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教案(09)——力矩　有固定转动轴物体的平衡
考点解读
考　点 解　读 学 题 目 分 布
力矩 理解力矩的定义，会求力矩 B
有固定转动轴的物体的平衡 理解有固定转动轴的物体的平衡条件
会用力矩平衡条件解有固定转动轴物体的平衡问题 B
C 09年上海高考第23题
12年上海高考第14题
教学目标
1．知道力矩的定义，会求力矩．
2．会求有固定转轴物体的平衡问题．
教师归纳
1．力矩
(1)力臂： 从转动轴到力的作用线(不是作用点)的垂直距离．
(2)力矩： 力F和力臂L的乘积叫作力对转动轴的力矩M，即M＝FL，力矩的单位是N·m.
2．物体的平衡态
(1)物体保持静止或匀速直线运动状态．
(2)物体绕固定转动轴匀速转动．
3．有固定转动轴的物体的平衡条件： 物体所受外力的力矩的代数和为零，即∑M＝0(或顺时针力矩之和等于逆时针力矩之和，即M顺＝M逆)．
　　　　　　　　　　　　　　　　
分类剖析
(一)力矩有关概念
例1
　如图所示，直杆OA可绕过O点的水平轴自 ( http: / / www.21cnjy.com )由转动，图中虚线与杆平行，杆的另一端A点受到四个力F1、F2、F3、F4的作用，力的作用线与OA杆在同一竖直平面内，它们对转轴O的力矩分别为M1、M2、M3、M4，则它们间的大小关系是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．M1＝M2＞M3＝M4
B．M2＞M1＝M3＞M4
C．M4＞M2＞M3＞M1
D．M2＞M1＞M3＞M4
【解析】　将各力分解成沿杆方向和垂直于杆方向的两个力，只比较后者的力矩即可，选B.
(二) 力矩平衡简单应用
例2
　如图(1)所示，均匀杆AC长2 m，重1 ( http: / / www.21cnjy.com )0 N，在竖直平面内，A端有水平固定转动轴，C端挂一重70 N的重物，水平细绳BD系在杆上B点，且AB＝3AC/4.要使绳BD的拉力是100N，则∠ABD＝________；要使BD绳的拉力最小，且B点位置不变，改变BD的长度，则需BD与AC呈________状态．
( http: / / www.21cnjy.com )(1)
　　 ( http: / / www.21cnjy.com )(2)
【解析】　取AC杆为研究对象，以A为转轴， ( http: / / www.21cnjy.com )对AC杆产生转动作用的力是AC杆的重力G0、BD绳的拉力T、竖直向下的细绳的拉力F，F在数值上等于重力G；再由力矩的平衡条件∑M＝0求解．
对AC受力分析如图(2)所示，由力矩的平衡条件
G0·AC·cosα＋F·AC·cosα＝
T·AB·sinα
10··2·cosα＋70·2·cosα＝
100··2·sinα
∴tanα＝1，α＝∠AB ( http: / / www.21cnjy.com )D＝45°因为重力的力矩、竖直向下的细绳拉力的力矩为一定值，若要使BD拉力最小，只有当拉力力臂最长时，即BD与AC呈垂直状态T最小.
例3
　图中为南方少数民族常用的舂米工具．O ( http: / / www.21cnjy.com )为固定转动轴，重锤为A.脚踩在左端B处，可以使重锤升高，放开脚重锤落下打击稻谷．若脚用力方向始终竖直向下且转动保持平衡状态，则在重锤升起过程中，脚踩B端向下的力F和力矩M将(　　)
A．F增大，M增大
B．F先增大后减小，M不变
C．F不变，M先增大后减小
D．F不变，M先减小后增大
【解析】　以O为轴，以舂米杠杆为研 ( http: / / www.21cnjy.com )究对象，在重锤自下向上升起的过程中，重锤的力臂是先增大后减小，所以重锤的力矩先增大后减小．同时脚的力臂也是先增大后减小的，所以根据力矩的平衡条件，设杆与水平方向夹角为α，有
mg·AO·cosα＝F·BO·cosα
∴F＝mg
无论杆在何位置F的大小始终不变．MF＝mgAOcosα，MF先增大后减小，所以正确答案选C.
