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第9天 探索规律问题
探究规律型问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，各种题型都有可能出现，一般以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、形变化规律、点的坐标规律等。基本解题思路:从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。探索规律题可以说是每年中考的必考题，预计2023年中考数学中仍会作为选择题或填空题的压轴题来考察。所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的。
预测分值：3分左右 难度指数：★★★ 必考指数：★★★★★
1)从简单的情况入手: 从简单的情况入手:求出前三到四个结果，探究其规律，通过归纳猜想总结正确答案二.新定义型问题一般与代数、坐标、函数知识结合较多，常见的命题背景有:杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。 2)关注问题中的不变量和变量: 在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量(也就是常量)，我们要多关注变量，看看这些变量是如何变化的，仔细观察变量的变化与序号(一般为n)之间的关系，我们找到这个关系就找到了规律所在。 3)掌握一些数学思想方法 规探索律型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律，它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空、选择或解答.
一．选择题
1．（2022 内蒙古）观察下列等式：，，，，，，，根据其中的规律可得的结果的个位数字是　　
A．0 B．1 C．7 D．8
2．（2022 济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是　　
A．297 B．301 C．303 D．400
3．（2022 西藏）按一定规律排列的一组数据：，，，，，，．则按此规律排列的第10个数是　　
A． B． C． D．
4．（2022 烟台）如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为　　
A． B． C． D．
5．（2022 新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是　　
A．98 B．100 C．102 D．104
6．（2022 江西）将字母“”，“ ”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“”的个数是　　
A．9 B．10 C．11 D．12
7．（2022 云南）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是　　
A． B． C． D．
8．（2022 重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为　　
A．32 B．34 C．37 D．41
9．（2022 重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为　　
A．15 B．13 C．11 D．9
10．（2022 武汉）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是　　
A． B． C． D．
11．（2022 威海）图1是光的反射规律示意图．其中，是入射光线，是反射光线，法线，是入射角，是反射角，．图2中，光线自点射入，经镜面反射后经过的点是　　
A．点 B．点 C．点 D．点
二．填空题
12．（2022 鄂尔多斯）按一定规律排列的数据依次为，，，按此规律排列，则第30个数是 　　．
13．（2022 南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间的函数关系是，当飞行时间为 　　时，小球达到最高点．
14．（2022 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点，，，在轴上且，，，按此规律，过点，，，作轴的垂线分别与直线交于点，，，记△，△，△，△的面积分别为，，，则　　．
15．（2022 齐齐哈尔）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点，，按照如此规律操作下去，则点的纵坐标是 　　．
16．（2022 锦州）如图，为射线上一点，为射线上一点，，，．以为边在其右侧作菱形，且，与射线交于点，得△；延长交射线于点，以为边在其右侧作菱形，且，与射线交于点，得△；延长交射线于点，以为边在其右侧作菱形，且，与射线交于点，得△；，按此规律进行下去，则△的面积为 　　．
17．（2022 青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料 　　根．
