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教案(24)——动能定理的应用(二)
考点解读
考　点 解　读 学 题目分布
动能定理 掌握动能定理 C 09年上海高考第20题
09年上海高考第23题
10年上海高考第31题
11年上海高考第31题
教学目标
掌握动能定理、会熟练地运用动能定理解答有关问题．
教师归纳
用动能定理解决比较复杂的物理问题
用动能定理解题步骤：
1．选取对象
2．合理选取过程
3．列方程求解
分类剖析
(一)应用动能定理简解多过程问题
物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的 ( http: / / www.21cnjy.com )小过程(如加速、减速的过程)，此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式则使问题简化.
例1
　如图所示，斜面足够长，其 ( http: / / www.21cnjy.com )倾角为α，质量为m的滑块，距挡板P为s0，以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】　滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械能不断减少；又因为滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，所以最终会停在斜面底端．
在整个过程中，受重力、摩擦力和斜面支持力作用，其中支持力不做功．设其经过的总路程为L，对全过程，由动能定理得：
mgs0sinα－μmgLcosα＝0－mv得
L＝eq \f(mgs0sinα＋\f(1,2)mv,μmgcosα)
【点评】　对滑块末位置的判断显得尤为重要.
例2
　质量2.0kg的物体在 ( http: / / www.21cnjy.com )竖直平面内，半径为1.0m的圆弧轨道的最高点A由静止开始下滑，进入水平轨道BC，BC＝2m.然后滑上同样的圆弧轨道CD.已知圆弧轨道无摩擦，物体与水平轨道BC间动摩擦因数为0.20.如图所示．求：
(1)物体在CD轨道上能上升的最大高度；
(2)物体最后停在什么位置？
【解析】　(1)物体由A点静止下滑，由 ( http: / / www.21cnjy.com )于弧面光滑，所以下滑过程中只有重力做功，重力做的功只与始末位置有关，做功的多少等于重力势能的减少量，物体在BC段，由摩擦力做功的特点(与路经有关)，物体要克服摩擦力做功．且不论摩擦力的方向如何，物体总要克服摩擦力做功．物体最后冲上CD部分，克服重力做功．mgh－μmgsBC＝ 0－0得h＝0.4m，故冲上CD部分高度为0.6m.
(2)物体冲上CD后运动并未能停止，从 ( http: / / www.21cnjy.com )CD部分下滑后再次经过BC部分，若能量足够，物体可能再次上到AB部分．若动能不够就停在BC的某一位置．但不论能否冲上AB部分，最后一定要停下来，运动次数的多少，最后停下来的原因都是BC段有摩擦的结果．虽然物体的运动是分段的，但可以把各过程当成一个整体来对待，即对整体应用动能定理．
mgr－μmgs总＝0－0得s总＝5m.故最后物体停在离B1m处．
【点评】　对重力做功及摩擦力做功的特点(重力做功只讨论高度差，而摩擦力做功的s为路程)，要清楚认识，同样对物体末位置的判断显得尤为重要．
(二)简化处理问题
例3
　总质量为M的列车，沿水平直线轨道 ( http: / / www.21cnjy.com )匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶L的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力．设运动的阻力与车重力成正比，机车的牵引力是恒定的．当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？
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【解析】　此题用动能定理求解比用运动学、牛顿第二定律求解简便．
对车头，脱钩后的全过程用动能定理得：
FL－k(M－m)gs1＝－(M－m)v
对车尾，脱钩后用动能定理得：
－kmgs2＝－mv
而Δs＝s1－s2，由于原来列车是匀速前进的，所以F＝kMg由以上方程解得Δs＝.
【点评】　能否根据题意画出运动模型图是本题解题关键.
例4
　如图1所示，质量为m的物体放在倾角为α，长为l的斜面底端，物体和斜面间的动摩擦因数μ＝tgα.
