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教案(29)——振动有关概念
考点解读
考　点 解　读 学 题 目 分 布
1 机械振动 知道机械振动 A
2 简谐振动 知道简谐振动的产生条件和特征 A
3 振动的振幅、周期和频率 知道振动的振幅
理解振动的周期和频率以及它们之间的相互关系 A
B
4 单摆 知道单摆做简谐振动的条件和特征．知道单摆振动的规律
理解单摆的周期公式
会用单摆测重力加速度 A
B
C
5 振动中的能量转化 知道振动过程中的能量转化 A 04上海高考第10题电场中的单摆
05上海高考第9题单摆振动过程中动能、势能、机械能
06上海高考第18题用单摆测周期差
07上海高考第17题单摆与平抛之间的综合
09年上海高考第4题
　实验部分　　
学生实验 用单摆测重力加速度
F演示实验
1.机械振动
2.弹簧振子的振动
3.振动的振幅、周期和频率
4.研究单摆的振动周期跟哪些因素有关
( http: / / www.21cnjy.com ) 教学目标
1．掌握简谐运动的动力学特征和描述简谐运动的物理量．
2．掌握两种典型的简谐运动模型——弹簧振子和单摆．掌握单摆的周期公式．
教师归纳
1．简谐运动的基本概念
(1)定义
物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动．表达式为： F＝－kx
①简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移．也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处．
②回复力是一种效果力．是振动物体在沿振动方向上所受的合力．
③“平衡位置”不等于“平衡状态”．平衡位 ( http: / / www.21cnjy.com )置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零．(如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态)
④F＝－kx是判断一个振动是不是简谐运动的 ( http: / / www.21cnjy.com )充分必要条件．凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动．
(2)几个重要的物理量间的关系
要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻(或某一位置)的位移x、回复力F、加速度a、速度v这四个矢量的相互关系．
①由定义知： F∝x，方向相反．
②由牛顿第二定律知： F∝a，方向相同．
③由以上两条可知： a∝x，方向相反．
④v和x、F、a之间的关系最复杂： 当v、 ( http: / / www.21cnjy.com )a同向(即v、F同向，也就是v、x反向)时，v一定增大；当v、a反向(即v、F反向，也就是v、x同向)时，v一定减小．
(3)描述简谐运动的物理量
振动的最大特点是往复性或者 ( http: / / www.21cnjy.com )说是周期性．因此振动物体在空间的运动有一定的范围，用振幅A来描述；在时间上则用周期T来描述完成一次全振动所需的时间．
①振幅A是描述振动强弱的物理量．(一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的)
②周期T是描述振动快慢的物理量．(频率f＝1/T也是描述振动快慢的物理量)周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期．
2．典型的简谐运动
(1)弹簧振子
在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力．
(2)单摆
①单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力．在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零．
②当单摆的摆角很小时(小于5°)时，单 ( http: / / www.21cnjy.com )摆的周期T＝2π　，与摆球质量m、振幅A都无关．其中l为摆长，表示从悬点到摆球质心的距离，要区分摆长和摆线长．
③小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同．只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动．这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差．
④摆钟问题．单摆的一个重要应用就是 ( http: / / www.21cnjy.com )利用单摆振动的等时性制成摆钟．在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单： 在一定时间内，摆钟走过的格子数n与频率f成正比(n可以是分钟数，也可以是秒数、小时数……)，再由频率公式可以得到：
n∝f＝∝ 分类剖析
(一)弹簧振子
例1
　有一弹簧振子做简谐运动，则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．加速度最大时，速度最大
B．速度最大时，位移最大
C．位移最大时，回复力最大
D．回复力最大时，加速度最大
【解析】　振子加速度最大时，处在最 ( http: / / www.21cnjy.com )大位移处，此时振子的速度为零，由F＝－kx知道，此时振子所受回复力最大，所以选项A错，C、D对．振子速度最大时，是经过平衡位置时，此时位移为零，所以选项B错．故正确选项为C、D.
