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第二单元第5讲 指数与指数函数
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：指数幂的运算
题型二：指数函数的图象及应用
题型三：比较指数式的大小
题型四：解简单的指数方程或不等式
题型五：与指数函数有关的复合函数的单调性
题型六：指数函数性质的综合应用
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．根式
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝a.
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时， 01； 当x>0时， 0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
【讲方法】
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
4.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
5.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
6.利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
7.求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
二、【练】
【练题型】
【题型一】指数幂的运算
【典例1】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
【解析】由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，
得r＝＝＝0.38.
由题意，累计感染病例数增加1倍，
则I(t2)＝2I(t1)，
即e0.38t2＝2e0.38t1，所以e0.38(t2－t1)＝2，
即0.38(t2－t1)＝ln 2，
∴t2－t1＝≈≈1.8.
故选B.
【典例2】计算：－·＝________(a＞0，b＞0).
【解析】原式＝＝.
【典例3】若x＋x－＝3，则＝________.
【解析】由x＋x－＝3，两边平方，
得x＋x－1＝7，
再平方得x2＋x－2＝47.
∴x2＋x－2－2＝45.
x＋x－＝(x)3＋(x－)3
＝(x＋x－)(x－1＋x－1)
＝3×(7－1)＝18.
∴＝.
【题型二】指数函数的图象及应用
【典例1】(多选)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是(　　)
A．a＝b＝0 B．aC．0【解析】如图，观察易知，a【典例2】已知y1＝，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为(　　)
【解析】y2＝3x与y4＝10x在R上单调递增；y1＝与y3＝10－x＝在R上单调递减，在第一象限内作直线x＝1(图略)，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，故选A.
【典例3】若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________．
【解析】函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点．由本例(2)得y＝|3x－1|的图象如图所示，
故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点．
答案：{0}∪[1，＋∞)
【题型三】比较指数式的大小
【典例1】已知a＝，b＝2，c＝，则下列关系式中正确的是(　　)
A．cC．a【解析】把b化简为b＝，而函数y＝在R上为减函数，又>>，所以<<，即b故选B.
【典例2】若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是(　　)
A．a＋b≤0 B．a－b≥0
C．a－b≤0 D．a＋b≥0
【解析】∵ea＋πb≥e－b＋π－a，
∴ea－π－a≥e－b－πb，①
令f(x)＝ex－π－x，
则f(x)是R上的增函数，
①式即为f(a)≥f(－b)，
∴a≥－b，即a＋b≥0.
故选D.
【典例3】已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)
A.b＜a＜c B.a＜b＜c
C.b＜c＜a D.c＜a＜b
【解析】a＝2＝16，b＝4＝16，c＝25，
∵幂函数y＝x在R上单调递增，所以a＜c，
∵指数函数y＝16x在R上单调递增，
∴b＜a，即b＜a＜c.
故选A.
【题型四】解简单的指数方程或不等式
【典例1】当00且a≠1)有解，则实数a的取值范围是______．
【解析】依题意，当x∈时，y＝ax与y＝有交点，作出y＝的图象，如图，
所以解得a>4.
【典例2】已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______.
【解析】当a<1时，41－a＝21，解得a＝；
当a>1时，2a－(1－a)＝4a－1，无解，故a的值为.
【典例3】设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－3)
B.(1，＋∞)
C.(－3，1)
D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【解析】当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为－7＜1，
即＜8，即＜，
因为0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；
当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为＜1，即0≤a＜1.
故a的取值范围是(－3，1).
【题型五】与指数函数有关的复合函数的单调性
【典例1】已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________.
【解析】令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，
在区间上单调递减.
而y＝2t为R上的增函数，
所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，
则有≤2，即m≤4，
所以m的取值范围是(－∞，4].
【典例2】函数f(x)＝－x2＋2x＋1的单调递减区间为________.
【解析】设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝在R上为减函数，
所以函数f(x)＝－x2＋2x＋1的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间.
