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(共67张PPT)
用单摆测量重力加速度
实验九
目标
要求
1.知道利用单摆测量重力加速度的原理.2.掌握利用单摆测量重力加速度的方法.
内容索引
实验技能储备
考点一　教材原型实验
考点二　探索创新实验
课时精练
一
实验技能储备
1.实验原理
当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝_______，由此得到g＝ 因此，只要测出 和 ，就可以求出当地的重力加速
度g的值.
2.实验器材
单摆、 、毫米刻度尺、 .
摆长l
振动周期T
游标卡尺
停表
3.实验过程
(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆.
(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示.
(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l′，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l＝ .
(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T.
l′＋r
(5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度.
(6)改变摆长，重做几次实验.
4.数据处理
(2)图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝ 图像应是一条
过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝ 求重力加速度.
4π2k
5.注意事项
(1)一般选用一米左右的细线.
(2)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定.
(3)应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长.
(4)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°.
(5)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数.
考点一　
教材原型实验
例1　(2023·江苏南通市模拟)某小组在“用单摆测量重力加速度”实验中：
(1)组装单摆时，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线的上端，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图甲所示.这样做的目的有_____；
A.保证摆动过程中摆长不变
B.需要改变摆长时便于调节
C.保证摆球在同一竖直平面内摆动
AB
用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，可以在需要改变摆长时便于调节；用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，从而保证摆动过程中摆长不变.上述做法并不能保证摆球在同一竖直平面内摆动，故选A、B.
(2)安装好实验装置后，先用刻度尺测量摆线长l，再用游标卡尺测量摆球直径d，其示数如图乙所示，则d＝_____ mm；
18.9
由题图乙可知摆球直径为d＝18 mm＋9×0.1 mm＝18.9 mm.
(3)某次实验过程中，用秒表记录时间的起点应该是摆球运动过程中的________(选填“最高点”或“最低点”)；
最低点
摆球在最高点附近运动速度较小，人由于视觉原因不可能精确定位摆球是否经过最高点，由此造成时间测量的相对误差较大.
摆球在最低点附近速度较大，因位置判断造成的误差对时间测量的影响较小，所以应在摆球经过最低点时开始计时.
(4)该组同学测出五组单摆振动周期T与摆长L的数据如表，请在图丙中作出T2－L关系图像.根据图像算出重力加速度g＝__________________
________m/s2(结果保留3位有效数字).
次数 1 2 3 4 5
L/m 0.500 0 0.600 0 0.700 0 0.800 0 0.900 0
T/s 1.43 1.55 1.67 1.78 1.90
T2/s2 2.04 2.40 2.79 3.17 3.61
9.84(9.83～9.89范围
内均可)
答案　见解析图
作出T2－L关系图像如图所示.
(5)若测量值与当地重力加速度值相比偏大，可能原因是_________(写出一个).
见解析
本实验通过累积法来测量周期，即测量摆球完成n次全振动的总时间t，从而求得周期，若计算时不慎将n的值记录得偏大，则所测周期偏小，会造成g的测量值偏大.
由上式可知摆球做圆锥摆运动时，所测周期比严格做单摆运动时偏小，从而造成g的测量值偏大.
还有可能在实验过程中，铁夹处摆线出现了松动，使摆长的真实值比测量值偏大，从而造成g的测量值偏大.
例2　在“用单摆测量重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝ 只要测出多组单摆的摆
长l和运动周期T，作出T2－l图像，就可以求出当地的重力加速度，理论上T2－l图像是一条过坐标原点的直线.
(1)某同学在家里做用单摆测量重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块外形不规则的长条状的大理石块代替了摆球(如图)，以下实验步骤中存在错误或不当的步骤是________(只填写相应的步骤前的字母即可).
A.将石块用细尼龙线系好，结点为N，将尼龙线的上端固定于O点
B.用刻度尺测量ON间尼龙线的长度L作为摆长
C.将石块拉开一个大约5°的角度，然后由静止释放
D.从石块摆到最低点时开始计时，当石块第30次到达最低点时
结束计时，记录总时间为t，由T＝ 得出周期
E.改变ON间尼龙线的长度再做几次实验，记下相应的L和T
F.求出多次实验中测得的L和T的平均值作为计算时使用的数据，代入公式g＝
求出重力加速度g
BDF
该同学以上实验步骤中有错误或不当的步骤的是B、D、F，B步骤中摆长应是悬点到大理石块重心的距离；
D步骤中第30次经过最低点，则此单摆一共完成了15个全振动，所以周期为T＝ ；
F步骤中必须先分别求出各组L和T值对应的g，再取所求得的各个g的平均值.
