资源简介

教案(28)——动量与守恒
考点解读
考　点 解　读 学 题目分布
动量 理解动量的概念 B
动量守
恒定律 理解动量守恒定律 B 11年上海高考第22题
12年上海高考第16题
教学目标
理解动量守恒定律，会运用动量守恒定律解决一些简单问题．
教师归纳
(一)动量
1．动量的特征
(1)矢量性： 它的方向与物体的速度方向相同．
(2)它是反映物体运动状态的物理量，是一个状态量．
注意动量和动能的区别，动能是标量．
冲量：I＝Ft，冲量是描述力的时间积累作用的量，它也是矢量，方向与力的方向相同．
注意冲量和功的区别，功是标量，是描述力的空间积累作用的量，而且做功一定要在力的方向上有位移，而冲量只要力作用了一段时间，并不一定要有位移．
2．动量定理
物体所受合外力的冲量等于物体动量的改变量，I＝ΔP或写成Ft＝Δmv.
这里要注意：(1)I是合外力的冲量．
(2)ΔP是动量改变量，而动量是矢量，所以ΔP是矢量差．
动量定理与动能定理形式上很相似，但特别要注意它等号的两边都是矢量，所以应用动量定理解题时常需规定一个正方向．
(二)动量守恒定律
动量守恒定律的特征
(1)矢量性： 动量守恒定律的表达式是一个矢量方程，在同一直线上运用时要注意选取正方向．
(2)同一性： 公式中的速度都必须相对于同一参照系．
(3)同时性： 以m1v1＋m2v2 ( http: / / www.21cnjy.com )＝m1v1′＋m2v2′为例，v1，v2应是作用前同一时刻的速度，v1′，v2′应是作用后同一时刻的速度．
(4)普适性： 动量守恒定律不仅适用于宏观物体，而且也适用于微观粒子间的作用．
分类剖析
例1
　在光滑的水平面上一个质量为4m的小球 ( http: / / www.21cnjy.com )A，以5 m/s的速度撞击一个静止在水平面上质量为m的小球B，用vA、vB表示碰撞后两球的速度，下列几组数据中可能发生的是(　　)
A．vA＝3 m/s，vB＝8 m/s
B．vA＝－4 m/s，vB＝4 m/s
C．vA＝4.5 m/s，vB＝2 m/s
D．vA＝2 m/s，vB＝12 m/s
【解析】　(1)根据动量守恒原则可知，B选项错误．
(2)根据动能不增加原则可知，D选项错误．
(3)根据碰后合理性原则可知，C选项错误．
因此，正确答案为A选项．
【点评】　动量是矢量，应用动量守恒定律时，应注意系统各物理量的方向，由于都在同一直线上，可以用正、负号表示方向.
例2
　如图所示，长为L、质量为M的小船停在静 ( http: / / www.21cnjy.com )水中，一个质量为m的人立在船头，若不计水的阻力，当人从船头走到船尾的过程中，船和人对地的位移各是多少？
　
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】　以人和船组成的系统为研究 ( http: / / www.21cnjy.com )对象，系统水平方向始终不受外力，所以水平方向动量时刻守恒．由于系统初速为零，所以人的动量与船的动量大小时刻相等方向相反，质量与速度成反比．又因为时间相等，所以质量与位移成反比．
设人的位移为s1，船的位移为s2，以向右为正方向，则
　　　　　ms1－Ms2＝0
由图可以看出s1＋s2＝L，将以上两式联立可得
　　　　s1＝， s2＝
【点评】　以上人和船组成的系统动量守 ( http: / / www.21cnjy.com )恒，质量与位移成反比的规律也叫“人船模型”规律．由本题可知，这一规律成立的条件是： (1)系统的初速度为零．(2)系统的动量时刻守恒．(3)s1、s2均为对地位移，且： s1＋s2＝L，其中L为相对位移.
