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浙教版八下 平行四边形好题精选60题
班级：___________姓名：___________
一、单选题
1．（2023·校联考一模）如图，在平行四边形中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点E，连接，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
第1题图 第2题图
2．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）如图，在中，，，，分别是角平分线和中线，过点C作于点F，连接，则线段的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．1
3．（2023春·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为,点B在第一象限,将直线沿y轴向上平移 个单位．若平移后的直线与边有交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第3题图 第4题图
4．（2023春·浙江温州·八年级期中）如图，在中，连接，且，过点A作于点M， 过点D作于点N，且，在的延长线上取一点P，满足，则（　　）
A．8 B．10 C． D．
5．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，将 纸片折叠折痕为，使点落在上，记作；展平后再将 折叠折痕为，使点落在上，记作；展平后继续折叠 ，使落在直线上，记作；重新展平，记作若，，则图中线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，点是的边的延长线上一点，点是边上的一个动点（不与点重合）．以、为邻边作平行四边形，又且（点P、E在直线的同侧），如果，那么的面积与面积之比为（ ）
A． B． C． D．
第6题图 第7题图
7．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，．点C关于的对称点为E，连接交于点F，点G为的中点，连接，，则＝（ ）
A． B． C．16 D．32
8．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，O是对角线上一点，过O作交于点E，交于点F，交于点G，交于点H，连结，，，，若已知下列图形的面积，不能求出面积的是（　　）
A．四边形 B．和
C．四边形和四边形 D．和四边形
第8题图 第9题图 第10题图
9．（2022春·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
10．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，CE⊥AD，点F在AB上，连接EF，EF＝CE，若BC＝6，CD＝5，则线段BF的长为( )
A． B． C． D．
11．（2023春·八年级校考单元测试）如图，的对角线交于点O，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第11题图 第12题图
12．（2020春·浙江杭州·八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①；②EF＝CF；③；④∠DFE＝4∠AEF．其中一定成立的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④
13．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点P是内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是、、、，以下结论中正确的是（ ）
①；②若，则；③若，则
④如果P点在对角线BD上，则
⑤若，则P点一定在对角线BD上．
A．①③④ B．②③⑤ C．①④⑤ D．②④⑤
第13题图 第14题图
14．（2020春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD＝2AD，点E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，EG交FD于点H，则①ED⊥CA；②EF＝EG；③；④．上述4个结论中说法正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
15．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点、．连接，，，则下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2021春·浙江·八年级期末）如图，在平行四边形中，．作于点E，于点F，记的度数为，．则以下结论正确的是（ ）
①的度数为 ②
③若，则平行四边形的周长为
④若，则四边形的面积为平行四边形面积的一半
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
第16题图 第17题图
17．（2021春·浙江·八年级期末）如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，连接下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．（2019春·浙江杭州·九年级期中）如图，已知，点A在边上，．过点A作于点C，以为一边在内作等边三角形，点P是围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作交于点D，作交于点E．设，则的最大值与最小值的和是（　 ）
A． B．14 C． D．
第18题图 第19题图 第20题图
19．（2022春·浙江温州·八年级统考期中）如图，的面积为，点为边上的一点，延长交的平行线于点，连接，以、为邻边作平行四边形，交边于点，连结，当时，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连结AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点F．若点F是DE的中点，，，的面积为9，则点F到BC的距离为（ ）
A．1.4 B．2.4 C．3.6 D．4.8
二、填空题
21．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，，，射线交边于点D，点E为射线上一点，以为边作平行四边形，连接则最小值为 ______．
第21题图 第22题图
22．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，为等边三角形，，于点，为线段上一点，．以为边在直线右侧构造等边三角形，与交于点，连接，为的中点．连接，则线段的长为__________ ．
23．（2023春·浙江·八年级阶段练习）如图，为平行四边形的对角线，，于点E，于点F，相交于点H，直线交线段的延长线于点G，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有__________．
第23题图 第24题图
24．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在 中，是边上任意一点，、、分别是、、的中点，的面积是，则 的面积为______．
25．（2023春·八年级单元测试）如图，点是平行四边形内一点，的面积为5，的面积为3，则的面积为 _______．
第25题图 第26题图 第27题图
26．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图所示，平行四边形中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，点A正好落在上的点F，若的周长为8，的周长为，则的长为__．
27．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，，点为边上一点，绕点顺时针旋转90°至，交于点．已知，，点是的中点，连接，求线段的长______．
28．（2023春·浙江·八年级阶段练习）如图，点是内的任意一点，连接、、、，得到、、、，设它们的面积分别是，给出如下结论中正确的是____________．
①；②如果，则；③若，则；④如果P点在对角线上，则；⑤，则P点一定在对角线上．
第28题图 第29题图
29．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在ABCD中，AD=8 ，E，F分别为CD，AB上的动点，DE=BF，分别以AE，CF为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．若E，G，H，F恰好在同一直线上，∠GAF=45°，且GH=11，则AB的长是_____．
30．（2022秋·浙江宁波·八年级期末）如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为_____．
第30题图 第31题图
31．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD=45°，AB=10．将纸片折叠，使得点A的对应点落在BC边上，折痕EF交AB、AD、分别于点E、F、G．继续折叠纸片，使得点C的对应点落在上，连接，点G到AD的距离为_____，的最小值为_____．
32．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，C为线段的中点，点P是线段上的一个动点，连接，当的值为____________时，将沿边所在直线翻折后得到的与重叠部分的面积为面积的．
第32题图 第33题图
33．（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，BC=6，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，点F为BC上一点，点G为BE上一点，连接CG，FG，则CGFG的最小值为_________．
34．（2021·浙江杭州·统考三模）如图，在 ABCD中，BC＝3，CD＝4，点E是CD边上的中点，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连接AE，A、G、E在同一直线上，则AG＝______，点G到AB的距离为______．
第34题图 第35题图
35．（2021春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知直线与轴，轴分别交于点，，点是射线上的动点，点在第一象限，四边形是平行四边形．若点关于直线的对称点恰好落在轴上，则点的坐标为______．
36．（2021春·浙江宁波·八年级统考期末）如图中，为对角线交点，平分，平分，，，则______．
第36题图 第37题图
37．（2021春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连结AD，BC，AC，下列四个结论中说法正确的有 ___．①四边形ABCD是平行四边形；②CE垂直平分AB；③若AB2＝6，则BC2＝5+2；④DE⊥AC．
38．（2021春·浙江杭州·八年级期中）已知：如图，平行四边形中，，点E是上一个动点，连结，把沿折叠到的位置．
（1）当点落在上时，________；
（2）若点落在的内部（包括边界），则的范围是___________．
第38题图 第39题图
39．（2021春·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）如图，在中，，，，点，，分别为，，上一点，，．连结和，当平分时，的长为________．
40．（2021春·浙江杭州·八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，，F是AD的中点，过点C作于点E，连接EF，CF，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_________（填序号）．
三、解答题
41．（2023春·八年级单元测试）【材料阅读】小明偶然发现线段的端点的坐标为，端点的坐标为，则这条线段中点的坐标为．通过进一步探究，在平面直角坐标系中，以任意点，为端点的线段中点坐标为．
(1)【知识运用】如图，平行四边形的对角线相交于点，点在轴上，为坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为______；
(2)【能力拓展】在直角坐标系中，有，，三点，另有一点与点，，构成平行四边形，求点的坐标．
42．（2023春·浙江台州·八年级校考期中）如图，平行四边形，，E、F分别是边上的两个动点，且满足．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由．
(3)的周长是否存在最小值，若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
43．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，平行四边形中，为边上的一个动点不与、重合，过点作直线的垂线，垂足为与的延长线相交于点．
(1)若为中点，求证：．
(2)若，当点在线段上运动时，的长度是否改变，若不变，求；若改变，请说明理由
(3)在(2)的条件下，为直线上的一点，设，若、、、四点构成平行四边形，请用含x的代数式表示．
44．（2023·浙江温州·模拟预测）阅读材料：如图，在 中，，分别是边，的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点，使，连接，证明 ，再证四边形是平行四边形即得证．
(1)类比迁移：如图，是 的中线，交于点，交于点，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图，延长至点，使，连接，…请根据小明的思路完成证明过程．
(2)方法运用：如图，在等边 中，是射线上一动点（点在点的右侧），连接．把线段绕点逆时针旋转得到线段．是线段的中点，连接，．
①请你判断线段与的数量关系，并给出证明；
②若， ，请直接写出的长．
45．（2023春·浙江·八年级阶段练习）如图，在中，对角线相交于点O，，点E在线段上，且．
(1)求证：；
(2)若F，G分别是的中点，且；
①求证：；
②当时，求的面积．
46．（2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考阶段练习）定义：由一个三角形的三条中线围成的三角形称为原三角形的中线三角形．
问题：设中线三角形的面积为，原三角形的面积为．求的值．
特例探索：
（1）正三角形的边长为2，则中线长为__________，所以________．
（2）如图1，每个小正方形边长均为1，点均在网格点上．
①__________的中线三角形．（填“是”或“不是”）
②__________，__________，所以__________．
一般情形：
如图2，的三条中线分别是，将平移至，连接．
（3）求证：是的中线三角形；
（4）猜想的值，并说明理由．
47．（2023春·八年级单元测试）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”，如图1，四边形中，，四边形即为等垂四边形，其中相等的边称为腰，另两边称为底．
(1)【提出问题】如图2，与都是等腰直角三角形．．求证：四边形是“等垂四边形”；
(2)【拓展探究】如图3，四边形是“等垂四边形”，，点M、N分别是的中点，连接．已知腰，求的长；
(3)【综合运用】如图4，四边形是“等垂四边形”，，底，则较短的底长的取值范围为 ．
48．（2023春·八年级校考单元测试）如图，在直角坐标系中，的边，点以每秒个单位的速度从点向点运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向点运动，设运动时间为．
(1)求点，的坐标；
(2)当为何值时，的面积时的面积的；
(3)当为何值时，，此时，在坐标平面上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
49．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是(，0)， 线段BC 交y轴于点D，点D的坐标是(0，8)，线段CD=6．动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，运动时间为t秒.
