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(共76张PPT)
功、功率　机车启动问题
第
1
讲
目标
要求
1.理解功的概念，会判断某个力做功的正、负，会计算功的大小.2.理解功率的概念，并会对功率进行分析和计算.3.会分析、解决机车启动的两类问题.
内容索引
考点一　恒力做功的分析和计算
考点二　变力做功的分析和计算
考点三　功率的分析和计算
考点四　机车启动问题
课时精练
考点一
恒力做功的分析和计算
梳理
必备知识
1.做功的两个要素
(1)作用在物体上的 .
(2)物体在 上发生位移.
2.公式W＝Flcos α
(1)α是力与 方向之间的夹角，l为物体的位移.
(2)该公式只适用于 做功.
力
力的方向
位移
恒力
3.功的正负
(1)当0≤α＜ 时，W＞0，力对物体做 .
(2)当α＝ 时，W＝0，力对物体 .
(3)当 ＜α≤π时，W＜0，力对物体做 ，或者说物体 这个力做功.
正功
不做功
负功
克服
1.只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功.(　　)
2一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动.(　　)
3.作用力做正功时，反作用力一定做负功.(　　)
4.力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的.(　　)
√
×
×
√
1.是否做功及做功正负的判断
(1)根据力与位移的方向的夹角判断；
(2)根据力与瞬时速度方向的夹角α判断：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜α≤180°，力做负功.
提升
关键能力
2.计算功的方法
(1)恒力做的功：直接用W＝Flcos α计算.
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功.
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功.
方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1.
例1　(2023·上海市模拟)如图，一磁铁吸附在铁板AB的下方.现保持铁板与水平面间的夹角θ不变，缓慢推动B端，使AB与磁铁一起水平向左匀速移动，则
A.合外力对磁铁做正功
B.AB对磁铁的作用力不做功
C.AB对磁铁的弹力不做功
D.AB对磁铁的摩擦力不做功
√
由于磁铁做匀速运动，磁铁所受合外力为零，合外力对磁铁不做功，故A错误；
磁铁受重力和AB对它的作用力而做匀速运
动，根据平衡条件可知，AB对磁铁的作用力大小等于重力，方向竖直向上，与磁铁的运动方向相互垂直，故AB对磁铁的作用力不做功，故B正确；
AB对磁铁的弹力垂直接触面，与磁铁的运动方向不垂直，故弹力一定做功，故C错误；
AB对磁铁的摩擦力沿接触面，与磁铁运动方向不垂直，故摩擦力一定做功，故D错误.
例2　如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中.g取10 m/s2，求：
(1)斜面对物体的支持力所做的功；
答案　300 J
物体置于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，处于受力平衡状态，受力分析如图所示
由平衡条件得Ffcos θ－FNsin θ＝0，Ffsin θ＋
FNcos θ－G＝0
代入数据得Ff＝10 N，FN＝
x＝vt＝20 m
斜面对物体的支持力所做的功
WN＝FNxcos θ＝300 J
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
答案　100 J
斜面对物体的摩擦力所做的功
Wf＝Ffxcos (90°－θ)＝100 J
(3)物体重力所做的功；
答案　－400 J
物体重力做的功WG＝－Gx＝－400 J
(4)合外力对物体所做的功.
答案　0
合外力对物体做的功
方法一：W合＝WN＋Wf＋WG＝0
方法二：F合＝0，W合＝F合xcos α＝0.
考点二
变力做功的分析和计算
求变力做功的五种方法
方法 举例
微元法
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
等效转换法
图像法
平均值法
应用动能定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，
则有：WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
例3　聂海胜利用太空跑台——动感单车锻炼，如图所示.假设聂海胜锻炼15分钟克服动感单车阻力而消耗的能量约为900 kJ.假设动感单车的阻力主要来源于距车轴30 cm的阻尼装置(可视为质点)，聂海
胜每分钟蹬车90圈，则阻尼装置对车轮的阻力大小约为
A.180 N B.350 N
C.580 N D.780 N
考向1　微元法计算变力做功
√
设平均阻力大小为Ff，则有Ff×15×90×2πr (J)＝900 kJ，解得Ff≈354 N，故选B.