例3
　质量为M的气球上有一质量为m的人，它 ( http: / / www.21cnjy.com )们共同静止在距地面高为H处的空中，现从气球上放下一根质量不计的长绳，以便人沿着绳安全下滑到地面，试求绳的最小长度．
【解析】　把气球和人看成一个系统，它们所受的合外力为零，所以系统的总动量守恒，设气球向上运动的速度为v，人向下滑的速度为v，对任意时刻都有
Mv＋m(－v)＝0.
设气球向上运动的距离为S，人向下滑的距离为s，则有MS＝ms.
所以S＝mH/M
绳长应为L＝S＋H＝(M＋m)H/M
【点评】　对系统动量守恒进行分析．本章小结
知识网络
( http: / / www.21cnjy.com )
考题解析
考题1　　在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图所示形状，相应的曲线方程为y＝2.5cos(kx＋π)(单位： m)，式中k＝1m－1.将一光滑小环套在该金属杆上，并从x＝0处以v0＝5m/s的初速度沿杆向下运动，重力加速度g取10m/s2.则当小环运动到x＝m时的速度大小v＝________m/s；该小环在x轴方向最远能运动到x＝________m处．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】　本题形式比较新型， ( http: / / www.21cnjy.com )主要考查了能量守恒的概念，同时又将该知识点与波动形式的曲线相结合，拓展了学生的知识面，有助于学生发散性思维的提高．
首先求出x＝0点处y的坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )，将x＝0代入振动图线方程，可求得x＝0时y的坐标为y＝－1.25.当小环运动到x＝处时，代入方程，得y＝－2.5，即小环在金属杆的最低处，在该处的总能量应与出发点的总能量相等，设此时小环的速度为v，且最低点为零势能点，于是有mv＋mgy0＝mv2，可求得v2＝25＋25＝50，所以v＝5m/s.当小环运动到最远处时，小环的总能量全部转化为环的势能，于是有mv＋mgy0＝mgy′，代入数据得y′＝2.5m，考虑到零势能点在最低位置处，因此y′＝2.5m表明此时小环已经运动到平衡位置处，即对应于y＝0，于是有y＝0＝2.5cos(kx＋π)，所以kx＋π＝，或π，相应求得x的值为x＝－或x＝π，显然x＝－不符合要求，故取x＝π.
考题2　　如图，一长为L的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为m的小球．一水平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度ω匀速转动，当杆与水平方向成60°时，拉力的功率为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
( http: / / www.21cnjy.com )
A．mgLw B.mgLw
C.mgLw D.mgLw
【解析】　先求拉力F的大小．根据力矩平衡， ( http: / / www.21cnjy.com )F·sin60°＝mgLcos60°，得F＝；再求速度v＝w·；再求力与速度的夹角θ＝30°，所以功率P＝Fvcosθ＝
mgLw.所以本题选C.
【答案】　C
【点评】　本题考查力矩平衡，线速度与角速度关系，瞬时功率公式等．难度：中等．
考题3　　物体沿直线运动的vt关系如图所示，已知在第1秒内合外力对物体做的功为W，则(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．从第1秒末到第3秒末合外力做功为4W
B．从第3秒末到第5秒末合外力做功为－2W
C．从第5秒末到第7秒末合外力做功为W
D．从第3秒末到第4秒末合外力做功为－0.75W