(1)用t的代数式表示：BQ=_______，AP=_______；
(2)若以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
(3)当恰好是等腰三角形时，求t的值．
50．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积．
(3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
51．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图直角坐标系中直线与轴正半轴、轴正半轴交于，两点，已知，，，分别是线段，上的两个动点，从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为（秒）．
(1)求线段的长，及点的坐标；
(2)为何值时，的面积为；
(3)若为的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形．是否存在时间，使轴恰好将平行四边形的面积分成两部分，若存在，求出的值．
52．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上．已知，，．
(1)求的面积
(2)如图1，点E是边上的一点，若的面积是的，求点E的坐标；
(3)如图2，将绕点О顺时针旋转，旋转得．在整个旋转过程中，能否使以点O、、、B为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由．
53．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在四边形中，为坐标原点，点，分别位于轴，轴正半轴上，，为边的中点，为边上一点（不与点，重合），且，，分别与相交于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知（4，8），当为等腰三角形时，求的长；
(3)当为中点时，连接并延长交于点，若四边形与△的面积差为4，请在横线上直接写出点的坐标______．
54．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）．
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)求当t＝2s时，求△AEF的面积；
(3)当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时，求t的值．
55．（2021春·浙江金华·八年级统考期末）如图所示，的边在轴上，点在轴上．已知，，，从点出发的点，以每秒1个单位的速度向点移动．是的中点，的延长线交于点．
（1）求点，的坐标．
（2）当四边形是平行四边形时，求点的移动时间（秒）．
（3）当为等腰三角形时，求的长．
56．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，在射线CB上取一点E，使得BE＝2BC＝20，当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E． 在线段QC上取点F，使得QF＝2，连结PF，记AP＝（）．
（1）①CF＝ （用含的式子表示）
②若PF⊥BC，求BQ的长．
（2）若以A，B，F，P为顶点的四边形是平行四边形，请求出的值．
（3）当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出的值．
57．（2021春·浙江·八年级期末）如图1，四边形由等边三角形和等腰直角三角形组成，．
（1）如图2，过D作，交直线于点E，连结，请说明与四边形的面积相等，并求当时的面积；
（2）如图3，连结，过C作，D作，交于点，连结
①求的度数；
②求证：四边形是平行四边形．
58．（2023春·浙江·八年级专题练习），我们把叫做这个平行四边形的“形变率”．
（1）若变形后的平行四边形有一个内角是45°，则______．
（2）若．则这个平行四边形变形前后的面积之比为______．
（3）如图，矩形是由20个边长为1的小正方形组成，变形后成为平行四边形，（、是小正方形的顶点）随之变为，设这个平行四边形的“形变率”为，则对于与的面积之比有何猜想？并说明理由．
59．（2020秋·浙江·八年级期末）如图1，已知平行四边形，轴，，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在第四象限．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，点P是边上一个动点，若点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标；
（3）如图3，若点T在直线上，且满足，求点T的坐标．
60．（2021·浙江绍兴·统考一模）我们定义：连接凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”．
（1）概念理解：如图1，四边形ABCD中，F为CD的中点，∠ADB＝90°，E是AB边上一点，满足DE＝AE，试判断EF是否为四边形ABCD的准中位线，并说明理由．
（2）问题探究：如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，动点E以每秒1个单位的速度，从点A出发向点C运动，动点F以每秒6个单位的速度，从点C出发沿射线CB运动，当点E运动至点C时，两点同时停止运动．D为线段AB上任意一点，连接并延长CD，射线CD与点A，B，E，F构成的四边形的两边分别相交于点M，N，设运动时间为t．问t为何值时，MN为点A，B，E，F构成的四边形的准中位线．
（3）应用拓展：如图3，EF为四边形ABCD的准中位线，AB＝CD，延长FE分别与BA，CD的延长线交于点M，N，请找出图中与∠M相等的角并证明．
平行四边形好题精选 参考答案：
1．D
【分析】利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，，，再证明，则，接着利用勾股定理的逆定理判断为为直角三角形，，然后在中利用勾股定理计算的长．
【详解】解：由作法得平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作一条线段等于己知线段；作一个角等于己知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作己知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质和勾股定理及其逆定理．
2．A
【分析】延长交于G，根据等腰三角形的判定和性质得到，，进而求出，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：延长交于G，
∵为的角平分线，，
∴是等腰三角形，
∴，，
∴，
∵为的中线，
∴是的中位线，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理、等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
3．D
【分析】平移后的直线解析式为．根据平行四边形的性质结合点的坐标即可求出点的坐标，再由平移后的直线与边有交点，可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】解：设平移后的直线解析式为．
∵四边形为平行四边形，且点，
∴，
∴点．
∵平移后的直线与边有交点，
∴，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平移的性质以及两条直线相交的问题，解题的关键是找出关于m的一元一次不等式组．
4．C
【分析】根据，，可得，再根据，，即可得到，依据，，即可得到，求出，最后根据勾股定理求出的值即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行四边形的性质，三角形面积的计算，勾股定理，求出是解题的关键．
5．C
【分析】连接，延长交于，由折叠性质和平行四边形的性质易知：，，利用“”证，得到从而求得的长，最后用中位线定理求解即可解决问题．
【详解】解：如图中，连接，延长交于，
由题意易知：，，是的中位线，
，
，，
，，，
，
∴，
∴，
是的中位线，
，
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线．
6．D
【分析】首先过点作交于，连接，，易得四边形，是平行四边形，又由四边形是平行四边形，设，则，可求得，又由，，即可求得的面积与面积之比．
【详解】
解：过点作交于，连接，，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
即，
，，共线，
设，
，
，
则，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．
7．B
【分析】如图，取中点，连接，连接交于，作交的延长线于．构建计算即可
【详解】解：如图，取中点，连接，连接交于，作交的延长线于．
，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，，
．
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、轴对称图形、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线没工作直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．C
【分析】A、根据平行四边形的对角线平分平行四边形的面积可作判断；B、先根据等式的性质证明，再由同底边的平行四边形的面积的比是对应高的比可作判断；C、四边形的面积和四边形的面积相等，已知四边形和四边形的面积，不能求出面积；D、同选项B同理可作判断；
【详解】A、在中，，，
∵，，
∴，，
∴四边形，，，都是平行四边形，
∴，，，，
∴四边形的面积的面积，
∴已知四边形的面积，可求出的面积，
故A不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴，
∴已知和的面积，可求出的面积，
故B不符合题意；
C、已知四边形和四边形的面积，不能求出面积，
故C符合题意；
D、∵，
∴，
∴，
∴已知和四边形的面积，能求出面积；
故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的面积公式和一条对角线平分平行四边形的面积是解本题的关键．
9．A
【分析】根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，如图：连接并延长交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，再根据三角形中位线定理即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
如图：连接并延长交于G
∵
∴，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E是BD的中点，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键．
10．A
【分析】延长FE交 CD的延长线于点M，连接CF， 由平行四边形的性质得出AB∥CD，BC=AD=6，证明△AEF≌△DEM(AAS)，由全等三角形的性质得出AF=DM，EF=EM， 设BF=x，则AF=DM=5-x，由勾股定理得出方程，则可得出答案．
【详解】如图，延长FE交CD的延长线于点M，连接CF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，BC=AD=6，
∴∠AFE=∠EMD，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE=3，
在△AEF和△DEM中，
，
∴△AEF和△DEM（AAS），
∴AF=DM，EF=EM，
又∵EF=CE，
∴EF=CE=EM，
∴∠FCM=90°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴CE=，
∴FM=2CE=8，
∵AB∥CD，
∴∠BFC=∠DCF=90°，
设BF=x，则AF=DM=5-x，
∴CM=10-x，
∵CF2+CM2=FM2，
∴62-x2+（10-x）2=82，
∴x=，
∴BF=，
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的综合应用， 熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的判定是解题的关键.
