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浙教版八下——反比例函数好题精选60题
班级：___________姓名：___________
一、选择题
1．如图，直线与双曲线交于A、两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，当时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
3．如图，点，在轴的正半轴上，以为边向上作矩形，过点的反比例函数的图象经过的中点．若的面积为1，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图1，已知A，B是反比例函数（，）图像上的两点，轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿（图中“”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作轴，垂足为M．设三角形的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图像大致如图2，则k的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，，两点纵坐标分别为6，4，反比例函数的图象经过，两点．若菱形的面积为，则值为（ ）．
A．8 B．12 C．10 D．9
6．如图，点A，B是双曲线上两点，且A，B关于原点O中心对称，是等腰三角形，底边轴，过点C作轴交双曲线于点D，若，则k的值是（　　）
A．﹣7 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣10
7．如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A点的横坐标为1，∠BAD＝45°，反比例函数y的图像经过A，B两点，则菱形ABCD的面积是（　　）
A． B． C．2 D．4
8．如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，．若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，对角线交于原点O，交于点G，反比例函数的图象经过线段的中点E，若，则的长为( )
A． B． C． D．
10．如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点E，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝8，则k＝（ ）
A．40 B．80 C．40 D．80
11．如图，点A在反比例函数第一象限内图象上，轴，交直线于点B，若，则k的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．与交于A、B两点，交y轴于点C，延长线交双曲线于点D，若，则为（ ）
A．2 B．3 C． D．
13．如图，直线与双曲线交于点A，B，与y轴交于点C，与x轴交于点D，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为点F，E，连接，若，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
14．如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，以为边构造正方形，点，恰好都落在反比例函数的图象上，点在延长线上，，，交轴于点，边交反比例函数的图象于点，记的面积为，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，已知，为反比例函数图像上的两点，动点在x轴正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点P的坐标是（　　）
A． B． C． D．
16．已知：如图，在菱形OABC中，OC＝8，∠AOC＝60°，OA落在x轴正半轴上，点D是OC边上的一点（不与端点O，C重合），过点D作DE⊥AB于点E，若点D，E都在反比例函数（x＞0）图象上，则k的值为（ ）
A．16 B． C．9 D．
17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，第四个顶点D在反比例函数的图像上，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，矩形的顶点坐标分别为，动点F在边上（不与重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若，则的面积为；②若，则点C关于直线的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是；④若，则．其中正确的命题个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．如图，在平面直角坐标系中有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点D，，双曲线经过的中点F，交于点E，下列四个结论：①；②；③E点的坐标是；④连接、，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第19题图 第20题图
20．如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
21．如图，在平面直角坐标系中，，且轴于点A，反比例函数 的图象经过点C，交于点D，若，则点D的坐标为_____________．
22．如图，直线与双曲线交于、两点，直线经过点，与双曲线交于另一点，，连接，若的面积是50，则_____．
23．如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，反比例函数过的中点．交于点为上的一点，，过点的双曲线交于点，交于点，连结，则的值为______，若，则的面积为______．
24．把一块含60°角的三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边与x轴的夹角，若，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为______．
25．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交反比例函数的图像于点A，B（点A在B的左上方），分别交x轴，y轴于点C，D，轴于点E，交于点F．若图中四边形与的面积差为，则与的面积差为___．
26．如图，菱形的一边在轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为，对角线和相交于点D且．若反比例函数的图象经过点D，并与的延长线交于点E，则_____．
27．如图，在平行四边形中，过点B作轴，且，D为中点，连接、、，反比例函数的图象经过D、E两点，若的面积为3，则k的值为 _____．
28．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等边三角形的边和菱形的边均在x轴上，点C在上，，反比例函数的图像经过点A，则k的值为______．
29．如图所示，点是x轴正半轴上一点，以为斜边作等腰，直角顶点A在第一象限．反比例函数图象交于点C，交于D，若，求_______．
30．如图，在直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，函数的图象为曲线．（1）若曲线与直线有唯一的公共点，则______；（2）若曲线使得线段上的整点（横纵坐标均为整数的点，且不包括点、）分布在它的两侧，每侧的整点个数相同，则的取值范围为______．
31．如图，点A，B，C在函数（常数，）图象上的位置如图所示，分别过点A，C作x轴与y轴的垂线，过点B作y轴与的垂线．若，图中所构成的阴影部分面积为2，则矩形的面积为______．
32．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴上，反比例函数的图象与AB，BC分别交于点E，点F，若矩形对角线的交点D在反比例函数图象上，且EDOB，则点E的坐标是_______．
33．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，以为边在第一象限作正方形，点C在双曲线上，将正方形沿x轴正方向平移a个单位长度后，使点D恰好落在双曲线上；或者将正方形沿y轴正方向平移b个单位长度后，也能使点D恰好落在双曲线上，则的值为________．
34．如图，已知在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点A，经过点B的反比例函数的图象交边于点，连接，．若点是中点，的面积为1，则的值是______．
35．如图，一次函数y=x与反比例函数（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1 B1⊥A1B交x轴于点B1；再作，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去······则点A2022的横坐标为____________.
36．如图，在平面直角坐标系xOy中，的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，，DE与BC交于点F．若图象经过点C，且，则k的值为__________．
37．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ax，y＝x与反比例函数y＝（x＞0）分别交于点A，B两点，由线段OA，OB和函数y＝（x＞0）在A，B之间的部分围成的区域（不含边界）为W．若区域W内恰有8个整点，则a的取值范围为________．
38．如图，位于平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A及的中点D在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，则k的值为_______．
39．如图，点，在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，延长交反比例函数的图象于点．已知点，的横坐标分别为1，3，与的面积之和为，则的值为 __．
40．如图，点A，B在反比例函数y第一象限的图象上，点A坐标为（1，2），AB的延长线交x轴于点C．点D在x轴上，BD的延长线交双曲线的另一支于点E，AB＝BC＝BD．则点C的坐标为____，△CDE的面积等于____．
41．如图，反比例函数的图象与直线（）交于，两点（点在点左侧），过点作轴的垂线，垂足为点，连接，，图中阴影部分的面积为6，则的值为______．
42．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx与双曲线y＝相交于A，B两点，点C是第一象限内双曲线上不与点A重合的一点，连结CA并延长交y轴于点P，连结BP，BC，点A恰为PC中点．若△PBC的面积是24，则k的值为 ___．
43．如图，矩形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图象分别与边、相交于点D、E．连结，，恰有，，若，则k的值是_________．
三、解答题
44．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一、三象限内的、两点，直线与轴交于点，点的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
45．如图1，一次函数的图像与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点，连接．
(1)___________，___________．
(2)若点P在第三象限内，是否存在点P使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，C是线段上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接，，．若四边形的面积为3，求点C的坐标．
46．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象分别交轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，轴于点E，已知C点的坐标是（8，-2），．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)求 ABO的面积；
(3)根据图象直接回答：当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
47．已知反比例函数和．其中反比例函数图像过一、三象限．
(1)如图，若直线交反比例函数在第一象限于点A，交x轴于点B，且，求k的值．
(2)若点和是反比例函数图像上两点，请比较a，b大小关系，并说明理由．
(3)若，且满足时，函数最大值为；当时，函数最小值为．求当x为何值时，．
48．【阅读理解】若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“黄金数组”．
【问题解决】
(1)请你写出三个能构成“黄金数组”的实数 ；
(2)已知三点A（m，y1），B（m + 1，y2），C（m+3，y3）同在某一函数图像上，且三点的纵坐标恰好构成“黄金数组”．
① 当该函数为一次函数，且m＞0时，求实数m的值；
② 当该函数为反比例函数时，求实数m的值．
49．如图，在并联电路中，电源电压为，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：．已知为定值电阻，当R变时，路电流也会发生变化，且干路电流与R之间满足如下关系：．
(1)【问题理解】
定值电阻的阻值为________Ω．
(2)【数学活动】
根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质．
①列表：下表列出与R的几组对应值，请写出m的值：________；
R … 3 4 5 6 …
… 2 1.5 1.2 1 …
… 3 m 2.2 2 …
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．
(3)【数学思考】
观察图象发现：函数的图象是由的图象向________平移________个单位而得到．
(4)【数学应用】
若关于x的方程在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．
50．如图，四边形OBAC是矩形，OC＝2，OB＝6，反比例函数的图象过点A．
(1)求k的值．
(2)点P为反比例函数图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，求点P的坐标．
(3)点G为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点Q，使得以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
51．边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于A，B两点，过点B的反比例函数的图象的一支交其中两个正方形的边于C，D两点，另一支交直线于点E，连接OC，OD，CD，
(1)求k1，k2的值；
(2)求的面积；
(3)过原点O的另一条直线交反比例函数的图象于P，Q两点（P点在第一象限），若由点B，E，P，Q为顶点的四边形的面积为12，求点P的横坐标．（直接写出答案）
52．【模型建立】（1）如图一，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于D，过点B作BE⊥ED于E．求证：AD＝CE．
【模型应用】（2）如图二，直线l1：y＝x＋4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点B顺时针旋转45°得到直线l2，求直线l2的函数表达式；
【拓展探究】（3）如图三，一次函数的图象与坐标轴分别相交于点A、B，点C在反比例函数的图象上，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出k的所有可能的值 ．
53．在平面直角坐标系中，直线y=x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与反比例函数y=(k≠0)的图象在第一象限相交于点C，且点B是AC的中点.