【解析】　本题考查物体做直线运动时的vt关系 ( http: / / www.21cnjy.com )图线，该知识点属于基础知识．由vt图线可以看出，物体在0～1s内做匀加速运动，并达到最大速度v，因此在该段时间内合外力所做的功为A＝mv2－0＝W；在1～3s时间内，物体的加速度变为零，即物体的动能没有变化，因此由动能定理可知，在该段时间内合外力做功为零，选项A错；在3～5s时间内，物体做匀减速运动，两时刻动能差为0－mv2＝－W，与选项B不符；同理可知在5～7s时间内，物体动能变化为mv2－0＝W，在3～4s内物体做功－0.75W，所以选项C、D为正确答案．本题容易犯的错误是把速度图线与x轴围成的面积的大小误认为与做功有关，尤其是在1～3s时间内，所围的面积最大，但那是路程而不是功，在该过程中速度保持恒定不变，说明合外力为零，所以功也为零．
考题4　　如图所示，一条很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧．从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．h B．1.5h
C．2h D．2.5h
【解析】　在b球落地前，a、b球组成的系统机 ( http: / / www.21cnjy.com )械能守恒，且a、b两球速度大小相等，根据机械能守恒定律可知：3mgh－mgh＝(m＋3m)v2，v＝；b球落地时，a球高度为h，之后a球向上做竖直上抛运动，在这个过程中机械能守恒，mv2＝mgΔh，Δh＝＝，所以a球可通达到的最大高度为1.5h，B项正确．
考题5　　如图所示，某滑板爱好者在离地h＝1.8m高的平台上滑行，水平离开A点后落在水平地面的B点，其水平位移s1＝3m，着地时由于存在能量损失，着地后速度变为v＝4m/s，并以此为初速度沿水平地面滑行s2＝8m后停止．已知人与滑板的总质量m＝60kg.求：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力大小．
(2)人与滑板离开平台时的水平初速度(空气阻力忽略不计，g取10m/s2)．
【解析】　本题选择了较新的情 ( http: / / www.21cnjy.com )境，综合了力学中的动能定理、平抛运动等基本知识点，同时考查考生分析问题、解决问题的能力．认真读题，全面分析运动过程是解答此题的关键．
(1)设滑板在水平地面上滑行时受到的平均阻力为f，根据动能定理有
－fs2＝0－mv2，①
由①式解得　　f＝＝N＝60N.②
(2)人和滑板一起在空气中做平抛运动，设初速度为v0，飞行时间为t，根据平抛运动规律有：
t＝，③
v0＝，④
由③④两式解得： v0＝＝m/s＝5m/s.⑤
考题6　　如图所示，一滑雪运动员(可看做质点)自平台A上由静止开始沿光滑滑道滑下，滑到一平台B，从平台B的边缘沿水平抛出，恰好落在台的一倾角为θ＝53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台B的高度差h＝20m，斜面顶端高H1＝88.8m，重力加速度g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，则
(1)滑雪运动员开始下滑时的高度H是多少？
(2)斜面顶端与平台B边缘的水平距离s是多少？
(3)滑雪运动员离开平台B后经多长时间到达斜面底端C.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】　(1)设滑雪运动员在B点时的速度为vB，从B到斜面的时间为t1，由平抛运动的知识得：
tanθ＝，h＝gt，
由以上各式得：vB＝15m/s，t1＝2s.
对滑雪运动员，由机械能守恒定律得：
mg(H－h－H1)＝mv，解得H＝120.05m.
(2)滑雪运动员水平方向做匀速直线运动，s＝vBt1，解得s＝30m.
(3)滑雪运动员在斜面顶端时的速度
v＝eq \r(v＋v)＝25m/s，
滑雪运动员在斜面上做匀加速直线运动，设时间为t2，＝vt2＋gsinθ·t，解得t2＝3s.
所以，滑雪运动员离开平台B后到达斜面底端C的总时间：t＝t1＋t2＝5s.