(2)该同学根据实验数据作出的T2－L图像如图所示：
①由图像求出的重力加速度g＝_____ m/s2(取π2＝9.87).
9.87
②由于图像没有能通过坐标原点，求出的重力加速度g值与当地真实值相比______(选填“偏大”“偏小”或“不变”)；若利用g＝ 采用公式法计算，则求出重力加速度g值与当地真实值相比______(选填“偏大”“偏小”或“不变”).
不变
偏小
考点二
探索创新实验
例6　(2023·浙江温州市模拟)在探究单摆运动的实验中：
(1)如图所示，图(a)是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图(b)是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F－t图像.根据图(b)的信息可得，从t＝0时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为____ s，摆长为_____ m
(取重力加速度g＝10 m/s2，π2＝10)；
0.5
0.64
因为摆球在最低点时满足F－mg＝
力传感器显示的力最大，从F－t图像中可以看出从t＝0时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为t＝0.5 s
(2)某同学的操作步骤如下，其中正确的是_____；
A.取一根弹性细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上
B.用米尺量得细线长度l0，则测得摆长为l0
C.在摆线偏离竖直方向5°位置静止释放小球
D.让小球在水平面内做圆周运动，测得周期，再根据公式计算重力加速度
C
取一根细线(伸长量不计)，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上，A错误；
摆长应为l0＋ B错误；
在摆线偏离竖直方向5°位置静止释放小球，C正确；
若让小球在水平面内做圆周运动，则为圆锥摆运动，测得的摆动周期不是单摆运动周期，D错误.
(3)某小组利用单摆测量当地的重力加速度.改变摆线长度l0，测得了多组数据，在进行数据处理时，甲同学把摆线长l0作为摆长，直接利用公式求出各组重力加速度值再求出平均值；乙同学作出T2－l0图像后求出斜率，然后算出重力加速度.两同学处理数据的方法对结果的影响是：甲______，乙________(选填“偏大”“偏小”或“无影响”).
偏小
无影响
甲同学把摆线长l0作为摆长，摆长小于实际摆长，故重力加速度的测量值小于真实值；
例4　滑板运动场地有一种常见的圆弧形轨道，其截面如图所示，某同学用一辆滑板车和手机估测轨道半径R(滑板车的长度远小于轨道半径).主要实验过程如下：
(1)用手机查得当地的重力加速度为g；
(2)找出轨道的最低点O，把滑板车从O点移开一小段距离至P点，由静止释放，用手机测出它完成n次全振动的时间t，算出滑板车做往复运动的
周期T＝____；
(3)将滑板车的运动视为简谐运动，则可将以上测量结果代入R＝____(用T、g表示)中计算出轨道半径.
四
课时精练
1.(2020·浙江7月选考·17(2))某同学用单摆测量重力加速度.
(1)为了减少测量误差，下列做法正确的是_____(多选)；
A.摆的振幅越大越好
B.摆球质量大些、体积小些
C.摆线尽量细些、长些、伸缩性小些
D.计时的起、止位置选在摆球达到的最高点处
1
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BC
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摆的振幅过大，摆角大于5°，单摆周期公式不再成立，故A错误；
摆球质量大、体积小(用密度大的实心金属球)，摆线细长、伸缩性小可使阻力及摆长变化等影响更小，是单摆模型的要求，故B、C正确；
摆球在最高点附近速度小，计时误差大，故计时起、止点应选在平衡位置，故D错误.
(2)改变摆长，多次测量，得到周期平方与摆长的关系图像如图所示，所得结果与当地重力加速度值相符，但发现其延长线没有过原点，其原因可能是_____.
A.测周期时多数了一个周期
B.测周期时少数了一个周期
C.测摆长时直接将摆线的长度作为摆长
D.测摆长时将摆线的长度加上摆球的直径作为摆长
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C
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6
测周期时，无论是多数一个周期还是少数一个周期，T2－l图线都是过原点的直线，只是图线的斜率变化，即测得的重力加速度变化，故A、B错误；
T2－l的图像的纵轴截距大于0，可知测量的摆
长比实际摆长小了一些，故可判断测摆长时未加摆球的半径，直接将摆线的长度作为摆长，故C正确，D错误.