(1)如图1，求反比例函数y=(k≠0)的解析式；
(2)如图2，若矩形FEHG的顶点E在直线AB上，顶点F在点C右侧的反比例函数y=(k≠0)图象上，顶点H，G在x轴上，且EF=4
①求点F的坐标；
②若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F的左侧，连结MG，并在MG左侧作正方形GMNP．当顶点N或顶点P恰好落在直线AB上，直接写出对应的点M的横坐标．
54．如图，经过坐标原点O的直线交反比例函数的图象于点，B．点C是x轴上异于点O的动点，点D与点C关于y轴对称，射线交y轴于点E，连结，，．
(1)①写出点B的坐标．
②求证：四边形是平行四边形．
(2)当四边形是矩形时，求点C的坐标．
(3)点C在运动过程中，当A，C，E三点中的其中一点到另两点的距离相等时，求的值．
55．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，a）．
(1)a＝ ，k＝ ；
(2)横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P（m，n）为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数y＝（x＞0）的图象于点B，C．由线段PB，PC和函数y＝（x＞0）的图象在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W．利用函数图象解决下列问题：
①若PA＝OA，则区域W内有 个整点；
②若区域W内恰有5个整点，求m的取值范围．
56．如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点．
(1)求点的坐标和反比例函数的关系式；
(2)如图，将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求值．
(3)在（2）的条件下，坐标系内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
57．如图，在平面直角坐标系中，直线和双曲线在第一象限相交于点，过点A作轴，垂足为点B．有一动点P从原点出发沿y轴以每秒1个单位的速度向y轴的正方向运动，运动时间为t秒，过点P作轴，交直线于点C，交双曲线于点D．
（1）求直线和双曲线的函数解析式；
（2）设四边形的面积为S，当P在线段上运动时（P不与B点重合），求S与t之间的函数关系式；
（3）在图中第一象限的双曲线上是否存在点D，使以四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出此时t的值和D点的坐标；若不存在，请说明理由．
58．反比例函数的图象经过点，点是一次函数图象上的一个动点，如图所示，设点的横坐标为，且满足，过点分别作轴，轴，垂足分别为，，与反比例函数分别交于，两点，连结，，．
（1）求的值并结合图象求出的取值范围；
（2）在点运动过程中，若，求点的坐标；
（3）将沿着直线翻折，点的对应点为点，得到四边形，问：四边形能否为菱形？若能，求出点坐标；若不能，说明理由．
59．定义：只有三边相等的四边形称为准菱形．
（1）如图1，图形 　 　（填序号）是准菱形；
（2）如图2，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，求证：四边形ABCD是准菱形；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA，OC分别落在y轴，x轴上，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别与边AB，BC交于点D，E．已知AD＝DE，△ADE的面积为10，AD：DB＝5：3，若点F是坐标平面上一点，四边形ADEF是准菱形，当准菱形ADEF面积最大时，求点F的坐标．
60．当k值相同时，我们把正比例函数与反比例函数叫做“关联函数”.
(1)如图，若k>0，这两个函数图象的交点分别为A，B，求点A，B的坐标（用k表示）；
(2)若k=1，点P是函数在第一象限内的图象上的一个动点（点P不与B重合），设点P的坐标为（），其中m>0且m≠2.作直线PA，PB分别与x轴交于点C，D，则△PCD是等腰三角形，请说明理由；
(3)在(2)的基础上，是否存在点P使△PCD为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．C
【详解】解：解：由，得，，
所以，不等式的解集可由双曲线不动，直线向下平移个单位得到，
直线向下平移个单位的图象如图所示，交点的横坐标为，交点的横坐标为，
当或时，双曲线图象在直线图象上方，
所以，不等式的解是：或．
故选C
2．D
【详解】解：把代入，得
，解得：，
∴，
∵图象交于、两点，
∴当时，或．
故选：D．
3．D
【详解】解：∵四边形是矩形，为的中点，
∴，，
设，则，，
∴，则，
∴，
∵的面积为1，即：，
∴，
故选：D
4．A
【详解】解：由图1可知，点P从点A到点B的过程中，三角形的面积S是定值，
由图2可知：点P从点A到点B的过程中，，
，
解得：，
，
，
故选：A．
5．B
【详解】解：过点作轴的垂线，交的延长线于点，
轴，
，
，两点在反比例函数的图象，且纵坐标分别为6，4，
，，
，，
菱形的面积为，
，即，
，
在中，，
，
，
故选：B．
6．C
【详解】解：如图，过点B作于点H，记与y轴的交点为点E，则，
∵是等腰三角形，轴，
∴，
∵A、B关于点O中心对称，
∴点E是的中点，
∴，
∴，
设，则，，
∴点，点，点，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中心对称性，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知等腰三角形的性质设出点A的坐标．
7．A
【分析】作AH⊥BC交CB的延长线于H，先根据反比例函数解析式求出A的坐标，设菱形的边长为a，易证∠BAD＝∠ABH＝45°，即AH＝BHa，则点B（1a，2a），再求出AH，最后根据菱形的面积公式计算即可．
【详解】解：作AH⊥BC交CB的延长线于H，
∵反比例函数y的图像经过A，B两点，A点的横坐标为1，
∴A（1，2），
设菱形的边长为a，
∵ADBC，
∴∠BAD＝∠ABH＝45°，
∴AH＝BHa，
∴B（1a，2a），
∴（1a） （2a）＝2，
∴a1，a2＝0（舍去），
∴AH1，
∴菱形ABCD的面积＝BC×AH．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，掌握反比例函数的性质和菱形的性质是解答本题的关键．
8．B
【分析】先根据点的横向坐标求出P1(1,k)，P2(3,)，P3(6,)，再根据S2=(6-3)( -)=3，求出k值，再根据S1=1×(k-)求解即可．
【详解】解：把x=1代入，得y=k，
∴P1(1,k)，
把x=3代入，得y=，
∴P2(3,)，
把x=6代入，得y=，
∴P3(3, )，
∵S2=(6-3)( -)=3，
∴k=6，
∴S1=1×(k-)=1×(6-)=4，
故选：B．
9．B
【分析】过E作y轴和x的垂线EM，EN，证明四边形MENO是矩形，设E（b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得，进而可计算出CO长，利用等边三角形的性质可得，然后利用勾股定理计算出DG长，进而可得AG长．
【详解】解：过E作y轴和x的垂线EM，EN，垂足分别为M，N， 设E（b，a），
∵反比例函数（x＞0）经过点E，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，DO=BD=4，
∵EN⊥x，EM⊥y，
∴四边形MENO是矩形，
∴，，
∵E为CD的中点， 轴， 连接OE，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
为等边三角形，而
∴
∴DG=AG， 设DG=r，则AG=r，
在Rt△DOG中，DG2=GO2+DO2，
∴，
解得：，
∴AG= ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数和菱形的综合运用，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，二次根式的运算，关键是掌握菱形的性质：菱形对角线互相垂直平分，且平分每一组对角，反比例函数图象上的点横纵坐标之积=k．
10．C
【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MN，FN，进而求出AN、MB，表示出点F、点M的坐标，利用反比例函数k的意义，确定点F的坐标，进而确定k的值即可．
【详解】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN=CD=3，
在Rt△FMN中，∠MFN=30°，
∴，
∴AN=MB=，
设OA=x，则OB=x+3，
∴
又∵点F、M都在反比例函数的图象上，
∴，
解得，x=5，
∴，
∴．
故选C．
11．A
【分析】设点的坐标为，从而可得，再根据直线求出点的坐标为，从而可得，代入可得，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意，设点的坐标为，
，
轴，
