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教案(25)——机械能守恒定律应用
考点解读
考　点 解　读 学 题目分布
势能 理解势能的概念
常识性了解弹性势能 B
A
机械能守恒定律 理解机械能理解动能和重力势能的相互转化与守恒 B 10年上海高考第30题
11年上海高考第22题
11年上海高考第33题
12年上海高考第16题
教学目标
理解和掌握机械能守恒定律，能熟练地运用机械能守恒定律解决实际问题．
教师归纳
1．重力势能的量度公式
(1)用Ep表示势能，物体质量为m，高度为h，则重力势能为：Ep＝mgh
(2)重力势能具有相对性．重力势能的 ( http: / / www.21cnjy.com )大小与零势点的选取有关，选择不同零势点，物体势能不同．原则上设零势点的选取是任意的，一般题中选题中最低点为零势能点．但人们往往关心的是势能的变化而不是势能本身．
(3)由于零势点的选取，势能有正负之分 ( http: / / www.21cnjy.com )．若物体在零势面以上h米处，其重力势能为Ep＝mgh；若物体在零势能以下h米处时，其重力势能为Ep＝－mgh.势能的正负表明势能的大小．
(4)重力做正功，物体重力势能减少，物体 ( http: / / www.21cnjy.com )重力做多少正功，重力势能就减少多少．物体克服重力做功，物体重力势能就增加，克服重力做多少功，物体重力势能就增加多少．
2．对机械能守恒定律的理解
(1)机械能守恒定律的研究对象一定 ( http: / / www.21cnjy.com )是系统，至少包括地球在内．通常我们说“小球的机械能守恒”其实也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的．另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度．
(2)当研究对象(除地球以外)只有一 ( http: / / www.21cnjy.com )个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象(除地球以外)由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒．
(3)“只有重力做功”不等于“只受重力 ( http: / / www.21cnjy.com )作用”．在该过程中，物体可以受其他力的作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”．
3．对机械能守恒条件的认识
如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和势能的相互转化时，机械能的总量保持不变，这就是机械能守恒定律．没有摩擦和介质阻力，这是守恒条件．
4．机械能守恒定律的各种表达形式
(1)mgh＋mv2＝mgh′＋mv′2，即Ep＋Ek＝Ep′＋Ek′；
(2)ΔEp＋ΔEk＝0；ΔE1＋ΔE2＝0；
－ΔEp＝ΔEk
用(1)时，需要规定重力势能 ( http: / / www.21cnjy.com )的参考平面．用(2)时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系．尤其是用－ΔEp＝ΔEk，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了．
5．解题步骤
(1)确定研究对象和研究过程．
(2)判断机械能是否守恒．
(3)选定一种表达式，列式求解．
分类剖析
(一)机械能守恒条件的识别
例1
　下列情况中机械能一定不守恒的有(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．物体在地球表面以5m/s2的加速度竖直向下加速运动
B．除重力外还有一个外力作用在物体上
C．物体做匀速圆周运动
D物体在地球表面沿倾角为30°的斜面以5m/s2的加速度加速下滑
【解析】　在地球表面只受重 ( http: / / www.21cnjy.com )力作用时向下运动的加速度为10m/s2，现在物体以5m/s2加速度竖直向下加速运动，除重力外必有向上的其他力作用，该力对物体做负功，除重力外的力做功不为零，所以机械能一定不守恒，A正确．除重力外还有一个力作用在物体上，但没讲该力是否做功，如果不做功，机械能守恒；如果做功，机械能就不守恒，B错误，物体做匀速圆周运动，其动能一定不变，机械能是否守恒只要看势能是否变化就行了，这里没讲怎么做匀速圆周运动，如果在水平面内做匀速圆周运动，机械能就守恒；如果在竖直平面或是在斜面上做匀速圆周运动，机械能就不守恒，C错误．沿倾角为30°的斜面以5m/s2的加速度加速下滑时，除重力沿斜面的分力外，其他力的合力为零，所以除重力外的力做功必为零，机械能必守恒，D错误．
【点评】　判断机械能是否守恒可以根据机械能守恒的条件，也可以从动能和势能的变化来分析.