2.(2023·浙江宁波市检测)“利用单摆测重力加速度”的实验中：
(1)用游标卡尺测量小钢球直径，读数如图所示，读数为_____ mm；
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9.7
用游标卡尺测量小钢球直径，读数为9 mm＋0.1 mm×7＝9.7 mm
(2)下列最合理的装置是________；
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固定摆线时要用铁夹夹住，防止摆球摆动时摆长变化；摆球要用质量大、体积相对较小的铁球，以减小相对阻力；摆线要用无弹力的细丝线，故选D.
D
(3)测单摆周期时，当摆球经过平衡位置时开始计时并记1次，测出经过
该位置N次所用时间为t，则单摆周期为T＝________；
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(4)该同学根据实验数据，利用计算机拟合得到的方程为：T2＝4.04l＋0.05.由此可以得出当地重力加速度g＝____ m/s2(π取3.14，结果保留2位有效数字)，从方程中可知T2与l没有成正比关系，其原因可能是______.
A.计算摆长时，可能加了小球的直径
B.小球摆动过程中，可能摆角太大
C.开始计时时，小球可能在最高点
D.计算摆长时，可能只算了绳长
1
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9.8
D
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6
由T2＝4.04l＋0.05可知图像在纵轴上有正截距，表明实验中摆长的测量值偏小，即计算摆长时，可能少加了小球的半径，即只算了绳长，故选D.
3.利用如图甲所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验.
(1)实验室有如下器材可供选用：
A.长约1 m的细线
B.长约1 m的橡皮绳
C.直径约2 cm的均匀铁球
D.直径约5 cm的均匀木球
E.秒表
F.时钟
G.10分度的游标卡尺
H.最小刻度为毫米的米尺
用了米尺后，还需要从上述器材中选择________(填写器材前面的字母).
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ACEG
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摆线的长度不能伸长，所以摆线选择长约1 m的细线，摆球选择质量大、体积小的球，所以选择直径约2 cm的均匀铁球，实验中需要用秒表测量单摆摆动的时间，从而得出周期，实验中需用10分度的游标卡尺测量摆球的直径，故选A、C、E、G.
(2)用10分度的游标卡尺测量小球的直径d，测量的示数如图乙所示，读出小球直径的值为_____ mm.
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17.6
游标卡尺的主尺读数为17 mm，游标尺读数为0.1×6 mm＝0.6 mm，则小球直径为17.6 mm.
(3)将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂.用米尺测量摆线长度为L.小球在竖直平面内小角度平稳摆动后，测得小球完成n次全振动的总时间为t，请写出重力加速度的表达式g＝
____________.(用L、d、n、t表示)
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(4)正确操作后，根据多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值，比较后发现：此值比北京的重力加速度值略小，则实验所在处的地理位置与北京的主要不同点可能是____________________________________
_____________(写出一条即可).
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实验所在处比北京纬度低或海拔高(其他
答案合理也可)
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6
多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值比北京的重力加速度值略小，可能实验所在处纬度低或海拔比较高.
4.(2023·浙江金华市检测)用单摆测定重力加速度的实验装置如图甲所示
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用______(选填选
项前的字母).
A.长度为1 m左右的细线
B.长度为30 cm左右的细线
C.直径为1.8 cm的塑料球
D.直径为1.8 cm的铁球
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AD
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为了便于观察和计时，且单摆要求绳长远大于小球半径，故选择长度为1 m左右的细线，选项A正确，B错误；
为了减小空气阻力的影响，应选择密度较大的铁球，选项C错误，D正确.
(2)测量周期时用到了秒表，长针转一周的时间为30 s，表盘上部的小圆共15大格，每一大格为1 min，该单摆摆动n次长短针的位置如图乙所示，所用时间t＝________ s.
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100.0
小盘读数是90 s，大盘读数是10.0 s，故秒表的读数为t＝90 s＋10.0 s＝100.0 s
(3)用多组实验数据作出T2－L图像，可以求出重力加速度g，已知三位同学作出的T2－L图线的示意图如图丙中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，根据图线b求得的g值最接近当地重力加速度的数值.则相对于图线b，下列分析正确的是____(选填选项前的字母).
A.出现图线a的原因可能是误将悬点到小球最下端的距离
记为摆长L
B.出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C.图线c求得的g值小于图线b求得的g值
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B
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由题图可知，图线a当L为零时T不为零，所测摆长偏小，可能是把摆线长度作为摆长，即把悬点到摆球上端的距离作为摆长，选项A错误；
实验中误将49次全振动记为50次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，图线的斜率偏小，选项B正确；
由题图可知，图线c对应的斜率小于图线b对应的斜率，可知图线c求得的g值大于图线b求得的g值，选项C错误.
