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教案(04)——运动的图像　追击与相遇
考点解读
考　点 解　读 学 题目分布
匀变速直线运动的图像 知道匀变速直线运动的速度图像 B
测定匀变速直线运动的加速度(学生实验) 会测定匀变速直线运动的加速度 B 10年上海高考第18题
11年上海高考第19题
12年上海高考第23题
教学目标
掌握匀速直线运动的位移－时间、速度－时间图像，匀变速直线运动的速度－时间图像，并能够运用图像解决有关的问题．
教师归纳
追赶问题
讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置问题．
(1)两个关系： 即时间关系和位移关系
(2)一个条件： 即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．
常见的情况有： (1)物体A追上物体B: ( http: / / www.21cnjy.com ) 开始时，两个物体相距s0，则A追上B时，必有sA－sB＝s0，且vA≥vB.(2)物体A追赶物体B: 开始时，两个物体相距s0，要使两物体恰好不相撞，必有sA－sB＝s0，且vA≤vB.
分类剖析
(一)正确选用运动图像(st、vt、at)解决具体问题
例1
　两支完全相同的光滑直角弯管(如图所示)， ( http: / / www.21cnjy.com )现有两只相同小球a和a′同时从管口由静止滑下，问谁先从下端的出口掉出？(假设通过拐角处时无机械能损失)
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【解析】　首先由机械能守恒可以确定拐角处v ( http: / / www.21cnjy.com )1＞v2，而两小球到达出口时的速率v相等．又由题意可知两球经历的总路程s相等．由牛顿第二定律，小球的加速度大小a＝gsinα，小球a第一阶段的加速度跟小球a′第二阶段的加速度大小相同(设为a1)；小球a第二阶段的加速度跟小球a′第一阶段的加速度大小相同(设为a2)，根据图中管的倾斜程度，显然有a1＞a2.根据这些物理量大小的分析，在同一个v—t图像中两球速度曲线下所围的面积应该相同，且末状态速度大小也相同(纵坐标相同)．开始时a球曲线的斜率大．由于两球两阶段加速度对应相等，如果同时到达(经历时间为t1)，则必然有s1＞s2，显然不合理．考虑到两球末速度大小相等(图中vm)，球a′的速度图像如图所示．因此有t1＜t2，即a球先到．
【点评】　利用图像解题可以 ( http: / / www.21cnjy.com )使解题过程简化，思路更清晰，比解析法更巧妙、更灵活．在有些情况下运用解析法可能无能为力，用图像法可能使你豁然开朗．利用图像描述物理过程更直观．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(二)正确理解图像中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义
例2
　一物体做加速直线运动，依次通过A、B ( http: / / www.21cnjy.com )、C三点，AB＝BC.物体在AB段加速度为a1，在BC段加速度为a2，且物体在B点的速度为vB＝，则(　　)
A．a1＞a2
B．a1＝a2
C．a1＜a2
D．不能确定
【解析】　依题意作出物体的vt图像 ( http: / / www.21cnjy.com )，如图所示．图线下方所围成的面积表示物体的位移，由几何知识知图线②、③不满足AB＝BC.只能是①这种情况．因为斜率表示加速度，所以a1＜a2，选项C正确．
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【点评】　本题是根据图像进行定性分析而直接作出解答的．分析时要熟悉图线下的面积、斜率所表示的物理意义.
例3
　蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与 ( http: / / www.21cnjy.com )到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心的距离L1＝1m的A点处时，速度是v1＝2cm/s.试问蚂蚁从A点爬到距巢中心的距离L2＝2m的B点所需的时间为多少？
【解析】　本题若采用将AB无限分割，每一等分可看做匀速直线运动，然后求和，这一办法原则上可行，实际上很难计算．
题中有一关键条件： 蚂蚁运动的速度v与蚂蚁离 ( http: / / www.21cnjy.com )巢的距离x成反比，即∝x，作出—x图像如图示，为一条通过原点的直线．从图上可以看出梯形ABCD的面积，就是蚂蚁从A到B的时间：
T＝(＋)(L2－L1)＝75s
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【点评】　解该题的关键是确 ( http: / / www.21cnjy.com )定坐标轴所代表的物理量，速率与距离成反比的条件，可以写成v∝，也可以写成∝x，若按前者确定坐标轴代表的量，图线下的面积就没有意义了，而以后者来确定，面积恰好表示时间，因此在分析时有一个尝试的过程．
(三)追赶问题
解题思路和方法：
―→―→
例4
　在某市区内，一辆小汽车 ( http: / / www.21cnjy.com )在公路上以速度v1向东行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路．汽车司机发现游客途经D处时，经过0.7s作出反应紧急刹车，但仍将正步行至B处的游客撞伤，该汽车最终在C处停下，如图所示．为了判断汽车司机是否超速行驶以及游客横穿马路的速度是否过快，警方派一警车以法定最高速度vm＝14.0m/s行驶在同一马路的同一地段，在肇事汽车的起始制动点A紧急刹车，经14.0m后停下来．在事故现场测得AB＝17.5m，BC＝14.0m，BD＝2.6m.肇事汽车的刹车性能良好，问：
(1)该肇事汽车的初速度 vA是多大？
(2)游客横过马路的速度是多大？
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【解析】　(1)警车和肇事汽车刹车后均 ( http: / / www.21cnjy.com )做匀减速运动，其加速度大小a＝＝μg，与车子的质量无关，可将警车和肇事汽车做匀减速运动的加速度a的大小视作相等．
对警车，有v＝2as；对肇事汽车，有v＝2as′，则eq \f(v,v)＝，
即eq \f(v,v)＝＝，
故vA＝vm＝21m/s.