又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为
(－∞，1]，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1].
【典例3】已知定义域为R的函数f(x)＝－＋，则关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)＜0的解集为________.
【解析】由题意知f(x)是奇函数，且在R上为减函数，
则f(t2－2t)＋f(2t2－1)＜0，
即f(t2－2t)＜－f(2t2－1)＝f(1－2t2).
所以t2－2t＞1－2t2，解得t＞1或t＜－.
【题型六】指数函数性质的综合应用
【典例1】已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．
【解析】令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t是增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
【典例2】不等式4x－2x＋1＋a>0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】原不等式可化为a>－4x＋2x＋1对x∈R恒成立，
令t＝2x，则t>0，∴y＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1，
当t＝1时，ymax＝1，∴a>1.
【典例3】若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．
【解析】因为f(x)为偶函数，
当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
所以f(x)＝
当f(x－2)>0时，
有或
解得x>4或x<0.
所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}．
答案：{x|x>4或x<0}
【练真题】
【真题1】（2022-北京）已知函数f（x）＝，则对任意实数x，有（　　）
A．f（﹣x）+f（x）＝0 B．f（﹣x）﹣f（x）＝0
C．f（﹣x）+f（x）＝1 D．f（﹣x）﹣f（x）＝
【解析】因为函数f（x）＝，所以f（﹣x）＝＝，
所以f（﹣x）+f（x）＝＝1．
故选：C．
【真题2】（2022-甲卷）已知9m＝10，a＝10m﹣11，b＝8m﹣9，则（　　）
A．a＞0＞b B．a＞b＞0 C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
【解析】∵9m＝10，∴m＝log910，
∵
∴，
构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），
f′（x）＝mxm﹣1﹣1，
令f′（x）＞0，解得：
由上述有∴，可得0＜x＜1，
故f（x）在（1，+∞）单调递增，
故f（10）＞f（8），又因为，
故a＞0＞b，
故选：A．
【真题3】（2021-全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
【解析】由，当时，，
则.
故选：C.
【真题4】（2020-课标III）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A. 60 B. 63 C. 66 D. 69
【解析】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
【真题5】（2020-课标II）若，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【真题6】（2019-课标II）已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
【解析】因为是奇函数，且当时，．
又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
【真题7】（2019-课标 II）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.
设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为（ ）
A. B.
C. D.
【解析】由，得
因为，
所以，
即，
解得，
所以
故选D.
【真题8】（2017-课标Ⅰ）设为正数，且，则
A． B． C． D．
【解析】今 , 则
, 则 ,
, 则 , 故选 D.
【真题9】（2016-新课标3）已知，，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】因为，，所以，故选A．
【真题10】（2015-湖南）设函数，则是（ ）
A.奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数
C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数
【解析】显然, 定义域为 , 关于原点对称, 又 为奇函数, 显然, 在 上单调递增, 故选 A.
【真题11】（2015-北京）设函数
①若，则的最小值为 ；
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．
【解析】①时，，函数在上为增函数，函数值大于1，在为减函数，在为增函数，当时，取得最小值为1；
（2）①若函数在时与轴有一个交点，则，并且当时，，则，函数与轴有一个交点，所以且；
②若函数与轴有无交点，则函数与轴有两个交点，当时与轴有无交点，在与轴有无交点，不合题意；当时，，与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或.
【真题12】（2015-山东）已知函数 的定义域和值域都是 ，则 .
【解析】若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解；
若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 若函数f(x)＝(2a－5)·ax是指数函数，则f(x)在定义域内(　　)
A．为增函数　　　　　　　 B．为减函数
C．先增后减 D．先减后增
【解析】由指数函数的定义知2a－5＝1，解得a＝3，所以f(x)＝3x，所以f(x)在定义域内为增函数．
故选A.
2. 设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝的大小关系是(　　)
A．M＝N B．M≤N
C．MN
【解析】因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝<1，所以M>N，故选D.