(4)利用摆长约为1 m的单摆进行周期测量，下列有关单摆周期测量的操作正确的是____(选填选项前的字母).
A.测量的计时起点选取振动最低点
B.记录单摆摆动1次的时间作为单摆周期
C.单摆振动振幅可以达到30 cm
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A
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单摆模型要求在摆角小于5°之间摆动，摆长约为1 m的单摆，根据数学知识可知此时的振幅约等于弧长，即A＝lθ＝1× ≈0.014 m＝1.4 cm，选项C错误.
为了减小误差，测量的计时起点选取振动最低点，选项A正确；
记录单摆摆动多次的时间，然后取平均值作为单摆周期，选项B错误；
5.(1)在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径的操作如图甲、乙所示.测量方法正确的是_____(选填“甲”或“乙”).
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乙
游标卡尺应该用两外测量爪对齐的地方测量，正确的是题图乙.
(2)实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图丙所示.光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图像如图丁所示，则该单摆的振动周期为_____.若保持悬点到摆球顶点的绳长不变，改用直径是原摆球直径2倍的另一摆球进行实验，则该单摆的周期将______(选填“变大”“不变”或“变小”)，图丁中的Δt将______(选填“变大”“不变”或“变小”).
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2t0
变大
变大
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一个周期内小球应该两次经过最低点，使光敏电阻的阻值发生变化，故周期为T＝t1＋2t0－t1＝2t0；摆球的直径变大后，摆长变长，根据T＝ 可知，周期变大；每次经过最低点时小球的挡光的时间变长，即Δt变大.
6.某同学用图(a)所示的沙漏摆研究单摆的运动规律.实验中，木板沿图示O′O方向移动，根据漏在板上的沙描出了如图(b)所示的图形，然后分别沿中心线OO′和沙漏摆摆动方向建立直角坐标系，并测得图(b)中Oa＝ab＝bc＝cd＝s，则：
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(1)该同学认为此图像经过适当处理可看成单摆的振动图像，则其横坐标表示的物理量应为________；
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时间
该同学认为此图像经过适当处理可看成单摆的振动图像，则其横坐标表示的物理量应为时间；
(2)若该同学利用计时器测得沙漏摆的周期为T，则木板移动的速度表达
式为v＝____；
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若该同学利用计时器测得沙漏摆的周期为T，则木板移动的速度表达式为v＝ ；
(3)该同学利用该装置测定当地的重力加速度，他认为只有少量沙子漏出时，沙漏重心的变化可忽略不计，但是重心位置不确定，于是测量了摆线的长度L，如果此时他直接利用单摆周期公式计算重力加速度，则得到的重力加速度值比真实值______(选填“偏大”“偏小”或“相等”)，若要避免由于摆长无法准确测量产生的误差，则可通过改变沙漏摆的摆线长L，测出对应的周期T，并绘制_______图像，根据图像的斜率可求得重力加速度，此时____________
_________________________表示沙漏摆的重心到摆线下端的距离.
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偏小
T2－L
图像与横轴
L的交点到坐标原点的距离
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若沙漏摆的重心到摆线下端的距离为h，则摆长为L＋h，
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根据图像的斜率可求得重力加速度，当T＝0时L＝－h，则图像与横轴L的交点到坐标原点的距离表示沙漏摆的重心到摆线下端的距离.实验九　用单摆测量重力加速度
目标要求　1.知道利用单摆测量重力加速度的原理.2.掌握利用单摆测量重力加速度的方法．
实验技能储备
1．实验原理
当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，由此得到g＝，因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值．
2．实验器材
单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表．
3．实验过程
(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆．
(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示．
(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l′，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l＝l′＋r.
(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T.
(5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度．
(6)改变摆长，重做几次实验．
4．数据处理
(1)公式法：利用T＝求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝求重力加速度．
(2)图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝T2，图像应是一条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度．
5．注意事项
(1)一般选用一米左右的细线．
(2)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定．
(3)应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长．
(4)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°.