(三)力矩平衡综合问题
例4
　一个质量为m＝50kg的均匀圆柱 ( http: / / www.21cnjy.com )体，放在台阶的旁边，台阶的高度h是圆柱体半径r的一半，如图(1)所示(图为横截面)，柱体与台阶接触处图中P点，要在图中柱体的最上方A处施加一最小的力，使柱体刚能以P为轴向台阶上滚(g取10m/s2)．
求： (1)所加力的大小；(2)台阶对柱体的作用力的大小．
( http: / / www.21cnjy.com )(1)　　　　　　　　　(2)
【解析】　(1)以P点为轴，欲在A处施最小的 ( http: / / www.21cnjy.com )力，必须使这个力的力臂最长，那么该力的方向应垂直于PA，如图(2)所示．要使柱体刚能以P为轴向台阶上滚，即意味着此时地面对柱体的支持力恰好为零．
这样由作用力F与重力mg对P点的力矩平衡可得mg·BP＝F·AP
由几何关系得∠POB＝60°，∠PAO＝30°
所以BP＝rsin60°，AP＝2rcos30°，解得F＝250N.
(2)柱体刚能以P为轴向台 ( http: / / www.21cnjy.com )阶上滚时，它受到在同一平面内三个非平行力的作用，即重力mg，作用在A点的外力F和台阶P点对柱体的作用力T.三力平衡必共点，据此可延长重力作用线与F交于A点，那么台阶对柱体的作用力T的延长线必定通过A点，即T的方向垂直于F的方向，所以T的大小必等于重力在AP上的分力，因此有T＝mgcos30°＝433N.
【点评】　T是台阶P点对 ( http: / / www.21cnjy.com )柱体的作用力，其指向球心的分力即为对柱体的支持力，而沿P点切线方向的分力则为对柱体的摩擦力．显然，对于光滑的接触点，是无法用此题给出的条件将柱体滚上台阶的.
例5
　如图所示，OAB是一刚性轻质直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形支架，边长AB＝0.2m，∠OAB＝37°；在A、B两顶角处各固定一个大小不计的小球，质量均为1kg.支架可绕过O的水平轴在竖直平面内无摩擦地转动．(sin37°＝
0．6，cos37°＝0.8，重力加速度g取10m/s2)
(1)为使支架静止时AB边水平，求在支架 上施加的最小力；
(2)若将支架从AB位于水平位置开始由静止释放，求支架转动过程中A处小球速度的最大值．
【解析】　施加的最小力满足的条件是：力 ( http: / / www.21cnjy.com )臂最大，所以该力的作用点在A点，方向垂直OA向上　mg·OA·cos37°＝mg·OB·cos53°＋Fmin·OA　OA＝0.16m，OB＝0.12m，可解得Fmin＝3.5N.
(2)如图
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(1)
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)
当支架到达平衡位置时，A球的速度最大，根据杠杆原理，此时A、B距O点垂线的距离相等，如图(2)所示，
AE＝BD＝ABsin37°cos37°＝0.096m
CD＝CE＝＝0.028m
OF＝ABsin37°cos37°＝AE
h1＝OE－OF＝0.032m
h2＝OF－OD＝0.024m
mg(h1－h2)＝mv2＋m(v·tan37°)2
v＝0.32m/s.
例6
　质量M＝2.0kg的小铁块静止于 ( http: / / www.21cnjy.com )水平轨道AB的A端．导轨及支架ABCD形状及尺寸如图所示，质量m＝4.0kg.它只能绕通过支架D点垂直于纸面水平转动，其中心在图中的O点，现有一细线沿导轨拉小铁块，拉力F＝12N，小铁块和导轨之间的动摩擦因数μ＝0.50.从小铁块运动时起，导轨(及支架)能保持静止的最长时间是多少？(g取10m/s2)
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【解析】　当导轨刚要不能维持平衡时，C端 ( http: / / www.21cnjy.com )受的力为零，此时导轨(及支架)受四个力作用：滑块对导轨的压力FN＝Mg，竖直向下，滑块对导轨的摩擦力Ff＝μMg＝10N，重力G＝mg，作用在O点，方向竖直向下， 作用于轴D端的力．
设此时的铁块走过的路程S，根据有固定转动轴物体平衡条件及图中尺寸，
有： mg×0.1＋Mg(0.7－s)＝Ff×0.8＝μMg×0.8
40×0.1＋20(0.7－s)＝10×0.8
s＝0.5m
铁块受的摩擦力Ff＝10N，方向向右．
F－Ff＝Ma　　a＝1.0m/s2
∵s＝1/2at2　　∴t＝1.0s
【点评】　此题是一道典型的力学综合题 ( http: / / www.21cnjy.com )，考查面较广，从静力学，运动学到动力学，由于质量为m的铁块和T形支架不具有相同的运动状态，故必须采用隔离法．本章小结
知识网络
力
考题解析
考题1　　如图所示，用两根细线把A、B两小球悬挂在天花板上的同一点O，并用第三根细线连接A、B两小球，然后用某个力F作用在小球A上，使三根细线均处于直线状态，且OB细线恰好沿竖直方向，两小球均处于静止状态，则该力可能为图中的(　　)
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A．F1 B．F2
C．F3 D．F4
【解析】　本题考查平衡物体的受力情况分析，属于基础知识．
A、B两个小球用细线连接，且整个系统处 ( http: / / www.21cnjy.com )在静止状态，在所提供的四个力中，能使系统保持静止的只能是F2和F3而不能是F1和F4，这是因为，若取F1，则F1可分解为水平向右和竖直向下两个分力，向下的分力将使A球向下运动，破坏了系统保持静止的前提；同样若取F4，则F4可分解为竖直向上和水平向左两个分力，向左的分力将使A球向左运动，且B球不再在竖直位置上．答案为选项B、C.