例2
　(1)如图如果物块和斜面之间是光滑的，斜面和地面之间是不光滑的，则物块从静止沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？
(2)如图如果物块和斜面之间是光滑的，斜面和地面之间也是光滑的，物块从静止沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？
( http: / / www.21cnjy.com )(1)
( http: / / www.21cnjy.com )(2)
【解析】　(1)物块和斜面之间是光滑的，物 ( http: / / www.21cnjy.com )块机械能守恒，斜面对物块不做功；系统机械能守恒，以物块和斜面系统为研究对象，很明显物块下滑过程中系统没有摩擦和介质阻力做功，故系统机械能守恒．
(2)如果物块和斜面之间是光滑的，斜面和地面 ( http: / / www.21cnjy.com )之间也是光滑的，物块机械能不守恒，斜面对物块做功；系统机械能守恒，以物块和斜面系统为研究对象，很明显物块下滑过程中系统不受摩擦和介质阻力，故系统机械能守恒．
【点评】　有些同学一看本题说的是光滑斜面，容 ( http: / / www.21cnjy.com )易错认为物块本身机械能就守恒．这里要提醒两条： (1)由于斜面本身要向左滑动，所以斜面对物块的弹力N和物块的实际位移s的方向已经不再垂直，弹力要对物块做负功，对物块来说已经不再满足“只有重力做功”的条件．(2)由于斜面一定会向左运动，其动能也只能是由物块的机械能转移而来，所以物块的机械能必然减少．
(二)多个物体组成系统的机械能守恒问题
例3
　如图所示，半径为R的光滑半 ( http: / / www.21cnjy.com )圆上有两个小球A、B，质量分别为m和M，由细线挂着，今由静止开始无初速度自由释放，求小球A升至最高点C时A、B两球的速度？
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】　A球沿半圆弧运动，绳长 ( http: / / www.21cnjy.com )不变，A、B两球通过的路程相等，A上升的高度为h＝R；B球下降的高度为H＝＝；对于系统，由机械能守恒定律得：
－ΔEp＝ΔEk；
∴ΔEp＝Mg－mgR＝(M＋m)v
∴vC＝
【点评】　能否画出末位置的模型图是关键．
例4
　如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球 ( http: / / www.21cnjy.com )固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴．AO、BO的长分别为2L和L.开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方．让该系统由静止开始自由转动．
求： (1)当A到达最低点时，A小球的速度大小v；
(2)B球能上升的最大高度h；
(3)开始转动后B球可能达到的最大速度vm.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】　以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒．
(1)过程中A的重力势能减少，A、B的 ( http: / / www.21cnjy.com )动能和B的重力势能增加，A的瞬时速度总是B的2倍.2mg·2L＝3mg·L＋·2m·v2＋·3m()2，解得v＝
(2)B球不可能到达O的正上方，它 ( http: / / www.21cnjy.com )到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位置向左偏了α角.2mg·2Lcosα＝3mg·L(1＋sinα)，此式可化简为4cosα－3sinα＝3，利用三角公式可解得sin(53°－α)＝sin37°，α＝16°，所以上升的最大高度h＝(1＋sin16°)L
( http: / / www.21cnjy.com )(1)
( http: / / www.21cnjy.com )(2)
( http: / / www.21cnjy.com )(3)
(3)B球速度最大时就是系统动能 ( http: / / www.21cnjy.com )最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功WG.设OA从开始转过θ角时B球速度最大，·2m·(2vm)2＋·3m·v
＝2mg·2Lsinθ－3mg·L(1－cosθ)
＝mgL(4sinθ＋3cosθ－3)≤2mg·L，解得vm＝
【点评】　本题如果用Ep＋Ek＝Ep′＋Ek′这种表达形式，就需要规定重力势能的参考平面，显然比较繁琐．用－ΔEp＝ΔEk就要简洁得多.
例5
　如图所示，均匀铁链长为L，平放在距离地面高为2L的光滑水平面上，其长度的悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，求铁链下端刚要着地时的速度？
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】　方法一：选取地面为零势能面：
　　mg2L＋mg(2L－)＝mg＋mv2
解得： v＝
方法二：桌面为零势能面：
－mg＝－mg(L＋)＋mv2
解得： v＝
【点评】　零势能面选取不同，所列出的表 ( http: / / www.21cnjy.com )达式不同，虽然最后解得的结果是一样的，但解方程时的简易程度是不同的，从本例可以看出，方法二较为简捷．因此，灵活、准确地选取零势能面，往往会给题目的求解带来方便．本题用－ΔEp＝ΔEk也可以求解，但不如用Ep＋Ek＝Ep′＋Ek′简便，同学们可以自己试一下．因此，选用哪一种表达形式，要具体题目具体分析．教案(25)——机械能守恒定律应用
考点解读
考　点 解　读 学 题 目 分 布
势能 理解势能的概念
常识性了解弹性势能 B
B
机械能守恒定律 理解机械能理解动能和重力势能的相互转化与守恒 B 04年上海高考第8题
05年上海高考第9题
07年上海高考第5题
( http: / / www.21cnjy.com ) 教学目标
理解和掌握机械能守恒定律，能熟练地运用机械能守恒定律解决实际问题．
教师归纳
1．机械能守恒定律的两种表述
在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变．
2．对机械能守恒定律的理解
(1)机械能守恒定律的研究对象一定是系统 ( http: / / www.21cnjy.com )，至少包括地球在内．通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的．另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度．
(2)当研究对象(除地球以外)只有一个物体 ( http: / / www.21cnjy.com )时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象(除地球以外)由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒．