11．D
【分析】根据平行四边形的性质结合，得出，，，，进而得出，，然后根据角平分线的定义，得出，再利用等量代换，得出，进而得出为等边三角形，再由等边三角形的性质结合题意，得出，再根据等边对等角，得出，然后再利用邻补角互补，得出的度数，进而得出，再利用两直线平行，内错角相等，得出，即可判断①；然后根据角的关系，得出，再根据直角三角形的边的关系，得出，再根据等量代换，得出，即可判断②；再根据平行四边形面积公式，得出，再根据等量代换，得出，即可判断③；再根据，，得出是的中位线，然后根据三角形中位线平行于第三边且等于它的一半，得出，EO∥CD，可得出，然后再结合题意，推出，然后再根据题意，得出，再根据代入法，得出，即可判断④；再根据三角形中位线定理，得出，再根据，得出，即可判断⑤．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，，
∴，，，，BC=AD，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∴，故③正确；
∵，，
∴是的中位线，
∴，EO∥CD，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，故⑤正确．
综上可得：①、③、④、⑤正确．
故选：D .
【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线与三角形的面积问题、等知识，熟练掌握相关性质是解本题的关键．
12．B
【分析】延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出 ，得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】解：∵F是AD的中点，
∴ AF=FD，
∵在中，AD＝2AB，
∴AF=FD=CD，AD∥BC，
∴∠DFC＝∠DCF，∠DFC＝∠FCB，
∴ ∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF=，故①正确；
如图，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，∠BEC=∠DCE，
∵F为AD中点，
∴ AF＝FD，
在和中
∵，
∴，
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠BEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC=EM＝FE，故②正确；
∵EF=FM，
∴，即 ，
∵，
∴，
∴，
∵，
故：S△BEC<2S△CEF，故③成立；
设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC＝90°-x，
∴∠EFC＝180°—2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x＝270° -3x，
∵∠AEF＝90°-x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故④错误．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出是解题关键．
13．C
【分析】根据平行四边形的性质得AB=CD，AD=BC，设点P到AB，BC，CD，DA的距离分别是h1，h2，h3，h4，再根据三角形得面积公式整理判断①；然后根据三角形面积公式可判断②③；再根据面积公式得，判断④；最后根据已证关系式得出，，判断⑤即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC．
设点P到AB，BC，CD，DA的距离分别是h1，h2，h3，h4，
则，，，．
∵，，
∴，
∴，
故①正确；
根据只能判断，不能判断，即不能判断，
∴②错误；
根据，能得出，不能得出，即不能判断，
∴③错误；
∵，
∴，
此时，
即点P一定在对角线BD上，
∴④正确；
由和，得，，
∴点P在BD上，
故⑤正确．
综上,结论正确的是①④⑤,
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积等，用平行四边形的面积表示出相应的两个三角形的面积的和是解题的关键．
14．B
【分析】根据平行四边形ABCD的性质和BD=2AD，可以确定等腰三角形OAD，再应用等腰三角形三线合一的性质可判断①正确；根据直角三角形CDE的性质确定，根据三角形OAB的中位线的性质确定，再结合平行四边形ABCD的性质可判断②正确；根据三角形OAB的中位线和平行四边形ABCD的性质可以确定EF=DG，且，进而得到平行四边形EFGD，再应用其对角线互相平分的性质确定③正确；根据三角形底和高之间的关系和平行四边形ABCD的性质确定和，进而得到，可判断④不正确．
【详解】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2DO．
∵BD=2AD，
∴DO=AD．
∵E为OA中点，
∴．
故①正确．
②∵，G是CD中点，
∴．
∵E、F分别是OA、OB中点，
∴．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
∴EF=EG．
故②正确．
如下图所示，连结FG和BE．
③如上图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AB=CD．
∵E、F分别是OA、OB中点，
∴．
∴，即．
∵，，
∴EF=DG．
∴四边形EFGD是平行四边形．
∴．
故③正确．
④如上图所示：∵F是OB中点，
∴．
∵E是OA中点，
∴．
∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴O是AC中点，．
∴．
∵E是AO中点，O是AC中点，
∴．
∴．
故④不正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线和直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定定理以及三角形面积与底和高之间的关系，综合应用这些知识点是解题关键．
15．C
【分析】①先根据角平分线和平行得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE＝30°，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：OE＝AB＝，OE∥AB，根据勾股定理计算OC和OD的长，可得BD的长；③因为∠BAC＝90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理可作判断．
【详解】解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝1，
∵BC＝2，
∴EC＝1，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC＋∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
故①正确；
②∵BE＝EC，OA＝OC，
∴OE＝AB＝，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝60°＋30°＝90°，
Rt△EOC中，OC＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠ACD＝90°，
Rt△OCD中，OD＝，
∴BD＝2OD＝，
故②错误；
③由②知：∠BAC＝90°，
∴S ABCD＝AB AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB，
∵AB＝BC，
∴OE＝BC＝AD，即：，
故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键系．
16．A
【分析】由平行四边形的性质得出，，，，得出，求出，得出；由平行四边形的面积得出；若，则，求出，由直角三角形的性质得出，，得出，，求出平行四边形的周长；求出的面积，的面积，平行四边形的面积，得出四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；即可得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，，
，
于点，于点，
，
；
平行四边形的面积，，，
，
；若，
则，
，
，，
，，
平行四边形的周长；
的面积，
的面积，
平行四边形的面积，
四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；
综上所述，①②③正确，④错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
17．C
【分析】利用平行四边形的性质可得，，利用角平分线的性质证明是等边三角形，然后推出，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
平分，
是等边三角形，
，，
，
，
，故①正确；
可得
，
，故②错误；
，
为中点，
，
，
，
；故③正确；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故正确的个数为3个，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是关键．
18．B
【分析】过P作PH⊥OY交于点H，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP＝OD＝a，在Rt△HEP中，∠EPH＝30°，可得EH的长，计算a+2b＝2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论．
【详解】解：如图1，过P作PH⊥OY交于点H，
∵PD∥OY，PE∥OX，
∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP＝∠XOY＝60°，
∴EP＝OD＝a，
Rt△HEP中，∠EPH＝30°，
∴EH＝EP＝a，
∴a+2b＝2（a+b）＝2（EH+EO）＝2OH，
当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值＝OC＝OA＝2，即a+2b的最小值是4；
当P在点B时，如图2，
OC＝2，OA=4，AC＝BC＝，
Rt△CHP中，∠HCP＝30°，
∴PH＝，CH＝，
则OH的最大值是：OC+CH＝2+3＝5，即（a+2b）的最大值是10，
∴a+2b的最大值和最小值的和＝4+10＝14，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围．
19．C
【分析】由面积的和差关系可求，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