例4　(2023·河南洛阳市第一中学高三检测)质量为2 kg的物体静止在光滑的水平面上，从某时刻起，对物体施加一方向不变的水平拉力F，该拉力与物体的位移x的关系图像如图所示，则物体在x＝
7 m处时的速度大小为
A. B.
C.5 m/s D.4 m/s
考向2　图像法计算变力做功
√
考点三
功率的分析和计算
梳理
必备知识
1.定义：功与完成这些功所用 之比.
2.物理意义：描述力对物体做功的 .
3.公式：
(1)P＝ P描述时间t内力对物体做功的 .
(2)P＝Fv
①v为平均速度，则P为 功率.
②v为瞬时速度，则P为 功率.
③当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解.
时间
快慢
快慢
平均
瞬时
1.由P＝ 知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率.(　　)
2.由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率.(　　)
3.当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大.(　　)
√
×
×
1.平均功率的计算方法
提升
关键能力
2.瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度.F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化.
(2)公式P＝Fvcos α中，Fcos α可认为是力F在速度v方向上的分力，vcos α可认为是速度v在力F方向上的分速度.
例5　如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知 sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为
A.48 W　24 W B.24 W　48 W
C.24 W　12 W D.12 W　24 W
√
木块所受的合外力
F合＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N
所以重力在前2 s内做的功为
W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率
P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W，
故选项B正确.
例6　一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间t的变化规律分别如图甲、乙所示，则以下说法正确的是
A.第1 s内，F对滑块做的功为3 J
B.第2 s内，F对滑块做功的平均功率为4 W
C.第3 s末，F对滑块做功的瞬时功率为1 W
D.前3 s内，F对滑块做的总功为零
√
由题图可知，第1 s内，滑块位移为1 m，F对滑块做的功为2 J，A错误；
第2 s内，滑块位移为1.5 m，F对滑块做的功为4.5 J，平均功率为4.5 W，B错误；
第3 s内，滑块位移为1.5 m，F对滑块做的功为1.5 J，第3 s末，F对滑块做功的瞬时功率P＝Fv＝1 W，C正确；
前3 s内，F对滑块做的总功为8 J，D错误.
例7　如图所示是具有登高平台的消防车，具有一定质量的伸缩臂能够在5 min内使承载4人的登高平台(人连同平台的总质量为400 kg)上升60 m到达灭火位置.此后，在登高平台上的消防员用水炮灭火，已知水炮的出水量为3 m3/min，水离开炮口时的速率为20 m/s，水的密度为ρ＝1×103 kg/m3，取g＝10 m/s2，则用于
A.水炮工作的发动机输出功率约为1×104 W
B.水炮工作的发动机输出功率约为4×104 W
C.水炮工作的发动机输出功率约为2.4×106 W
D.伸缩臂抬升登高平台的发动机输出功率为800 W
√
水炮发动机的作用是把水从地面运到水炮处，再由水炮发射出去，因此发动机做的功转化为水发射时的动能和重力势能，所以输出功率P
考点四
机车启动问题
1.两种启动方式
梳理
必备知识
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图像和 v－t图像

OA段 过程分析
运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，持续时间t0＝
AB段 过程分析 F＝F阻 a＝0 vm＝
运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
BC段
2.三个重要关系式
(3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得：Pt－F阻x＝ΔEk.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间.