(5)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数．
考点一　教材原型实验
例1　(2023·江苏南通市模拟)某小组在“用单摆测量重力加速度”实验中：
(1)组装单摆时，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线的上端，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图甲所示．这样做的目的有__________；
A．保证摆动过程中摆长不变
B．需要改变摆长时便于调节
C．保证摆球在同一竖直平面内摆动
(2)安装好实验装置后，先用刻度尺测量摆线长l，再用游标卡尺测量摆球直径d，其示数如图乙所示，则d＝________ mm；
(3)某次实验过程中，用秒表记录时间的起点应该是摆球运动过程中的________________(选填“最高点”或“最低点”)；
(4)该组同学测出五组单摆振动周期T与摆长L的数据如表，请在图丙中作出T2－L关系图像．根据图像算出重力加速度g＝________ m/s2(结果保留3位有效数字)．
次数 1 2 3 4 5
L/m 0.500 0 0.600 0 0.700 0 0.800 0 0.900 0
T/s 1.43 1.55 1.67 1.78 1.90
T2/s2 2.04 2.40 2.79 3.17 3.61
(5)若测量值与当地重力加速度值相比偏大，可能原因是____________________(写出一个)．
答案　(1)AB　(2)18.9　(3)最低点
(4)见解析图　9.84(9.83～9.89范围内均可)
(5)见解析
解析　(1)用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，可以在需要改变摆长时便于调节；用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，从而保证摆动过程中摆长不变．上述做法并不能保证摆球在同一竖直平面内摆动，故选A、B.
(2)由题图乙可知摆球直径为d＝18 mm＋9×0.1 mm＝18.9 mm.
(3)摆球在最高点附近运动速度较小，人由于视觉原因不可能精确定位摆球是否经过最高点，由此造成时间测量的相对误差较大．摆球在最低点附近速度较大，因位置判断造成的误差对时间测量的影响较小，所以应在摆球经过最低点时开始计时．
(4)作出T2－L关系图像如图所示．
根据单摆周期公式有T＝2π变形可得T2＝，所以图像的斜率为k＝＝ s2/m，解得g≈9.84 m/s2.
(5)本实验通过累积法来测量周期，即测量摆球完成n次全振动的总时间t，从而求得周期，若计算时不慎将n的值记录得偏大，则所测周期偏小，会造成g的测量值偏大．
实验时，摆球有时不一定严格在竖直面内运动，而是做圆锥摆运动，在摆角为θ的情况下，小球向心力为F＝mgtan θ＝mLsin θ，解得T＝2π，由上式可知摆球做圆锥摆运动时，所测周期比严格做单摆运动时偏小，从而造成g的测量值偏大．还有可能在实验过程中，铁夹处摆线出现了松动，使摆长的真实值比测量值偏大，从而造成g的测量值偏大．
例2　在“用单摆测量重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝，只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2－l图像，就可以求出当地的重力加速度，理论上T2－l图像是一条过坐标原点的直线．
(1)某同学在家里做用单摆测量重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块外形不规则的长条状的大理石块代替了摆球(如图)，以下实验步骤中存在错误或不当的步骤是________(只填写相应的步骤前的字母即可)．
A．将石块用细尼龙线系好，结点为N，将尼龙线的上端固定于O点
B．用刻度尺测量ON间尼龙线的长度L作为摆长
C．将石块拉开一个大约5°的角度，然后由静止释放
D．从石块摆到最低点时开始计时，当石块第30次到达最低点时结束计时，记录总时间为t，由T＝得出周期
E．改变ON间尼龙线的长度再做几次实验，记下相应的L和T
F．求出多次实验中测得的L和T的平均值作为计算时使用的数据，代入公式g＝2l，求出重力加速度g
(2)该同学根据实验数据作出的T2－L图像如图所示：
①由图像求出的重力加速度g＝________ m/s2(取π2＝9.87)．
②由于图像没有能通过坐标原点，求出的重力加速度g值与当地真实值相比________(选填“偏大”
“偏小”或“不变”)；若利用g＝，采用公式法计算，则求出重力加速度g值与当地真实值相比________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)．
答案　(1)BDF　(2)①9.87　②不变　偏小
解析　(1)该同学以上实验步骤中有错误或不当的步骤的是B、D、F，B步骤中摆长应是悬点到大理石块重心的距离；D步骤中第30次经过最低点，则此单摆一共完成了15个全振动，所以周期为T＝；F步骤中必须先分别求出各组L和T值对应的g，再取所求得的各个g的平均值．
(2)①图像的斜率k＝2＝ s2/m＝4 s2/m，所以加速度g＝9.87 m/s2.