18．（2022 聊城）如图，线段，以为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为 　　．
19．（2022 恩施州）观察下列一组数：2，，，，它们按一定规律排列，第个数记为，且满足．则　　，　　．
20．（2022 大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是 　　．
21．（2022 绥化）如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使按照此规律，线段的长为 　　．
22．（2022 宿迁）按规律排列的单项式：，，，，，，则第20个单项式是 　　．
23．（2022 怀化）正偶数2，4，6，8，10，，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 　　．
24．（2022 泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示6，则表示99的有序数对是 　　．
25．（2022 黑龙江）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有 　　．
三．解答题
26．（2022 青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：
如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，，分别是底边．求证：；
（2）解决问题：
如图2，若和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系并说明理由．
27．（2022 湘潭）在中，，，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、．
（1）特例体验：如图①，若直线，，分别求出线段、和的长；
（2）规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线从图①状态开始绕点旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；
（Ⅱ）如图③，若直线从图①状态开始绕点顺时针旋转，与线段相交于点，请再探线段、和的数量关系并说明理由；
（3）尝试应用：在图③中，延长线段交线段于点，若，，求．
28．（2022 舟山）观察下面的等式：，，，
（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）．
（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
29．（2022 安徽）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　　；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
一．选择题
1．（2023 文山州一模）计算3的正数次幂，，，，，，，，观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是　　
A．1 B．3 C．7 D．9
2．（2023 九龙坡区模拟）下列图形都是由同样大小的火柴按一定的规律组成，其中第①个图形有3根火柴，第②个图形一共有5根火柴，第③个图形一共有7根火柴，，则第⑦个图形中火柴的根数为　　
A．13 B．14 C．15 D．17
3．（2023 耿马县一模）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是　　
A． B． C． D．
4．（2023 西乡塘区一模）如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，推算第2022个图案中小五角星有　　
A．6066颗 B．6067颗 C．6068颗 D．6069颗
5．（2023 凤庆县一模）按一定规律排列的单项式：，，，，，，，第个单项式是　　
A． B．
C． D．
6．（2023 昆明模拟）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是　　
A． B． C． D．
7．（2023 巧家县一模）按一定规律排列的单项式：，，，，，第个单项式是　　
A． B． C． D．
8．（2023 昭通一模）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑩个图案中正方形的个数为　　
A．41 B．37 C．33 D．32
9．（2023 昭阳区模拟）按一定规律排列的单项式：
，，，，，，第个单项式是　　
A． B． C． D．
10．（2023 冠县一模）如图，在一个单位面积为1的方格纸上，△，△，△，是斜边在轴上，且斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形．若△的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，则的坐标是　　
A． B． C． D．