点的纵坐标与点的纵坐标相等，即为，
又点在直线上，
，
，
，
，
整理得：，
将点代入反比例函数得：，
故选：A．
12．A
【详解】∵与交于A、B两点，
∴设，则，
∴，
∴反比例函数解析式为，
由题意得：，，
∴，即，
设直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
，解得，，
∴，
过点作轴，过点作轴，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
解得：，
∴（负值舍去），
故选：A．
13．B
【详解】解：∵点A，B在双曲线上，
∴设，，
设直线AB解析式为，将，代入，得
，解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴，，
∴
即
∴
∴ k = 6，
故选：B．
14．B
【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，设，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
又∵，在反比例函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵在反比例函数的图象上，即，
∴，，
∴，，反比例函数的表达式为，
设：直线的表达式为，
∴，解得：，
∴直线的表达式为，
∵，解得：或，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
故选：B．
15．D
【详解】∵，为反比例函数图像上的两点，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
当三点一线时，线段与线段之差达到最大，
∴，
解得，
∴点P的坐标是．
故选D．
16．B
【详解】过D作DH∥BC，交AB于H，
∵在菱形OABC中，OC＝8，∠AOC＝60°，
∴OA∥BC，OC∥AB，BC＝OC＝8，∠B＝∠AOC＝60°，
∴∠DHE＝∠B＝60°，四边形BCDH是平行四边形，
∴DH＝BC＝8，
∵DE⊥AB于点E，
∴DE＝DH sin60°＝4，
作DM⊥x轴于M，过E点作EN⊥DM于N，
∵OC∥AB，DE⊥AB，
∴DE⊥OC，
∴∠ODM＋∠NDE＝90°，
∵∠DOM＋∠ODM＝90°，
∴∠NDE＝∠DOM＝60°，
∴DM＝OM，DN＝DE＝2，NE＝DE＝6，
设D（x，x），则E（x＋6，x 2），
∵点D，E都在反比例函数（x＞0）图象上，
∴k＝x x＝（x＋6）（x 2），解得x＝3，
∴D（3，3），
∴k＝3×3＝9．
故选：B．
17．A
【详解】解：过点D作DE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于F，作BH∥x轴，交CF于H，
∵A（1，0），B（4，2），C（2，3），
∴BH=4-2=2，CH=3-2=1，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵BH∥x轴，
∴∠ABH=∠BAF，
∵∠DAE+∠BAF+∠DAB=180°=∠CBH+∠ABH+∠DAB，
∴∠DAE=∠CBH，
在△ADE和△BCH中，
，
∴△ADE≌△BCH（AAS），
∴AE=BH=2，DE=CH=1，
∴OE=1，
∴点D坐标为（-1，1），
∵点D在反比例函数的图象上，
∴k=-1×1=-1，
故选：A．
18．D
【详解】解：
命题①正确．理由如下：
，
，，，
，．
，故①正确；
命题②正确．理由如下：
，
，，，
，．
如答图，过点作轴于点，则，；
在线段上取一点，使得，连接．
在中，由勾股定理得：，
．
在中，由勾股定理得：．
，
又，
直线为线段的垂直平分线，即点与点关于直线对称，故②正确；
命题③正确．理由如下：
由题意，点与点不重合，所以，
，故③正确；
命题④正确．理由如下：
设，则，．
设直线的解析式为，则有，解得，
．
令，得，
；
令，得，
．
如答图，过点作轴于点，则，．
在中，，，由勾股定理得：；
在中，，，由勾股定理得：．
，解得，
，故命题④正确．
综上所述，正确的命题是：①②③④，共4个，
故选：D．
19．C
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=AB=BC=CO=5，AC⊥OB，AD=OD=CD=BD，
∵AD=OB，
∴OD=AD，即OD≠OA，
∴∠CAO≠30°，故①错误；
在△AOD中，设OD=x，则AD=2x，OA=5，
∴，
解得：x=或（舍），
即OD=，AD=OB=，
∴AC=2AD=，
∴，故②正确；
过点B作BG⊥OA，垂足为G，
则BG===4，
∴OG==2，
∴点B的坐标为（2，4），
∵F是AB中点，
∴点F的坐标为（，2），
∵E，F在反比例函数上，且点E在BC上，
∴k=×2=7，点E的纵坐标为4，
则在中，令y=4，
解得：x=，
∴点E的坐标为：（，4），故③正确；
∵F是AB中点，
∴△COF的面积等于菱形OABC面积的一半，
∵OA=5，BG=4，
∴△COF的面积==10，故④正确，
故选C．
20．B
【详解】解：如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H
∵四边形是平行四边形
∴易得CH=AF
∵点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点
∴ 即反比例函数解析式为
∴设点C坐标为
∵
∴
∴
∴
∴
∴，点B坐标为
∵平行四边形的面积是
∴
解得（舍去）
∴点B坐标为
故应选：B
21．
【分析】过点作于点，于，则．由，，，可得，设，则，求出t的值即可．
【详解】过点作于点，于，则
，，
，，
设，则，
点、D在图象上
解得：
点，
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，关键是熟练运用反比例函数的性质解决问题．
22．/
【分析】作出如解图的辅助线，设，由反比例函数的对称性以及等腰直角三角形的性质可知，然后证明得到，，则点K的坐标为，然后求出直线BC的解析式，得到J点坐标，设C点坐标为，然后推出得到关于m、n的方程组，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作轴于M，过点O作交于K，过点K作轴于T，设直线与y轴交于J，连接，
设，则，，
∴由反比例函数的对称性可知，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴点K的坐标为，
设直线BC的解析式为，
∴，解得，
∴直线BC的解析式为，
∴J点坐标为，
设C点坐标为，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数比例系数，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，一次函数与反比例函数综合等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23．
【分析】（1）根据反比例函数的性质及矩形的性质设，进而得到的值即可解答；
（2）根据反比例函数的性质得到面积之间的关系，再根据坐标点的坐标即可求得的面积．
【详解】解：①∵，点是的中点，
∴，,
设，
∴，，，
∵反比例函数过的中点，
∴，
∴，
∵双曲线过点，
∴，
∴，
②过点作于点，过点作于点，
∵点都在抛物线双曲线，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是梯形，
∵，
∴，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与三角形的面积，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
24．
【分析】设反比例函数解析式为，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别为D，E，解，求出，再根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为，点A，C分别作轴，轴，垂足分别为D，E，如图，
在中，，
∴，
∴，
在中，∠，
∴∠，
∴，
∴，
∵∠
∴
在中，∠，
∴，
∴，
∴，
设，则
∴，
∴
∵A，C均在反比例函数图象上，
∴
解得，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确表示出点A和点C的坐标是解答本题的关键．
25．
【分析】作于点H，根据反比例函数面积性质及四边形与的面积差为推出面积为，可求出，确定直线解析式，得到，从而将与的面积差转化为与的面积之差计算即可．
【详解】解：作于点H，
∵四边形与的面积差为，反比例函数
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵直线分别交x轴，y轴于点C，D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线，，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，反比例函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定解析式，熟练掌握交点的意义，反比例函数的性质和k的几何意义，正确进行图形分割是解题的关键．