的面积为，，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，利用面积的和差关系求出是解题的关键．
20．B
【分析】连接BE，交AD于点O．过点E作于点H，点F作于点G，由翻折的性质可得出AB=AE，，BD=DE，易证，得出结论BO=EO，，即证明．由题意可求出DF=EF=2.5，BD=DE=5，即得出和等底同高，即可求出的面积，从而可求出EO的长，进而可求出BE的长．再在中，利用勾股定理可求出OD的长，最后在中，利用等积法，即可求出的长，再由点F是DE的中点和所作辅助线，即可求出FG的长，即点F到BC的距离．
【详解】如图，连接BE，交AD于点O．过点E作于点H，点F作于点G，
由翻折可知AB=AE，，BD=DE，
又∵AO=AO，
∴，
∴BO=EO，，
∴．
∵点F是DE的中点，EF=2.5，
∴DF=EF=2.5，BD=DE=5，
∴和等底同高，
∴．
∵，
∴，
解得：．
∴在中，，
∵．
∴．
又∵，
∴，
解得：．
∵点F是DE的中点，，，
∴FG为中位线，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查翻折的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的判定和性质．正确的作出辅助线和利用数形结合的思想是解答本题的关键．
21．
【分析】通过作辅助线转化问题，从而求出最小值
【详解】解：如图，延长到T，使得，连接，过点A作于点M．
∵四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F在射线上运动，当点F与M重合时，的值最小，
在中，，，
∴，
∴
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、平行四边形判定与性质、辅助线的构造，掌握这些是本题关键．
22．
【分析】连接，．由勾股定理求出，证，得，利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，，
是等边三角形，，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
和是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．②④/④②
【分析】通过判断为等腰直角三角形，得到，根据等角的余角相等得到，再根据平行四边形的性质得到，则，于是可对②进行判断；根据“”可证明，得到，可对①进行判断；因为，，推出，可对③进行判断；依据勾股定理即可得到，可对④进行判断．
【详解】解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
在和中，
，
∴，
∴，
∵H不是的中点，
∴，故①错误；
∵，，
∵，
∴，故③错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确．
∴其中正确的结论有②④．
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．
24．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【详解】解：连接，如图所示：
点是的中点，
，，
，
，
点是的中点，
，
点是的中点，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形面积相等．
25．2
【分析】过点作于点，延长交于点，根据平行四边形的性质得出，，根据，即可求解．
【详解】解：过点作于点，延长交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，，
，
即．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
26．
【分析】由平行四边形可得对边相等，可得，，结合两个三角形的周长，通过列方程可求得的长．
【详解】解：由折叠可得，，．
∵的周长为8，的周长为，
∴，．
∴平行四边形的周长，
∴
∵的周长为
∴．
故填：．
【点睛】本题考查轴对称和平行四边形的性质，熟练掌握轴对称图形沿某直线翻折后能够相互重合、及平行四边形对边平行且相等的性质是解此题的关键．
27．
【分析】将绕点C逆时针旋转得到，作于M，于N，在上截取一点H，使得，连接，易得为直角三角形，证明，得到，勾股定理求出的长，证明，推出是的中位线，利用中位线的性质，即可得解．
【详解】解：将绕点C逆时针旋转得到，作于M，于N，在上截取一点H，使得，连接．
则：，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理．本题的综合性较强，解题的关键是构造旋转全等图形，证明是的中位线．
28．①④⑤
【分析】根据平行四边形的性质得，，设点到，，，的距离分别是，，，，再根据三角形的面积公式整理判断①；然后根据三角形面积公式可判断②③；再根据两个等高的三角形面积的比等于底的比，得出，判断④；最后根据已证关系式，得出，，判断⑤，综合即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
设点到，，，的距离分别是，，，，
则，，，．
∵，，
∴，
∴，故①正确；
根据只能判断，不能判断，即不能判断，故②错误；
根据，能得出，不能得出，即不能判断，故③错误；
∵点在对角线上，
∴，，
∴，故④正确；
由和，得，，
∴点一定在对角线在上，故⑤正确，
综上所述，正确的结论是①④⑤．
故答案为：①④⑤
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积等，用平行四边形的面积表示出相应的两个三角形的面积的和是解本题的关键．
29．29
【分析】过G点作GM⊥AF于点M，设DE＝BF＝x，由勾股定理求得AM与GM，再证明AF＝EF，用x表示AF，FG，FM，由勾股定理列出x的方程，求得x的值，便可求得AB．
【详解】解：过G点作GM⊥AF于点M，
∴∠AMG=90°
∵分别以AE，CF为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．
AG＝AD＝，DE=EG，FH=BF，
∵∠GAF＝45°，
∴△AGM是等腰直角三角形，
∴，
∴，
解之：AM=GM=8
∵DE＝BF，
∴设DE＝BF＝x，
∴EG＝DE＝BF＝FH＝x，FG=x+11，
∵GH＝11，
∴EF＝2x＋11，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DCAB，
∴∠AED＝∠BAE，
∵∠AED＝∠AEG，
∴∠FAE＝∠FEA，
∴AF＝EF＝2x＋11，
∴AB＝AF＋BF＝3x＋11，MF＝AF AM＝2x＋3，
在Rt△FMG中，，
即，
解之：（舍去），
∴AB=3×6+11=29，
故答案为：29．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求解一元二次方程，折叠的性质，关键在于构造直角三角形，运用勾股定理列出方程，运用方程的思想解决几何问题．
30．
【分析】过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，可得△BEN和△ABM是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，
得矩形BHFM，
∴∠MBC=90°，MB=FH，FM=BH，
∵AB=6，5BE=AE，
∴AE=5，BE=，
由折叠的性质可知：GE=AE=5，GF=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABN=∠A=45°，
∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，
∴EN=BN=BE=1，AM=BM=AB=6，
∴FH=BM=6，
在Rt△GEN中，根据勾股定理，得
，
∴，
解得GN=±7（负值舍去），
∴GN=7，
设MF=BH=x,则GH=GN-BN-BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x，
在Rt△GFH中，根据勾股定理，得
，
∴，
解得x=，
∴AF=AM+FM=6+=．
∴AF长度为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
31．
【分析】过B作BH⊥AD于H，过G作GP⊥AD于P，GQ⊥于Q，过作⊥AD于R，由∠BAD=45°，AB=10，得BH=AB=5，从而可得=BH=5，根据将纸片折叠，使得点A的对应点落在BC边上，折痕EF，可知GP==，又GP⊥AD，GQ⊥，有GP=GQ=，即可得当与Q重合时，最小，最小值即是GQ的长，故可得答案．
【详解】解：过B作BH⊥AD于H，过G作GP⊥AD于P，GQ⊥于Q，过作⊥AD于R，如图：
∵∠BAD=45°，AB=10，
∴BH=AB=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，BH⊥AD，⊥AD，
∴四边形是矩形，
∴=BH=5，
∵GP⊥AD，⊥AD，
∴GP ，
∵将纸片折叠，使得点A的对应点落在BC边上，折痕EF，
∴AG=，∠AFE=∠，
∴GP是△的中位线，
∴GP==，
∵GP⊥AD，GQ⊥，
∴GP=GQ=，
∵折叠纸片，使得点C的对应点C落在上，
∴当与Q重合时，最小，最小值即是GQ的长，
∴最小为，
故答案为：，．
【点睛】本题考查平行四边形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质及作辅助线求出GP的长度．
32．
【分析】根据题意作出图形，根据与重叠部分的面积为面积的，得出为的中点，可得四边形为平行四边形，根据折叠的性质可得，即可求解．
【详解】解： ，
，
如图，作关于的对称点，连接，，取的中点，
C为线段的中点，
，
为与重叠部分，
，
与重叠部分的面积为面积的，
过点，
对称，
，
与重叠部分的面积为面积的，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
对称，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，三角形中线的性质，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
33．
【分析】在上取一点，使，则，所以，因此当、、在同一直线上，且时，最小，最小值为．
【详解】在上取一点，使，
平分，
，
，
当、、在同一直线上，且时，
最小，最小值为．
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用轴对称的性质是解题的关键．
34． 2 /
【分析】根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明△ABG≌△EAD，可得AG=DE=2，然后利用勾股定理可得求出AF的长，进而可得GF的值．