11．（2023 槐荫区一模）在平面直角坐标系中，正方形、、，按如图的方式放置．点、、在直线，点、、在轴上．抛物线过点、，且顶点在直线上，抛物线过点、，且顶点在直线上，按此规律，抛物线过点、，且顶点也在直线上．抛物线的顶点坐标为　　
A．， B．，
C．， D．，
12．（2023 驻马店模拟）在平面直角坐标系中，将若干个边长为2个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边OA1→A1A2→A2A3的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2023的坐标是（　　）
A．（2022，0） B．（2022，﹣） C．（2023，） D．（2023，﹣）
13．（2023 济宁一模）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续下去，则的值为　　
A． B． C． D．
14．（2022 大理州模拟）如图，为的中线，为△的中线，为△的中线按此规律，为△的中线．若的面积为，则△的面积为　　
A． B． C． D．
15．（2023 蚌山区模拟）有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖、皖、皖等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作　　
A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个
16．（2022秋 金水区期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别向左、右运动到点、点，此时称动点完成第一次跳跃，再分别从、点出发，每个点重复上边的运动，到达点、、，此时称动点完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点完成第2023次跳跃时，最左边第一个点的坐标是　　
A． B．，
C． D．，
17．（2023 歙县模拟）棱长为的小正方体按照如图所示的规律摆放，从上面看第100个图，得到的平面图形的面积为　　
A． B． C． D．
18．（2022 太原二模）孟德尔被誉为现代遗传学之父，他通过豌豆杂交实验，发现了遗传学的基本规律．如图，纯种高茎豌豆和纯种矮茎豌豆杂交，子一代都是高茎豌豆，子一代种子种下去，自花传粉，获得的子二代豌豆由、、三种遗传因子控制．由此可知，子二代豌豆中含遗传因子的概率是　　
A． B． C． D．
19．（2022 清苑区二模）嘉嘉用大小和形状都完全一样的正方形按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方形上写“城”字，寓意“众志成城，抗击疫情”．其中第（1）个图案中有1个正方形，第（2）个图案中有3个正方形，第（3）个图案中有6个正方形，按照此规律，从第个图案中随机抽取一个正方形，抽到带“城”字正方形的概率是　　
A． B． C． D．
二．填空题
20．（2023 台儿庄区模拟）按一定规律排列的一组数据：，，，，，，．则按此规律排列的第10个数是 　　．
21．（2023 东营区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为按此规律，则点的纵坐标为 　　．
22．（2023 佳木斯一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，在轴上且，，，，，按此规律，过点，，，，作轴的垂线分别与直线交于点，，，．连接，，，，记△，△，△，的面积分别为，，，，则　　．
23．（2023 立山区二模）如图，直线与轴交于点，点，，，在轴正半轴上且横坐标分别为2，4，6，，过作轴交直线于点，连接，，且，交于点；过作轴交直线于点，连接，，且，交于点；按照此规律进行下去，则的纵坐标为 　　．
24．（2023 临清市一模）如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以对角线为边作正方形，，依此规律，点的坐标是 　　．
25．（2023 市中区一模）如图，点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，，按这样的运动规律，经过第2023次运动后动点的坐标是 　　．
26．（2023 青秀区模拟）观察规律，，，，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点，、2、作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为 　　．
27．（2023 肇东市模拟）如图，点，点，点，点，按照这样的规律下去，点的坐标为 　　．
28．（2023 利津县一模）如图，在单位为1的方格纸上，△，△，△，，都是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形，若△的顶点坐标分别为，，．则依图中所示规律，的坐标为　　．
29．（2023 高青县一模）如图，在平面直角坐标系中，，，形状相同的抛物线，2，3，4，的顶点在直线上，其对称轴与轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，，根据上述规律，抛物线的顶点坐标为　　．
