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教案(26)——功能关系综合应用(一)
考点解读
能是状态量，功是过程量，做功是能量转化的量度．
( http: / / www.21cnjy.com ) 教学目标
掌握功能关系的综合知识会解决功能综合问题．
教师归纳
1．功的物理定义： 功是能的转化量度．
2．能的转化与守恒在研究比较综合的物理时要综合运用能量守恒的观点解题，往往能认清物理过程的全貌．
分类剖析
例1
　如图所示，粗细均匀的U型管内装有总长为4L的水．开始时阀门K闭合，左右支管内水面高
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度差为L.打开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？(管的内部横截面很小，摩擦阻力忽略不计)
【解析】　由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱 ( http: / / www.21cnjy.com )的机械能守恒．从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长L/2的水柱由左管移到右管．系统的重力势能减少，动能增加．该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力势能的减少．不妨设水柱总质量为8m，则mg·＝·8m·v2，得v＝.
【点评】　本题在应用机械能守恒定律时仍然是 ( http: / / www.21cnjy.com )用－ΔEp＝ΔEk建立方程，在计算系统重力势能变化时用了等效方法．需要注意的是： 研究对象仍然是整个水柱，到两个支管水面相平时，整个水柱中的每一小部分的速率都是相同的.
例2
　如图所示，游乐列车由许多节车厢组成．列车 ( http: / / www.21cnjy.com )全长为L，圆形轨道半径为R，(R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L＞2πR)．已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动，在轨道的任何地方都不能脱轨．试问： 在没有任何动力的情况下，列车在水平轨道上应具有多大初速度v0，才能使列车通过圆形轨道而运动到右边的水平轨道上？
【解析】当游乐车灌满整个圆形轨道时，游乐车的速度最小，设此时速度为v，游乐车的质量为m，则据机械能守恒定律得：
mv＝2πRgR＋mv2
要游乐车能通过圆形轨道，则必有v＞0，所以有
v0＞2R　
例3
　质量为0.02kg的小球 ( http: / / www.21cnjy.com )，用细线拴着吊在沿直线行驶着的汽车顶棚上，在汽车距车站15m处开始刹车，在刹车过程中，拴球的细线与竖直方向夹角θ＝37°保持不变，g取10m/s2，如图(1)所示，汽车到车站恰好停住．
求： (1)开始刹车时汽车的速度；
(2)汽车在到站停住以后，拴小球细线的最大拉力．(g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
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【解析】　(1)小球受力分析如图(2)所示
因为F合＝mgtanθ＝ma
所以a＝gtanθ＝10×m/s2＝7.5m/s2
对汽车，由v＝2as
得v0＝＝m/s＝15m/s
(2)小球摆到最低点时，拉力最大，设为T，绳长设为l
根据机械能守恒定律，有mg(l－lcosθ)＝mv2
在最低点，有T－mg＝m，
T＝mg＋2mg(1－cosθ)，
代入数值解得T＝0.28N
例4
　如图所示，一根长为1m，可绕O轴在竖 ( http: / / www.21cnjy.com )直平面内无摩擦转动的细杆AB，已知OA＝0.6m；OB＝0.4m，质量相等的两个球分别固定在杆的A、B端，由水平位置自由释放，g取10m/s2，求轻杆转到竖直位置时两球的速度？
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【解析】　A、B球在同一杆上具有相同的角速度ω，
vA∶vB＝RA∶RB＝3∶2，
A、B组成一个系统，
系统重力势能的改变量等于动能的增加量，
选取水平位置为零势能面，则：
ΔEp＝ΔEpA＋ΔEpB
＝－mgR1＋mgR2
＝－mg(R1－R2)＝－0.2mg
ΔEk＝ΔEkA＋ΔEkB
＝mv＋mv
＝m(R＋R)ω2
－ΔEp＝ΔEk，0.2mg＝0.26mω2
解得： ω＝rad/s，vA＝1.66m/s，vB＝1.11m/s
例5
　小球在外力作用下，由静止开始从A点出发做匀加速直线运动，到B点时消除外力．然后，小球冲上竖直平面内半径为R的光滑半圆环，恰能维持在圆环上做圆周运动，到达最高点C后抛出，最后落回到原来的出发点A处，如图所示，试求小球在AB段运动的加速度为多大？ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
【解析】　读题的物理过程可分三段： ( http: / / www.21cnjy.com ) 从A到弧匀加速直线运动过程；从B沿圆环运动到C的圆周运动，且注意恰能维持在圆环上做圆周运动，在最高点满足重力全部用来提供向心力；从C回到A的平抛运动．
根据题意，在C点时，满足
mg＝m①
从B到C过程，由机械能守恒定律得
－mg2R＝mv2－mv②
由①、②式得vB＝
从C到A过程，满足2R＝gt2③
水平位移s＝vt，v＝④
由③、④得s＝2R
从A到B过程，满足2as＝v
∴a＝g
例6
　如图所示，半径分别为R和r的甲、 ( http: / / www.21cnjy.com )乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道．若小球在两圆轨道的最高点对轨道压力都恰好为零，试求水平CD段的长度．
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【解析】　(1)小球在光滑圆轨道上滑行时，机 ( http: / / www.21cnjy.com )械能守恒，设小球滑过C点时的速度为vC，通过甲环最高点速度为v′，根据小球对最高点压力为零，由圆周运动公式有
mg＝m①
取轨道最低点为零势能点，由机械能守恒定律
mv＝mg2R＋mv′2②
由①、②两式消去v′，可得vC＝
同理可得小球滑过D点时的速度vD＝，
设CD段的长度为l，对小球滑过CD段过程应用动能定理
－μmgl＝mv－mv，
将vC、vD代入，
可得l＝教案(26)——功能关系综合应用(一)
考点解读
考　点 解　读 学 题目分布
功能关系 理解做功是能量转化的量度 B
教学目标
掌握功能关系的综合知识，会解决功能综合问题．
教师归纳
1．功的物理定义： 功是能的转化量度．
2．能的转化与守恒在研究比较综合的物理时要综合运用能量守恒的观点解题，往往能认清物理过程的全貌．
分类剖析
例1
　如图所示，粗细均匀的U型管内装有总长为4L的水．开始时阀门K闭合，左右支管内水面高
( http: / / www.21cnjy.com )
度差为L.打开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？(管的内部横截面很小，摩擦阻力忽略不计)
【解析】　由于不考虑摩擦阻力 ( http: / / www.21cnjy.com )，故整个水柱的机械能守恒．从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长L/2的水柱由左管移到右管．系统的重力势能减少，动能增加．该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力势能的减少量．不妨设水柱总质量为8m，则mg·＝·8m·v2，得v＝.
