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反比例函数与一次函数综合 同步练习
1．把反比例函数：的图像绕点顺时针旋转后得到双曲线的图像若直线与在第一，三象限交于，两点，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，构建方程组，求出，可得结论．
【详解】解：设，
，
，
则有，
解得，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考压轴题．
2．已知直线的函数解析式是，双曲线的解析式是，则直线和双曲线在同一坐标系中的图像可能是（　　）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】对选项A，根据一次函数图像可判断，，根据反比例函数图像即可判断；对选项B，根据一次函数可判断，，则，根据反比例函数可判断；对选项C，根据一次函数可判断，，则，根据反比例函数可判断；对选项D，根据一次函数可判断，，则，根据反比例函数可判断．
【详解】解：A．一次函数经过第一、三象限，则，图像与y轴交于负半轴，则，故，图中反比例函数经过第一、三象限应，故此选项不合题意；
B．一次函数经过第二、四象限，则，图像与y轴交于正半轴，则，故，图中反比例函数经过第一、三象限应，故此选项不合题意；
C．一次函数经过第二、四象限，则，图像与y轴交于正半轴，则，故，图中反比例函数经过第二、四象限应，故此选项符合题意；
D．一次函数经过第二、四象限，则，图像与y轴交于负半轴，则，故，图中反比例函数经过第二、四象限应，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟悉两函数图像的分布与其解析式对应系数的关系是解题的关键．
3．如图，反比例函数与一次函数相交于，两点，若，则x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】把A点坐标代入可求出m的值，进而可求出B点坐标，根据，即可求出答案．
【详解】解：把代入得，
，
解得：，
∴反比例函数的解析式为，
把代入得，
解得：，
∴，
当时，正比例函数图象在反比例图象下方，
∴或，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，根据题意求出B点坐标是解题关键．
4．一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别利用k的取值，进而分析一次函数与反比例函数图象的位置，进而得出答案．
【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，
当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，
四个选项中只有D符合，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，关键是熟练掌握两个函数图象的性质．
5．如图，直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数的一个分支相交，其中有一交点为D，过点D作矩形，（点C，E分别在x，y轴上）．若与的面积和为，则k为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出A、B的坐标，进而求出的面积，从而求出矩形的面积，再根据反比例函数比例系数的几何意义即可得到答案．
【详解】解：在中，当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵与的面积和为，
∴，
∵点D在反比例函数的图像上，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，求出矩形的面积是解题的关键．
6．如图是同一直角坐标系中函数和的图象，观察图象可得不等式的解集为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据图象进行分析即可得结果；
【详解】解：∵，
∴，
由图象可知，函数和分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为1和，
由图象可以看出当或时，函数在下方，即，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，掌握一次函数和反比例函数图象的性质是解本题的关键．
7．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则当时，x的取值范围为（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据图象，不等式的意义为直线在反比例函数图象的下方部分的对应的自变量的取值范围，据此即可作答．
【详解】∵，，
由图象可知，当时，x的取值范围为：或．
故选：D．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
8．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A，与y轴交于点C，轴于点D，点D坐标为，则的面积为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【分析】根据轴，求出点A的横坐标，代入一次函数表达式中求出点A纵坐标，再利用三角形面积公式计算．
【详解】解：∵轴，，
∴，代入中，
∴，即，
∴的面积为，
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，三角形面积，解题的关键是根据函数表达式求出相应点的坐标．
9．如图，直线与双曲线交于A、两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，相当于把直线向下平移个单位，然后根据函数的对称性可得交点坐标与原直线的交点坐标关于原点对称，再找出直线在双曲线下方的自变量的取值范围即可．
【详解】解：解：由，得，，
所以，不等式的解集可由双曲线不动，直线向下平移个单位得到，
直线向下平移个单位的图象如图所示，交点的横坐标为，交点的横坐标为，
当或时，双曲线图象在直线图象上方，
所以，不等式的解是：或．
故选C
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据不等式与函数解析式得出不等式的解集与双曲线和向下平移个单位的直线的交点有关是解题的关键．