30．（2023 绥化一模）如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切按这样的规律进行下去，的边长为 　　．
31．（2023 聊城一模）如图，已知，以为直角边作△，并使，再以为直角边作△，并使，再以为直角边作△，并使，按此规律进行下去，则△的直角边的长为 　　．
32．（2023 美兰区一模）如图，是边长为1的等边三角形，分别取、边的中点、，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作，，照此规律作下去，则等于 　　．
33．（2023 泸县一模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；；按此规律，则的值为 　　．
34．（2022 莘县一模）某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启30秒后关闭，紧接着黄灯开启3秒后关闭，再紧接着绿灯开启17秒，按此规律选一下去．如果不考虑其他因素，一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是　　．
三．解答题
35．（2023 榆次区一模）阅读与思考
下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
年月日 里期六 关于完全平方式的思考 完全平方公式在代数式学习的过程中运用非常广泛．今天我在复习因式分解时也运用到了这一公式，并且我和同桌王华都有新的发现： 练习：将下列各式因式分解：①；②； 我的探索发现：观察以上两个多项式的系数，发现了如下规律：；若多项式是完全平方式，则系数，，之间存在的关系式为③； 王华的探索发现： 若多项式是完全平方式，也可以看作是一元二次方程根的情况为④时；还可以看作抛物线与轴有⑤个交点时． 数学真是魅力无穷！知识之间存在许多关联，平日我们要多探索与体会
任务：
（1）请补充完整小明的日记：①　　，②　　，③　　，④　　，⑤　　；
（2）解决问题：若多项式是一个完全平方式，利用以上结论求出的值；
（3）除因式分解外，初中数学还有许多知识的学习中也用到了完全平方公式，例如：用配方法解一元二次方程．请你再举出一例．
36．（2023 南谯区一模）分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
，，
，，
，，
（1）　　；
（2）用含是正整数）的等式表示上述面积变化规律：　　，　　；
（3）若一个三角形的面积是，则它是第　　个三角形；
（4）求出的值．
37．（2023 定远县一模）【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线，反射光线与平面镜所夹的锐角相等，即．
（1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？
（2）如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变．若入射光线与反射光线平行但方向相反，则两平面镜的夹角为多少度？
一．选择题
1．计算3的正整数次幂，，，，，，，，观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是　　
A．1 B．3 C．7 D．9
2．有一列数，按一定规律排成1，，9，，81，其中某三个相邻数的和是，那么这三个数中最小的一个是　　
A． B． C．729 D．
3．我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，，请你计算凸十边形对角线的总条数　　
A．54 B．44 C．35 D．27
二．填空题
4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、分别在，轴上，且．将正方形绕原点顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形，再将正方形绕原点顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形以此规律，得到正方形，则点的坐标为 　　．
三．解答题
5．观察下列一组算式的特征，并探索规律：
①；
②；
③；
④．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1）　　　　；
（2）　　；（用含的代数式表示）
（3）　　；
（4）简便计算：．
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：，，，，，，
的尾数1，7，9，3循环，
的个位数字是0，
，
的结果的个位数字与的个位数字相同，
的结果的个位数字是7，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：观察图形可知：
摆第1个图案需要4个圆点，即；
摆第2个图案需要7个圆点，即；
摆第3个图案需要10个圆点，即；
摆第4个图案需要13个圆点，即；
第个图摆放圆点的个数为：，
第100个图放圆点的个数为：．
故选：．
3．【答案】
【解答】解：原数据可转化为：，，，，，，，
，
，
，
．
第个数为：，
第10个数为：．
故选：．
4．【答案】