例8　(多选)一辆汽车在水平路面上匀速直线行驶，阻力恒定为Ff，t1时刻驶入一段阻力为 的路段继续行驶.t2时刻驶出这段路，阻力恢复为Ff.行驶中汽车功率恒定，则汽车的速度v及牵引力F随时间t的变化图像可能是
√
√
0～t1时间内，汽车做匀速运动，F＝Ff.t1～t2时间内，P＝Fv，随着v的增大，F减小，汽车做加速度逐渐减小的加速运动；t2时刻，F例9　(2022·浙江6月选考·13)小明用额定功率为1 200 W、最大拉力为300 N的提升装置，把静置于地面的质量为20 kg的重物竖直提升到高为85.2 m的平台，先加速再匀速，最后做加速度大小不超过5 m/s2的匀减速运动，到达平台速度刚好为零，g取10 m/s2，则提升重物的最短时间为
A.13.2 s B.14.2 s
C.15.5 s D.17.0 s
√
此过程所用时间和上升高度分别为
重物以最大速度做匀速运动时，有
设重物从结束匀加速运动到开始做匀减速运动所用时间为t2，该过程根据动能定理可得
又有h2＝85.2 m－1.6 m－3.6 m＝80 m
联立解得t2＝13.5 s，故提升重物的最短时间为tmin＝t1＋t2＋t3＝0.8 s＋13.5 s＋1.2 s＝15.5 s，C正确，A、B、D错误.
五
课时精练
1.(2023·广东惠州一中月考)图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对手的作用)，图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止.下列关于做功的判断中正确的是
A.图甲中支持力对人做正功
B.图甲中摩擦力对人做负功
C.图乙中支持力对人做正功
D.图乙中摩擦力对人做负功
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基础落实练
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题图甲中，人匀速上楼，不受摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，与速度方向的夹角为锐角，则支持力做正功，故A正确，B错误；
题图乙中，支持力与速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力方向与速度方向相同，做正功，故C、D错误.
2.水平恒力F两次作用在同一静止物体上，使物体沿力的方向发生相同的位移，第一次是在光滑水平面上，第二次是在粗糙水平面上，两次力F做的功和平均功率的大小关系是
A.W1＝W2，P1>P2 B.W1>W2，P1＝P2
C.W1>W2，P1>P2 D.W1＝W2，P1＝P2
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根据功的定义，两次水平恒力F做的功相等，即W1＝W2；第一次是在光滑水平面上，第二次是在粗糙水平面上，第二次受到摩擦力作用，作用同样大小的力F，第一次的加速度较大，由x＝ 可知，使物体沿力的方向发生相同的位移，第一次需要的时间较短，根据功率的定义，可知第一次的平均功率较大，即P1>P2，选项A正确.
3.(2021·山东卷·3)如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连.木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动.在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为
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4.(多选)如图所示，竖直平面内有一半圆槽，A、C等高，B为半圆槽最低点，小球(可视为质点)从A点正上方O点由静止释放，从A点切入圆槽，刚好能运动至C点.设球在AB段和BC段运动过程中，运动时间分别为t1、t2，克服摩擦力做的功分别为W1、W2，则
A.t1>t2
B.t1C.W1>W2
D.W11
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AB段比BC段的速率大，支持力大，摩擦力大，克服摩擦力做的功多，故C正确，D错误.
小球从A点正上方O点由静止释放，做自由落体运动，从A点切入圆槽，刚好能运动至C点.从B到C速率越来越小，AB段平均速率大于BC段平均速率，两段路程相等，所以球在AB段和BC段运动过程中所用的运动时间有t1＜t2，故A错误，B正确；
5.风力发电是一种环保的电能获取方式.某风力发电机的叶片转动形成的圆面积为S，某时间内风的速度大小为v，风向恰好与此圆面垂直；此时空气的密度为ρ，该风力发电机将空气动能转化为电能的效率为η，则风力发电机发电的功率为
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6.如图所示，质量为60 kg的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒.已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离Oa、Ob分别为0.9 m和0.6 m.若她在1 min内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4 m，重力加速度g取10 m/s2，则克服重力做的功和相应的功率约为
A.430 J,7 W
B.4 300 J,70 W
C.720 J,12 W
D.7 200 J,120 W
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7.(多选)(2022·广东卷·9)如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200 W、速度5 m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s匀速行驶.已知小车总质量为50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力.下列说法正确的有
A.从M到N，小车牵引力大小为40 N
B.从M到N，小车克服摩擦力做功800 J
C.从P到Q，小车重力势能增加1×104 J
D.从P到Q，小车克服摩擦力做功700 J
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能力综合练
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依题意，小车从M到N，因匀速行驶，小车所受的摩擦力大小为Ff1＝F＝40 N，则摩擦力做功为W1＝－40×20 J＝－800 J，则小车克服摩擦力做功为800 J，故B正确；
依题意，从P到Q，重力势能增加量为ΔEp＝mg·PQsin 30°＝5 000 J，故C错误；
小车从M到N，依题意有P1＝Fv1＝200 W，代入数据解得F＝40 N，故A正确；
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依题意，小车从P到Q，摩擦力大小为Ff2，有Ff2＋mgsin 30°＝ 摩擦力做功为W2＝－Ff2·PQ，联立解得W2＝－700 J，则小车克服摩擦力做功为700 J，故D正确.