3. 已知函数f(x)＝－，则f(x)是(　　)
A．奇函数，且在R上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数，且在R上是减函数
D．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
【解析】易知f(x)的定义域为R，f(－x)＝－＝－，则f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)是奇函数．函数f(x)＝－显然是减函数．故选C.
4. 当x∈[－2，2]时，ax<2(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，) B．
C．∪(1，) D．(0，1)∪(1，)
【解析】x∈[－2，2]时，ax<2(a>0且a≠1)．
若a>1，y＝ax是增函数，
则有a2<2，可得a<，故有1若0则有a－2<2，可得a>，故有综上所述，a∈∪(1，)．
故选C.
【多选题】
5. 已知函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数图象经过点A的是(　　)
A．y＝＋2 B．y＝|x－2|＋1
C．y＝log2(2x)＋1 D．y＝2x－1
【解析】函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2，所以恒过点A(1，2)．把x＝1，y＝2代入各选项验证，只有D中的函数没经过该点．
故选ABC.
6. 函数y＝ax－a(a＞0，a≠1)的图象可能是(　　)
【解析】当a＞1时，y＝ax－a为增函数，且过点(1，0)，
当x＝0时，y＝1－a＜0，故A不正确，B正确.
当0＜a＜1时，y＝ax－a为减函数，且过点(1，0)，
当x＝0时，y＝1－a∈(0，1)，故C正确，D不正确.
故选BC.
【填空题】
7. 函数y＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________．
【解析】因为函数y＝ax－b的图象经过第二、三、四象限，所以函数y＝ax－b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．令x＝0，则y＝a0－b＝1－b，由题意得解得故ab∈(0，1)．
答案：(0，1)
8. 若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．
【解析】由f(1)＝得a2＝.
又a>0，所以a＝，
因此f(x)＝.
因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)
9. 设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是________．
【解析】由于g(x)＝a|x＋b|是偶函数，知b＝0，
又g(x)＝a|x|在(0，＋∞)上单调递增，得a>1.
则g(b－1)＝g(－1)＝g(1)，
故g(a)>g(1)＝g(b－1)．
答案：g(a)>g(b－1)
10. 已知0【解析】∵0∴ab>aa，ba又y＝xb在(0，＋∞)上单调递增，∴ab>bb.
综上，ab最大．
11. 已知函数f(x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是________．
【解析】当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，
当a≤x<0时，f(x)∈，
所以?[－8,1]，
即－8≤－<－1，即－3≤a<0.
所以实数a的取值范围是[－3,0)．
【测能力】
【单选题】
1. 已知0A．>(1－a)b
B．(1－a)b>
C．(1＋a)a>(1＋b)b
D．(1－a)a>(1－b)b
【解析】因为0所以y＝(1－a)x是减函数，又0所以>b，b>，
所以<(1－a)b，(1－a)b<，
所以A，B均错误；
又1<1＋a<1＋b，
所以(1＋a)a<(1＋b)a<(1＋b)b，
所以C错误；
因为0<1－b<1－a<1，
所以(1－a)a>(1－a)b>(1－b)b，所以D正确．
故选D.
2. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　)
A．{0} B．{－1,0}
C．{－2，－1,0} D．{－1,0,1}
【解析】f(x)＝－
＝－
＝－＋，
∵ex>0，∴ex＋1>1，
∴0<<2，
∴－2<－<0，
∴f(x)∈，
∴[f(x)]为－2或－1或0.
故选C.
3. 若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等的实根，则a的取值范围是(　　)
A.∪(1，＋∞) B.
C. D．(1，＋∞)
【解析】方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a的图象有两个交点．
(1)当0(2)当a>1时，如图②，而y＝2a>1不符合要求．
所以0故选B.
4. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　)
A．{0，1，2，3} B．{0，1，2}
C．{1，2，3} D．{1，2}
【解析】f(x)＝＝＝1＋，
因为2x>0，所以1＋2x>1，
所以0<<1，
则0<<2，
所以1<1＋<3，
即1当1综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1，2}，故选D.