考题7　　如图(a)，磁铁A、B的同名磁极相对放置，置于水平气垫导轨上．A固定于导轨左端，B的质量m＝0.5kg，可在导轨上无摩擦滑动．将B在A附近某一位置由静止释放，由于能量守恒，可通过测量B在不同位置处的速度，得到B的势能随位置x的变化规律，见图(c)中曲线Ⅰ.若将导轨右端抬高，使其与水平面成一定角度(如图(b)所示)，则B的总势能曲线如图(c)中Ⅱ所示，将B在x＝20.0cm处由静止释放，求：(解答时必须写出必要的推断说明．取g＝9.8m/s2)
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)B在运动过程中动能最大的位置．
(2)运动过程中B的最大速度和最大位移．
(3)图(c)中直线Ⅲ为曲线Ⅱ的渐近线，求导轨的倾角．
(4)若A、B异名磁极相对放置，导轨的倾角不变，在图(c)上画出B的总势能随x的变化曲线．
( http: / / www.21cnjy.com )(c)
【解析】　(1)势能最小处动能最大，由图线Ⅱ得x＝6.1cm(在5.9 ～ 6.3cm间均视为正确)
(2)由图读得释放处(x＝20. ( http: / / www.21cnjy.com )0cm处)势能E＝0.90J，此即B的总能量．由于运动中总能量守恒，因此在势能最小处动能最大，由图像得最小势能为0.47J，则最大动能为Ekm＝0.9－0.47＝0.43J(Ekm在0.42～0.44J间均视为正确)最大速度为vm＝＝＝1.31m/s(vm在1.29～1.33m/s间均视为正确)
x＝20.0cm处的总能量为0.90J，最 ( http: / / www.21cnjy.com )大位移由E＝0.90J的水平直线与曲线Ⅱ的左侧交点确定，由图中读出(左侧)交点位置为x＝2.0cm，因此，最大位移
Δx＝20.0－2.0＝18.0cm(Δx在17.9～18.1cm间均视为正确)
(3)渐近线Ⅲ表示B的重力势能随位置变化关系，即：Ep＝mgxsinθ＝kx ∴sinθ＝.
由图读出直线斜率 k＝＝4.23×10－2J/cm
θ＝sin－1＝sin－1＝59.7°(θ在59°～61°间均视为正确)
(4)若异名磁极相对放置，A、B间相互作用势能为负值，总势能如图．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】　本题考查包括重力势能、磁场能 ( http: / / www.21cnjy.com )和动能在内的能量守恒，其中，总势能包括重力势能和磁极间相互作用势能即磁场能，还要读图和作图，难度：难．难在(1)关于渐近线，有的同学没有学过，不懂渐近线是什么，即使知道渐近线是曲线的趋势线，也难知道对本题来说，渐近线是重力势能线．(2)把曲线Ⅱ转化为答案中的虚线，把重力势能与磁场能之和转化为二者之差也不容易．此题高考中从来没有出现过，是创新．教案(28)——动量与守恒
( http: / / www.21cnjy.com ) 教学目标
理解动量守恒定律，会运用动量守恒定律解决一些简单问题．
教师归纳
(一)动量
1．动量的概念物体的质量和运动速度的乘积叫做物体的动量，用式p＝mv表示，单位是千克·米/秒(kg·m/s)．
2．动量的特征
(1)矢量性： 它的方向与物体的速度方向相同．
(2)它是反映物体运动状态的物理量，是一个状态量．
(二)动量守恒定律
1．内容　当系统不受外力或所受外力的合力为零时，这个系统的动量就保持不变．
2．条件　系统不受外力或所受外力的合力为零．
3．公式　m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
4．动量守恒定律的特征
(1)矢量性： 动量守恒定律的表达式是一个矢量方程，在同一直线上运用时要注意选取正方向．
(2)同一性： 公式中的速度都必须相对于同一参照系．
(3)同时性： 以m1v1＋m2v2＝m ( http: / / www.21cnjy.com )1v1′＋m2v2′为例，v1，v2应是作用前同一时刻的速度，v1′，v2′应是作用后同一时刻的速度．
(4)普适性： 动量守恒定律不仅适用于宏观物体，而且也适用于微观粒子间的作用．
分类剖析
例1
　在光滑的水平面上一个质量为4 m的小球A ( http: / / www.21cnjy.com )，以5 m/s的速度撞击一个静止在水平面上质量为m的小球B，用vA、vB表示碰撞后两球的速度，下列几组数据中可能发生的是(　　)
A．vA＝3 m/s，vB＝8 m/s
B．vA＝－4 m/s，vB＝4 m/s
C．vA＝4.5 m/s，vB＝2 m/s
D．vA＝2 m/s，vB＝12 m/s
【解析】　(1)根据动量守恒原则可知，B选项错误．
(2)根据动能不增加原则可知，D选项错误．
(3)根据碰后合理性原则可知，C选项错误．
因此，正确答案为A选项.