【详解】解：如图，GF⊥AB于点F，
∵点E是CD边上的中点，
∴CE=DE=2，
由折叠可知：∠BGE=∠C，BC=BG=3，CE=GE=2，
在 ABCD中，BC=AD=3，BC∥AD，
∴∠D+∠C=180°，BG=AD，
∵∠BGE+∠AGB=180°，
∴∠AGB=∠D，
∵AB∥CD，
∴∠BAG=∠AED，
在△ABG和△EAD中，，
∴△ABG≌△EAD（AAS），
∴AG=DE=2，
∴AB=AE=AG+GE=4，
∵GF⊥AB于点F，
∴∠AFG=∠BFG=90°，
在Rt△AFG和△BFG中，
根据勾股定理，得AG2-AF2=BG2-BF2，即22-AF2=32-（4-AF）2，
解得AF=，
∴GF2=AG2-AF2=4-=，
∴GF=，
故答案为2，．
【点睛】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明△ABG≌△EAD是解题的关键．
35．或．
【分析】先根据题意求得，，，分点在第二象限和第一象限两种情况讨论，根据点关于直线的对称点恰好落在轴上，根据含30度角的直角三角形的性质，在第一象限时候，证明是等边三角形，在第二象限时候证明是等边三角形，利用等边三角形的性质，分别求得点的坐标．
【详解】 与轴，轴分别交于点，，
令，， ，
令，，，
，
，
，
，，
，
①如图，当点在第二象限时，设交轴于点，交于点，交轴于点，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点关于直线的对称点为点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
点为的中点，
，，
，
②如图，当点在第二象限时，延长交轴于点，
则，
点关于直线的对称点为点
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
．
综合①②可知C的坐标为或．
故答案为: 或．
【点睛】本题考查了一次函数图像的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，此题方法比较多，利用等边三角形的性质是解题的关键．
36．2
【分析】延长DP交BC于点F，先证明PD⊥PC，再证明PD=PF，利用中位线定理，平行四边形的性质，计算即可．
【详解】如图，延长DP交BC于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OD=OB，AB=CD=6，BC=AD=10，
∴∠ADC+∠BCD=180°，∠ADF=∠CFD，
∵平分，平分，
∴∠ADF=∠CDF，∠FCP=∠DCP，
∴∠CDP+∠DCP=90°，∠CDF=∠CFD，
∴DC=CF=6，DP=PF，
∴OP是△DBF的中位线，
∴OP=BF=（BC-CF）=（10-6）=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练运用平行线的性质，平行四边形的性质，中位线的性质是解题的关键．
37．①②③
【分析】利用平行四边形的判定方法可判断①；证明△AEC△BEC，得到AC= BC，利用垂直平分线的判定定理可判断②；利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理计算可判断③；利用反证法可判断④．
【详解】解：由题意得：AB=CD，∠BAE=∠ABE=45°，∠DEC=60°，∠EDC=30°，
过E作EF∥AB交AD于F，
则∠FEA=∠BAE=45°，
∴∠FED=75°-∠FEA=30°，
∴∠FED=∠EDC=30°，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD，
又AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；故选项①正确；
∵∠AEC=∠AED+∠DEC =135°，∠BEC=360°-∠AEB-∠AEC=135°，
△AEB是等腰直角三角形，则EB= AE，且EC= EC，
∴△AEC△BEC，
∴AC= BC，
又EB= AE，
∴CE垂直平分AB；故选项②正确；
延长CE交AB于G，则AG=BG=AB，CG⊥AB，
∵AB2=6，
∴AB=CD=，AG=BG=EG =AB=，
在Rt△ECD中，∠EDC=30°，CD=，
则ED=2EC，
由勾股定理得,即，
解得EC=，
在Rt△BCG中，,
即，故选项③正确；
若DE⊥AC，则∠ECA=90°-∠DEC=30°，
∵△AEC△BEC，
∴∠ACB=2∠ECA=60°，AC= BC，
∴△ACB是等边三角形，
而AB不一定与BC相等，所以DE⊥AC，不一定成立，故选项④不正确；
综上，正确的有①②③．
故答案为：①②③．
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定的性质，含30度角的直角三角形的性质，反证法，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
38． 4 -3≤≤7
【分析】（1）根据折叠的性质和平行线的性质，可得A′E=A′B，从而得AE= AB=6，进而即可求解；
（2）先求出当点A′在DE上时，求得DE的值，再求出当点A′在CE上时，求得ED=-3，进而即可得到答案．
【详解】（1）解：∵把沿折叠到，
∴∠AEB=∠A′EB，
∵平行四边形中，点落在上，
∴AE∥A′B，
∴∠AEB=∠A′BE，
∴∠A′EB=∠A′BE，
∴A′E=A′B，
又∵AE= A′E，AB= A′B，
∴AE= AB=6，
又∵，
∴AD=10，
∴DE=10-6=4，
故答案是：4；
（2）当点A′在DE上时，如图，此时，∠AEB=90°，
∵，
∴∠ABE=90°-60°=30°，
∴AE=AB=3，
∴DE=10-3=7；
当点A′在CE上时，如图，过点C作CN⊥AD，交AD的延长线于点N，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠NDC=60°，
又∵CD=AB=6，
∴DN=CD=3，CN=，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCA′，
∵把沿折叠到，
∴∠BA′E=∠A=60°，CD=AB=A′B，
∴∠BA′C=180°-60°=120°，
∵AB∥CD，
∴∠ADC=180°-60°=120°，
∴∠BA′C=∠ADC，
∴，
∴CE=BC=10，
∴EN=，
∴ED=-3，
∴的范围是：-3≤≤7．
故答案是：-3≤≤7．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
39．
【分析】过D作DG⊥BC于G，在AB上截取AF=AQ，连接QF，证明是等边三角形，证明≌，得到，，证明≌，得到，设，利用直角三角形的性质求出DG，在中，利用勾股定理列出方程，求得a值，即可得到CP．
【详解】解：过D作DG⊥BC于G，在AB上截取AF=AQ，连接QF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，，
∵DE平分，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，
设，则，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
40．①②④
【分析】由在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，易得AF=FD=CD，继而证得①∠DCF=∠BCD；然后延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故此选项正确；
③过点F作FN⊥CD，垂足为N，
∵△AEF≌△DMF，
∴S△AEF=S△DMF，
∵CD⊥AB，AB∥CD，
∴FN∥CE，
∴2FN=CE，
∵S△BEC=，S△DFM=，
若S△BEC=2S△AEF，即S△BEC=2S△DFM，
则BE=DM，又AE=DM，
则BE=AE，但无法证明该条件，
∴S△BEC=2S△AEF不一定成立，
故此选项错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故答案为：①②④．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DME是解题关键．
41．(1)
(2)点的坐标为或或
【分析】（1）直接根据题目所给的中点坐标公式，代入值求解即可；
（2）根据平行线四边形的性质，分情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：设H的坐标为，
，，为中点，
，．
∴点H的坐标为，
故答案为：；
（2）解：设D点的坐标为，
当为对角线时，的中点坐标为．
点的坐标为
解得
∴此时D点的坐标为，
当为对角线时，
同理求得D点的坐标为，
当为对角线时，
同理求得D点的坐标为，
∴点的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了中点坐标公式和平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
42．(1)见解析
(2)是等边三角形；理由见解析
(3)存在；最小值为
【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件，证明，得出和都为等边三角形，证明，再根据证明即可；
（2）根据，得出，，根据，得出，即可证明是等边三角形；
（3）根据为等边三角形，得出当最小时，周长最小，根据垂线段最短求出的最小值，即可得出的最小值．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴和都为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：是等边三角形，理由如下：
由（1）得：，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴是等边三角形；
（3）解：的周长存在最小值，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴当最小时，的周长最小，
过点B作于点M，
∵垂线段最短，
∴当点E在点时，最小，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴的最小值为，
则周长的最小值为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，解题的关键是根据平行四边形的性质，结合已知条件证明和都为等边三角形．
43．(1)见解析
(2)F的长度不变，
(3)或
【分析】（1）证明即可解决问题．
（2）结论：的长度不变．．证明，再证明四边形是平行四边形，推出即可解决问题．
（3）分两种情形：如图中，当点在线段上时，作于．当点在的延长线上时，分别求解即可．