10．已知在平面直角坐标系中，过点O的直线交反比例函数的图象于A，B两点（点A在第一象限），过点A作轴于点C，连结并延长，交反比例函数图象于点D，连结，将沿线段所在的直线翻折，得到，与交于点E．若点D的横坐标为2，则的长是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】求出直线，的解析式，联立两个解析式，求出点坐标，利用两点间距离公式，进行求解即可．
【详解】解：设点A的坐标为，则点B的坐标为
∵轴，
∴，
设直线的解析式为，
把 代入，得，
解得：，
∴，
∵点D的横坐标为，
∴
把点代入得： (舍)，
∴，直线的解析式为：，
∵将沿线段所在的直线翻折，得到，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入可得：
解得：，
∴，
联立，解得：，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合应用，坐标系下的旋转．熟练掌握旋转的性质，正确的求出一次函数的解析式，是解题的关键．
11．已知一次函数的图象如图所示，则与的图象在同一坐标系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，，从而得到一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比函数的图象位于第一、三象限内，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比函数的图象位于第一、三象限内．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键．
12．与交于A、B两点，交y轴于点C，延长线交双曲线于点D，若，则为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】根据题意设，则，即可得到反比例为，再求得的坐标，根据待定系数法求得直线的解析式，将解析式联立，解方程组求得的坐标，然后根据平行线分线段成比例定理即可求得结论．
【详解】∵与交于A、B两点，
∴设，则，
∴，
∴反比例函数解析式为，
由题意得：，，
∴，即，
设直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
，解得，，
∴，
过点作轴，过点作轴，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
解得：，
∴（负值舍去），
故选：A．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，求得交点的坐标是解题的关键．
13．如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线，将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．
则下面叙述中正确的是（ ）
A．点A的横坐标有可能大于3
B．矩形1是正方形时，点A位于区域②
C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小
D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等
【答案】D
【分析】由图形可知：当时，，从而可判断A；根据点A是直线与双曲线的交点可判断B；求出可判断C；由点A位于区域①可得，由形2落在区域④中可得，从而可判断D．
【详解】设点（x，y均为正数），
A、设反比例函数解析式为：，
由图形可知：当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即点A的横坐标不可能大于3，
故选项A不正确；
B、当矩形1为正方形时，边长为x， ，
则点A是直线与双曲线的交点，如图2，交点A在区域③，
故选项B不正确；
C、当一边为x，则另一边为，
∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，
∴矩形1的面积会越来越大，
故选项C不正确；
D、当点A位于区域①时，
∵点，
∴，即另一边为：，
矩形2落在区域④中，，即另一边，
∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等；
如矩形的两条邻边长分别为0.9，2.9时，两个矩形都符合题意且全等，
故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象和新定义，理解x和y的意义是关键，并注意用数形结合的思想解决问题．
14．如图，直线与双曲线交于点A，B，与y轴交于点C，与x轴交于点D，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为点F，E，连接，若，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】根据点A，B在双曲线上，设，，利用待定系数法求出直线AB解析式为，当时，，则，计算得，，，根据三角形的面积公式得 ，则 ，进行计算即可得．
【详解】解：∵点A，B在双曲线上，
∴设，，
设直线AB解析式为，将，代入，得
，解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴，，
∴
即
∴
∴ k = 6，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数与一次函数的相关知识，并正确计算．
二、填空题
15．如图，点，点分别在轴，轴上，，点为的中点，连接并延长交反比例函数的图象于点，过点作轴于点，点关于直线的对称点恰好在反比例函数图象上，则______．
【答案】
【分析】由题意可得直线的解析式为，设，由点在反比例函数 的图象上，求得，求得的坐标，设，则，．由点和点关于直线对称，得出，那么，再将点坐标代入 ，得到，解方程即可求得的坐标，然后由勾股定理即可求得．
【详解】解：点，点分别在轴，轴上，，点为的中点，
直线的解析式为，是等腰直角三角形，
设，
点在反比例函数 的图象上，
，
，
，
，
设，
，
，．
点和点关于直线对称，，
，，
，
在反比例函数 的图象上，
，
解得 或 舍去，
，即，
是等腰直角三角形，为的中点，
，
即是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，解一元二次方程，综合运用以上知识是解题的关键．
16．如图，直线与双曲线交于、两点，直线经过点，与双曲线交于另一点，，连接，若的面积是50，则_____．
【答案】/
【分析】作出如解图的辅助线，设，由反比例函数的对称性以及等腰直角三角形的性质可知，然后证明得到，，则点K的坐标为，然后求出直线BC的解析式，得到J点坐标，设C点坐标为，然后推出得到关于m、n的方程组，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作轴于M，过点O作交于K，过点K作轴于T，设直线与y轴交于J，连接，