8.(2023·浙江温州市一模)2021年10月25日，如图甲所示的全球最大“上回转塔机”成功首发下线，又树立了一面“中国高端制造”的新旗帜.若该起重机某次从t＝0时刻由静止开始向上提升质量为m的物体，其a－t图像如图乙所示，t1时达到额定功率，t1～t2时间内起重机保持额定功率运动，重力加速度为g，不计其他阻力，下列说法正确的是
A.0～t1时间内物体处于失重状态
B.t1～t2时间内物体做减速运动
C.0～t1时间内重力对物体做功为－ m(a0t1)2
D.t1～t2时间内起重机额定功率为(mg＋ma0)a0t1
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0～t1时间内物体向上做匀加速直线运动，因此物体处于超重状态，故A错误；
由a－t图像可知t1～t2时间内物体的加速度为正，做加速度减小的加速运动，故B错误；
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t1时刻物体所受到的牵引力为F，由牛顿第二定律有F－mg＝ma0，解得F＝mg＋ma0，t1时刻物体的速度为v＝a0t1，起重机额定功率为P＝Fv＝(mg＋ma0)a0t1，故D正确.
9.(2021·湖南卷·3)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的.总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶.该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比(F阻＝kv，k为常量)，动车组能达到的最大速度为vm.下列说法正确的是
A.动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B.若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C.若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为
D.若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到
最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为 mvm2－Pt
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对动车组由牛顿第二定律有F牵－F阻＝ma，
动车组匀加速启动，即加速度a恒定，但F阻＝kv随速度增大而增大，则牵引力也随阻力增大而增大，故A错误；
若四节动力车厢输出功率均为额定值，则总功率为4P，由牛顿第二定律有 －kv＝ma，故可知加速启动的过程，牵引力减小，阻力增大，则加速度逐渐减小，故B错误；
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若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，
可得动车组克服阻力做的功为
10.一辆汽车由静止开始沿平直公路行驶，汽车所受牵引力F随时间t变化关系图线如图所示.若汽车的质量为1.2×103 kg，阻力恒定，汽车的最大功率恒定，则以下说法正确的是
A.汽车的最大功率为5×104 W
B.汽车匀加速运动阶段的加速度为
C.汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动
D.汽车从静止开始运动12 s内的位移是60 m
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由题图可知，汽车在前4 s内的牵引力不变，汽车做匀加速直线运动，4～12 s内汽车的牵引力逐渐减小，则车的加速度逐渐减小，汽车做加
速度减小的加速运动，直到车的速度达到最大值，以后做匀速直线运动，可知在4 s末汽车的功率达到最大值；汽车的速度达到最大值后牵引力等于阻力，所以阻力Ff＝2×103 N，前4 s内汽车的牵引力为F＝5×103 N，由牛顿第二定律F－Ff＝ma可得a＝2.5 m/s2,4 s末汽车的速度v1＝at1＝2.5×4 m/s＝10 m/s，所以汽车的最大功率P＝Fv1＝5×103×10 W＝5×104 W，A正确，B、C错误；
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11.质量为1.0×103 kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始向上运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动(g取10 m/s2).求：
(1)汽车做匀加速运动的时间；
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答案　7 s　
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由牛顿第二定律得
F－mgsin 30°－Ff＝ma
设匀加速过程的末速度为v，则有P＝Fv
v＝at1，解得t1＝7 s.