【点评】　分析振动过程中各物理量如何变化时， ( http: / / www.21cnjy.com )一定要以位移为桥梁理清各物理量间的关系： 位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动量、动能均减小；位移减小时，回复力、加速度、势能均减小，速度、动量、动能均增大．各矢量均在其值为零时改变方向，如速度、动量均在最大位移处改变方向，位移、回复力、加速度均在平衡位置改变方向．
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例2
　试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动．
【解析】　如图所示，设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，
此时弹簧的形变为x0，根据胡克定律及平衡条件有
mg－kx0＝0①
当振子向下偏离平衡位置为x时，回复力(即合外力)为
F回＝mg－k(x＋x0)　②
将①代入②得： F回＝－kx，
可见，重物振动时的受力符合简谐运动的条件．
【点评】　(1)分析一个振 ( http: / / www.21cnjy.com )动是否为简谐运动，关键是判断它的回复力是否满足其大小与位移成正比，方向总与位移方向相反．证明思路为： 确定物体静止时的位置——即为平衡位置，考查振动物体在任一点受到回复力的特点是否满足F＝－kx.(2)还要知道F＝－kx中的k是个比例系数，是由振动系统本身决定的，不仅仅是指弹簧的劲度系数．关于这点，在这里应理解为是简谐运动回复力的定义式．而且产生简谐运动的回复力可以是一个力，也可以是某个力的分力或几个力的合力．此题中的回复力为弹力和重力的合力．
例3
　如图所示，质量为m的小 ( http: / / www.21cnjy.com )球放在劲度为k的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧．(1)最大振幅A是多大？(2)在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力Fm是多大？
【解析】　该振动的回复力是弹簧弹力和重 ( http: / / www.21cnjy.com )力的合力．在平衡位置弹力和重力等大反向，合力为零；在平衡位置以下，弹力大于重力，F－mg＝ma，越往下弹力越大；在平衡位置以上，弹力小于重力，mg－F＝ma，越往上弹力越小．平衡位置和振动的振幅大小无关．因此振幅越大，在最高点处小球所受的弹力越小．极端情况是在最高点处小球刚好未离开弹簧，弹力为零，合力就是重力．这时弹簧恰好为原长．
(1)最大振幅应满足kA＝mg，A＝
(2)小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以有： Fm－mg＝mg，Fm＝2mg
例4
　弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距20cm.某时刻振子处于B点．经过0.5s，振子首次到达C点．
求： (1)振动的周期和频率；
(2)振子在5s内通过的路程及位移大小；
(3)振子在B点的加速度大小跟它距O点4cm处P点的加速度大小的比值．
【解析】　(1)设振幅为A，由题意BC ( http: / / www.21cnjy.com )＝2A＝20cm，所以A＝10cm.振子从B到C所用时间t＝0.5s.为周期T的一半，所以T＝1.0s；f＝1/T＝1.0Hz.
(2)振子在1个周期内通过的路程为 ( http: / / www.21cnjy.com )4A.故在t＝5s＝5T内通过的路程s＝t/T×4A＝200cm.5s内振子振动了5个周期，5s末振子仍处在B点，所以它的位置的位移大小为0cm.
(3)振子加速度a＝－x∝x，所以aB∶aP＝
xB∶xP＝5∶2.
例5
　一弹簧振子做简谐运动．周期为T(　　)
A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于T/2的整数倍
B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
C．若Δt＝T/2，则在t时刻和(t－Δt)时刻弹簧的长度一定相等
D．若Δt＝T，则在t时刻和(t－Δt)时刻振子运动的加速度一定相同
【解析】　若Δt＝T/2或Δt＝nT－T ( http: / / www.21cnjy.com )/2，(n＝1，2，3，…)，则在t 和(t＋Δt)两时刻振子必在关于平衡位置对称的两位置(包括平衡位置)，这两时刻．振子的位移、回复力、加速度、速度等均大小相等，方向相反．但在这两时刻弹簧的长度并不一定相等[只有当振子在t和(t－Δt)两时刻均在平衡位置时，弹簧长度才相等]．反过来，若在t和(t－Δt)，两时刻振子的位移(回复力、加速度)和速度(动量)均大小相等，方向相反，则Δt一定等于Δt＝T/2的奇数倍．即Δt＝(2n－1)T/2(n＝1，2，3，…)．如果仅仅是振子的速度在t和(t＋Δt)，两时刻大小相等方向相反，那么不能得出Δt＝(2n－1)T/2，更不能得出Δt＝nT/2(n＝1，2，3…)．根据以上分析，A、C选项均错．若t和(t＋Δt)时刻，振子的位移(回复力、加速度)、速度(动量)等均相同，则Δt＝nT(n＝1，2，3…)，但仅仅根据两时刻振子的位移相同，不能得出Δt＝nT.所以B选项错．若Δt＝T，在t和(t＋Δt)两时刻，振子的位移、回复力、加速度、速度等均大小相等方向相同，D选项正确．
(二)单摆
例6
　已知单摆摆长为L，悬点正下方L处有一个钉子．让摆球做小角度摆动，其周期将是多大？
【解析】　该摆在通过悬点的竖直线两边的运动都可以看作简谐运动，周期分别为T1＝2π和T2＝π，因此该摆的周期为： T＝＋＝　
例7
　固定圆弧轨道弧AB所含度数小于5° ( http: / / www.21cnjy.com )，末端切线水平．两个相同的小球a、b分别从轨道的顶端和正中由静止开始下滑，比较它们到达轨道底端所用的时间和动能： ta________tb，Ea________2Eb.
