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教案(21)——天体运动
考点解读
考　点 解　读 学 题 目 分 布
天体运动，第一宇宙速度 了解天体运动，了解第一宇宙速度 B 09年上海高考第8题
10年上海高考第15题
10年上海高考第24题
10年上海高考第27题
教学目标
1．掌握万有引力定律的内容并能够应用万有引力定律解决天体、卫星的运动问题．
2．掌握宇宙速度的概念．
3．掌握用万有引力定律和牛顿运动定律解决卫星运动问题的基本方法和基本技能．
教师归纳
万有引力定律的应用
(1)应用万有引力定律解题的知识常集中于 ( http: / / www.21cnjy.com )两点： 一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G＝m＝mr＝mω2r；二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G＝mg从而得出GM＝R2g.
(2)圆周运动的有关公式：
ω＝，v＝ωr.
讨论： ①由G＝m可得： v＝，r越大，v越小．
②由G＝mω2r可得： ω＝，r越大，ω越小．
③由G＝mr可得： T＝2π， r越大，T越大．
④由G＝ma向可得： a向＝，r越大，a向越小．
分类剖析
(一)测天体的质量及密度(万有引力全部提供向心力)
由G＝mr得M＝
又M＝πR3·ρ得ρ＝
例1
　中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的 ( http: / / www.21cnjy.com )密度很大．现有一中子星，观测到它的自转周期为T＝s.问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解．计算时星体可视为均匀球体．(引力常数G＝6.67×10－11m3/kg·s2)
【解析】　设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体自转所需的向心力时，中子星才不会瓦解．
设中子星的密度为ρ，质量为M，半径为R，自转角速度为ω，位于赤道处的小物块质量为m，则有＝mω2R，ω＝，M＝πR3ρ
由以上各式得ρ＝，代入数据解得： ρ＝1.27×1014kg/m3.
【点评】　在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法．
(二)行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题(重力近似等于万有引力)
表面重力加速度： ∵G＝mg0，
∴g0＝
轨道重力加速度： ∵＝mgh，
∴gh＝
例2
　1990年5月，紫金山天文台将他们发现的 ( http: / / www.21cnjy.com )第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km，若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同．已知地球半径为R＝6400km，地球表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．400g B.g
C．20g D.g
【解析】　令小行星的半径为R2，质量为M2，它表面的重力加速度为g2，密度为ρ2，地球的质量为M，密度为ρ.
则地球表面处重力加速度为g＝，地球的密度为ρ＝＝
由以上两式可得g＝
同理可得小行星表面处重力加速度为g2＝
所以＝＝＝，即g2＝g.所以本题的正确选项为B.
例3
　一卫星绕某行星做匀速圆周 ( http: / / www.21cnjy.com )运动，已知行星表面的重力加速度为g0，行星的质量M与卫星的质量m之比M/m＝81，行星的半径R0与卫星的半径R之比R0/R＝3.6，行星与卫星之间的距离r与行星的半径R0之比r/R0＝60.设卫星表面的重力加速度为g，则在卫星表面有＝mg……
经过计算得出： 卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600.上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果．
【解析】　题中所列关于g的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度．正确的解法是
卫星表面＝g　　行星表面eq \f(GM,R)＝g0
即()2＝　即g＝0.16g0.
