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教案(19)——变速率圆周运动
教学目标
掌握分析、解决圆周运动动力学问题的基本方法和基本技能．
教师归纳
做变速圆周运动的物体、向心力只是物体所受合力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变．
分类剖析
(一)竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及分类
这类问题的特点是： 由于机械能守恒，物体 ( http: / / www.21cnjy.com )做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大．物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论．
①弹力只可能向下，如绳拉球．这种情况下有： F＋mg＝≥mg
即v≥，否则不能通过最高点．
②弹力只可能向上，如车过桥．在这种情况下有： mg－F＝≤mg，
∴v≤，否则车将离开桥面，做平抛运动．
③弹力既可能向上又可能向下，如管内转(或杆 ( http: / / www.21cnjy.com )连球、环穿珠)．这种情况下，速度大小v可以取任意值．但可以进一步讨论： ①当v＞时物体受到的弹力必然是向下的；当v＜时物体受到的弹力必然是向上的；当v＝时物体受到的弹力恰好为零．②当弹力大小F＜mg时，向心力有两解： mg±F；当弹力大小F＞mg时，向心力只有一解： F＋mg；当弹力F＝mg时，向心力等于零．
例1
　如图所示，杆长为L，球的质量为m，杆连球 ( http: / / www.21cnjy.com )在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F＝mg，求这时小球的瞬时速度大小．
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【解析】　小球所需向心力向下，本题中F＝mg＜mg，所以弹力的方向可能向上也可能向下．
(1)若F向上，则mg－F＝，v＝　
(2)若F向下，则mg＋F＝，v＝
【点评】　本题是杆连球绕轴 ( http: / / www.21cnjy.com )自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时速度．需要注意的是： 若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动，则运动过程中小球的机械能不再守恒，这两类题务必分清．
(二)变速率圆周运动问题综合应用
例2
　一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面 ( http: / / www.21cnjy.com )内，环的半径为R(比细管的半径大得多)．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点)．A球的质量为m1，B球的质量为m2.它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0.设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是__________．
【解析】　这是一道综合运用牛顿运动定律、圆周运动、机械能守恒定律的高考题．
A球通过圆管最低点时，圆管对球的压 ( http: / / www.21cnjy.com )力竖直向上，所以球对圆管的压力竖直向下．若要此时两球作用于圆管的合力为零，B球对圆管的压力一定是竖直向上的，所以圆管对B球的压力一定是竖直向下的．
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由机械能守恒定律，B球通过圆管最高点时的速度v满足方程
m2v2＋m2g·2R＝m2v①
根据牛顿运动定律
对于A球，N1－m1g＝m1eq \f(v,R)②
对于B球，N2＋m2g＝m2 ③
又N1＝N2　　　　　　　　 ④
由以上四式解得(m1－m2)eq \f(v,R)＋(m1＋5m2)g＝0
例3
　如图所示，一可视为质点的物体质量 ( http: / / www.21cnjy.com )为m＝1kg，在左侧平台上水平抛出，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑，A、B为圆弧两端点，其连线水平，O为轨道的最低点．已知圆弧半径为R＝1.0m，对应圆心角为θ＝106°，平台与AB连线的高度差为h＝0.8m.(重力加速度g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)求：
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(1)物体平抛的初速度；
(2)物体运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力．
【解析】　(1)由于物体无碰撞进入圆弧轨道， ( http: / / www.21cnjy.com )即物体落到A点时速度方向沿A点切线方向，则tanα＝＝＝tan53°　又由h＝gt2　联立以上各式得v0＝3m/s.
(2)设物体到最低点的速度为v，由机械能守恒，有
mv2－mv＝mg[h＋R(1－cos53°)]
在最低点，据牛顿第二定律，有
FN－mg＝m
代入数据解得FN＝43N
由牛顿第三定律可知，物体对轨道的压力为43N.

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