②根据T＝2π得T2＝，根据数学知识可知，T2－L图像的斜率k＝，则当地的重力加速度g＝，由于图像不通过原点，则T2＝＝＝＋，根据数学知识可知，对于T2－L图像来说两种情况下图像的斜率不变，所以测得的g值不变；经分析可知出现上述图像不过坐标原点的原因是摆长测量值偏小，若利用g＝计算，则求出的重力加速度g值与当地真实值相比偏小．
考点二　探索创新实验
例3　(2023·浙江温州市模拟)在探究单摆运动的实验中：
(1)如图所示，图(a)是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图(b)是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F－t图像．根据图(b)的信息可得，从t＝0时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为________ s，摆长为________ m(取重力加速度g＝10 m/s2，π2＝10)；
(2)某同学的操作步骤如下，其中正确的是________；
A．取一根弹性细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上
B．用米尺量得细线长度l0，则测得摆长为l0
C．在摆线偏离竖直方向5°位置静止释放小球
D．让小球在水平面内做圆周运动，测得周期，再根据公式计算重力加速度
(3)某小组利用单摆测量当地的重力加速度．改变摆线长度l0，测得了多组数据，在进行数据处理时，甲同学把摆线长l0作为摆长，直接利用公式求出各组重力加速度值再求出平均值；乙同学作出T2－l0图像后求出斜率，然后算出重力加速度．两同学处理数据的方法对结果的影响是：甲________，乙________(选填“偏大”“偏小”或“无影响”)．
答案　(1) 0.5　0.64　(2) C　(3) 偏小　无影响
解析　(1)因为摆球在最低点时满足F－mg＝m，
力传感器显示的力最大，从F－t图像中可以看出从t＝0时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为t＝0.5 s
由F－t图像可知单摆的周期为T＝1.6 s，又因为T＝2π，可得L＝＝0.64 m
(2)取一根细线(伸长量不计)，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上，A错误；摆长应为l0＋，B错误；在摆线偏离竖直方向5°位置静止释放小球，C正确；若让小球在水平面内做圆周运动，则为圆锥摆运动，测得的摆动周期不是单摆运动周期，D错误．
(3)根据单摆周期公式T＝2π，解得重力加速度g＝，而摆长应该是摆线长度与摆球半径之和，甲同学把摆线长l0作为摆长，摆长小于实际摆长，故重力加速度的测量值小于真实值；根据T＝2π，得T2＝，则T2－l0图像的斜率k＝，重力加速度g＝，当摆长为实际摆长时，则T2＝＝l0＋，对于T2－l图像来说，两种情况下图像的斜率不变，所以测得的g值不变．
例4　滑板运动场地有一种常见的圆弧形轨道，其截面如图所示，某同学用一辆滑板车和手机估测轨道半径R(滑板车的长度远小于轨道半径)．主要实验过程如下：
(1)用手机查得当地的重力加速度为g；
(2)找出轨道的最低点O，把滑板车从O点移开一小段距离至P点，由静止释放，用手机测出它完成n次全振动的时间t，算出滑板车做往复运动的周期T＝________；
(3)将滑板车的运动视为简谐运动，则可将以上测量结果代入R＝________(用T、g表示)中计算出轨道半径．
答案　(2)　(3)
解析　(2)(3)滑板车做往复运动的周期T＝，根据单摆的周期公式有T＝2π，得R＝.