【点评】　本题在应用机械能守恒定律时仍 ( http: / / www.21cnjy.com )然是用－ΔEp＝ΔEk建立方程，在计算系统重力势能变化时用了等效方法．需要注意的是： 研究对象仍然是整个水柱，到两个支管水面相平时，整个水柱中的每一小部分的速率都是相同的.
例2
　如图所示，质量均为m的小球A、B、C ( http: / / www.21cnjy.com )用两条长为L的细线相连，置于高为h的光滑水平桌面上，A球刚跨过桌边．若A球、B球相继下落着地后均不再反弹，则C球离开桌边时的速度大小是多少？
【解析】　A球下落过程中势能减少mgh， ( http: / / www.21cnjy.com )使A、B、C每球动能增加mgh/3；B球下落过程中势能又减少mgh，使B、C两球动能各增加mgh/2.这样C球在滑出桌面前动能总共增加mgh/3＋mgh/2＝5mgh/6，根据mv2/2＝5mgh/6可得vC＝.
【点评】　上述解法之所以简洁明了，主要是因为对物理过程和研究对象的准确把握.
例3
　如图所示，游乐列车由许多节车厢组成．列车全 ( http: / / www.21cnjy.com )长为L，圆形轨道半径为R，(R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L＞2πR)．已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动，在轨道的任何地方都不能脱轨．试问： 在没有任何动力的情况下，列车在水平轨道上应具有多大初速度v0，才能使列车通过圆形轨道而运动到右边的水平轨道上？
【解析】当游乐车灌满整个圆形轨道时，游乐车的速度最小，设此时速度为v，游乐车的质量为m，则据机械能守恒定律得：
mv＝2πRgR＋mv2
要游乐车能通过圆形轨道，则必有v＞0，所以有　v0＞2R　
【点评】　此题通过最高点临界速度为何是0呢？
例4
　如图所示，一根长为1m，可绕O轴在 ( http: / / www.21cnjy.com )竖直平面内无摩擦转动的细杆AB，已知OA＝0.6m；OB＝0.4m，质量相等的两个球分别固定在杆的A、B端，由水平位置自由释放，g取10m/s2，求轻杆转到竖直位置时两球的速度？
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】　A、B球在同一杆上具有相同的角速度ω，
vA∶vB＝RA∶RB＝3∶2，
A、B组成一个系统，系统重力势能的改变量等于动能的增加量，选取水平位置为零势能面，则：
ΔEp＝ΔEpA＋ΔEpB＝－mgR1＋mgR2
＝－mg(R1－R2)＝－0.2mg
ΔEk＝ΔEkA＋ΔEkB＝mv＋mv
＝m(R＋R)ω2＝0.26mω2
－ΔEp＝ΔEk，0.2mg＝0.26mω2
解得： ω＝rad/s，vA＝1.66m/s，vB＝1.11m/s
【点评】　此题中单个物体的机械能守恒吗？
例5
　如图所示，半径分别为R和r的甲、乙两 ( http: / / www.21cnjy.com )个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道．若小球在两圆轨道的最高点对轨道压力都恰好为零，试求水平CD段的长度．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】　(1)小球在光滑圆轨道上滑行时 ( http: / / www.21cnjy.com )，机械能守恒，设小球滑过C点时的速度为vC，通过甲轨道最高点速度为v′，根据小球对最高点压力为零，由圆周运动公式有
mg＝m①
取轨道最低点为零势能点，由机械能守恒定律
mv＝mg2R＋mv′2②
由①、②两式消去v′，可得vC＝
同理可得小球滑过D点时的速度vD＝，
设CD段的长度为l，对小球滑过CD段过程应用动能定理
－μmgl＝mv－mv，
将vC、vD代入，
可得l＝
【点评】　本题把求圆周运动临界向心力知识和动能定理结合在一起了．

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