【解析】　两小球的运动都可看作简谐运动 ( http: / / www.21cnjy.com )的一部分，时间都等于四分之一周期，而周期与振幅无关，所以ta＝ tb；从图中可以看出b小球的下落高度小于a小球下落高度的一半，所以Ea＞2Eb.
例8
　 将一个力电传感器接到计算机 ( http: / / www.21cnjy.com )上，可以测量快速变化的力．用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如图所示．由此图线提供的信息做出下列判断中正确的是(　　)
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A．t＝0.2s时刻摆球正经过最低点
B．t＝1.1s时摆球正处于最高点
C．摆球摆动过程中机械能时而增大时而减小
D．摆球摆动的周期约是T＝0.6s
【解析】　注意这是悬线上的拉力图像，而 ( http: / / www.21cnjy.com )不是振动图像．当摆球到达最高点时，悬线上的拉力最小；当摆球到达最低点时，悬线上的拉力最大．因此A、B正确．从图像中看出摆球到达最低点时的拉力一次比一次小，说明速率一次比一次小，反映出振动过程摆球一定受到阻力作用，因此机械能应该一直减小．在一个周期内，摆球应该经过两次最高点，两次最低点，因此周期应该约是
T＝1.2s.因此答案C、D错误．本题应选A、B.第六章　机械振动　机械波
四年考情
根据近四年高考试卷分析可知，本章知识点“机械 ( http: / / www.21cnjy.com )波”和“机械波的干涉及衍射　机械波综合应用”是本章的重点知识点；“振动有关概念”为次重点知识点；“振动图像”属于一般考查知识点．①“机械波”09－12－填空，由简谐波波动图像求波速，简谐运动的特点计算周期；10－16－单选，由简谐波波动图像判断其传播方向、波长、周期的变化；10－20－多选，根据简谐波传播的特点画出波的传播图像，进而求波的最小波速和周期；12－24－填空，由简谐波在不同时刻的波形图，计算其波速和周期．其考查特色为此知识点侧重考查简谐运动公式的应用和图像的理解分析，以选择、填空为主，难易度为B或C，分值比例为3%左右．②“机械波的干涉与衍射　机械波综合应用”10－2－单选，考查水波干涉、衍射图像；10－3－单选，考查声波的衍射条件；11－10－单选，水波的干涉及其产生条件和波的叠加；11－24－填空，考查由两列简谐波的波动图像叠加判断质点位移．其考查特色为此知识点侧重考查机械波的干涉衍射图像、产生条件及波动叠加判断质点运动情况，以选择、填空为主，难易度为A或C，分值比例为4%左右．③“振动有关概念”09－4－单选，由单摆周期公式判断频率变化、由动能定理判断振幅变化，考查单摆物理模型振幅、频率变化的因素；11－5－单选，单摆在不同水平初速下频率、振幅比较；12－29－实验，考查单摆的振动规律及用单摆测重力加速度．通常以单选或实验的形式出现，侧重考查单摆周期(频率)、振幅的决定因素，难易度为B，分值比例为3%左右．④“振动图像”此知识点在四年考试中均未考查，属于一般考查知识点．主要考查简谐运动振动图像的特点，以选择题为主，难易度不超过B.