课时精练
1．(2020·浙江7月选考·17(2))某同学用单摆测量重力加速度．
(1)为了减少测量误差，下列做法正确的是________(多选)；
A．摆的振幅越大越好
B．摆球质量大些、体积小些
C．摆线尽量细些、长些、伸缩性小些
D．计时的起、止位置选在摆球达到的最高点处
(2)改变摆长，多次测量，得到周期平方与摆长的关系图像如图所示，所得结果与当地重力加速度值相符，但发现其延长线没有过原点，其原因可能是________．
A．测周期时多数了一个周期
B．测周期时少数了一个周期
C．测摆长时直接将摆线的长度作为摆长
D．测摆长时将摆线的长度加上摆球的直径作为摆长
答案　(1)BC　(2)C
解析　(1)摆的振幅过大，摆角大于5°，单摆周期公式不再成立，故A错误；摆球质量大、体积小(用密度大的实心金属球)，摆线细长、伸缩性小可使阻力及摆长变化等影响更小，是单摆模型的要求，故B、C正确；摆球在最高点附近速度小，计时误差大，故计时起、止点应选在平衡位置，故D错误．
(2)测周期时，无论是多数一个周期还是少数一个周期，T2－l图线都是过原点的直线，只是图线的斜率变化，即测得的重力加速度变化，故A、B错误；T2－l的图像的纵轴截距大于0，可知测量的摆长比实际摆长小了一些，故可判断测摆长时未加摆球的半径，直接将摆线的长度作为摆长，故C正确，D错误．
2．(2023·浙江宁波市检测)“利用单摆测重力加速度”的实验中：
(1)用游标卡尺测量小钢球直径，读数如图所示，读数为________ mm；
(2)下列最合理的装置是________；
(3)测单摆周期时，当摆球经过平衡位置时开始计时并记1次，测出经过该位置N次所用时间为t，则单摆周期为T＝________；
(4)该同学根据实验数据，利用计算机拟合得到的方程为：T2＝4.04l＋0.05.由此可以得出当地重力加速度g＝________ m/s2(π取3.14，结果保留2位有效数字)，从方程中可知T2与l没有成正比关系，其原因可能是________．
A．计算摆长时，可能加了小球的直径
B．小球摆动过程中，可能摆角太大
C．开始计时时，小球可能在最高点
D．计算摆长时，可能只算了绳长
答案　(1)9.7　(2)D　(3)　(4)9.8　D
解析　(1)用游标卡尺测量小钢球直径，读数为9 mm＋0.1 mm×7＝9.7 mm
(2)固定摆线时要用铁夹夹住，防止摆球摆动时摆长变化；摆球要用质量大、体积相对较小的铁球，以减小相对阻力；摆线要用无弹力的细丝线，故选D.
(3)单摆周期为T＝＝
(4)根据T＝2π，可得T2＝l，则＝4.04，解得g≈9.8 m/s2
由T2＝4.04l＋0.05可知图像在纵轴上有正截距，表明实验中摆长的测量值偏小，即计算摆长时，可能少加了小球的半径，即只算了绳长，故选D.
3．利用如图甲所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验．
(1)实验室有如下器材可供选用：
A．长约1 m的细线
B．长约1 m的橡皮绳
C．直径约2 cm的均匀铁球
D．直径约5 cm的均匀木球
E．秒表
F．时钟
G．10分度的游标卡尺
H．最小刻度为毫米的米尺
用了米尺后，还需要从上述器材中选择________(填写器材前面的字母)．
(2)用10分度的游标卡尺测量小球的直径d，测量的示数如图乙所示，读出小球直径的值为________ mm.
(3)将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂．用米尺测量摆线长度为L.小球在竖直平面内小角度平稳摆动后，测得小球完成n次全振动的总时间为t，请写出重力加速度的表达式g＝________.(用L、d、n、t表示)
(4)正确操作后，根据多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值，比较后发现：此值比北京的重力加速度值略小，则实验所在处的地理位置与北京的主要不同点可能是__________________________________________(写出一条即可)．
答案　(1)ACEG　(2)17.6　(3)　(4)实验所在处比北京纬度低或海拔高(其他答案合理也可)
解析　(1)摆线的长度不能伸长，所以摆线选择长约1 m的细线，摆球选择质量大、体积小的球，所以选择直径约2 cm的均匀铁球，实验中需要用秒表测量单摆摆动的时间，从而得出周期，实验中需用10分度的游标卡尺测量摆球的直径，故选A、C、E、G.
(2)游标卡尺的主尺读数为17 mm，游标尺读数为0.1×6 mm＝0.6 mm，则小球直径为17.6 mm.
(3)单摆的摆长l＝L＋，单摆的周期T＝，根据T＝2π得g＝＝.
(4)多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值比北京的重力加速度值略小，可能实验所在处纬度低或海拔比较高．
4.(2023·浙江金华市检测)用单摆测定重力加速度的实验装置如图甲所示
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用________(选填选项前的字母)．
A．长度为1 m左右的细线
B．长度为30 cm左右的细线
C．直径为1.8 cm的塑料球
D．直径为1.8 cm的铁球
(2)测量周期时用到了秒表，长针转一周的时间为30 s，表盘上部的小圆共15大格，每一大格为1 min，该单摆摆动n次长短针的位置如图乙所示，所用时间t＝________ s.