26．2
【分析】如图所示，过点C作于G，根据菱形和三角形的面积公式可得，再由，求出，在中，根据勾股定理得，即，根据菱形的性质和两点中点坐标公式求出 ，将D代入反比例函数解析式可得k，进而求出点E坐标，最后根据三角形面积公式分别求得即可．
【详解】解：如图所示，过点C作于G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵D为的中点，
∴，
又∵D在反比例函数上，
∴，
∵，
∴E的纵坐标为4，
又∵E在反比例函数上，
∴E的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形性质的运用，解题时注意：菱形的对角线互相垂直平分．
27．/6.75
【分析】过点D作轴，交于点F，交轴于点G，延长交轴于点H，连接，根据的面积为3，求出的面积，设D点坐标为，则E点坐标为，根据面积列方程即可求出k的值．
【详解】解：过点D作轴，交于点F，交轴于点G，
延长交轴于点H，连接，
E为的四等分点（），的面积为3，
的面积为9，
轴，
四边形是平行四边形，
，
，
D为中点，
，
由平行四边形得，，，
，
，
设D点坐标为，则E点坐标为，
，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，解题关键是根据已知条件，设点的坐标，利用相似三角形的性质、平行四边形的性质、三角形的面积公式列出关于k的方程．
28．
【分析】连接，由是等边三角形，得到，根据平行线的性质得到，推出是等边三角形，得到，得到，求得，推出，过A作于H，由等边三角形的性质得到，求得，于是得到结论．
【详解】解：连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过A作于H，
∴，
∴，
∵反比例函数的图像经过点A，
∴k的值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等边三角形的性质，菱形的性质，同底等高的三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．
29．
【分析】利用证明，推出，设，得到，由，得到，先后求得a和b的值，据此即可求解．
【详解】解：作于点N，作于点H，作于点G，作于点K，连接，如图，
∵是等腰直角三角形，且，
∴、、都是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，即，
解得(舍去)或，
∴，
∴点C的坐标为，
∵反比例函数图象经过点C，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数和几何的综合，作出辅助线，设出点坐标，利用“”是解答本题的关键．
30．
【分析】（1）由曲线与直线有唯一的公共点，可得只有一组解，从而得有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式即可求解；（2）先求得线段上的整点，由曲线使得线段上的整点横纵坐标均为整数的点，且不包括点、分布在它的两侧，每侧的整点个数相同，则曲线经过和之间即可求解．
【详解】解：（1）由题意得：只有一组解，
有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：；
（2）由，得，，
线段上的整数点共有个，分别为，，，，，，，．
当曲线经过点时，在曲线上方个，在曲线下方个；
当曲线经过点时，在曲线上方个，在曲线下方个；
若曲线使得线段上的整点横纵坐标均为整数的点，且不包括点、分布在它的两侧，每侧的整点个数相同，则曲线经过和之间，
当曲线经过点时，；
当曲线经过点时，．
的取值范围为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图像及性质，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
31．
【分析】设，进而表示出的坐标，用含的代数式表示出阴影部分的面积，求出的值，即可得解．
【详解】解：∵，
设，
则：，
∴，
∴阴影部分的面积为：，
∴，
∴矩形的面积为；
故答案为：．
【点睛】本题考查已知图形面积求值，熟练掌握值的几何意义，是解题的关键．
32．(2，4)
【分析】连接OE，根据反比例函数系数k的几何意义得到，设D(m，n)，则mn=，n=，进一步求得的面积，即可得到AE=，，由OD=BD，EDOB，得到OE=BE=，然后利用勾股定理得到整理得，由于，求得m=4，即可求出E点坐标．
【详解】解：连接OE，
∵反比例函数的图象与AB、BC分别交于点E、F，
∴，
，
设D(m，n)
∵矩形对角线的交点D在反比例函数的图象上，
∴mn=，n=，
∵矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴上，
∴B(2m，2n)
∴A=2n，AB=2m，
∴，
∴AE=，
∴BE，E(，)，
∴OA=，
∵OD=BD，EDOB，
∴OE=BE=，
在RtAOE中，，
∴
整理得
∵m0，
∴m=4，
∴E(2，4)，
故答案为：(2，4)．
【点睛】本题考查了矩形的性质、反比例函数k的几何意义勾股定理的应用和线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是根据题意得到关于m的方程．
33．8
【分析】如图，作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，CN与DM交于点E，CN交反比例函数于F，利用三角形全等，求出点D、点F坐标即可解决问题．
【详解】解：如图，作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，CN与DM交于点E，DM交反比例函数于F．
解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点B（0，4），点A（2，0），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=BC=CD，∠BAD=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，∠BAO+∠DAM=90°，
∴∠ABO=∠DAM，
在△ABO和△DAM中
∴
∴AM=OB=4，DM=OA=2．
同理可得∶CE=BN=OA=2，DE=CN=OB=4，
∴点E（6，6），C（4，6），D（6，2），
∵点C（4，6）在，
∴k=24，
∴反比例函数为，
∴直线DM与反比例函数图象的交点F坐标为（6，4），
∴设将该正方形沿y轴正方向平移个单位长度后，顶点D恰好落在双曲线上时，b=4-2=2，
∵D（6，2），
设将该正方形沿x轴正方向平移个单位长度后，顶点D恰好落在双曲线上时，对应点，
∴，
解得a=6，
∴
故答案为8
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
34．
【分析】根据点B在反比例函数图象上，可设B点坐标为，得出，，再由等腰直角三角形的性质可得C点坐标为，依据点是中点得出D点的坐标为，过点C作AB的垂线交OB于点E，如图（见详解），可得，列出，化简得，最后利用点D也在反比例函数图象上，列出，将代入即可求得k的值．
【详解】解：∵轴于点A，点B和点在反比例函数的图象上，
设，则，，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴．
∵点是中点，
∴．
过点C作AB的垂线交OB于点E，垂足为F，如图所示，
∴F为AB的中点，且，
∴，，
∴，
化简得．
又∵，化简得，
将代入得到，
解得．
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数图象与三角形的综合问题，熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能将点的坐标和线段用字母表示出来，列出方程求解是解题的关键．
35．/
【分析】过点A，A1，A2作x轴的垂线，交x轴于点C，D，E，求出点A坐标，进一步可求出，，，以此类推可得结果．
【详解】解：过点A，A1，A2作x轴的垂线，交x轴于点C，D，E，
∵一次函数y=x与反比例函数的图象交于点A，
∴联立，解得，
∴，，即，
∵AB⊥OA，∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，故设，
∵在上，
∴，解之得：，（舍去），
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，∴，故设，
∵在上，
∴，解之得：，（舍去），
∴，
同理可得：，
以此类推：点A2022的横坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标规律，一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，解题的关键是找出A1、A2、A3点的坐标，发现其中的规律．
36．12
【分析】过点F作，根据平行四边形的性质，表示出点，在通过相似表示出即可求出k；
【详解】解：过点F作，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
故答案为：12.