【多选题】
5. 若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值可以是(　　)
A. B. C. D．2
【解析】①当a>1时，由图象得0<2a<1，
∴0∵a>1，∴此种情况不存在；
②当0∴0∵06. 已知a＞b＞0，且ab＝4，则(　　)
A.2a－b＞1 B.log2a－log2b＞1
C.2a＋2b＞8 D.log2a·log2b＜1
【解析】a＞b＞0，且ab＝4.
对于A，a－b＞0，所以2a－b＞20＝1，故A正确；
对于B，取a＝，b＝，所以log2a－log2b＝log2＝log2＜log22＝1，故B错误；
对于C，2a＋2b≥2＝2，当且仅当a＝b时取等号，又因为a＋b≥2＝4，当且仅当a＝b时取等号，所以2a＋2b≥2≥2＝8，当且仅当a＝b时取等号，因为a＞b＞0，所以不能取等号，故C正确；
对于D，当a＞1＞b＞0时，log2a＞0，log2b＜0，所以log2a·log2b＜1；当a＞b＞1时，log2a＞0，log2b＞0，所以log2a·log2b≤＝＝1，当且仅当a＝b时取等号，因为a＞b＞0，所以不能取等号，故D正确.
故选ACD.
【填空题】
7. 对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是________．
【解析】∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，
∴存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)＝－f(x0)，
∴＋m－1＝－－m＋1，
∴2m＝－－＋2，
构造函数y＝－－＋2，x0∈[－1,1]，
令t＝，t∈，
y＝－－t＋2＝2－在上单调递增，
在(1,3]上单调递减，∴t＝1取得最大值0，
t＝或t＝3取得最小值－，y∈，
∴－≤2m<0，
∴－≤m<0.
8. 已知常数a>0，函数f(x)＝的图象经过点P，Q.若2p＋q＝36pq，则a＝________.
【解析】因为f(x)＝＝，且其图象经过点P，Q，
则f(p)＝＝，即＝－，①
f(q)＝＝－，即＝－6，②
①×②得＝1，则2p＋q＝a2pq＝36pq，
所以a2＝36，解得a＝±6，因为a>0，所以a＝6.
9. 如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．
【解析】令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．当010. 已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[－1，2]上的最大值为8，最小值为m.若函数g(x)＝(3－10m)是单调递增函数，则a＝________．
【解析】根据题意，得3－10m>0，解得m<；
当a>1时，函数f(x)＝ax在区间[－1，2]上单调递增，
最大值为a2＝8，解得a＝2，最小值为m＝a－1＝＝>，不合题意，舍去；
当0答案：
11. 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围 ．
【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
即＝0，
解得b＝1，
所以f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，
解得a＝2.
知f(x)＝＝－＋，
由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，
从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.
故k的取值范围为.
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第二单元第5讲 指数与指数函数
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：指数幂的运算
题型二：指数函数的图象及应用
题型三：比较指数式的大小
题型四：解简单的指数方程或不等式
题型五：与指数函数有关的复合函数的单调性
题型六：指数函数性质的综合应用
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．根式
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝a.
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时， 01； 当x>0时， 0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
【讲方法】
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
4.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
5.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
6.利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
7.求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
二、【练】
【练题型】
【题型一】指数幂的运算
【典例1】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
【典例2】计算：－·＝________(a＞0，b＞0).
【典例3】若x＋x－＝3，则＝________.
【题型二】指数函数的图象及应用
【典例1】(多选)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是(　　)
A．a＝b＝0 B．aC．0【典例2】已知y1＝，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为(　　)
【典例3】若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________．
【题型三】比较指数式的大小
【典例1】已知a＝，b＝2，c＝，则下列关系式中正确的是(　　)
A．cC．a【典例2】若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是(　　)
A．a＋b≤0 B．a－b≥0
C．a－b≤0 D．a＋b≥0
【典例3】已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)
A.b＜a＜c B.a＜b＜c
C.b＜c＜a D.c＜a＜b
【题型四】解简单的指数方程或不等式
【典例1】当00且a≠1)有解，则实数a的取值范围是______．
【典例2】已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______.