(2)汽车所能达到的最大速率；
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答案　8 m/s
当达到最大速度vm时，加速度为零，
有Fm＝mgsin 30°＋Ff
则有P＝Fmvm＝(mgsin 30°＋Ff)vm
解得vm＝8 m/s.
(3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前已达到最大速率，汽车从坡底到坡顶所需时间.
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答案　22 s
又有x＝x1＋x2，解得t2≈15 s
故汽车运动的总时间为t＝t1＋t2＝22 s.
12.一辆玩具赛车在水平直线跑道上由静止开始以10 kW的恒定功率加速前进，赛车瞬时速度的倒数 和瞬时加速度a的关系如图所示，已知赛车在跑道上所受到的阻力恒定，赛车到达终点前已达到最大速度.下列说法中正确的是
A.赛车做加速度逐渐增大的加速直线运动
B.赛车的质量为20 kg
C.赛车所受阻力大小为500 N
D.赛车速度大小为5 m/s时，加速度大小为50 m/s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
素养提升练
1
2
3
4
5
6
7
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10
11
12考情分析 功和功率 2022·广东卷·T9　2021·山东卷·T3　2021·浙江1月选考·T11 2021·北京卷·T8
机车启动问题 2021·湖南卷·T3　2020·天津卷·T8
动能定理及其应用 2022·江苏卷·T8　2021·河北卷·T6　2020·江苏卷·T4
机械能守恒定律 2020·山东卷·T11
实验：验证机械能守恒定律 2022·河北卷·T11　2022·湖北卷·T12　2021·浙江6月选考·T17
含功和能的综合题 2022·广东卷·T13　2022·江苏卷·T10　2022·河北卷·T9
试题情境 生活实践类 体育运动中功和功率问题，风力发电功率计算，蹦极运动、过山车等能量问题， 汽车启动问题，生活、生产中能量守恒定律的应用
学习探究类 变力做功的计算，机车启动问题，单物体机械能守恒，用绳、杆连接的系统机械能守恒问题，含弹簧系统机械能守恒问题，传送带、板块模型的能量问题
第1讲　功、功率　机车启动问题
目标要求　1.理解功的概念，会判断某个力做功的正、负，会计算功的大小.2.理解功率的概念，并会对功率进行分析和计算.3.会分析、解决机车启动的两类问题．
考点一　恒力做功的分析和计算
1．做功的两个要素
(1)作用在物体上的力．
(2)物体在力的方向上发生位移．
2．公式W＝Flcos α
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体的位移．
(2)该公式只适用于恒力做功．
3．功的正负
(1)当0≤α＜时，W＞0，力对物体做正功．
(2)当α＝时，W＝0，力对物体不做功．
(3)当＜α≤π时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做功．
1．只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功．(　×　)
2一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动．(　√　)
3．作用力做正功时，反作用力一定做负功．(　×　)
4．力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的．(　√　)
1．是否做功及做功正负的判断
(1)根据力与位移的方向的夹角判断；
(2)根据力与瞬时速度方向的夹角α判断：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜α≤180°，力做负功．
2．计算功的方法
(1)恒力做的功：直接用W＝Flcos α计算．
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功．
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功．
方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1.