【点睛】本题主要考查反比例函数、平行四边形的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
37．或
【分析】根据直线y＝ax，y＝x关于y=x对称及由线段OA，OB和函数y＝（x＞0）在A，B之间的部分围成的区域W内恰有8个整点可得在y=x的上方有3个整点，下方也有3个整点即可求解．
【详解】解：
解方程 得，x＞0，
y＝（x＞0）与y=x的交点为 ，
在W区域内有点( 1，1)，(2，2)，
直线y=ax， y=x关于y=x对称，区域W内恰有8个整点，
在直线y=x上方与下方各有3个整点，
(2，4)，(4，2)在y＝（x＞0）上，
整点为( 1，2)，( 1，3)，(2，3)，(3，1)， (3，2)，(2，1)，
当点(1，3)在y=ax上时，a=3，当点(1，4)在y=ax上时，a=4，此时3当点( 1，3)在上时， a=，当点(1，4)在上时， a=，此时；
故答案为： 或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点，主要考查了待定系数法求函数解析式，找到关键点求出a的值是解题的关键．
38．2
【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据平行四边形的性质以及在上，可得，设，则，可得的坐标，进而根据为中点，根据中点坐标公式求得的坐标，根据在上，列出方程，即可求得的值．
【详解】如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
四边形是平行四边形
，
即
轴，在上，
，即
设，则
是的中点
，在上，
即
得
故答案为：2
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形结合，的几何意义，平行四边形的性质，设参数法求解是解题的关键．
39．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得A、B、D、E的坐标，然后由三角形的面积公式表示出△ABE和△BCD的面积，再由与的面积之和为，即可求解．
【详解】解：点 ，的横坐标分别为1，3，
把点，的横坐标代入反比例函数得
，，，
∵轴，且、、在一条线上，
且、、的纵坐标相等，且都为，
∵点在反比例函数上，
，
，，
，
，
∵
∴ ，
解得，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数k值的几何意义，解题的关键是利用点的横纵坐标表示出三角形的面积．
40．
【分析】先求出反比例函数的解析式，根据为的中点，由中点坐标公式可计算出，同理可求出点，再求出直线的方程，联立求出点，根据即可求解．
【详解】解：点A，B在反比例函数y第一象限的图象上，
将代入上式，
解得：，
，
设点，
，
为的中点，
由中点坐标公式可得：，
将代入，
解得：，
即，
由勾股定理得：，
，
设，
即，
解得：，
故，
设直线的方程为，
解得两点代入其中得：
，
解得：，
，
联立，
解得：或，
由图可得：
，
由，
故答案是：，．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，中点坐标公式，勾股定理，解题的关键是掌握用待定系数法求函数的解析式．
41．
【分析】首先由已知得到S△BFG＝2S△OEC，从而可得A、B横坐标的关系，再设A、B坐标代入y＝ x＋m，即可求解．
【详解】解：过点A、B分别作y轴和x轴的垂线，垂足分别为R、F，
设点M是AB的中点，
由，整理得：x2 mx＋6＝0，
由题意可得x2 mx＋6＝0有两个不相等的实数根分别设为x1，x2，
则x1＋x2＝m，y1＋y2＝ x1＋m x2＋m＝m，
则点M的坐标为（m，m），
设直线AB交x轴于点G，交y轴于点H，
对于y＝ x＋m，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝m，
∴点G、H的坐标分别为（m，0）、（0，m），
则点HG中点的坐标为（m，m），
即点M也为GH的中点，故AH＝BG，
∵AR∥x轴，
∴∠HAR＝∠BGF，
∵∠HRA＝∠BFG＝90°，
∴△HRA≌△BFG（AAS），
∴AR＝OC＝FG，
∴S△HRA＝S△BFG，
∵S△AEO＋S△OCE＋S△OCE＋S四边形ECFB＝|k|＋|k|＝6，
而阴影部分的面积＝S△AEO＋S四边形EBFC＋S△BFG＝6，
∴S△BFG＝2S△OEC，
即2××CO EC＝×BF FG，
而OC＝FG，
∴EC＝BF，
即EC是△OBF的中位线，
故设点A的坐标为（t， ），则点B（2t，），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得（不合题意的值已舍去），
故答案为：．
【点睛】本题为反比例函数综合运用，考查反比例函数和一次函数的基本性质、中点公式的运用、三角形全等及面积问题，题目较难，解题的关键是得出A、B横坐标的关系．
42．8
【分析】先根据直线y＝kx与双曲线相交于两点关于原点对称，可得OA=OB；设A（m，n），则B（﹣m，﹣n），结合△PBC的面积是24可得，即S△APO+S△BPO＝12，设P（0，b），再结合求得bm＝12；再根据A为PC的中点表示出C点坐标，最后根据A、C都在双曲线上，列方程求出k即可．
【详解】解：∵直线y＝kx与双曲线相交于A，B两点，
∴A，B两点关于O对称，即OA＝OB，
设A（m，n），则B（﹣m，﹣n），
∵A为PC中点，
∴S△ABP＝S△ABC
又∵S△PBC＝24，
∴
∴S△APO+S△BPO＝12，
设P（0，b），
∴，
∴bm＝12①，
∵A为PC的中点，
∴C的坐标为（2m，2n﹣b），
∵A，C是双曲线上的点，
∴k＝mn＝2m（2n﹣b），
∴3n＝2b，
∴，将上式代入①中得，k＝mn＝8．
故填8．
【点睛】本题属于一次函数和反比例函数的交点问题，掌握中点在本题中的的两个作用①利用中线平分面积，②利用中点坐标公式表示点的坐标是解答本题的关键．
43．
【分析】过点D作DF⊥OE于点F，由题意易得，进而易证，，则有，设，则，，然后可得，最后根据勾股定理可求解．
【详解】解：过点D作DF⊥OE于点F，如图所示：
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∵，，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴（AAS），
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△OEC中，，即，
解得：（负根舍去），
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合、勾股定理及矩形的性质，熟练掌握反比例函数与几何的综合、勾股定理及矩形的性质是解题的关键．
44．(1)
(2)6
(3)点的坐标为：或或或
【分析】（1）把点代入得到，把代入，求得，即可得到答案；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）解方程组得到，根据勾股定理得到 ，①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：∵点在上，
∴，
∴，
∵在上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：
（2）∵交轴于点，
∴，
∵与交于点，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
当时，或，
当时，如图1，过作于，
∵，
∴，
∴，
时，如图2，过作于，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
综上所述：点的坐标为：或或或
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，正确的理解题意，分类讨论是解题的关键．
45．(1)1，
(2)或
(3)
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况讨论：①当点O为直角顶点时；②当点B为直角顶点时；分别求解即可；
（3）由，即可求解．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，即．
∵一次函数的图像过点，
∴，解得．
故答案为：1，；
（2）解：存在．理由如下：
若是以为直角边的等腰直角三角形，则需要分两种情况讨论：
①当点O为直角顶点时，
如图，过点O作且，分别过点B、作y轴的垂线，垂足分别为E、F，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴
②当点B为直角顶点时，
如图，过点B作，且，连接，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴．
综上，点P的坐标为或．
（3）解：∵点C在线段AB上（不与点A，B重合），
∴设点，
则点，
则，
解得，（舍去），
故点C的坐标为．
【点睛】此题是一道反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了待定系数法、三角形全等的判定与性质、图形的面积计算等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识、添加辅助线构造全等三角形与分类讨论的思想是解答此题的关键．
46．(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为；
(2)4；
(3)或．
【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可求解；