设，则，，
∴由反比例函数的对称性可知，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴点K的坐标为，
设直线BC的解析式为，
∴，解得，
∴直线BC的解析式为，
∴J点坐标为，
设C点坐标为，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数比例系数，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，一次函数与反比例函数综合等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．如图，点A为直线上一点，过A作OA的垂线交双曲线于点B，若，则k的值为_____．
【答案】
【分析】延长交x轴于点C，过点A作轴于点F，过点B作轴于点E，根据题意可得、、和均为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，，，进而可得到，结合，可得，所以点B的横纵坐标之积为，即得k的值．
【详解】解：延长交x轴于点C，过点A作轴于点F，过点B作轴于点E，
∵点A为直线上的一点，
∴，
∵，
∴、、和均为等腰直角三角形，
∴，，，
∴．
∵，
∴，
整理得，，即，
∴，
∴，
设B点坐标为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质以及等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，过点作轴的垂线，垂足为，连接．
（1）该反比例函数的解析式为________；
（2）当的面积为4时，点的坐标为________．
（3）在（2）的情况下，直线过线段上一点，的取值范围为________．
【答案】 / /
【分析】（1）根据待定系数法直接代入求解即可；
（2）利用代入法直接可得到m、n的关系，然后根据三角形的面积表示出m、n即可得到B的坐标；
（3）通过代入法求出a的两个值，然后根据动点确定a的范围.
【详解】解：（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴，即，
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵点在的图象上，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点B的坐标为；
（3）将、分别代入，
解得，
∴a的取值范围为．
故答案为：，，
【点睛】本题考查反比例函数的解析式、利用一次函数写比例系数的取值范围、利用三角形的面积列方程是关键．方程思想是常用的解题思路．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图像交于点A，将直线沿y轴向上平移b个单位长度，交x轴于点C，交反比例函数图像于点B，若，则b的值为______．
【答案】
【分析】解析式联立，解方程求得A的横坐标，根据定义求得B的纵坐标，把纵坐标代入反比例函数的解析式求得B的坐标，代入y=x+b即可求得b的值．
【详解】∵直线与反比例函数的图像交于点A，
∴联立，解得或，
∴，
∴
∵，
∴，
过B作轴于
∵将直线沿y轴向上平移b个单位长度，交x轴于点C，
∴，
∴，
∴B的纵坐标为，
把代入得，，
∴，
∵将直线沿y轴向上平移b个单位长度，得到直线,
∴把代入得，求得，
故答案为：．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图像上点的坐标特征，一次函数的图像与几何变换，求得交点B的坐标是解题的关键．
三、解答题
20．在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于点A，B．若点A的坐标为．
(1)点B的坐标为__________；（用含k的代数式表示）
(2)如图1，点C为反比例函数图象上一点，点C的横坐标为，若的面积为5，求k的值；
(3)如图2，点P为反比例函数图象上一点，点P的横坐标为，过点A作轴，与直线交于点D，以为一边向右作正方形，若正方形边正好经过点P，求k的值．
【答案】(1)(2)；(3)．
【分析】（1）利用正比例函数和反比例函数的对称性，即可求解；
（2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，作轴交于点N，则，再三角形面积公式列方程，据此即可求解；
（3）由题意得，同理求得直线的解析式，表示出点D、E的坐标，利用正方形的性质，列方程即可求解．
【详解】（1）解：反比例函数与正比例函数的图象都是中心对称图形，
∵，
∴点B的坐标为；
故答案为：；
（2）解：∵点C为反比例函数图象上一点，点C的横坐标为，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
作轴交于点N，则，
∴，
∴，
解得；
（3）解：由题意得，而，
同理求得直线的解析式为，
∵，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，即，
解得．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、正方形的性质等，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)结合图象，写出当时，满足的的取值范围；
(3)连接，，求的面积；
(4)将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点，直接写出一个反比例函数表达式，使它的图象与平移后的一次函数图像无交点．
【答案】(1)(2) (3) (4)（答案不唯一）
【分析】（1）把点A、点B的坐标分别代入反比例函数解析式中求得m、n的值，即可求得A、B两点的坐标，再用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）观察第一象限的图象即可求得结果；
（3）求出直线与y轴的交点坐标，从而得到的长，由即可求得面积值；
（4）显然只要反比例函数的比例系数即可．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴；
把代入，得，
∴；
分把，代入，得，
∴，，
所以一次函数的表达式为；
（2）解：结合图象，当时，满足的的取值范围是；
（3）解：把代入，得，
∴，
所以；
（4）解：，只要均可．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，求图形面积等知识，掌握两种函数的图象与性质是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