(2)对肇事汽车，由v＝2as∝s得
eq \f(v,v)＝＝，
故肇事汽车至出事点B的速度为vB＝vA＝14.0m/s.
肇事汽车从刹车点到出事点的时间t1＝＝1s，
又司机的反应时间t0＝0.7s，故游客横过马路的速度
v′＝＝≈1.53m/s.
从上面的分析求解可知，肇事汽车为超速行驶，而游客的行走速度并不快．
【点评】　本题涉及的知识点并不复杂，物理情景则紧密联系生活实际，主要训练学生的信息汲取能力和分析推理能力.
例5
　甲乙两车同时自同一地点同向出发，甲做 ( http: / / www.21cnjy.com )匀速直线运动，速度为10m/s，乙从静止开始做匀加速直线运动，加速度为2m/s2，求在乙车追及甲车以前两车相距最大距离为多少？
【解析】　方法一：运用v－t图像法 ( http: / / www.21cnjy.com )，由图可求出物体在t秒钟内通过的位移．由v－t图像中的几何关系可知，当由s甲决定的矩形面积?OADt与由s乙决定的直角三角形面积△OCt相等时，即两车位移相等，乙车追及甲车，由v－t图像可以看出，追及前相距最大，必定是S?OADt－S△OCt等于极大值．
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而S?OADt＝S△OAB＋S?OBDt，
S△OCt＝S△BCD＋S?OBDt.
两式相减，得S?OADt－S△OCt＝S△AOB－S△BCD，
当S△BCD＝0时，面积差值最大，
即Δsmax＝S△OAB＝AO×AB
＝×10×5＝25m.
方法二：分析物理过程求极值，关键是两车速 ( http: / / www.21cnjy.com )度相等时，两车间距最大．因为速度相等之前，甲在前乙在后，v甲＞v乙，两车间距离在继续加大，当v甲＝v乙之后，因为乙车有加速度，两车间距是减小，所以只有v甲＝v乙时，两车间距最大．
故v甲＝at，t＝＝＝5s
Δsmax＝v甲t－at2
＝10×5－×2×52＝25m.
(四)追赶与相遇中的临界问题
例6
　一质点从A由静止出发沿直线运动到B ( http: / / www.21cnjy.com )点停止，在运动过程中，质点能以大小为a1的加速度做匀加速直线运动，也能以大小为a2的加速度做匀减速直线运动，也可以做匀速直线运动．若AB之间的距离为s，质点应该怎样运动，才能使它的运动时间最短？最短时间是多少？
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【解析】　求质点的最短运动时间，这是一 ( http: / / www.21cnjy.com )个求极值的问题，若先建立s与t的函数关系式，再通过二次函数求极值的方法求极值较繁索．可以根据题意建立清晰的运动情景，然后绘出相应的运动图像，即vt图像，如图．由题意质点的运动可能是： (1)先做匀加速直线运动，接着做匀速运动，最后做匀减速运动停止．(2)先做匀加速直线运动接着做匀减速直线运动停止．分别做出两种情况下的vt图像，由于vt图像所围面积表示位移，位移相等，所以面积相等，由此得出先做匀加速运动接着做匀减速运动，这种运动方式时间最短．
由于v＝a1t1＝a2t2且t＝t1＋t2，有
t＝v　则v＝t
由s＝vt＝t2, 则t＝
例7
　两辆完全相同的汽车，沿水平道 ( http: / / www.21cnjy.com )路一前一后均以v0的速度行驶，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停车时，后车以前车刹车时的加速度的两倍开始刹车，已知前车在刹车的过程中所行驶的距离为s，若要保证两车在上述情况下不相撞，则两车在匀速行驶时保持的最小距离是多少？
【解析】　图像法解题的优点就是直观、简 ( http: / / www.21cnjy.com )捷．关键是根据它们的运动情况，作出它们各自的运动图像，如图所示，两车的vt图像中减速时的图像的斜率不同，后车加速度是前车加速度的两倍，刹车时速度相同，所以后车减速时间为前车的一半．
设两车之间的最小距离为L；它们之间的位移关系s＋L＝s′，前车刹车位移为s＝v0t，后车刹车时间t′＝t，后车的位移为
s′＝v0t＋v0t′＝v0t＋v0t＝v0t
所以L＝s′－s＝v0t－v0t＝v0t＝1.5 s
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