋y2＝
C.＋＝5
D．＋＝
(2)[一题多解][2020·全国卷Ⅲ]若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为(　　)
A．y＝2x＋1　　　B．y＝2x＋
C．y＝x＋1 D．y＝x＋
(3)[一题多解](数学文化)阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则|PA|2＋|PB|2的最小值为(　　)
A．36－24 B．48－24
C．36 D．24
[考查知识]　(1)圆与圆的位置关系；(2)直线与圆的位置关系；(3)以数学文化为背景考查轨迹方程的求法．
[核心素养]　数学运算，直观想象，逻辑推理．
归纳总结
求解圆的弦长的三种方法
关系法 根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)
公式法 根据公式l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标， k为直线的斜率)
距离法 联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解
2.与圆的切线有关的结论
(1)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)外一点P(x0，y0)引圆的切线，切点为T，则切线长为|PT|＝.
(3)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)外一点P(x0，y0)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
对点训练
1.[一题多解][2020·浙江卷]已知直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝________，b＝________．
2．已知圆C经过点A(0，2)，B(2，0)，圆C的圆心在圆x2＋y2＝2的内部，且直线3x＋4y＋5＝0被圆C所截得的弦长为2，点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N.
(1)求圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋1与圆C交于A1，A2两点，求·.
参考答案
考点一
[例1]　
解析：(1)如图所示，可知A(，0)，B(1，1)，C(0，)，D(－1，1)，所以直线AB，BC，CD的方程分别为y＝·(x－)，y＝(1－)x＋，
y＝(－1)x＋.
整理为一般式即
x＋(－1)y－＝0，
(1－)x－y＋＝0，
(－1)x－y＋＝0.故选C.
(2)方法一　当m＝0时，l1与l2相交；当m≠0时，已知两条直线l1：(m－2)x＋3y＋1＝0，l2：x＋my＋1＝0平行，
所以＝≠，求得m＝－1.
方法二　若两直线平行，则
即
解得：m＝－1.故选B.
(3)方法一　由得
所以直线l1与l2的交点为(1，2)，
显然直线x＝1不符合，即所求直线的斜率存在，
设所求直线的方程为y－2＝k(x－1)，
即kx－y＋2－k＝0，
因为点P(0，4)到直线l的距离为2，
所以＝2，所以k＝0或k＝.
所以直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.
方法二　设直线l的方程为2x＋3y－8＋λ(x－2y＋3)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－2λ)y＋3λ－8＝0.
依题意＝2，
解得λ＝或λ＝－2，
所以直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.
答案：(1)C　(2)B　(3)y＝2或4x－3y＋2＝0
[拓展训练1]　解析：因为l1⊥l2，所以m－2＋3m＝0，解得m＝.
答案：
[拓展训练2]　解析：由l1∥l2，解得m＝－1，所以l1与l2的方程分别为l1：－3x＋3y＋1＝0，
l2：x－y＋1＝0，即－3x＋3y－3＝0，故l1与l2的距离
d＝＝.
答案：
[拓展训练3]　解析：由例1(3)解析知l1与l2的交点为A(1，2)，过点A作一直线l，设d为点P到直线l的距离，则d≤|AP|(当l⊥AP时等号成立)，所以dmax＝|AP|＝＝.
答案：
对点训练
1．解析：易知线段BC的中点坐标为，线段BC所在直线的斜率kBC＝＝2，则线段BC的垂直平分线的方程为y－1＝－，即2x＋4y－3＝0.因为AB＝AC，所以△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上，即△ABC的欧拉线方程为2x＋4y－3＝0.故选D.
答案：D
2．解析：因为点P在直线PA上，且点P的横坐标为3，所以3－y＋1＝0，解得y＝4.所以点P的坐标为(3，4)．因为直线PA的方程为x－y＋1＝0，点A在x轴上，所以点A的坐标为(－1，0)．又|PA|＝|PB|，点A，B是x轴上的两点，所以点A，B关于直线x＝3对称，所以点B的坐标为(7，0)，所以kPB＝＝－1，所以直线PB的方程为y－0＝－1×(x－7)，即x＋y－7＝0.故选D.
答案：D
考点二
[例2]　解析：(1)因为抛物线的标准方程为y2＝4x，所以焦点F(1，0)，准线l的方程为x＝－1，所求的圆以F为圆心，且与准线l相切，故圆的半径r＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.
(2)因为圆与y轴的两个交点的坐标分别为(0，4)，(0，－2)，
所以圆心在点(0，4)，(0，－2)连线的垂直平分线y＝1上，
又因为圆心在直线x－y－1＝0上，
所以由得圆心的坐标为(2，1)，圆的半径为＝，
所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝13.