【解答】解：由题知，第1个正方形的边长，
根据勾股定理得，第2个正方形的边长，
根据勾股定理得，第3个正方形的边长，
根据勾股定理得，第4个正方形的边长，
根据勾股定理得，第5个正方形的边长，
根据勾股定理得，第6个正方形的边长．
故选．
5．【答案】
【解答】解：由三角形的数阵知，第行有个偶数，
则得出前9行有个偶数，
第9行最后一个数为90，
第10行第5个数是，
故选：．
6．【答案】
【解答】解：第1个图中的个数为4，
第2个图中的个数为，
第3个图中的个数为，
第4个图中的个数为，
故选：．
7．【答案】
【解答】解：单项式：，，，，，，
第个单项式为，
故选：．
8．【答案】
【解答】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，
第②个图案中有9个正方形，
第③个图案中有13个正方形，
第④个图案中有17个正方形，
，
第个图案中有个正方形，
第⑨个图案中正方形的个数为，
故选：．
9．【答案】
【解答】解：由图形知，第①个图案中有1个菱形，
第②个图案中有3个菱形，即，
第③个图案中有5个菱形即，
则第个图案中菱形有个，
第⑥个图案中有个菱形，
故选：．
10．【答案】
【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是平缓，稍陡，陡；即随着时间的变化，水面高度变化的快慢不同，与所给容器的底面积有关．则相应的排列顺序就为选项．
故选：．
11．【答案】
【解答】解：根据直线的性质补全图2并作出法线，如下图所示：
根据图形可以看出是反射光线，
故选：．
二．填空题
12．【答案】．
【解答】解：，，，，
第个数是，
当时，，
故答案为：．
13．【答案】2．
【解答】解：，
，
当时，有最大值，最大值为20，
故答案为：2．
14．【答案】．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
把代入直线中可得：，
，
把代入直线中可得：，
，
把代入直线中可得：，
，
把代入直线中可得：，
，
，
，
，
，
．
，
故答案为：．
15．【答案】．
【解答】解：与轴相交于点，与轴相交于点，
当时，，当时，，
，，
，，
，
，
，
，
，
轴，
，
，
同理可得，，
依此规律，可得，
当时，，
故答案为：．
16．【答案】．
【解答】解：过点作于点，连接，，，分别作，，，如图所示：
，
，
，
，，
，，
，
，
菱形，且，
△是等边三角形，
，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，解得：，
，
，
同理可得：，，
，
由上可得：，，
，
故答案为：．
17．【答案】．
【解答】解：由图可知：
第一个图形有木料1根，
第二个图形有木料（根，
第三个图形有木料（根，
第四个图形有木料（根，
．
第个图有木料（根，
故答案为：．
18．
【解答】解：，
，半圆①弧长为，
同理，半圆②弧长为，
，半圆③弧长为，
．
半圆⑧弧长为，
个小半圆的弧长之和为．
故答案为：．
19．【答案】，．
【解答】解：由题意可得：，，，
，
，
，
，
，
同理可求，
，
，
故答案为：，．
20．【答案】49．
【解答】解：由题意得：
第一个图案中的“”的个数是：，
第二个图案中的“”的个数是：，
第三个图案中的“”的个数是：，
．
第16个图案中的“”的个数是：，
故答案为：49．
21．【答案】．
【解答】解：由题意可得，
，
，
，
，
，
，
当时，，
故答案为：．
22．【答案】．
【解答】解：根据前几项可以得出规律，奇数项为正，偶数项为负，第项的数为，
则第20个单项式是，
故答案为：．
23．【答案】744．
【解答】解：由图可知，
第一行有1个数，
第二行有2个数，
第三行有3个数，
第行有个数．
前行共有个数．
前27行共有378个数，
第27行第21个数是一共378个数中的第372个数．
这些数都是正偶数，
第372个数为．
故答案为：744．
24．【答案】．
【解答】解：第行的最后一个数是，第行有个数，
在第10行倒数第二个，
第10行有：个数，
的有序数对是．
故答案为：．
25．【答案】485．
【解答】解：第一个图形正三角形的个数为5，
第二个图形正三角形的个数为，
第三个图形正三角形的个数为，
第四个图形正三角形的个数为，
第五个图形正三角形的个数为．
如果是第个图，则有个
故答案为：485．
三．解答题
26．【答案】（1）证明见解答过程；
（2），，理由见解答过程．
【解答】（1）证明：和是顶角相等的等腰三角形，
，，，
，即，
，
；
（2）解：，，理由如下：
如图：
和均为等腰直角三角形，
，，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
27．【答案】（1）；
（2）（Ⅰ）．理由见解答部分；
（Ⅱ）．理由见解答部分；
（3）．
【解答】解：（1）在中，，，
，
，
，，
，，
，，
，
，
；
（2）（Ⅰ）．理由如下：
在中，，
，
，
，
在和中，
，
；
，，
．
（Ⅱ）．理由如下：
在中，，
，
，
，
在和中，
，
；
，，
．
（3）由（2）可知，，
，
，
，
，，
，
．
．
．
28．【答案】（1）；
（2）推理说明见解答过程．
【解答】解：（1）观察规律可得：；
（2）
，
．
29．【答案】（1），