【详解】（1）证明：如图1中，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
．
（2）解：结论：的长度不变．．
理由：如图中，取的中点，连接，．
，，
是等边三角形，
，
， ，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
∴
∴．
（3）解：如图中，当点在线段上时，作于．
在中，，，
，
，
当点在DA的延长线上时，同法可得
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
44．(1)见解析
(2)①，见解析；②2或4
【分析】（1）延长至，使，连接，证明（），由全等三角形的性质可得出，，则可得出结论；
（2）①延长至点，使，连接、，先证（），得，，则，再证（），得，，然后证是等边三角形，即可得出结论；
②分两种情况，当为的中位线时， ，可求出答案；当不是的中位线时，连接，取的中点，连接，过点作，过点作于点，过点作于点，证明（），得出，则可得出答案．
【详解】（1）证明：延长至，使，连接，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①解：线段与的数量关系为：，
证明如下：延长至点，使，连接、，如图所示：
∵点为的中点，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
②解：的长为或．
当为的中位线时， ，
∴为的中点，
∴，
∴ ，
如图，当不是的中位线时，连接，取的中点，连接，过点作，过点作于点，过点作于点，
∵为等腰三角形，，
∴，
∴ ， ，
∵ ，
∴，
∵为的中点，为的中点，
∴是的中位线，
∴， ，
∴，
∴ ， ，
∴，，
∵，
∴（），
∴，
∴，即，
∴，即，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理的证明、旋转的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
45．(1)见详解
(2)①见详解，②
【分析】（1）由可得，从而可以得证；
（2）①延长至，使，可证，再证，可得证；
②与交于，根据平行四边形的性质可求出，设，用勾股定理可求出和，从而可求．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
．
（2）①证明：延长至，使，
由（1）得：，
是的中点，
，
、分别是、上的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
．
②解：如图，与交于，
四边形是平行四边形，，
由（1）和①得：
，，，
，
是的中点，
，
、分别是、上的中点，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
设，则有，，
又，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，“三线合一”，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握性质及定理并会灵活应用是解题的关键．
46．（1）；（2）①是；②；；；（3）证明见解析；（4）的值为：，证明见解析
【分析】（1）分别算出当正三角形边长为2时，此三角形底边上的中线．，当正三角形边长为时，，即可得出的值；
（2）①由方格上的线段关系可判定：四边形为平行四边形，四边形是平行四边形，故可得到是由平移得到，是由平移得到，即可判断出是的中线三角形；
②分别计算出，，即可得出的值；
（3）连接，利用平行四边形的判定可得出：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，即可得到：是的中线三角形；
（4）延长、交于，连接，，可证得：，即可得出，，，故为的中线，为的中线，，，．由，，，可得出，故，即可得出的值．
【详解】解：（1）在等边三角形中，设边长为，则底边上的中线为，
∴等边三角形面积，
∴当正三角形边长为2时，，此三角形底边上的中线为．
当正三角形边长为时，，
∴；
故答案为：；；
（2）①∵由勾股定理可知：，，，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴是由平移得到，
∵，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴是由平移得到，
∵，，都是的中线，
∴是的中线三角形；
故答案为：是；
②∵，，
∴；
故答案为：；；；
（3）连接，
∵平移至，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵是、中点，
∴，，
∵为中点，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵为中点，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴可由平移得到，
又∵平移至，
∴是的中线三角形．
（4），理由如下：
延长、交于，连接，，
由（3）可知：四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
又∵是的中点，
∴，
∴，
∴，，，
∴为的中线，为的中线，
∴，，
∴，
∵，，，
∴
∴
又∵与同高，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理、平行四边形的判定和性质，三角形中线的性质，以及新型定义题目，掌握平行四边形的判定和性质，三角形中线的性质是解题的关键．
47．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用证明得到，延长交延长线于F，交于点O，由，推出，即，即可证明四边形是“等垂四边形”
（2）连接，取的中点G，连接，延长交于点H，由题意可知，则，由三角形中位线定理得到 ，进一步证明，则是等腰直角三角形，即可得到；
（3）延长交于点P，分别取的中点M、N，连接，由直角三角形斜边上的中线的性质得到，由（2）知，，由三角形三边的关系得到；由于，当最小时，最大，即此时最大，求出当点D与点P重合时，，则此时；即可推出．
【详解】（1）证明：∵与都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
延长交延长线于F，交于点O，
∵，
∴，即，
∴四边形是“等垂四边形”；
（2）解：连接，取的中点G，连接，延长交于点H，
∵四边形是“等垂四边形”，，
∴，
∴，
∵点M，N，G分别是的中点，
∴ ，
∴，
∴
，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）解：延长交于点P，分别取的中点M、N，连接，
∵，
∴，
由（2）知，，
∵，即，
∴，即；
∵，
∴当点D与点P重合时在中，由勾股定理得，
∴此时；
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系等等，正确作出辅助线是解题的关键．
48．(1)点坐标为，，点坐标为，
(2)或 时，的面积时的面积的；
(3)点的坐标为，或，或，
【分析】（1）过点作，垂足为，由勾股定理求出，由平行四边形的性质可得出答案；
（2）过点作轴于点，交的延长线于点，根据行程问题中速度、时间与距离之间的关系，用含的代数式表示线段、、、的长，再由，将的面积用含的代数式表示并进行整理，即得到关于的关系式；
（3）当时，则，可求出此时的值，再求出、的长，以、、、为顶点的平行四边形可以、、为对角线，以此分类讨论，求出所有符合条件的点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图1，过点作，垂足为，
，
为等腰直角三角形，
在中，，
，
，
点坐标为，，
，即点坐标为，，
四边形为平行四边形，
点坐标为，；
（2）如图2，过点作轴于点，交的延长线于点，则，
，，
，
，
t，
，
，
，
∵，的面积时的面积的；
∴
解得：或
∴或 时，的面积时的面积的；
（3）如图，当时，则，，
，
，
，
，
解得，，
当平行四边形以为对角线，设交轴于点，
，
，
，
，
，
；
当平行四边形以为对角线，则，，
，
；
当平行四边形以为对角线，作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，点的坐标为，或，或，．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
49．(1)
(2)6或
(3)或
【分析】（1）由平行四边形的性质结合题意可得出，，，从而可求出．分类讨论：当P在A点右侧时、当P与A点重合时和当P在A点左侧时，分别求出AP的长即可；
（2）分类讨论：①当P在A点右侧时和②当P在A点左侧时，根据平行四边形的性质即可分别得出关于t的等式，解出t即可；
（3）分类讨论：①当BP=PQ时、②当BQ=PQ时，③当BQ=PB时和④当点P在A点左侧时，分别根据等腰三角形的性质，勾股定理，结合题意列出关于t的等式或判断情况是否存在，再解出t即可．
【详解】（1）∵四边形ABCO是平行四边形，A(，0)，
∴．
∵CD=6，
∴，
∴，
∵动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，
∴OP=2t，DQ=t，
∴．
当P在A点右侧时，此时，，
当P与A点重合时，此时，，
当P在A点左侧时，此时，；
∴
故答案为：；
（2）分类讨论：①当P在A点右侧时，如图，
∵四边形ABQP为平行四边形，
∴BQ=AP， 即，
解得t=6；
②当P在A点左侧时，如图，
∵四边形BQAP为平行四边形，
∴BQ=AP，即，
解得．
综上可知，当以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为6或；
（3）当恰好是等腰三角形时，有以下四种情况：
①当BP=PQ时，如图，过点Q作轴于点E，过点P作于点F，
∴，，
∴．
∵BP=PQ，
∴，
∴，
解得；
②当BQ=PQ时，如图，过点Q作轴于点G．
由①可知，
∵，即，
∴，
解得：t=；
③当BQ=PB时，由②同理可得出，
此时方程无解；
④当点P在A点左侧时，不可能是等腰三角形，此情况舍．
综上可知当恰好是等腰三角形，或．
【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
50．(1)60°
(2)
(3)当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【分析】（1）易证∠DPC=∠DCP，得DP=CD，又CD=CP，则△PDC是等边三角形，即可得出结果；
（2）如图②中，由四边形ABCD是平行四边形，推出ABCD，BCAD，，推出，推出，可得由此即可解决问题；
（3）若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD=BQ，设运动时间为t秒，分①当0＜t≤3时；②当3＜t≤6时；③当6＜t≤9时；④当9＜t≤12时，四种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠DPC＝∠PCB