教案(29)——振动有关概念
考点解读
考　点 解　读 学 题目分布
机械振动 知道机械振动 A
简谐振动 知道简谐振动的产生条件和特征 A
振动的振幅、周期和频率 知道振动的振幅
理解振动的周期和频率以及它们之间的相互关系 A
B
单摆 知道单摆做简谐振动的条件和特征
知道单摆振动的规律
理解单摆的周期公式
会用单摆测重力加速度 A
B
B
C
振动中的能量转化 知道振动过程中的能量转化 A 09年上海高考第4题
11年上海高考第5题
12年上海高考第29题
　实验部分　　
学生实验 用单摆测重力加速度
演示实验
1.机械振动
2.弹簧振子的振动
3.振动的振幅、周期和频率
4.研究单摆的振动周期跟哪些因素有关
教学目标
1．掌握简谐运动的动力学特征和描述简谐运动的物理量．
2．掌握两种典型的简谐运动模型——弹簧振子和单摆．掌握单摆的周期公式．
教师归纳
1．简谐运动的基本概念
几个重要的物理量间的关系
要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻(或某一位置)的位移x、回复力F、加速度a、速度v这四个矢量的相互关系．
①由定义知： F∝x，方向相反．
②由牛顿第二定律知： F∝a，方向相同．
③由以上两条可知： a∝x，方向相反．
④v和x、F、a之间的关系最 ( http: / / www.21cnjy.com )复杂： 当v、a同向(即v、F同向，也就是v、x反向)时，v一定增大；当v、a反向(即v、F反向，也就是v、x同向)时，v一定减小．
2．典型的简谐运动
(1)弹簧振子
在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力．
(2)单摆
①单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力．在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零．
②当单摆的摆角很小时(小于5°) ( http: / / www.21cnjy.com )时，单摆的周期T＝2π　，与摆球质量m、振幅A都无关．其中l为摆长，表示从悬点到摆球质心的距离，要区分摆长和摆线长．
③小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同．只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动．这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差．
④摆钟问题．单摆的一个重要应用就是利用单摆 ( http: / / www.21cnjy.com )振动的等时性制成摆钟．在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单： 在一定时间内，摆钟走过的格子数n与频率f成正比(n可以是分钟数，也可以是秒数、小时数……)，再由频率公式可以得到：
n∝f＝∝ 分类剖析
(一)弹簧振子
例1
　有一弹簧振子做简谐运动，则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．加速度最大时，速度最大
B．速度最大时，位移最大
C．位移最大时，回复力最大
D．回复力最大时，加速度最大
【解析】　振子加速度最大时，处在最大位 ( http: / / www.21cnjy.com )移处，此时振子的速度为零，由F＝－kx知道，此时振子所受回复力最大，所以选项A错，C、D对．振子速度最大时，是经过平衡位置时，此时位移为零，所以选项B错．故正确选项为C、D.
【点评】　分析振动过程中各物理量如 ( http: / / www.21cnjy.com )何变化时，一定要以位移为桥梁理清各物理量间的关系： 位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动量、动能均减小；位移减小时，回复力、加速度、势能均减小，速度、动量、动能均增大．各矢量均在其值为零时改变方向，如速度、动量均在最大位移处改变方向，位移、回复力、加速度均在平衡位置改变方向．
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例2
　试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动．
【解析】　如图所示，设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，
此时弹簧的形变为x0，根据胡克定律及平衡条件有
mg－kx0＝0①
当振子向下偏离平衡位置为x时，回复力(即合外力)为
F回＝mg－k(x＋x0)　②
将①代入②得： F回＝－kx，
可见，重物振动时的受力符合简谐运动的条件．
【点评】　(1)分析一个振动是否 ( http: / / www.21cnjy.com )为简谐运动，关键是判断它的回复力是否满足其大小与位移成正比，方向总与位移方向相反．证明思路为： 确定物体静止时的位置——即为平衡位置，考查振动物体在任一点受到回复力的特点是否满足F＝－kx.(2)还要知道F＝－kx中的k是个比例系数，是由振动系统本身决定的，不仅仅是指弹簧的劲度系数．关于这点，在这里应理解为是简谐运动回复力的定义式．而且产生简谐运动的回复力可以是一个力，也可以是某个力的分力或几个力的合力．此题中的回复力为弹力和重力的合力.
例3
　弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距20cm.某时刻振子处于B点．经过0.5s，振子首次到达C点．
求：(1)振动的周期和频率；
(2)振子在5s内通过的路程及位移大小；
(3)振子在B点的加速度大小跟它距O点4cm处P点的加速度大小的比值．
【解析】　(1)设振幅为A，由题意BC ( http: / / www.21cnjy.com )＝2A＝20cm，所以A＝10cm.振子从B到C所用时间t＝0.5s.为周期T的一半，所以T＝1.0s；f＝1/T＝1.0Hz.
(2)振子在1个周期内通过的路程为 ( http: / / www.21cnjy.com )4A.故在t＝5s＝5T内通过的路程s＝t/T×4A＝200cm.5s内振子振动了5个周期，5s末振子仍处在B点，所以它的位置的位移大小为0cm.
(3)振子加速度a＝－x∝x，
所以aB∶aP＝xB∶xP＝5∶2.