（2）利用，求出，则，求出，则，根据即可求解；
（3）观察函数图象即可求解．
（1）
解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为，
点在反比例函数上，且，
，代入求得：，
点的坐标为．
、两点在直线上，则，解得，
一次函数的关系式为；
（2）
解：把代入，解得，
即，则，
当代入，解得，
即，则，
；
（3）
解：由图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图像和性质，体现了方程思想，同时利用数形结合的思想求解，综合性较强．
47．(1)k=2
(2)a>b，见解析
(3)x=2.5或x=3
【分析】（1）将y=0代入解得：x=﹣1，BO=1，设A点纵坐标为y，由，则可列式，解得，将代入中得：，解得：x=1，故A点坐标为：（1，2），将（1，2）代入中得：k=2；
（2）由（1）知k=2，故函数解析式为：，将代入中得：，可解得：a=4，将代入中得：，解得：b=3，
则a＞b；
（3）由，且满足时，函数最大值为，故函数在区间上时递减的，则当x=n是，函数值最大为2n，则，解得：n=±1（舍去﹣1），
当时，函数最小值为，可分为两种情况讨论：在区间内递增时，x=3时取最小值，当在区间内递减时，x=4时取最小值，分两种情况讨论即可．
（1）
解：将y=0代入中得：，解得：x=﹣1，
∴BO=1，
设A点纵坐标为y，
∵，
∴，解得，
将代入中得：，解得：x=1，
故A点坐标为：（1，2），
将（1，2）代入中得：k=2；
（2）
由（1）知k=2，故函数解析式为：，
将代入中得：，解得：a=4，
将代入中得：，解得：b=3，
∴a＞b；
（3）
解∵，且满足时，函数最大值为，
故函数在区间上时递减的，
∴当x=n是，函数值最大为2n，
故，解得：n=±1（舍去﹣1），
当时，函数最小值为，
当在区间内递增时，x=3时取最小值，
代入中，得，解得k=3，
∴函数解析式为：
此时，即为：，解得：x=2.5，
当在区间内递减时，x=4时取最小值，
代入中，得，解得k=4，
∴函数解析式为：，
此时，即为：，解得：x=3，
故答案为：x=2.5或x=3．
【点睛】本题考查求一次函数的解析式以及图象，反比例函数的解析式以及图象的增减性，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
48．(1)2，3，（答案不唯一）
(2)①；②实数m的值为-4或-2或2
【分析】（1）任意选择两个数，根据定义计算即可；
（2）①根据定义列得，计算即可；
②根据定义分三种情况列方程解答．
（1）
∵，
∴2，3，三个数能构成“黄金数组”，
故答案为：2，3，；
（2）
①∵m＞0，∴＞＞＞0，
由已知，有，
解得；
经检验符合方程；
②∵，，，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
∴实数m的值为-4或-2或2．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，反比例函数的性质，正确理解题中的新定义，列出方程是解题的关键．
49．(1)
(2)①；②见解析
(3)上；1
(4)0或或
【分析】（1）由题意中和代入求值即可．
（2）①观察图表，利用计算即可；②根据图表的数据，利用描点法画图即可．
（3）利用函数解析式的变化规律与函数图像的平移规律解答即可．
（4）利用函数与方程的关系，结合图像分析根的情况，最后利用一元二次方程根的判别式计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴
（2）①解：当时，
∴，
∴
②先描出点，，，，再顺次连接这些点即可画出所求函数图象
（3）解：当，，
当时，，
当时，，
结合图像，所以函数的图象是由的图象向上平移1个单位．
（4）解：由函数与方程的关系可知，
当时，的函数图像在第一象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；
∴
化简得：
∴
当时，的函数图像在第二象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；
∴
化简得：
∴
当时，的图像恰好有两个交点．
∴或或．
【点睛】本题主要考查函数图像的平移，利用函数与方程的关系解方程，掌握描点法画图以及函数与方程的关系，根的判别式是解决本题的关键．
50．(1)12
(2)点P坐标为（+1，﹣1）或（1﹣，﹣1﹣）
(3)存在，点G的坐标为（﹣4，﹣2）或（﹣8，﹣2）或（，14）或（﹣，14）或（8，14）或（，﹣2）
【分析】（1）先求出点A坐标，代入解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，由正方形的性质可求解；
（3）由平行四边形的面积为16，可求点Q坐标，再分AB为边和对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解．
【详解】（1）∵OC=2，OB=6，
∴点C（2，0），点B（0，6），点A（2，6），
∵反比例函数的图象过点A，
∴k=2×6=12；
（2）∵k=12，
∴反比例函数解析式为：，
设，
∵四边形PDCE是正方形，
∴PD=PE，
当点P在第一象限时，
∴，
解得（舍去）
∴
当点P在第三象限，
∴
解得：（舍去）
∴，
综上所述，或
（3）设点的坐标为
若AB为边，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16，
∴，
解得：或，
∴或，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的四边形是平行四边形，
∴AB=QG=2，AB∥QG，
∴或或或，
若AB为对角线，
设点G（x,y），
∵以A、B、Q、G为顶点组成的四边形是平行四边形，
∴AB与QG互相平分，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16，
或，
∴或
解得或
∴或
综上所述，或或或或或
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
51．(1)k1=，k2=；
(2)S△OCD=．
(3)点P的横坐标为或．
【分析】（1）设A（4，t），利用面积法得到×4×t=4+1，解方程得到A（4，），利用待定系数法求出直线解析式为y1=x，再确定B（2，），接着利用待定系数法确定k2的值即可；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出C（，2），D（3，），然后利用S△OCD等于梯形的面积计算即可求解；
（3）推出四边形PEQB为平行四边形，得到S△OPB=S平行四边形PEQB=3，设P（a，），利用S△OPB= S梯形PFGB列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设A（4，t），
∵直线y1=k1x平分这8个正方形所组成的图形的面积，
∴×4×t=4+1，解得t=，
∴A（4，），
把A（4，）代入直线y1=k1x得4k1=，解得k1=，
∴直线解析式为y=x，
当x=2时，y=x=，则B（2，），
∵反比例函数y2=的图象经过点B，
∴k2=2×=；
（2）解：由（1）知反比例函数的解析式为y=，
当y=2时，=2，解得x=，则C（，2）；
当x=3时，y==，则D（3，），
过点C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，
∴S△OCM=S△ODN=k2=，
∴S△OCD+ S△ODN=S梯形CMDN+S△OCM，
∴S△OCD= S梯形CMDN=(DN+CM)(ON-OM)=(+2)(3-)=．
（3）解：由反比例函数的性质知OB=OE，OP=OQ，
∴四边形PEQB为平行四边形，
∴S△OPB=S平行四边形PEQB=3，
设P（a，），
当点P在点B上方时，过点P、B分别作x轴的垂线，垂足分别为F，G，
同理得S△OPB= S梯形PFGB=(BG+PF)(OG-OF)=(+)(2-a)=3．
整理得5a2+24a-20=0，
解得a=(负值不合题意，舍去) ，
∴点P的横坐标为．
当点P在点B上方时，过点P、B分别作x轴的垂线，垂足分别为F，G，
同理得S△OPB= S梯形PFGB=(BG+PF)(OF-OG)=(+)(a-2)=3．
整理得5a2-24a-20=0，
解得a=(负值不合题意，舍去) ，
∴点P的横坐标为．
综上，点P的横坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式，公式法解一元二次方程．
52．（1）见解析；（2）y＝x＋4；（3）－112、－84、－49
【详解】（1）根据为等腰直角三角形，，，可判定，从而得结论；
（2）根据，求得，最后运用待定系数法求直线的函数表达式；
（3）根据为等腰直角三角形分三种情况：以A，B，C三个顶点为直角顶点，作辅助线构建三角形全等可得点C的坐标，根据可得结论．
解：（1）如图1，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB＝CA，∠ACD＋∠BCE＝90°．
又∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC＋∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ACD与△CBE中
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）
∴AD＝CE；
（2）∵直线y＝x＋4与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴A（0，4）、B（－3，0），