∵CP平分∠BCD，
∴∠PCD＝∠PCB，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC．
∵CD＝CP，
∴PC＝CD＝PD，
∴△PDC是等边三角形
∴∠D＝∠B＝60° ；
（2）解：如图②中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，BCAD，，
∴，
∴
∴
∴，
∵△PCD为等边三角形，
∴PD=CD=8cm，PD边上的高为=，
∴；
（3）解：解：四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴PDBC
若要使四边形PDQB是平行四边形，则PD＝BQ，
设运动时间为t秒，
①当0＜t≤3时，PD＝12-t，BQ＝12-4t，
∴12-t＝12-4t，解得t＝0，不合题意，舍去；
②当3＜t≤6时，PD＝12-t，BQ＝4（t-3）=4t-12，
∴12-t＝4t-12，解得t＝4.8；
③当6＜t≤9时，PD＝12-t，BQ＝12-4（t-6）=36-4t，
∴12-t＝36-4t，解得t＝8；
④当9＜t≤12时，PD＝12-t，BQ＝4（t-9）=4t-36，
∴12-t＝4t-36，解得t＝9.6；
综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
51．(1)，
(2)为秒或秒
(3)存在，为秒
【分析】（1）先确定出，再用含角的直角三角形的性质即可得出结论；
（2）先确定出，再利用三角形面积公式建立方程求解即可得出结论；
（3）先确定点是的中点，，再利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
∴线段的长为，点的坐标为．
（2）如图，过点作于点，
∴轴，是直角三角形，
∴，
∵从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为秒，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，．
∴秒或秒时，的面积为．
（3）如图，连接、，过点作于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，点是和的中点，
∵轴恰好将平行四边形的面积分成两部分，
∴，
∴点是的中点，
∴点的纵坐标为，
∵，
∴，
∴点的纵坐标为，
∵为的中点，，
∴，
∵点是和的中点，
∴，
∴点的纵坐标为，
由（2）可知：，
∴，
∴点的纵坐标为，
∴，
∴．
∴当为秒时，轴恰好将平行四边形的面积分成两部分．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查含角的直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形中线的性质，中点坐标，平行四边形的性质，勾股定理，一元二次方程，一元一次方程等知识．用方程的思想解决问题是解答本题的关键．
52．(1)128
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据题意易得AB=16，然后问题可求解；
（2）过点E作EF⊥AB于点F，然后根据的面积是的可得点E的纵坐标，由B、C的坐标可求出直线BC的解析式，进而问题可求解；
（3）由题意可分当A1D1//OB时，当四边形是平行四边形时，当四边形是平行四边形时，进而分类求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴AB=16，
∵，
∴；
（2）解：过点E作EF⊥AB于点F，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴AB //CD ，
∴，
设直线BC的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
∵，
∴，
∴，解得：，
∴；
（3）解：由题意可分：
①当A1D1//OB时，如图所示
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当四边形是平行四边形时，过点作于点N，如图所示：
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当四边形是平行四边形时，过点点作于点G，如图所示：
∴，，
∴，
∴，
∴；
综上所述：当以点O、、、B为顶点的四边形是平行四边形，则点或或．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理、图形与坐标及一次函数，熟练掌握平行四边形的性质、勾股定理、图形与坐标及一次函数是解题的关键．
53．(1)见解析
(2)或4
(3)G（，）
【分析】（1）只需证明BC=DA即可．
（2）分EH=EF，EH=HF，EF=FH三种情况求解即可．
（3）先证明△CEF≌△ADF，△OCF≌△OAF，得到∠COF=∠AOF，确定直线OG的解析式为y=x，设点G（m，m） ，A（2a，0），则B（a，2a），其中a＞0，
求得直线AB的解析式y=-2x+4a，根据面积差为4，得到求解即可．
【详解】（1）证明：
∵D是OA中点
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）由（1）得四边形ABCD是平行四边形，
，
∴∠EHF=∠EBA，∠EFH=∠EAB．设，
（I）当EH=EF时，则∠EHF=∠EBA=∠EFH=∠EAB ，故，
根据题意，得，
解得：，
故OE=1；
（II）当EH=FH时，则∠EFH=∠EAB=∠FEH ，则，
根据题意，得，
解得：，（均舍去）；
（III）当FE=FH时，则∠EHF=∠EBA=∠FEH ，故，
根据题意，得，
解得：，（舍去），
故OE=4，
所以或4．
（3）如图，∵OA=OC=2BC，点D是OA的中点，点E是OC的中点，
∴OE=OD=CE=DA，
∵∠DOC=∠EOA=90°，
∴△AOE≌△COD，
∴∠OEA=∠ODC，∠OAE=∠OCD，
∴∠CEF=∠ADF，∠OAE=∠OCD，
∴△CEF≌△ADF，
∴CF=AF，
∵OC=OA，OF=OF，
∴△OCF≌△OAF，
∴∠COF=∠AOF，
则直线OG的解析式为y=x，
设点G（m，m） ，A（2a，0），则B（a，2a），其中a＞0，
设直线AB的解析式为y=px+q，
根据题意，得，
解得，
故直线AB的解析式为y=-2x+4a，
∵点G（m，m）是直线AB上的点，
∴m=-2m+4a，
解得m=．
∵，，
且四边形与△的面积差为4，
∴，
∴，
解得a=，a= -（舍去），
∴m==，
∴G（，）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，待定系数法，熟练掌握平行四边形的判定，灵活进行等腰三角形的边的分类待定系数法是解题的关键．
54．(1)9cm ；
(2)cm ；
(3)t的值为4或
【分析】（1）过点B作BG⊥CD于点G，由直角三角形的性质得出平行四边形的高，再按底乘以高，即可得解；
（2）过点F作FH⊥AE于点H，分别计算出t＝2s时，AE，AF和FH的长，则按三角形面积公式计算即可；
（3）分点E在线段AB上，点F在线段AD上和点E在线段BC上，点F在线段CD上，两种情况计算即可．
【详解】（1）平行四边形ABCD中，
∵∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，
∴CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
如图，过点B作BG⊥CD于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∴∠CBG＝30°，
∴CG＝BC＝cm，
∴BG＝＝（cm），
∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BG＝6×＝9（cm2）．
答：平行四边形ABCD的面积为9cm2；
（2）当t＝2s时，
AE＝2×1＝2cm，AF＝2×1＝2cm，
∵∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
如图，过点F作FH⊥AE于点H，
∴FH＝AF＝（cm），
∴△AEF的面积为：×AE×FH＝×2×＝（cm2），
答：当t＝2s时，△AEF的面积为cm2；
（3）∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为9cm2．
∴当△AEF的面积是平行四边形ABCD面积的时，
△AEF的面积为：9×＝3（cm2），
当点E在线段AB上运动t秒时，点F在AD上运动t秒，AE＝tcm，AF＝tcm，高为AF＝t（cm），
∴ ×t×t＝3，
∴t＝﹣2（舍）或t＝2，
∴t＝2>3，不符合题意；
当点E在线段AB.上运动秒时，点F在CD上运动t秒，( 3∴t=4，符合题意；
当点E′运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点F′也运动到线段CD上，
如图，过点E′作MN垂直CD于点H，垂直于AB延长线于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝∠C＝60°，CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
∴AB∥CD，
∴∠E′BG＝∠C＝60°，
∴E′G＝BE′＝（t﹣6）（cm），E′H＝1.5﹣（t﹣6）＝（9﹣t）（cm），
∴S△AEF＝9﹣×6×（t﹣6）﹣×[6﹣（t﹣3）]×[（9﹣t）]﹣（t﹣3）×1.5＝3，
化简得：t2﹣9t+12＝0，
∴
当时，点E位于线段BC上，点F位于线段CD上，符合题意．
综上所述，t的值为4或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程，等边三角形的性质，熟练掌握三角形或平行四边形的面积公式是解题的关键．
55．（1），；（2）6秒；（3）3或或9
【分析】（1）根据勾股定理得出OD，进而利用含30°角的直角三角形的性质得出AB＝12，进而解答即可；
（2）根据平行四边形的性质得出CE＝DE，进而解答即可；
（3）分三种情况：MD＝ME，DM＝DE，ED＝EM时，利用等腰三角形的性质解答即可．
【详解】（1）∵OA＝3，AD＝6
∴∠ADO=30°，OD＝=3
∴∠DAB＝60°
∵BD⊥AD
∴∠DBA=90°-∠DAB＝30°
∴△ADB是含30°角的直角三角形
∴AB＝2AD＝12
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝DC＝12
∴B坐标为（9，0），C坐标为（12，3）；
（2）∵四边形EFBC是平行四边形
∴EFBC
∴EMBC
∵M是BD的中点
∴EM是△BCD的中位线
∴点E是CD的中点
∴CE＝ =6
∴t＝6；