例2
　玩桌球时，质量为m＝0.1 kg的球1以 ( http: / / www.21cnjy.com )速度v1＝3 m/s与原来静止的质量为m2＝0.4 kg的球2发生正碰，碰撞后，球2的速度为v2′＝1 m/s，求碰撞后球1的速度v1′.
【解析】　两球碰撞时，系统所受合外力为零，因此可用动量守恒定律，并规定v1，方向为正方向，即 　　　m1v1＝m1v1′＋m2v2′
所以可得　　v1′＝－1 m/s
v1′为负值，表示球1碰撞后速度方向与原来速度v1方向相反，也与球2速度方向相反．
【点评】　动量是矢量，应用动量守恒定律时，应注意系统各物理量的方向，由于都在一直线上，可以用正、负号表示方向.
例3
　如图所示，长为L、质量为 ( http: / / www.21cnjy.com )M的小船停在静水中，一个质量为m的人立在船头，若不计水的阻力，当人从船头走到船尾的过程中，船和人对地的位移各是多少？
　
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
【解析】　以人和船组成的系统为研究对象 ( http: / / www.21cnjy.com )，系统水平方向始终不受外力，所以水平方向动量时刻守恒．由于系统初速为零，所以人的动量与船的动量大小时刻相等方向相反，质量与速度成反比．又因为时间相等，所以质量与位移成反比．
设人的位移为s1，船的位移为s2，以向右为正方向，则
　　　　　ms1－Ms2＝0
由图可以看出s1＋s2＝L，将以上两式联立可得
　　　　s1＝， s2＝
【点评】　以上人和船组成的系统动量 ( http: / / www.21cnjy.com )守恒，质量与位移成反比的规律也叫“人船模型”规律．由本题可知，这一规律成立的条件是： (1)系统的初速度为零．(2)系统的动量时刻守恒．(3)s1、s2均为对地位移，且： s1＋s2＝L，其中L为相对位移．
本章小结
知识网络
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
考题解析
考题1　　在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图所示形状，相应的曲线方程为y＝
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
2．5cos(kx＋π)(单位： ( http: / / www.21cnjy.com ) m)，式中k＝1m－1.将一光滑小环套在该金属杆上，并从x＝0处以v0＝5m/s的初速度沿杆向下运动，重力加速度g取10m/s2.则当小环运动到x＝m时的速度大小v＝________m/s；该小环在x轴方向最远能运动到x＝________m处．
【解析】　本题形式比较新型，主要考查了能量守 ( http: / / www.21cnjy.com )恒的概念，同时又将该知识点与波动形式的曲线相结合，拓展了学生的知识面，有助于学生发散性思维的提高．
首先求出x＝0点处y的坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )，将x＝0代入振动图线方程，可求得x＝0时y的坐标为y＝－1.25.当小环运动到x＝处时，代入方程，得y＝－2.5，即小环在金属杆的最低处，在该处的总能量应与出发点的总能量相等，设此时小环的速度为v，且最低点为零势能点，于是有mv＋mgy0＝mv2，可求得v2＝25＋25＝50，所以v＝5m/s.当小环运动到最远处时，小环的总能量全部转化为环的势能，于是有mv＋mgy0＝mgy′，代入数据得y′＝2.5m，考虑到零势能点在最低位置处，因此y′＝2.5m表明此时小环已经运动到平衡位置处，即对应于y＝0，于是有y＝0＝2.5cos(kx＋π)，所以kx＋π＝，或π，相应求得x的值为x＝－或x＝π，显然x＝－不符合要求，故取x＝π.