如图2，
图2
过点B做BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴，
在△BDC和△AOB中，
，
∴△BDC≌△AOB（AAS），
∴CD＝BO＝3，BD＝AO＝4，
∴OD＝OB＋BD＝3＋4＝7，
∴C点坐标为（－7，3），
设l2的解析式为y＝kx＋b，将A，C点坐标代入，
得，
解得，
∴l2的函数表达式为y＝x＋4；
（3）分三种情况：
①如图3，，过点C作轴于E，
当时，，
当时，，
∴，
∴，．
∵是等腰直角三角形，
∴，，
由（1）同理可得，
∴，，
∴，
∴；
②如图4，，过点C作轴于F，
由（1）同理可得，
∴，，
∴，
∴；
③如图5，，过点C作轴，过点B作轴，
同（1）可得，
∴，，
设，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上，k的所有可能的值是-112或－84或-49．
故答案为：-112、－84、-49．
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用．
53．(1)；
(2)①点F的坐标为（4，2）；②点M的横坐标为或；
【分析】（1）根据题意，先求出点C的坐标，然后即可求出反比例函数的解析式；
（2）①由矩形的性质，得到EF∥x轴，设点E的坐标为（，），则点F为（，），然后求出x的值，即可求出点F的坐标；
②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点N落在直线AB上时；当点P落在直线AB上时；利用正方形的性质和全等三角形的判定和性质，分别求出每一种情况的答案即可．
（1）解：根据题意，∵直线y=x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，令，则；令，则；∴点A为（，0）；点B为（0，2）；∵点B是AC的中点.，∴点C的坐标为（2，4）；∵点C在反比例函数图像上，∴，∴；
（2）解：①∵四边形FEHG是矩形，∴EF∥x轴，设点E的坐标为（，），则点F为（，），∵EF=4，∴，解得：或，∵顶点F在点C右侧的反比例函数上，∴，解得，∴，∴点F的坐标为（4，2）；②根据题意，∵点F的坐标为（4，2）；∴点G为（4，0）；当点N落在直线AB上时，如图：过点M作MD⊥GF，交GF延长线于点D，过点N作NE⊥DM，交DM延长线于点E；∵四边形GMNP是正方形，则MG=MN，∠NMG=90°，∵∠E=∠D=90°，∴∠EMN+∠GMD=∠GMD+∠DGM=90°，∴∠EMN=∠DGM，∴△EMN≌△DGM（AAS），∴EN=DM，EM=DG；∵点M在的图像上，点N在直线上，且点M在点F的左侧，设点M为（m，）（），点N为（n，），∵点G为（4，0），∴，，，，∴，解得：，∴点M的横坐标为；当点P落在直线AB上时，如图：过点M作MD⊥GF，交GF延长线于点D，过点P作PE⊥FG，交FG延长线于点E；与①同理，可证△DMG≌△EGP，∴EG=DM，EP=DG；设点M为（m，）（），点P为（p，），∵点G为（4，0），∴，，，，∴，解得：，∵，∴；∴点M的横坐标为；综合上述，点M的横坐标为：或；
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，坐标与图形，以及解方程组，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助，运用数形结合的思想进行分析题意．
54．(1)；证明见解析
(2)
(3)或或
【分析】（1）①根据反比例函数图象是中心对称图形可得点B的坐标；
②根据中心对称的性质可得OA＝OB，OC＝OD，从而证明结论；
（2）根据矩形的性质可知CD＝AB，则OC＝OB，求出OB的长，即可得出答案；
（3）分点A为中点，C为中点，E为中点，分别画出图形，利用三角形中位线定理可得OE和AD的长，从而解决问题．
【详解】（1）解：（1）①∵正比例函数与反比例函数的图象于点，B两点，
∴点A、B关于原点对称，
∴；
②∵点A、B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵点D与点C关于y轴对称，
∴OC＝OD，
∴四边形ACBD是平行四边形；
（2）当四边形ACBD是矩形时，则CD＝AB，
∴OC＝OB，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）当点E为AC的中点时，则AE＝CE，
作AH⊥x轴于H，
∴，
∴，
∵，
∴点D与H重合，
∴，
∴，
当点A为CE的中点时，如图，则，
同理可得，
∴，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
当点C为AE的中点时，，则，，
由勾股定理得，
∴，
综上： 或或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握反比例函数图象是中心对称图形是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
55．(1)3；6
(2)①5
②或
【分析】（1）先把点A代入直线l的关系式，求出a的值，再把点A代入反比例函数解析式求出k的值即可；
（2）①先求出点P坐标，结合函数图象可求解；
②分两种情况讨论，结合函数图象可求解．
【详解】（1）解：∵直线l：y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，a），
∴a＝×2＝3，
∴点A（2，3），
∵反比例函数y＝过点A，
∴k＝3×2＝6．
故答案为：3；6．
（2）①∵点P为射线OA上一点，且PA＝OA，
∴A为OP中点，
∵A（2，3），
∴点P的坐标为（4，6），
将x＝4代入y＝中，得y＝，
将y＝6代入y＝中，得x＝1，
∵PB，PC分别垂直于x轴和y轴，
∴B（4，），C（1，6），
如图所示：
结合函数图象可知，区域W内有5个整点，
故答案为：5；
②当点P在点A下方时，如图，
结合函数图象可知，当≤m＜1时，区域W内有5个整点；
当点P在点A上方时，如图，
结合函数图象可知，当＜m≤4时，区域W内有5个整点；
综上所述：当＜m≤4或≤m＜1，区域W内有5个整点．
【点睛】本题是反比例函数与正比例函数的综合题，考查了反比例函数图象的性质，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
56．(1)点的坐标为；
(2)3
(3)存在，点坐标为或或
【分析】（1）过点C作CE⊥x轴于点E，证明△AOB≌△BEC，根据全等三角形的性质分别求出BE、CE，求出点C的坐标，进而求出反比例函数解析式；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点A横坐标，根据平移的性质解答；
（3）根据题意画出图形，然后分三种情况讨论．
【详解】（1）解：如图所示，过点C作CE⊥x轴于点E，
则∠BEC=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠OBA+∠EBC=90°，
∵∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠EBC，
在△AOB和△BEC中，
∠OAB=∠EBC，∠AOB=∠BEC，AB=BC，
∴△AOB≌△BEC(AAS)，
∴BE=OA=4，CE=OB=2，
∴OE=OB+BE=6，
∴点C的坐标为(6，2)，
将点C的坐标为(6，2)代入 y＝，
得k=12，
∴反比例函数的关系式为y＝；
（2）解：∵OA=4，
∴点A'纵坐标为4，
∴点A'横坐标为=3，
∴m=3；
（3）解：如图，设所求坐标为（s，t），则：
当四边形POB'A'为平行四边形时，由（2）可得：t=4，OB'=OB+3=5，
∴s=3-5=-2，
∴此时点P的坐标为(-2，4)，
当四边形A'OB'P'为平行四边形时，由（2）可得：t=4，s=3+5=8，
∴点P'的坐标为(8，4)，
当四边形A'OP"B'为平行四边形时， ，
∴，
∴点P"的坐标为(2，-4)，
综上所述：以点O，A'，B'，P为顶点的四边形为平行四边形时，点P坐标为(-2，4)或(2，-4)或(8，4)．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，掌握待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质是解题的关键．
57．（1）直线的函数关系式是，双曲线的函数关系式是；（2）（3）当t=-1时，存在Q（，-1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；当t=+1时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；当t=3-时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】（1）把点A的坐标代入两个函数的解析式求出k和k′的值即可得到两个函数的解析式；
（2）由题意易得AB=1，OB=2，OP=t，结合（1）中所得两个函数的解析式可得：PC=，PD=，BP=，由此可得当点P在线段AB上（不与点B重合）时，CD=PD-PC=，这样S=S梯形ABCD=（AB+CD）·BP即可求得S与t间的函数关系式了；
（3）根据题意，分①CD在AB的下方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合；②CD在AB上方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合；③CD在AB下方，BQ∥AC，BQ=AC；根据这三种情况画出对应的图形（图2和图3）结合已知条件进行分析解答即可.