（3）∵DO=3，BO=9
∴BD=
∵∠DBA＝30°，ABCD
∴∠BDC＝∠DBA＝30°
当△DEM为等腰三角形时
①当MD＝ME
∵是的中点
∴DM=
作MH⊥CD于点H，如图
∴△DMH是直角三角形
∵∠BDC＝30°
∴MH=
∴DH=
∵MD＝ME
∴DE=2DH=9
∴CE＝CD DE＝12 9＝3
②当DM＝DE＝BD＝3时
∴DE＝3
∴CE＝CD DE＝12 3
③当ED＝EM时，DM＝BD＝3
作EH⊥DM于点H，如图
∴DH=
∵∠BDC＝30°
∴EH=DE
∵DE2=EH2+DH2，即DE2=（DE）2+（）2
∴DE＝3
∴CE＝CD DE＝12 3＝9
综上所述，当△DEM为等腰三角形时，CE的长为3或9或12 3．
【点睛】本题是四边形的综合问题，主要考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键．
56．（1）；（2）；（3）3或6；（4）
【分析】（1）①由已知可得点P与点Q的速度比为1：3，则得CQ=3AP，由于CF=CQ-QF，结论可得；
②过点A作AM⊥BC于点M，由已知可得△APG和△FCG和△ABM为等腰直角三角形，则AP=PG=x，FC=FG=3x-2，AM=BM=BC=5；由四边形AMFP为矩形得到AM=PF，列出方程求出x，则CQ可求；
（2）分两种情形解答：①当点Q，F在线段BC上时；②当点Q，F在线段CB的延长线上时，利用AP=BF，列出方程即可求解；
（3）分两种情形解答：点P的对称点在线段AB上或在线段BA的延长线上，利用AB=BF，列出方程即可求解．
【详解】解：（1）①∵BE=2BC=20，
∴BC=10，EC=30．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=10．
∵当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E，
∴点P与点Q的速度比为1：3，
∵AP=x，
∴CQ=3x，
∴CF=CQ-QF=3x-2．
故答案为：3x-2；
②过点A作AM⊥BC于点M，设PF交AC于点G，如下图，
∵∠ABC=45°，∠BAC=90°，AM⊥BC，
∴△ABC，△AMB，△AMC为等腰直角三角形，
∴AM=BC=5，∠ACB=45°．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=45°．
∵PF⊥BC，
∴FP⊥AD．
∴△APG和△FGC为等腰直角三角形．
∴PG=AP=x，FG=FC=3x-2．
∴PF=PG+GF=4x-2．
∵AD∥BC，AM⊥BC，PF⊥BC，
∴AM=PF，
∴4x-2=5．
解得：x=．
∴BQ=BC-CQ=10-3x=10-×3=；
（2）①当点Q，F在线段BC上时，如下图，
若四边形ABFP为平行四边形，则AP=BF，
∵BF=BC-CF，
∴x=10-（3x-2），
解得：x=3；
②当点Q，F在线段CB的延长线上时，如下图，
若四边形AFBP为平行四边形，则AP=BF，
∵BF=CF-BC，
∴x=3x-2-10，
解得：x=6；
综上，当x=3或6时，以A，B，F，P为顶点的四边形是平行四边形；
（3）当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上，
①点P关于AF的对称点Q在线段AB上，如下图，
∵点P与点Q关于AF对称，
∴∠BAF=∠DAF．
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
在Rt△ABC中，,
∴AB=5，
∴5=10-(3x-2)．
解得：；
②点P关于AF的对称点Q在线段BA的延长线上时，如下图，
∵点P与点Q关于AF对称，
∴∠QAH=∠DAH=．
∵∠ABC=45°，∠ABC=∠AFB+∠FAB，∠FAB=∠QAH=，
∴∠AFB==∠FAB，
∴AB=BF．
∵BF=CF-BC，
∴5=3x-2-10．
解得：．
综上，当或时，当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，一元一次方程的解法．充分利用等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
57．（1）与四边形的面积相等，理由见详解，当时的面积为；（2）①；②见详解．
【分析】（1）过点A作AF⊥DE于点F，过点C作CH⊥AB于点H，由题意易得，则有△AFD是等腰直角三角形，∠EAF=30°，设，则有，进而可得，然后根据三角形面积公式进行求解即可；
（2）①由题意易得BD垂直平分AC，进而可得，由平行线的性质可得，进而可得，最后问题可求解；②设与BC交于点M，则由①可得，则有，然后可得，则有，进而可得，最后问题可求证．
【详解】解：（1）过点A作AF⊥DE于点F，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：
∵△是等边三角形，△是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴△AFD是等腰直角三角形，∠EAF=30°，
∴，，
设，则有，
∴，
∴在Rt△AFE中，，即，
在Rt△AHC中，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
（2）①∵，
∴根据折叠的性质可得BD垂直平分AC，
∴，
∵，且，
∴，即，
∴，
∵，
∴；
②设与BC交于点M，如图所示：
由①可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定、折叠的性质、等腰直角三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定、折叠的性质、等腰直角三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定是解题的关键．
58．（1）；（2）；（3），见解析
【分析】（1）构造45°的直角三角形，利用45°正弦函数列式求出k值；
（2）由，将面积作比即可得到答案；
（3）猜想与的面积之比为．作交延长线于点，则有，分别表示出变形前后的的面积和的面积，并相比即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，
∴；
故答案为：．
（2）∵四边形面积，四边形面积，且，
∴四边形：四边形．
故答案为：．
（3）猜想：与的面积之比为，理由如下：
如图，作交延长线于点，则有，
∵，
∴，
∴四边形的面积，
面积
．
的面积，
∴，
【点睛】本题考查了四边形的性质、网格点三角形面积的计算、对新定义的理解和运用，解题的关键是：对新定义的理解和运用．
59．（1）；（2）（，）或（，）；（3）（－3，4）或（，）
【分析】
【详解】解：（1）设直线的解析式为，
将点A，点B代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵在平行四边形中，，
∴设直线的解析式为，
∵轴，，点B的坐标为，点C在第四象限，
∴点C的坐标为，
将代入，得：
，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）∵点P是边上一个动点，
∴设点P的坐标为（，），且，
若点P与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为（，），
将（，）代入直线，得：
，
解得：（符合题意），
∴点P的坐标为（，），
若点P与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为（，），
将（，）代入直线，得：
，
解得：（符合题意），
∴点P的坐标为（，），
综上所述，点P的坐标为（，）或（，）；
（3）如图，设CD，AB与x轴的交点分别为E，F，
又∵直线CD，AB的解析式分别为，，
∴点E的坐标为（5，0），点F的坐标为（－1，0），
∴OE＝5，OF＝1，
∴
，
，
又∵，
∴，
∵点T为直线上一点，
∴设点的坐标为（，），
过点T作直线TH⊥x轴，交直线AB于点H，则点H的坐标为（，），
∴，
∴，
即：，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，，
当时，，此时点T在直线AB的上方，
当时，，此时点T在直线AB的下方，
∴点T的坐标为（－3，4）或（，）．
【点睛】本题是一次函数与平行四边形、三角形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，轴对称的性质等相关知识，解题时要注意分类讨论，避免漏解．
60．（1）是，见解析；（2）t＝或t＝2或t＝4；（3）∠M＝∠CNF，见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠EDA＝∠EAD，根据余角的性质得到∠EDB＝∠ABD，得到AE＝BE，于是得到结论；
（2）当MN为点A，B，F，E构成的四边形的准中位线时，①如图①，当0≤t≤时，②当＜t≤6时，根据题意列方程即可得到结论；
（3）连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH，根据三角形的中位线定理得到EH∥AB，EH＝AB，求得∠M＝∠HEF，又根据三角形的中位线定理得到FH∥CD，FH＝CD，求得∠CNF＝∠HFE，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵DE＝AE，
∴∠EDA＝∠EAD，
∵∠EDA＋∠EDB＝90°，∠EAD＋∠ABD＝90°，
∴∠EDB＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴AE＝BE，
∵F为CD的中点，
∴EF为四边形ABCD的准中位线；
（2）当MN为点A，B，F，E构成的四边形的准中位线时，
①如图①，当0≤t≤时，则需满足EF∥AB且M（D）为AB的中点，
∴，
解得：t＝；
②当＜t≤6时，需满足BE∥AF且M为AF的中点，
∴，
解得：t＝2或t＝4，
综上所述，当t＝或t＝2或t＝4时，MN为点A，B，E，F构成的四边形的准中位线；
（3）∠M＝∠CNF，
理由：连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH，
∵E，H分别为AD，BD的中点，
∴EH∥AB，EH＝AB，
∴∠M＝∠HEF，
∵F，H分别为BC，BD的中点，
∴FH∥CD，FH＝CD，
∴∠CNF＝∠HFE，
∵AB＝CD，
∴HE＝HF，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴∠M＝∠CNF．
【点睛】本题考查了四边形的综合应用，围绕线段的中点，考察了等腰三角形的性质以及判定、三角形的中位线定理等知识，正确理解新概念四边形的“准中位线”是本题解题的关键.
试卷第18页，共18页
试卷第1页，共19页

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