(三)人造卫星、宇宙速度
人造卫星分类(略): 其中重点了解同步卫星
宇宙速度： (弄清第一宇宙速度与卫星发射速度的区别)
例4
　已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G.有关同步卫星，下列表述正确的是(　　)
A．卫星距地面的高度为
B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C．卫星运行时受到的向心力大小为G
D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
【解析】　对于地球同步卫星，F万＝F向，F万＝＝m＝m＝ma向＝F向
得①r＝R＋h＝，可得h＝－R，A错误．
得②v＝＝，而第一宇宙速度v0＝，v得③F向＝F万＝＝，故C错误．
得④a向＝＝，而g＝，故a向例5
　我国自行研制的“风云一号”、“风云二 ( http: / / www.21cnjy.com )号”气象卫星运行的轨道是不同的．“一号”是极地圆形轨道卫星．其轨道平面与赤道平面垂直，周期是12h；“二号”是地球同步卫星．两颗卫星相比______号离地面较高；______号观察范围较大；______号运行速度较大．若某天上午8点“风云一号”正好通过某城市的上空，那么下一次它通过该城市上空的时刻将是__________．
【解析】　根据周期公式T＝2π知，高度越大，周期越大，则“风云二号”气象卫星离地面较高；根据运行轨道的特点知，“风云一号”观察范围较大；根据运行速度公式v＝知，高度越小，速度越大，则“风云一号”运行速度较大，由于“风云一号”卫星的周期是12h，每天能对同一地区进行两次观测，在这种轨道上运动的卫星通过任意纬度的地方时时间保持不变．则下一次它通过该城市上空的时刻将是第二天上午8点．
(四)双星问题
例6
　两个星球组成双星，它们在相互之间 ( http: / / www.21cnjy.com )的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量．
【解析】　设两星质量分别为M1和M2，都绕连 ( http: / / www.21cnjy.com )线上O点做周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为l1和l2.由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得M1: G＝M1()2l1　∴M2＝　对M2: G＝M2()2l2
∴M1＝　两式相加得M1＋M2＝(l1＋l2)＝
(五)有关航天问题的分析
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例7
　我国发射的“嫦娥一号”卫 ( http: / / www.21cnjy.com )星绕月球经过一年多的运行，完成了既定任务，于2009年3月1日13时13分成功撞月．如图为“嫦娥一号”卫星撞月的模拟图，卫星在控制点处开始进入撞月轨道．假设卫星绕月球做圆周运动的轨道半径为R，周期为T，引力常量为G.以下说法正确的是(　　)
A．可以求出月球的质量
B．可以求出月球对“嫦娥一号”卫星的引力
C．“嫦娥一号”卫星在控制点处应减速
D．“嫦娥一号”在地面的发射速度大于11.2km/s
【解析】　考查万有引力定 ( http: / / www.21cnjy.com )律．对卫星：F万＝G＝m，显然可求出月球质量m月，A正确；由于卫星质量m未知，故B错误；为了能使卫星在控制点下落，必须减小速度，使卫星做向心运动，C正确；发射速度大于等于11.2km/s时，卫星将脱离地球，环绕太阳运动，D错误．故选A、C.
本章小结
知识网络
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考题解析
考题1　　(11年上海高考)如图，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．vsinα B.
C．vcosα D.
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【解析】　本题考查速度的分解，速度分解如图所示：
根据此图得：
v船＝vcosα，故选C.
考题1　　利用单摆验证小球作平抛运动的规律，设计方案如图所示，在悬点O正下方有水平放置的炽热的电热丝P，当悬线摆至电热丝处时能轻易被烧断．MN为水平木板，已知悬线长为L，悬点到木板的距离OO′＝h(h＞L)．
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(1)电热丝P必须放在悬点正下方的理由是： __________．
(2)将小球向左拉起后自由释放，最后小球落到木板上的C点，O′C＝s，则小球作做抛运动的初速度为v0________．
(3)在其他条件不变的情况下，若改变释 ( http: / / www.21cnjy.com )放小球时悬线与竖直方向的夹角θ，小球落点C与O′点的水平距离s将随之改变，经多次实验，以s2为纵坐标、cosθ为横坐标，得到如图(b)所示的图像．则当θ＝30°时，s为________m；若悬线长L＝1.0m，悬点到木板间的距离OO′为________m.
【解析】　本题考查了利用单摆验证小球作 ( http: / / www.21cnjy.com )平抛运动规律的学生实验，属于基本题，该实验装置作了一些改变，用电热丝来烧断摆线，以保持小球能水平抛出．在第(3)小题中，考查了数据处理方法等知识点，从实验要求来说，本题与以往的平抛实验不同，显然试题的难度有所提高，同时该实验也表明学生在原有基础上可以适当灵活运用学到的实验原理与知识．
第(1)小题中电热丝必须置于悬点正下方的理由是为了确保小球恰好在水平位置时切断摆线，使小球能水平抛出．
(2)小球抛出后，水平方向做匀速直 ( http: / / www.21cnjy.com )线运动，竖直方向做自由落体运动，可求得小球自由下落所需的时间为　，所以小球做平抛运动的初速度v0为s　.