图1　　　　　　　图2
(1)要将物体沿斜面拉到顶端，至少要用多大的力？力的方向如何？
(2)要将物体沿斜面底端拉到顶端，这时拉力至少要做多少功？拉力的大小和方向如何？
(3)若改用图2所示装置来拉此物体，要使 ( http: / / www.21cnjy.com )作用于绳子A端的拉力做功最少，拉力的大小和方向应如何(不计滑轮和绳的质量，不计滑轮轴的摩擦)？以及此时F所做功的大小？
【解析】　(1)物体能沿斜面上滑的力 ( http: / / www.21cnjy.com )至少要克服重力的分力及摩擦力，即物体沿斜面匀速上升时，作用在物体上的力最小．使物体运动的最小力的条件是合外力为零，物体做匀速直线运动．Fmin＝mgsinα＋μmgcosα＝2mgsinα　沿斜面向上
(2)要使物体沿斜面上升到最高点做功最 ( http: / / www.21cnjy.com )小，则应使物体到达最高点时速度为零，而此时的力F不一定是上述中的最小力．外力做功最小时的条件是物体动能增量为零．此时F＝mg　竖直向上
(3)若改用图2来拉物体，这时 ( http: / / www.21cnjy.com )作用于物体上的力相当于沿斜面和与斜面成β夹角的两个力共同作用．这样的力做功要最小，一是使物体运动过程中动能不增加，同时又尽可能少的克服摩擦力做功．即只克服重力做功，这种情形兼顾了上述(1)(2)两种情形下的力的特点．
要使拉力做功最小，首先必须使木块缓慢上 ( http: / / www.21cnjy.com )升，所以动能不计；此外还要使克服摩擦力做功为零，这时拉力做功仅使木块重力势能增加．此时认为木块处于平衡状态，对木块受力分析： 木块受到重力mg，由于绳子一端受到拉力，木块的滑轮上受到两根绳子的拉力，每个绳子拉力都为F，所以木块受到三个力的作用，如图所示，对木块建立平衡方程，有
( http: / / www.21cnjy.com )
F＋Fcosβ＝mgsinα　(1)
Fsinβ＝mgcosα　(2)
(1)÷(2)得　＝＝tanα
利用三角半角公式得　α＝， β＝π－2α
所以拉力方向和斜面成角为(π－2α)．
将β＝π－2α代入式(2)得拉力
F＝mg＝mg＝
木块滑轮上两个绳子上的拉力所做的功等于克服木块重力所做的功，所以拉力所做的功
WF＝mglsinα教案(24)——动能定理的应用(二)
( http: / / www.21cnjy.com ) 教学目标
掌握动能定理、会熟练地运用动能定理解答有关问题．
教师归纳
用动能定理解决比较复杂的物理问题
用动能定理解题步骤： 1.选取对象
2．合理选取过程
3．列方程求解
分类剖析
(一)应用动能定理简解多过程问题
物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不 ( http: / / www.21cnjy.com )同的小过程(如加速、减速的过程)，此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式则使问题简化．
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例1
　如图所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为 ( http: / / www.21cnjy.com )m的滑块，距挡板P为s0，以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？
【解析】　滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械能不断减少；又因为滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，所以最终会停在斜面底端．
在整个过程中，受重力、摩擦力和斜面支持力作用，其中支持力不做功．设其经过的总路程为L，对全过程，由动能定理得：
mgs0sinα－μmgLcosα＝0－mv得
L＝eq \f(mgs0sinα＋\f(1,2)mv,μmgcosα)
(二)简化处理问题
例2
　总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进 ( http: / / www.21cnjy.com )，其末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶L的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力．设运动的阻力与车重力成正比，机车的牵引力是恒定的．当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？
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【解析】　此题用动能定理求解比用运动学、牛顿第二定律求解简便．
对车头，脱钩后的全过程用动能定理得：
FL－k(M－m)gs1＝－(M－m)v
对车尾，脱钩后用动能定理得：
－kmgs2＝－mv
而Δs＝s1－s2，由于原来列车是匀速前进的，
所以F＝kMg由以上方程解得Δs＝.
例3
　如图所示，质量为m的木块 ( http: / / www.21cnjy.com )，放在倾角为α的斜面上，木块上固定一滑轮，不计质量的绳子跨过滑轮一端固定在斜面顶端，并使绳子与斜面平行，绳子的另一端用力F拉，使木块向上移动s，已知木块与斜面间的摩擦系数为μ，要使拉力做功最少．求：
(1)两绳的夹角β的大小；(2)力F的大小；(3)F所做功的大小．
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【解析】　(1)要使拉力做功最小，首先 ( http: / / www.21cnjy.com )必须使木块缓慢上升，所以动能不计；此外还要使克服摩擦力做功为零，这时拉力做功仅使木块重力势能增加．此时认为木块处于平衡状态，对木块受力分析： 木块受到重力mg，由于绳子一端受到拉力，木块的滑轮上受到两根绳子的拉力，每个绳子拉力都为F，所以木块受到三个力的作用，如图所示，对木块建立平衡方程，有
F＋Fcosβ＝mgsinα(1)
Fsinβ＝mgcosα(2)
(1)÷(2)得　＝＝tanα
利用三角半角公式得　　α＝， β＝π－2α
所以拉力方向和斜面成角为(π－2α)．
(2)将β＝π－2α代入式(2)得拉力
F＝mg＝mg＝
(3)木块滑轮上两个绳子上的拉力所做的功等于克服木块重力所做的功，所以拉力所做的功
　　　　　　　WF＝mgssinα

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