答案：(1)(x－1)2＋y2＝4　(2)(x－2)2＋(y－1)2＝13
对点训练
1．解析：若方程表示圆，则a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，化简得3a2＋4a－4<0，
解得－2答案：D
2．解析：设所求圆的圆心为C′(a，b)．圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，故其圆心为(2，0)，半径r＝1.因为C与C′关于直线y＝－x－4对称，所以解得则所求圆的圆心为(－4，－6)，半径r′＝1，其方程为(x＋4)2＋(y＋6)2＝1，故选A.
答案：A
3．解析：设圆C的圆心坐标为(0，b)，
则线段CM的中点坐标为，
因为直线2x－y－1＝0经过线段CM的中点，
所以2×－1＝0，解得b＝4，
所以圆C的圆心坐标为(0，4)，
半径r＝|CM|＝＝5，
所以圆C的标准方程是x2＋(y－4)2＝25，
故选C.
答案：C
考点三
[例3]　解析：(1)方法一　设圆C2的圆心坐标为(a，b)，连接AB，C1C2(图略)．因为C1(－2，3)，A(0，2)，B(－1，1)，所以|AC1|＝|BC1|＝，所以平行四边形C1AC2B为菱形，所以C1C2⊥AB且|AC2|＝.
可得解得或
则圆心C2的坐标为(1，0)或(－2，3)(舍去)．
因为圆C2的半径为，所以圆C2的方程为(x－1)2＋y2＝5.
方法二　由题意可知，平行四边形C1AC2B为菱形，则|C2A|＝|C1A|＝＝，即圆C2的半径为，排除B，D；将点A(0，2)代入选项A，C，显然选项A符合．故选A.
(2)方法一(直接计算法)：由题可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l为y＝kx＋m，直线l与曲线y＝的切点为A(x0，y0)．由导数的几何意义可知＝k，即＝，点A既在直线l上，又在曲线y＝上，∴∴kx0＋m＝，即k·＋m＝，化简可得m＝，又∵直线l与圆x2＋y2＝相切，∴＝，将m＝代入化简得16k4＋16k2－5＝0，解得k2＝或k2＝－(舍去)．∵y＝的图象在第一象限，∴k>0，∴k＝，∴m＝，∴l的方程为y＝x＋.故选D.
方法二(选项分析法)：由选项知直线l的斜率为2或，不妨假设为2，设直线l与曲线y＝的切点为P(x0，y0)，则＝2.解得x0＝，则y0＝，即P，显然点P在圆x2＋y2＝内，不符合题意，所以直线l的斜率为，又直线l与圆x2＋y2＝相切，所以只有D项符合题意，故选D.
(3)以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，0)，B(1，0)．
设P(x，y)因为＝，所以＝，
两边平方并整理，得x2＋y2－6x＋1＝0，即(x－3)2＋y2＝8.
所以点P的轨迹是以(3，0)为圆心，2为半径的圆，则＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2)＋2.
方法一　因为x2＋y2－6x＋1＝0，所以|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋6x－1－x2)＋2＝12x.
由y2＝8－(x－3)2≥0，得3－2≤x≤3＋2.
所以36－24≤12x≤36＋24，
由此可知|PA|2＋|PB|2的最小值为36－24.
方法二　由(x－3)2＋y2＝8，可设(θ∈[0，2π))，
则|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2＝2[(2cos θ＋3)2＋(2sin θ)2]＋2＝24cos θ＋36.
因为θ∈[0，2π)，所以－1≤cos θ≤1，所以36－24≤24cos θ＋36≤36＋24，
由此可知|PA|2＋|PB|2的最小值为36－24.
答案：(1)A　(2)D　(3)A
对点训练
1．解析：方法一　因为直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1，圆(x－4)2＋y2＝1都相切，所以＝＝1，得k＝，b＝－.
方法二　因为直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1，圆(x－4)2＋y2＝1都相切，所以直线y＝kx＋b必过两圆心连线的中点(2，0)，所以2k＋b＝0.设直线y＝kx＋b的倾斜角为θ，则sin θ＝，又k>0，所以θ＝，所以k＝tan ＝，b＝－2k＝－.
答案：　－
2．解析：(1)易知圆心C在线段AB的中垂线y＝x上，故可设C(a，a)，圆C的半径为r，因为直线3x＋4y＋5＝0被圆C所截得的弦长为2，且r＝，
所以C(a，a)到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝＝＝.
所以a＝0或a＝170.
又圆C的圆心在圆x2＋y2＝2的内部，
所以a＝0，此时r＝2，所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)将y＝x＋1代入x2＋y2＝4得2x2＋2x－3＝0.
设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，
则x1＋x2＝－1，x1x2＝－.
所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(x1＋1)(x2＋1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋5＝－3＋1＋5＝3.

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