(3)改变悬线的角度，实质上是改变小球抛 ( http: / / www.21cnjy.com )出时的初速度，根据能量守恒，可求得小球在不同角度释放时到达悬点正下方时的初速度为v＝2gL(1－cosθ)，则小球落到MN木板上时落点到O′点间的距离为s＝v0t＝·，由此得到s2与cosθ的函数关系为s2＝2gL(1－cosθ)·＝4L(1－cosθ)(h－L)，当摆线拉至水平位置释放时，θ＝90°，L＝1m，据图中可得此时s2＝2，由此可求得h＝1.5m；再代入θ＝30°时，可求得s2＝0.268，所以θ＝30°时，s为0.52左右．此结果也可从图线中查到，θ＝30°，则cos30°＝0.866，查得s2约为0.27，与前面结果相同．
考题4　　如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩．在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以d＝H－2t2(SI)(SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体作(　　)
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A．速度大小不变的曲线运动
B．速度大小增加的曲线运动
C．加速度大小方向均不变的曲线运动
D．加速度大小方向均变化的曲线运动
【解析】　本题考查的知识点涉及曲线运 ( http: / / www.21cnjy.com )动的特征，还考查考生分析实际问题的能力，要求灵活运用书本知识分析具体的问题．试题的情境较新，仔细阅读题目、迁移运用知识是解答此题的关键．
由题意可知，物体同时参与水平方向的匀速 ( http: / / www.21cnjy.com )直线运动和竖直方向的匀减速直线运动．d＝H－2t2的方程说明在竖直方向上为匀减速直线运动，故物体作类似平抛的曲线运动．故B、C为正确选项．
考题5　　一水平放置的圆盘绕竖直固定轴转动，在圆盘上沿半径开有一条宽度为2mm的均匀狭缝．将激光器与传感器上下对准，使两者间连线与转轴平行，分别置于圆盘的上下两侧，且可以同步地沿圆盘半径方向匀速移动，激光器连续向下发射激光束．在圆盘转动过程中，当狭缝经过激光器与传感器之间时，传感器接收到一个激光信号，并将其输入计算机，经处理后画出相应图线．图(a)为该装置的示意图，图(b)为所接收的光信号随时间变化的图像，横坐标表示时间，纵坐标表示接收到的激光信号强度，图中Δt1＝1.0×10－3s，Δt2＝0.8×10－3s.
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(1)利用图(b)中的数据求1s时圆盘转动的角速度．
(2)说明激光器和传感器沿半径移动的方向．
(3)求图(b)中第三个激光信号的宽度Δt3.
【解析】　本题是一道情境全新的 ( http: / / www.21cnjy.com )综合分析题．它具有信息阅读、图文并茂的特征．正确解此题，要仔细阅读题目呈示的文字和图像，并综合获取相关信息进行分析、推理．当然分析问题的过程必须跳出日常操练的“题海”，将平日掌握的分析问题方法思路迁移运用，才能顺利解题．该题的编制也体现了二期课改的理念，特别是对于考生获取信息、处理信息、转换信息综合运用信息的能力有较高的要求．
(1)由图线读得，转盘的转动周期
T＝0.8s①
角速度ω＝＝rad/s＝7.85rad/s.　②
(2)激光器和探测器沿半径由中心向边缘 ( http: / / www.21cnjy.com )移动(理由为： 由于脉冲宽度在逐渐变窄，表明光信号能通过狭缝的时间逐渐减少，即圆盘上对应探测器所在位置的线速度逐渐增加，因此激光器和探测器沿半径由中心向边缘移动)．
(3)设狭缝宽度为d，探测器接收到第i个脉冲时距转轴的距离为ri，第i个脉冲的宽度为Δti，激光器和探测器沿半径的运动速度为v.
Δti＝T，③
r3－r2＝r2－r1＝vT，④
r2－r1＝(－)，⑤
r3－r2＝(－)，⑥
由④⑤⑥式解得
Δt3＝＝s＝0.67×10－3s.

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