例1　(2023·上海市模拟)如图，一磁铁吸附在铁板AB的下方．现保持铁板与水平面间的夹角θ不变，缓慢推动B端，使AB与磁铁一起水平向左匀速移动，则 (　　)
A．合外力对磁铁做正功
B．AB对磁铁的作用力不做功
C．AB对磁铁的弹力不做功
D．AB对磁铁的摩擦力不做功
答案　B
解析　由于磁铁做匀速运动，磁铁所受合外力为零，合外力对磁铁不做功，故A错误；磁铁受重力和AB对它的作用力而做匀速运动，根据平衡条件可知，AB对磁铁的作用力大小等于重力，方向竖直向上，与磁铁的运动方向相互垂直，故AB对磁铁的作用力不做功，故B正确；AB对磁铁的弹力垂直接触面，与磁铁的运动方向不垂直，故弹力一定做功，故C错误；AB对磁铁的摩擦力沿接触面，与磁铁运动方向不垂直，故摩擦力一定做功，故D错误．
例2　如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中．g取10 m/s2，求：
(1)斜面对物体的支持力所做的功；
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
(3)物体重力所做的功；
(4)合外力对物体所做的功．
答案　(1)300 J　(2)100 J　(3)－400 J　(4)0
解析　物体置于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，处于受力平衡状态，受力分析如图所示
由平衡条件得Ffcos θ－FNsin θ＝0，Ffsin θ＋FNcos θ－G＝0
代入数据得Ff＝10 N，FN＝10 N
x＝vt＝20 m
(1)斜面对物体的支持力所做的功
WN＝FNxcos θ＝300 J
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功
Wf＝Ffxcos (90°－θ)＝100 J
(3)物体重力做的功WG＝－Gx＝－400 J
(4)合外力对物体做的功
方法一：W合＝WN＋Wf＋WG＝0
方法二：F合＝0，W合＝F合xcos α＝0.
考点二　变力做功的分析和计算
求变力做功的五种方法
方法 举例
微元法 　质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
等效转换法 　恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·(－)
图像法 　一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，F－x图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
平均值法 　当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，W＝Δx，可得出弹簧弹性势能表达式为Ep＝k(Δx)2
应用动 能定理 　用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
考向1　微元法计算变力做功
例3　聂海胜利用太空跑台——动感单车锻炼，如图所示．假设聂海胜锻炼15分钟克服动感单车阻力而消耗的能量约为900 kJ.假设动感单车的阻力主要来源于距车轴30 cm的阻尼装置(可视为质点)，聂海胜每分钟蹬车90圈，则阻尼装置对车轮的阻力大小约为(　　)
A．180 N B．350 N
C．580 N D．780 N
答案　B
解析　设平均阻力大小为Ff，则有Ff×15×90×2πr (J)＝900 kJ，解得Ff≈354 N，故选B.
考向2　图像法计算变力做功
例4　(2023·河南洛阳市第一中学高三检测)质量为2 kg的物体静止在光滑的水平面上，从某时刻起，对物体施加一方向不变的水平拉力F，该拉力与物体的位移x的关系图像如图所示，则物体在x＝7 m处时的速度大小为(　　)
A．2 m/s B．2 m/s
C．5 m/s D．4 m/s
答案　A
解析　根据F－x图像的面积表示功， 则物体从0运动到7 m过程拉力做的功为W＝3×4 J＋×4 J＝40 J，由动能定理得W＝mv2－0，解得v＝2 m/s，故选A.
考点三　功率的分析和计算
1．定义：功与完成这些功所用时间之比．
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢．
3．公式：
(1)P＝，P描述时间t内力对物体做功的快慢．
(2)P＝Fv
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
③当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解．
1．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率．(　×　)
2．由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率．(　√　)
3．当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大．(　×　)
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度，F为恒力，F与的夹角α不变．
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度．F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化．
(2)公式P＝Fvcos α中，Fcos α可认为是力F在速度v方向上的分力，vcos α可认为是速度v在力F方向上的分速度．
例5　如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为(　　)
A．48 W　24 W B．24 W　48 W