（2），证明过程见解答．
【解答】解：（1）因为第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
故答案为：；
（2）第个等式：，
证明：左边，
右边
，
左边右边．
等式成立．
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：的个位数字是3、9、7、，四个为一组，重复出现的，
^3，
的个位数字为：7，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：第①个图形有3根火柴，
第②个图形一共有5根火柴，即，
第③个图形一共有7根火柴，即，
，
第个图形一共有火柴的根数为：，
第⑦个图形中火柴的根数为：（根．
故选：．
3．【答案】
【解答】解：，
，
，
，
第个为：；
故选：．
4．【答案】
【解答】解：第1个图案中有4颗五角星，，
第2个图案中有7颗五角星，，
第3个图案中有10颗五角星，，
第4个图案中有13颗五角星，，
，
第个图案中有颗五角星．
当时，，
故选：．
5．【答案】
【解答】解：，，，，，，，
系数的规律是：，字母部分都是，
第个单项式是：．
故答案为：．
6．【答案】
【解答】解：，，，，，，，
第个为：；
故选：．
7．【答案】
【解答】解：，，，，，，
第个单项式为：，
故选：．
8．【答案】
【解答】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，
第②个图案中有9个正方形，
第③个图案中有13个正方形，
第④个图案中有17个正方形，
，
第个图案中有个正方形，
第⑩个图案中正方形的个数为：，
故选：．
9．【答案】
【解答】解：，，，，，，第个单项式是；，
故选：．
10．【答案】
【解答】解：观察图形可以看出；；每4个为一组，
，
在轴负半轴上，纵坐标为0，
、、、的横坐标分别为0，，，
的横坐标为．
的坐标为．
故选：．
11．【答案】
【解答】解：对于直线，设，可得，
，
四边形是正方形，
，又点在直线上，
，
又，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为：，
过点，
，解得，
抛物线的解析式为；
将代入中，，
，
四边形是正方形，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
把代入，得，
抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，可得，
抛物线的解析式为；
抛物线的顶点为，，
抛物线的顶点为，
抛物线的顶点为，
抛物线的顶点坐标为，．
故选：．
12．【答案】C
【解答】解：每6个点的纵坐标规律：，0，，0，﹣，0，
∵2023÷6＝337……1，
∴点P2023的纵坐标为，
点的横坐标规律：1，2，3，4，5，6，…，n，
∴点P2023的横坐标为2023，
∴点P2023的坐标（2023，），
故选：C．
13．【答案】
【解答】解：是等腰直角三角形，
，，
，
，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，
，
，
，
，
，
．
故选：．
14．【答案】
【解答】解：为的中线，
，
为△的中线，
，
为△的中线，
．
按此规律，为△的中线，则△的面积为：
故选：．
15．【答案】
【解答】解：根据题意，若以8开头，则第五个也是8，只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况．
同样地，以9开头只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况，所以最多可制作200个．
故选：．
16．【答案】
【解答】解：由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达点的横坐标减少1
则动点完成第2023次跳跃时，所有到达点的纵坐标为，横坐标为：，则最左边第一个点的坐标是．
故选：．
17．【答案】
【解答】解：第1个图的俯视图的面积为1个边长为的正方形，
第2个图的俯视图的面积为个边长为的正方形，
第3个图的俯视图的面积为个边长为的正方形，
第100个图的俯视图的面积为个边长为的正方形，
所以从上面看第100个图，得到的平面图形的面积为，
故选：．
18．【答案】
【解答】解：纯种高茎豌豆和纯种矮茎豌豆杂交，子一代都是高茎豌豆，子一代种子种下去，自花传粉，获得的子二代豌豆由、、三种遗传因子控制，比例为．由此可知，子二代豌豆中含遗传因子的个体有、，概率是，
故选：．
19．【答案】
【解答】解：第1个图形中正方体的个数为1，
第2个图形中正方体的个数，
第3个图形中正方体的个数，
第10个图形中，正方体一共有（个，其中写有“城”字的正方体有10个，
抽到带“城”字正方体的概率是．
故选：．
二．填空题
20．【答案】．
【解答】解：原数据可转化为：，
第个数为：，
第10个数为：．
故答案为：．
21．【答案】．
【解答】解：联立直线与直线的表达式并解得：，，故，；
则点，，则直线的表达式为：，
将点坐标代入上式并解得：直线的表达式为：，
将表达式与直线的表达式联立并解得：，，即点的纵坐标为；
同理可得的纵坐标为，
按此规律，则点的纵坐标为，
故答案为：．