【详解】解：（1）把A（1，2）代入和得：
∴直线的函数关系式是，双曲线的函数关系式是；
（2）∵A点坐标为（1，2），AB⊥y轴，
∴B点坐标为（0，2），
∴AB=1，OB=2，OP=t，
∵C，D分别是PD与直线，双曲线的交点，且PD∥x轴，
∴C点坐标为，D点坐标为，
∴PC=，PD=，BP=2-t，
∴当CD在AB下方时，CD=PD-PC=-．
∴；
（3）存在以下3种情形，具体如下：
①当CD在AB的下方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合（如图2）时，四边形ABCQ是平行四边形，
∵CD=PD-PC=-=1，
∴，解得（舍去），
∴此时PD==，OP=t=-1，
∴当t=-1时，存在Q（，-1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；
②当CD在AB的上方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合（如图2）时，四边形ACBQ是平行四边形，
∵CD=PC-PD，
∴，解得：（舍去），
∴此时PD==，OP=t=+1，
∴当t=+1时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；
③当BQ∥AC，BQ=AC，且CD在AB下方时（如图3），此时四边形ACBQ是平行四边形，
此时Q点的坐标仍为（，+1），
过C作CG⊥AB交AB于G，过Q作QH⊥y轴交y轴于H，
∴∠QHB=∠AGC=90°，
又∵PC⊥y轴，AB⊥y轴，
∴四边形BPCG是矩形，
∴PB=CG，
∵HQ∥AB，BQ∥AC，
∴∠HQB=∠ABQ，∠ABQ=∠CAG，
∴∠HQB=∠GAC，
又∵BQ=AC
∴△ACG≌△QBH（AAS），
∴CG=BH=BP，，
∴OP=2OB-OH=4-（+1）=3-，
∴当t=3-时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形．
综上所述，当t=-1时，存在Q（，-1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；当t=+1时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；当t=3-时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
58．（1），；（2） 或；（3）能，
【分析】（1）先把（1，3）代入求出k的值，再由两函数有交点求出m的值，根据函数图象即可得出结论；
（2）设，则，，可得，再设，则，进而求出，，将代入可得知，将代入可得知，进而求出a、b的值即可得出结论.
（3）当OC＝OD时，四边形O′COD为菱形，由对称性得到△AOC≌△BOD，即OA＝OB，由此时P横纵坐标相等且在直线y＝ x＋6上即可得出结论．
【详解】解：（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴把代入，解得，
∴令，
解得：，
由图像可知表示一次函数图像在反比例函数图像上方的取值范围，
∴；
（2）如图，连接OP，
设，则，
∵点D在上，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
在上，
∴，∴①，
在上，∴②，
解①②得，，
，，
点的坐标是或.
（3）四边形能为菱形，
∵当时，四边形为菱形，
∴由对称性得到，即，
∴此时横纵坐标相等且在直线上，即，
解得：，即.
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查的是反比例函数综合题，涉及到菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，在解答此题时要注意利用数形结合求解．
59．（1）②③；（2）见解析；（3）点F的坐标为(-，)或(8-，)．
【分析】（1）根据准菱形的定义即可判断；
（2）过点B作BE∥AD交CD于点E，证明四边形ABED为菱形以及BE=BC，即可证明四边形ABCD是准菱形；
（3）设DB=3a，则AD=DE=5a，利用勾股定理以及三角形面积公式求得，再根据点D，E在反比例函数的图象上，求得，得到点D的坐标为(5，)，点E的坐标为(8，)，点B的坐标为(8，)，然后根据菱形的定义，分两种情况讨论，求解即可．
【详解】（1）解：图①四边都相等，不符合准菱形的定义，不是准菱形；
图②有三边相等，符合准菱形的定义，是准菱形；
图③有三边相等，符合准菱形的定义，是准菱形；
图④不存在边相等，不符合准菱形的定义，不是准菱形；
故答案为：②③；
（2）过点B作BE∥AD交CD于点E，
∵AB∥DC，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABED为菱形，
∴∠D=∠BEC，∠ABC+∠C=180°，AD=BE，
∵∠ABC +∠D=180°，
∴∠D=∠BEC=∠C，
∴BE=BC，
∴AB＝AD=BC，
故四边形ABCD是准菱形；
（3）∵AD：DB＝5：3，AD＝DE，
设DB=3a，则AD=DE=5a，
在Rt△BDE中，
由勾股定理得BE=，
∵△ADE的面积为10，
∴，即，
∴(负值已舍)，
∵点D，E在反比例函数的图象上，
设点D的坐标为(5，)，点E的坐标为(8，)，点B的坐标为(8，)，
∵BE=4，
∴，
解得：，
∴点D的坐标为(5，)，点E的坐标为(8，)，点B的坐标为(8，)，
在Rt△ABE中，AE=，
四边形ADEF是准菱形，根据准菱形的定义知点F在以E为圆心，5为半径的圆上，
要使准菱形ADEF面积最大，即△AEF面积最大，
则当EF⊥AE时，△AEF面积最大，如图：
∵∠DAH+∠ADH=90°，∠BAE+∠AEB=90°，∠FEG+∠EFG=90°，∠FEG+∠AEB=90°，
∴∠DAH=∠FEG，
又∵AD=EF=5，
∴Rt△ADHRt△EFG(AAS)，
∴AH=EG，DH=FG，
在等腰△ADE中，△ADE的面积为10，AH=HE=AE=，
AE DH=10，解得DH=，
FG=，EG，
点F的坐标为(8-，)；
四边形ADEF是准菱形，根据准菱形的定义知点F在以A为圆心，5为半径的圆上，
要使准菱形ADEF面积最大，即△AEF面积最大，
则当AF⊥AE时，△AEF面积最大，如图：
同理求得FG=，AG，
点F的坐标为(-，)；
综上，点F的坐标为(-，)或(8-，)．
【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到菱形的判定和性质、勾股定理、圆的基本知识、面积公式的运用等，综合性很强，难度大．
60．（1）点A坐标为（-k，-1），点B坐标（k，1）；（2）△PCD是等腰三角形；，理由见解析；（3）不存在，理由见解析．
【分析】（1）联立两个函数解析式即可；
（2）先求出点C和点D的坐标，然后根据两点距离公式得到PC=PD即可；
（3）过点P作PH⊥CD于H，根据等腰直角三角形的性质可得CD=2PH，可求m的值；然后再点P不与B重合即可解答．
【详解】解：（1）∵两个函数图象的交点分别为点A和点B，
∴，解得：或
∴点A坐标为（-k，-1），点B坐标（k，1）；
（2）△PCD是等腰三角形，理由如下：
∵k=1
∴点A和点B的坐标为（-1，-1）和（1，1），
设点P的坐标为（m，）
∴直线PA解析式为：
∵当y=0时，x=m-1，
∴点C的坐标为（m-1，0）
同理可求直线PB解析式为：
∵当y=0时，x=m+1，
∴点D的坐标为（m+1，0）
∴，
∴PC=PD
∴△PCD是等腰三角形；
（3）如图：过点P作PH⊥CD于H
∵△PCD直角三角形，PH⊥CD，
∴CD=2PH，
∴m+1-（m-1）=2×，解得m=1
∴点P的坐标为（1，1），
∵点B（1，1）与点函数在第一象限内的图象上的一个动点P不重合
∴不存在点P使△PCD为直角三角形．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、等腰直角三角形的性质、两点距离公式等知识点，掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
试卷第20页，共20页
试卷第1页，共21页

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