考题2　　物体沿直线运动的vt关系如图所示，已知在第1秒内合外力对物体做的功为W，则(　　)
　　　　　　　 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 　　　　　　　　　
A．从第1秒末到第3秒末合外力做功为4W
B．从第3秒末到第5秒末合外力做功为－2W
C．从第5秒末到第7秒末合外力做功为W
D．从第3秒末到第4秒末合外力做功为－0.75W
【解析】　本题考查物体作 ( http: / / www.21cnjy.com )直线运动时的vt关系图线，该知识点属于基础知识．由vt图线可以看出，物体在0～1s内作匀加速运动，并达到最大速度v，因此在该段时间内合外力所做的功为A＝mv2－0＝W；在1～3s时间内，物体的加速度变为零，即物体的动能没有变化，因此由动能定理可知，在该段时间内合外力做功为零，选项A错；在3～5s时间内，物体做匀减速运动，两时刻动能差为0－mv2＝－W，与选项B不符；同理可知在5～7s时间内，物体动能变化为mv2－0＝W，在3～4s内物体做功－0.75W，所以选项C、D为正确答案．本题容易犯的错误是把速度图线与x轴围成的面积的大小误认为与做功有关，尤其是在1～3s时间内，所围的面积最大，但那是路程而不是功，在该过程中速度保持恒定不变，说明合外力为零，所以功也为零．
考题3　　如图所示，半径分别为r和2r的两个质量不计的圆盘，共轴固定连接在一起，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
可以绕水平轴O无摩擦转动，大圆盘的边缘 ( http: / / www.21cnjy.com )上固定有一个质量为m的质点，小圆盘上绕有细绳．开始时圆盘静止，质点处在水平轴O的正下方位置．现以水平恒力F拉细绳，使两圆盘转动，若恒力F＝mg，两圆盘转过的角度θ＝________时，质点m的速度最大．若圆盘转过的最大角度θ＝，则此时恒力F＝________．
【解析】　本题主要考查力矩平衡的知识点 ( http: / / www.21cnjy.com )，但与以往的力矩平衡不同的是，本题是从力矩动平衡的角度考查，同时要兼顾能量问题才能完整解答．圆盘在力F的作用下开始转动，当质点m的速度达到最大时，F的力矩与质点的重力矩达到动态平衡，于是有Fr＝mg·2rsinθ，即mgr＝2mgrsinθ，所以可求得θ＝.当圆盘转过最大角度θ＝时，力F所做的功为Frθ，而此时质点的速度为零．力F所做的功全部转化为质点的重力势能，于是有Fr·＝mg·2r(1－cos)，所以F＝.解本题的关键是能判断出质点速度达最大时系统的力矩为平衡状态．
考题4　　如图所示，某滑板爱好者在离地h＝1.8m高的平台上滑行，水平离开A点后落在水平地面的B点，其水平位移s1＝3m，着地时由于存在能量损失，着地后速度变为v＝4m/s，并以此为初速度沿水平地面滑行s2＝8m后停止．已知人与滑板的总质量m＝60kg.求：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
(1)人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力大小．
(2)人与滑板离开平台时的水平初速度(空气阻力忽略不计，g取10m/s2)．
【解析】　本题选择了较新的情境，综 ( http: / / www.21cnjy.com )合了力学中的动能定理、平抛运动等基本知识点，同时考查考生分析问题、解决问题的能力．认真读题，全面分析运动过程是解答此题的关键．该题是为使用一期课改教材的考生所编制的，求解过程中也没有什么“陷阱”，考生只要仔细、基本概念掌握即可解答．
(1)设滑板在水平地面上滑行时受到的平均阻力为f，根据动能定理有
－fs2＝0－mv2，①
由①式解得　　f＝＝N＝60N.②
(2)人和滑板一起在空气中做平抛运动，设初速度为v0，飞行时间为t，根据平抛运动规律有：
t＝，③
v0＝，④
由③④两式解得： v0＝＝m/s＝5m/s.⑤

展开更多......

收起↑