考题2　　对如图所示的皮带传动装置，下列说法中正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．A轮带动B轮沿逆时针方向旋转
B．B轮带动A轮沿逆时针方向旋转
C．C轮带动D轮沿顺时针方向旋转
D．D轮带动C轮沿顺时针方向旋转
【解析】　本题主要考查考生灵活运用知识分析具体问题的能力．虽然涉及摩擦力概念，但重要的是如何运用摩擦力的概念分析与平常习题不同情境的问题．
根据题目中呈示的图片，分别研究皮带绷紧的最高部分，结合摩擦力的概念，可以判断B、D为正确选项．
考题3　　如图所示，在竖直平面内的直角坐标系中，一个质量为m的质点在外力F的作用下，从坐标原点O由静止沿直线ON斜向下运动，直线ON与y轴负方向成θ角(θ＜π/4)．则F大小至少为__________；若F＝mgtanθ，则质点机械能大小的变化情况是______________________________．
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【解析】　考题考查力的最小值． ( http: / / www.21cnjy.com )该质点受到重力和外力F从静止开始做直线运动，说明质点做匀加速直线运动，如图中显示，当F力的方向为a方向(垂直于ON)时，F力最小为mgsinθ；若F＝mgtanθ，即F力可能为b方向或c方向，故F力的方向可能与运动方向相同，也可能与运动方向相反，除重力外的F力对质点做正功，也可能做负功，故质点机械能增加、减少都有可能．
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考题4　　如图所示，一根木棒AB在O点被悬挂起来，AO＝OC，在A、C两点分别挂有两个和三个钩码，木棒处于平衡状态．如在木棒的A、C点各增加一个同样的钩码，则木棒D
A．绕O点顺时针方向转动
B．绕O点逆时针方向转动
C．平衡可能被破坏，转动方向不定
D．仍能保持平衡状态
【解析】　设木板AO段重力G1，重心离 ( http: / / www.21cnjy.com )O点L1，木板BO段重力G2，重心离O点L2，AO长度l，由力矩平衡条件：G1L1＋2Gl ＝ G2L2＋3Gl ，当两边各挂一个钩码后，等式依然成立：G1L1＋3Gl ＝ G2L2＋4Gl ，即只要两边所增加挂钩码个数相同，依然能平衡．故选D.
考题5　　如图所示，半径分别为r和2r的两个质量不计的圆盘，共轴固定连结在一起，可以绕水平轴O无摩擦转动，大圆盘的边缘上固定有一个质量为m的质点，小圆盘上绕有细绳．开始时圆盘静止， 质点处在水平轴O的正下方位置．现以水平恒力F拉细绳， 使两圆盘转动，若恒力 F＝mg，两圆盘转过的角度θ＝________时，质点m的速度最大．若圆盘转过的最大角度θ＝π/3，则此时恒力F＝________.
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【解析】　此题若用函数极值法，由动能定理有 ( http: / / www.21cnjy.com )：mv2＝Frθ－mg(2r－2rcosθ)，可得v＝，然后求极值，很难求．换用力矩平衡条件，对盘、质点整体，以O为轴，当Fr＝mg2rsinθ时，转速最大即质点速度最大，得sinθ＝，所以有θ＝.当圆盘转过最大角度θ＝时，由动能定理有Fr－2mgr(1－cos)＝0，可得F＝.

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