(3)用多组实验数据作出T2－L图像，可以求出重力加速度g，已知三位同学作出的T2－L图线的示意图如图丙中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，根据图线b求得的g值最接近当地重力加速度的数值．则相对于图线b，下列分析正确的是________(选填选项前的字母)．
A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球最下端的距离记为摆长L
B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C．图线c求得的g值小于图线b求得的g值
(4)利用摆长约为1 m的单摆进行周期测量，下列有关单摆周期测量的操作正确的是________(选填选项前的字母)．
A．测量的计时起点选取振动最低点
B．记录单摆摆动1次的时间作为单摆周期
C．单摆振动振幅可以达到30 cm
答案　(1) AD　(2) 100.0　(3) B　(4)A
解析　(1)为了便于观察和计时，且单摆要求绳长远大于小球半径，故选择长度为1 m左右的细线，选项A正确，B错误；为了减小空气阻力的影响，应选择密度较大的铁球，选项C错误，D正确．
(2)小盘读数是90 s，大盘读数是10.0 s，故秒表的读数为t＝90 s＋10.0 s＝100.0 s
(3)根据单摆的周期公式T＝2π，整理得T2＝L，则T2－L图像的斜率k＝，重力加速度g＝
由题图可知，图线a当L为零时T不为零，所测摆长偏小，可能是把摆线长度作为摆长，即把悬点到摆球上端的距离作为摆长，选项A错误；实验中误将49次全振动记为50次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，图线的斜率偏小，选项B正确；由题图可知，图线c对应的斜率小于图线b对应的斜率，可知图线c求得的g值大于图线b求得的g值，选项C错误．
(4)为了减小误差，测量的计时起点选取振动最低点，选项A正确；记录单摆摆动多次的时间，然后取平均值作为单摆周期，选项B错误；单摆模型要求在摆角小于5°之间摆动，摆长约为1 m的单摆，根据数学知识可知此时的振幅约等于弧长，即A＝lθ＝1× m≈0.014 m＝1.4 cm，选项C错误．
5．(1)在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径的操作如图甲、乙所示．测量方法正确的是________(选填“甲”或“乙”)．
(2)实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图丙所示．光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图像如图丁所示，则该单摆的振动周期为________．若保持悬点到摆球顶点的绳长不变，改用直径是原摆球直径2倍的另一摆球进行实验，则该单摆的周期将________(选填“变大”“不变”或“变小”)，图丁中的Δt将________(选填“变大”“不变”或“变小”)．
答案　(1)乙　(2)2t0　变大　变大
解析　(1)游标卡尺应该用两外测量爪对齐的地方测量，正确的是题图乙．
(2)一个周期内小球应该两次经过最低点，使光敏电阻的阻值发生变化，故周期为T＝t1＋2t0－t1＝2t0；摆球的直径变大后，摆长变长，根据T＝2π可知，周期变大；每次经过最低点时小球的挡光的时间变长，即Δt变大．
6．某同学用图(a)所示的沙漏摆研究单摆的运动规律．实验中，木板沿图示O′O方向移动，根据漏在板上的沙描出了如图(b)所示的图形，然后分别沿中心线OO′和沙漏摆摆动方向建立直角坐标系，并测得图(b)中Oa＝ab＝bc＝cd＝s，则：
(1)该同学认为此图像经过适当处理可看成单摆的振动图像，则其横坐标表示的物理量应为________；
(2)若该同学利用计时器测得沙漏摆的周期为T，则木板移动的速度表达式为v＝________；
(3)该同学利用该装置测定当地的重力加速度，他认为只有少量沙子漏出时，沙漏重心的变化可忽略不计，但是重心位置不确定，于是测量了摆线的长度L，如果此时他直接利用单摆周期公式计算重力加速度，则得到的重力加速度值比真实值________(选填“偏大”“偏小”或“相等”)，若要避免由于摆长无法准确测量产生的误差，则可通过改变沙漏摆的摆线长L，测出对应的周期T，并绘制________图像，根据图像的斜率可求得重力加速度，此时__________________________________表示沙漏摆的重心到摆线下端的距离．
答案　(1)时间　(2)　(3)偏小　T2－L　图像与横轴L的交点到坐标原点的距离
解析　(1)该同学认为此图像经过适当处理可看成单摆的振动图像，则其横坐标表示的物理量应为时间；
(2)若该同学利用计时器测得沙漏摆的周期为T，则木板移动的速度表达式为v＝；
(3)根据T＝2π，可得g＝，则只用摆线长作为单摆的摆长，则L偏小，测得的重力加速度值偏小；若沙漏摆的重心到摆线下端的距离为h，则摆长为L＋h，根据T＝2π，可得T2＝L＋，则可绘制T2－L图像，根据图像的斜率可求得重力加速度，当T＝0时L＝－h，则图像与横轴L的交点到坐标原点的距离表示沙漏摆的重心到摆线下端的距离．

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