(3)“只有重力做功”不等于“只受重力作用 ( http: / / www.21cnjy.com )”．在该过程中，物体可以受其他力的作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”．
3．对机械能守恒条件的认识
如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和势能的相互转化时，机械能的总量保持不变，这就是机械能守恒定律．没有摩擦和介质阻力，这是守恒条件．
具体的讲，如果一个物理过程 ( http: / / www.21cnjy.com )只有重力做功，是重力势能和动能之间发生相互转化，没有与其他形式的能发生转化，物体的动能和重力势能总和保持不变．如果只有弹簧的弹力做功，弹簧与物体这一系统，弹性势能与动能之间发生相互转化，不与其他形式的能发生转化，所以弹性势能和动能总和保持不变．分析一个物理过程是不是满足机械能守恒，关键是分析这一过程中有哪些力参与了做功，这一力做功是什么形式的能转化成什么形式的能．如果只是动能和势能的相互转化，而没有与其他形式的能发生转化，则机械能总和不变．如果没有力做功，不发生能的转化，机械能当然也不发生变化．
4．机械能守恒定律的各种表达形式
(1)mgh＋mv2＝mgh′＋mv′2，即Ep＋Ek＝Ep′＋Ek′；
(2)ΔEp＋ΔEk＝0；ΔE1＋ΔE2＝0；－ΔEp＝ΔEk
用(1)时，需要规定重力势能的参考平面 ( http: / / www.21cnjy.com )．用(2)时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系．尤其是用－ΔEp＝ΔEk，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了．
5．解题步骤
(1)确定研究对象和研究过程．
(2)判断机械能是否守恒．
(3)选定一种表达式，列式求解．
分类剖析
(一)机械能守恒条件的识别
例1
　如图物块和斜面都是光滑的，物块从静止沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (1)
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (2)
【解析】　物块机械能不守恒，斜面对 ( http: / / www.21cnjy.com )物块做功；系统机械能守恒，以物块和斜面系统为研究对象，很明显物块下滑过程中系统不受摩擦和介质阻力，故系统机械能守恒．
【点评】　有些同学一看本题说的是光 ( http: / / www.21cnjy.com )滑斜面，容易错认为物块本身机械能就守恒．这里要提醒两条： (1)由于斜面本身要向左滑动，所以斜面对物块的弹力N和物块的实际位移s的方向已经不再垂直，弹力要对物块做负功，对物块来说已经不再满足“只有重力做功”的条件．(2)由于斜面一定会向左运动，其动能也只能是由物块的机械能转移而来，所以物块的机械能必然减少．
(二)多个物体组成系统的机械能守恒问题
例2
　如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球固 ( http: / / www.21cnjy.com )定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴．AO、BO的长分别为2L和L.开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方．让该系统由静止开始自由转动．
求： (1)当A到达最低点时，A小球的速度大小v；
(2)B球能上升的最大高度h；
(3)开始转动后B球可能达到的最大速度vm.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
【解析】　以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒．
(1)过程中A的重力势能减 ( http: / / www.21cnjy.com )少，A、B的动能和B的重力势能增加，A的即时速度总是B的2倍.2mg·2L＝3mg·L＋·2m·v2＋·3m()2，解得v＝
(2)B球不可能到达O的 ( http: / / www.21cnjy.com )正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位置向左偏了α角.2mg·2Lcosα＝3mg·L(1＋sinα)，此式可化简为4cosα－3sinα＝3，利用三角公式可解得sin(53°－α)＝sin37°，α＝16°，所以上升的最大高度h＝(1＋sin16°)L
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (1)
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (2)
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (3)
(3)B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功WG.设OA从开始转过θ角时B球速度最大，
·2m·(2vm)2＋·3m·v
＝2mg·2Lsinθ－3mg·L(1－cosθ)
＝mgL(4sinθ＋3cosθ－3)≤2mg·L，解得vm＝
【点评】　本题如果用Ep＋Ek＝Ep′ ( http: / / www.21cnjy.com )＋Ek′这种表达形式，就需要规定重力势能的参考平面，显然比较繁琐．用－ΔEp＝ΔEk就要简洁得多．下面再看一道例题．
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例3
　如图所示，半径为R的光滑半圆上有两个 ( http: / / www.21cnjy.com )小球A、B，质量分别为m和M，由细线挂着，今由静止开始无初速度自由释放，求小球A升至最高点C时A、B两球的速度？
【解析】　A球沿半圆弧运动，绳长不 ( http: / / www.21cnjy.com )变，A、B两球通过的路程相等，A上升的高度为h＝R；B球下降的高度为H＝＝；对于系统，由机械能守恒定律得：
－ΔEp＝ΔEk；
∴ΔEp＝Mg－mgR＝(M＋m)vC
∴vC＝
例4
　如图所示，均匀铁链长为L，平放在距离地面高为2L的光滑水平面上，其长度的悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，求铁链下端刚要着地时的速度？
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
【解法一】　选取地面为零势能面：
mg2L＋mg(2L－)＝mg＋mv2
解得： v＝
【解法二】　桌面为零势能面：
－mg＝－mg(L＋)＋mv2
解得： v＝
【点评】　零势能面选取不同，所列出的表达 ( http: / / www.21cnjy.com )式不同，虽然最后解得的结果是一样的，但解方程时的简易程度是不同的，从本例可以看出，方法二较为简捷．因此，灵活、准确地选取零势能面，往往会给题目的求解带来方便．本题用－ΔEp＝ΔEk也可以求解，但不如用Ep＋Ek＝Ep′＋Ek′简便，同学们可以自己试一下．因此，选用哪一种表达形式，要具体题目具体分析．

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