(二)单摆
例4
　通常把振动周期是2s的单摆叫做秒摆．下述说法中正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．摆长缩短为原来的四分之一时，频率是1Hz
B．摆球质量减小到原来的四分之一时，周期是4s
C．振幅减为原来的四分之一时，周期是2s
D．如果重力加速度减为原来的四分之一时，频率为0.25Hz.
【解析】　单摆周期公式T＝2π，而f＝，所以，频率f与摆长的平方根成反比；频率与重力加速度的平方根成正比．单摆的周期与振幅大小无关，这是单摆等时性的特点．故答案ACD.
例5
　一只钟的摆长为L1时，在一段时间内快了n分钟，而当摆长为L2时，在相同时间内慢了n分钟．摆的准确长度是多少？
【解析】　设准确钟摆摆长为L，周期为T ( http: / / www.21cnjy.com )，摆动次数为N次，指示总时间为t分钟．在这段时间内快钟摆振动N1次，指示总时间为(t＋n)分钟，慢钟摆振动N2次，指示总时间为(t－n)分钟．N1T＝t＋n　　①
N2T＝t－n　　②
N1T1＝N2T2＝NT＝t　　③
由①、②、③式得
解得T＝
根据单摆振动周期公式T＝2π ，得
L＝
【点评】　这类计算钟摆的 ( http: / / www.21cnjy.com )摆动周期问题应建立在，不论是快钟还是慢钟，摆每振动一次，指针转过的指示时间与准确的摆振动一次指示时间相同；另外振动总时间相同，而振动次数不同.
例6
　已知单摆摆长为L，悬点正下方L处有一个钉子．让摆球做小角度摆动，其周期将是多大？
【解析】　该摆在通过悬点的竖直线两边的运动都可以看作简谐运动，周期分别为T1＝2π和T2＝π，因此该摆的周期为： T＝＋＝　
例7
　将一个力电传感器接到计算机上，可 ( http: / / www.21cnjy.com )以测量快速变化的力．用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如图所示．由此图线提供的信息做出下列判断中正确的是(　　)
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A．t＝0.2s时刻摆球正经过最低点
B．t＝1.1s时摆球正处于最高点
C．摆球摆动过程中机械能时而增大时而减小
D．摆球摆动的周期约是T＝0.6s
【解析】　注意这是悬线上 ( http: / / www.21cnjy.com )的拉力图像，而不是振动图像．当摆球到达最高点时，悬线上的拉力最小；当摆球到达最低点时，悬线上的拉力最大．因此A、B正确．从图像中看出摆球到达最低点时的拉力一次比一次小，说明速率一次比一次小，反映出振动过程摆球一定受到阻力作用，因此机械能应该一直减小．在一个周期内，摆球应该经过两次最高点，两次最低点，因此周期应该约是T＝1.2s.因此答案C、D错误．本题应选A、B.
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例8
　单摆摆长为l，置于水平向右作匀加速直线运动的车厢中，其加速度为a，如图所示，求此种单摆的周期．
【解析】　方法一：以小车为系统，系 ( http: / / www.21cnjy.com )统以a向右作匀加速直线运动，设单摆的平衡位置偏离竖直方向θ角，当摆球在平衡位置时，受到重力和摆线张力的作用，这两个力的合力∑F产生加速度a，如图(a)所示，摆线张力T＝.(此时线的张力可看作为单摆在加速系统中摆球超重时的视重)记作∑F＝T，由于a和g都不变，所以视重不变．
( http: / / www.21cnjy.com ) (a)　　　　　(b)　　　　　　(c)
设单摆从平衡位置偏离α角(α＜5°)，则单摆回复力如图(b)所示．
F＝－T·sinα＝－∑F·sinα＝
－ ·＝－k·x(式中k＝)
根据简谐振动周期公式　　T＝2π
∴T＝2π
方法二：依简谐振动周期公式的变形，有　　T＝2π
式中l为摆长，m为摆球质量，∑F为除线张力之外的恒力．它在数值上等于单摆在平衡位置(动态平衡)时的线的张力．
∑F＝T＝
∑Fsinα＝Tsinα＝sinα＝·
即　　∑F·＝kx　∴k＝
∴T＝2π＝2π
∴T＝2π
方法三：以小车系统为研究对象，根据运动合成，小球相对小车的加速度如图(c)所示，g系＝
依据　T＝2π
∴T＝2π
【点评】　此题是加速系统中的单摆 ( http: / / www.21cnjy.com )问题，虽然难度较大，但对培养同学的分析综合能力有益；加深理解单摆的周期变化的因素，能够从不同的单摆和类似单摆中找出等效摆长和等效的重力加速度g′.

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