22．反比例函数与一次函数的图像交于A、B两点，A坐标为
(1)求出B点坐标；
(2)若是反比例函数图像上的点，是一次函数图像上的点，当点M在点N下方时，判断自变量x的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】(1)先确定函数的解析式，联立解方程组求解即可．
(2)结合函数图像解答即可．
【详解】（1）∵反比例函数与一次函数的图像交于A、B两点，A坐标为
∴
解得
∴，
∴，
解得，
故．
（2）结合函数图像，得当点M在点N下方时，．
【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握解题方法是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
反比例函数与一次函数综合 同步练习
1．把反比例函数：的图像绕点顺时针旋转后得到双曲线的图像若直线与在第一，三象限交于，两点，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线的函数解析式是，双曲线的解析式是，则直线和双曲线在同一坐标系中的图像可能是（　　）
A．B．C． D．
3．如图，反比例函数与一次函数相交于，两点，若，则x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．或
4．一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
5．如图，直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数的一个分支相交，其中有一交点为D，过点D作矩形，（点C，E分别在x，y轴上）．若与的面积和为，则k为（ ）
A． B． C． D．
6．如图是同一直角坐标系中函数和的图象，观察图象可得不等式的解集为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
7．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则当时，x的取值范围为（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
8．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A，与y轴交于点C，轴于点D，点D坐标为，则的面积为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
9．如图，直线与双曲线交于A、两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
10．已知在平面直角坐标系中，过点O的直线交反比例函数的图象于A，B两点（点A在第一象限），过点A作轴于点C，连结并延长，交反比例函数图象于点D，连结，将沿线段所在的直线翻折，得到，与交于点E．若点D的横坐标为2，则的长是（　　）
A． B． C． D．1
11．已知一次函数的图象如图所示，则与的图象在同一坐标系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．与交于A、B两点，交y轴于点C，延长线交双曲线于点D，若，则为（ ）
A．2 B．3 C． D．
13．如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线，将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．
则下面叙述中正确的是（ ）
A．点A的横坐标有可能大于3 B．矩形1是正方形时，点A位于区域②
C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小 D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等
14．如图，直线与双曲线交于点A，B，与y轴交于点C，与x轴交于点D，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为点F，E，连接，若，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
二、填空题
15．如图，点，点分别在轴，轴上，，点为的中点，连接并延长交反比例函数的图象于点，过点作轴于点，点关于直线的对称点恰好在反比例函数图象上，则______．
16．如图，直线与双曲线交于、两点，直线经过点，与双曲线交于另一点，，连接，若的面积是50，则_____．
17．如图，点A为直线上一点，过A作OA的垂线交双曲线于点B，若，则k的值为_____．
18．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，过点作轴的垂线，垂足为，连接．
（1）该反比例函数的解析式为________；
（2）当的面积为4时，点的坐标为________．
（3）在（2）的情况下，直线过线段上一点，的取值范围为________．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图像交于点A，将直线沿y轴向上平移b个单位长度，交x轴于点C，交反比例函数图像于点B，若，则b的值为______．
三、解答题
20．在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于点A，B．若点A的坐标为．
(1)点B的坐标为__________；（用含k的代数式表示）
(2)如图1，点C为反比例函数图象上一点，点C的横坐标为，若的面积为5，求k的值；
(3)如图2，点P为反比例函数图象上一点，点P的横坐标为，过点A作轴，与直线交于点D，以为一边向右作正方形，若正方形边正好经过点P，求k的值．
21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)结合图象，写出当时，满足的的取值范围；
(3)连接，，求的面积；
(4)将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点，直接写出一个反比例函数表达式，使它的图象与平移后的一次函数图像无交点．
22．反比例函数与一次函数的图像交于A、B两点，A坐标为
(1)求出B点坐标；
(2)若是反比例函数图像上的点，是一次函数图像上的点，当点M在点N下方时，判断自变量x的取值范围．

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