22．【答案】．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
把代入直线中可得：，
，
把代入直线中可得：，
，
把代入直线中可得：，
，
把代入直线中可得：，
，
，
，
，
，
．
，
故答案为：．
23．【答案】．
【解答】解：直线与轴交于点，
点坐标为，
点，，，在轴正半轴上且横坐标分别为2，4，6，，
点纵坐标为，
点纵坐标为，
点纵坐标为，
，
轴，
，
，，
，
，
即，
过点作轴于点，如图所示：
则，
，
△△，
，
，
点纵坐标为，
过点作轴，
同理可得纵坐标为，
纵坐标为，
，
按照以上规律，纵坐标为，
故答案为：．
24．【答案】，．
【解答】解：观察，发现：、，，，，，，，，，
，为自然数）．
，
，，
即点的坐标是，．
故答案为：，．
25．【答案】．
【解答】解：由题意可知，第1次从原点运动到点，
第2次接着运动到点，
第3次接着运动到点，
第4次从原点运动到点，
第5次接着运动到点，
第6次接着运动到点，
，
第次接着运动到点，
第次接着运动到点，
第次从原点运动到点，
第次接着运动到点，
，
第2023次接着运动到点，
故答案为：．
26．【答案】．
【解答】解：由题意得：在上，在直线上，
，，
；
同理：，，
；
，，
；
，
，
故答案为：
27．【答案】，
【解答】解：由图象可得，奇数点的规律为：，，，，
偶数点的规律为：，，，，
，
，
的坐标为，
故答案为：．
28．【答案】．
【解答】解：各三角形都是等腰直角三角形，
直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，
，，，
余1，
点在轴正半轴，横坐标是0，横坐标是，
的坐标为．
故答案为：．
29．
【解答】解：设直线的解析式为，，
，，
，
解得，
直线的解析式为，
对称轴与轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，，
观察发现：每个数都是前两个数的和，
抛物线的顶点坐标的横坐标为55，
抛物线的顶点坐标为．
30．【答案】．
【解答】解：连接，，，如图，
六边形为正六边形，
，
△为等边三角形，
正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，
，
，
正六边形的边长，
同理可得正六边形的边长，
则正六边形的边长．
故答案为：．
31．【答案】．
【解答】解：由题意得：
在△中，，；
在△中，，；
在△中，，；
在△中，，；
在△中，，，当时，，．
故答案为：．
32．【答案】．
【解答】解：点、为、边的中点，，
是的中位线，
，，，
，
，
四边形是菱形，
；
同理求得：；
，
．
故答案为：．
33．【答案】．
【解答】解：由题意△、△、△、、都是等腰直角三角形，
，，，，
，，，，
；
，
，
故答案为：，
34．
【解答】解：红灯亮30秒，黄灯亮3秒，绿灯亮17秒，
（红灯亮），
故答案为：
三．解答题
35．【答案】（1）①；②；③；④△；⑤1；
（2）；
（3）见解答（答案不唯一）．
【解答】解：（1）由题意得：①；
②；
③；
④△的情况；
⑤可以看作抛物线与轴有1个交点时；
故答案为：①；②；③；④△；⑤1；
（2）由题意得：△，
即，
解得：；
（3）由题意得：解方程：，
则，
解得：，（答案不唯一）．
36．【答案】（1）；
（2）；；
（3）20；
（4）．
【解答】解：（1），
，
故答案为：；
（2），
，
是正整数）；
故答案是：；；
（3），
，
故答案为：20；
（4）
．
即：．
37．【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】解：（1）（已知），
（两直线平行，内错角相等，
，（已知），
（等量代换），
（等量减等量，差相等），
（等量代换），
内错角相等，两直线平行）；
（2）如图，
，，
，
同理，，
，
，
，
，
即两平面镜的夹角为．
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：由题意可知：
个位为3，
个位为9，
个位为7，
个位为1，
个位为3，
每4次一循环，
，
的个位数字是7，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：设这三个数中绝对值最小的一个是，则另两个数依次是、，
根据题意得，
解得；
；，
这三个数依次是，729，，
这三个数中最小的一个是，
故选：．
3．【答案】
【解答】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线
一个十边形共有条对角线．
故选：．
二．填空题
4．【答案】，．
【解答】解：四边形是正方形，，
，
，
将正方形绕原点顺时针旋转，且，得到正方形，
再将正方绕原点顺时针旋转，且，得到正方形以此规律，
每4次循环一周，，，，，
，
点与同在一个象限内，
点，，
故答案为：，．
三．解答题
5．【答案】（1）225；
（2）；
（3）5050；
（4）41075．
【解答】解：（1）根据题意得：．
故答案为：225．
（2）．
故答案为：．
（3）．
故答案为：5050．
（4）由（2）得，
．
．

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