【典例3】设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－3)
B.(1，＋∞)
C.(－3，1)
D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【题型五】与指数函数有关的复合函数的单调性
【典例1】已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________.
【典例2】函数f(x)＝－x2＋2x＋1的单调递减区间为________.
【典例3】已知定义域为R的函数f(x)＝－＋，则关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)＜0的解集为________.
【题型六】指数函数性质的综合应用
【典例1】已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．
【典例2】不等式4x－2x＋1＋a>0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________．
【典例3】若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．
【练真题】
【真题1】（2022-北京）已知函数f（x）＝，则对任意实数x，有（　　）
A．f（﹣x）+f（x）＝0 B．f（﹣x）﹣f（x）＝0
C．f（﹣x）+f（x）＝1 D．f（﹣x）﹣f（x）＝
【真题2】（2022-甲卷）已知9m＝10，a＝10m﹣11，b＝8m﹣9，则（　　）
A．a＞0＞b B．a＞b＞0 C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
【真题3】（2021-全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
【真题4】（2020-课标III）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A. 60 B. 63 C. 66 D. 69
【真题5】（2020-课标II）若，则（ ）
A. B. C. D.
【真题6】（2019-课标II）已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
【真题7】（2019-课标 II）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.
设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为（ ）
A. B.
C. D.
【真题8】（2017-课标Ⅰ）设为正数，且，则
A． B． C． D．
【真题9】（2016-新课标3）已知，，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【真题10】（2015-湖南）设函数，则是（ ）
A.奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数
C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数
【真题11】（2015-北京）设函数
①若，则的最小值为 ；
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．
【真题12】（2015-山东）已知函数 的定义域和值域都是 ，则 .
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 若函数f(x)＝(2a－5)·ax是指数函数，则f(x)在定义域内(　　)
A．为增函数　　　　　　　 B．为减函数
C．先增后减 D．先减后增
2. 设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝的大小关系是(　　)
A．M＝N B．M≤N
C．MN
3. 已知函数f(x)＝－，则f(x)是(　　)
A．奇函数，且在R上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数，且在R上是减函数
D．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
4. 当x∈[－2，2]时，ax<2(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，) B．
C．∪(1，) D．(0，1)∪(1，)
【多选题】
5. 已知函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数图象经过点A的是(　　)
A．y＝＋2 B．y＝|x－2|＋1
C．y＝log2(2x)＋1 D．y＝2x－1
6. 函数y＝ax－a(a＞0，a≠1)的图象可能是(　　)
【填空题】
7. 函数y＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________．
8. 若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．
9. 设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是________．
10. 已知011. 已知函数f(x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是________．
【测能力】
【单选题】
1. 已知0A．>(1－a)b
B．(1－a)b>
C．(1＋a)a>(1＋b)b
D．(1－a)a>(1－b)b
2. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　)
A．{0} B．{－1,0}
C．{－2，－1,0} D．{－1,0,1}
3. 若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等的实根，则a的取值范围是(　　)
A.∪(1，＋∞) B.
C. D．(1，＋∞)
4. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　)
A．{0，1，2，3} B．{0，1，2}
C．{1，2，3} D．{1，2}
【多选题】
5. 若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值可以是(　　)
A. B. C. D．2
6. 已知a＞b＞0，且ab＝4，则(　　)
A.2a－b＞1 B.log2a－log2b＞1
C.2a＋2b＞8 D.log2a·log2b＜1
【填空题】
7. 对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是________．
8. 已知常数a>0，函数f(x)＝的图象经过点P，Q.若2p＋q＝36pq，则a＝________.
9. 如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．
10. 已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[－1，2]上的最大值为8，最小值为m.若函数g(x)＝(3－10m)是单调递增函数，则a＝________．
11. 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围 ．
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