C．24 W　12 W D．12 W　24 W
答案　B
解析　木块所受的合外力
F合＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N
木块的加速度a＝＝2 m/s2
前2 s内木块的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以重力在前2 s内做的功为
W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
重力在前2 s内的平均功率＝＝24 W
木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率
P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W，
故选项B正确．
例6　一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间t的变化规律分别如图甲、乙所示，则以下说法正确的是(　　)
A．第1 s内，F对滑块做的功为3 J
B．第2 s内，F对滑块做功的平均功率为4 W
C．第3 s末，F对滑块做功的瞬时功率为1 W
D．前3 s内，F对滑块做的总功为零
答案　C
解析　由题图可知，第1 s内，滑块位移为1 m，F对滑块做的功为2 J，A错误；第2 s内，滑块位移为1.5 m，F对滑块做的功为4.5 J，平均功率为4.5 W，B错误；第3 s内，滑块位移为1.5 m，F对滑块做的功为1.5 J，第3 s末，F对滑块做功的瞬时功率P＝Fv＝1 W，C正确；前3 s内，F对滑块做的总功为8 J，D错误．
例7　如图所示是具有登高平台的消防车，具有一定质量的伸缩臂能够在5 min内使承载
4人的登高平台(人连同平台的总质量为400 kg)上升60 m到达灭火位置．此后，在登高平台上的消防员用水炮灭火，已知水炮的出水量为3 m3/min，水离开炮口时的速率为20 m/s，水的密度为ρ＝1×103 kg/m3，取g＝10 m/s2，则用于(　　)
A．水炮工作的发动机输出功率约为1×104 W
B．水炮工作的发动机输出功率约为4×104 W
C．水炮工作的发动机输出功率约为2.4×106 W
D．伸缩臂抬升登高平台的发动机输出功率为800 W
答案　B
解析　水炮发动机的作用是把水从地面运到水炮处，再由水炮发射出去，因此发动机做的功转化为水发射时的动能和重力势能，所以输出功率P＝＝，水炮每秒射出水的质量m＝1×103× kg＝50 kg，代入得P＝4×104 W，选项B正确，A、C错误；伸缩臂的发动机做功把人、平台和伸缩臂本身抬高了60 m，伸缩臂本身有一定的质量，伸缩臂自身的重力势能也增加，所以伸缩臂发动机的功率大于P1＝＝ W＝800 W，选项D错误．
考点四　机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图像和 v－t图像
OA段 过程分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变P＝Fv↑直到P＝P额＝Fv1
运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，持续时间t0＝
AB段 过程分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
BC段 F＝F阻 a＝0 以vm＝做匀速直线运动
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝.
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝(3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得：Pt－F阻x＝ΔEk.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间．
例8　(多选)一辆汽车在水平路面上匀速直线行驶，阻力恒定为Ff，t1时刻驶入一段阻力为的路段继续行驶．t2时刻驶出这段路，阻力恢复为Ff.行驶中汽车功率恒定，则汽车的速度v及牵引力F随时间t的变化图像可能是(　　)
答案　AC
解析　0～t1时间内，汽车做匀速运动，F＝Ff.t1～t2时间内，P＝Fv，随着v的增大，F减小，汽车做加速度逐渐减小的加速运动；t2时刻，F例9　(2022·浙江6月选考·13)小明用额定功率为1 200 W、最大拉力为300 N的提升装置，把静置于地面的质量为20 kg的重物竖直提升到高为85.2 m的平台，先加速再匀速，最后做加速度大小不超过5 m/s2的匀减速运动，到达平台速度刚好为零，g取10 m/s2，则提升重物的最短时间为(　　)
A．13.2 s B．14.2 s
C．15.5 s D．17.0 s
答案　C
解析　为了以最短时间提升重物，一开始先以最大拉力拉重物做匀加速运动，当功率达到额定功率时，保持功率不变直到重物达到最大速度，接着做匀速运动，最后以最大加速度做匀减速运动，到达平台时速度刚好为零．重物在第一阶段匀加速上升的过程中，根据牛顿第二定律可得a1＝＝ m/s2＝5 m/s2
当功率达到额定功率时，设重物的速度为v1，则有v1＝＝ m/s＝4 m/s
此过程所用时间和上升高度分别为
t1＝＝ s＝0.8 s
h1＝＝ m＝1.6 m
重物以最大速度做匀速运动时，有
vm＝＝＝ m/s＝6 m/s
重物最后以最大加速度做匀减速运动的时间和上升高度分别为t3＝＝ s＝1.2 s
h3＝＝ m＝3.6 m
设重物从结束匀加速运动到开始做匀减速运动所用时间为t2，该过程根据动能定理可得
P额t2－mgh2＝mvm2－mv12
又有h2＝85.2 m－1.6 m－3.6 m＝80 m
联立解得t2＝13.5 s，故提升重物的最短时间为tmin＝t1＋t2＋t3＝0.8 s＋13.5 s＋1.2 s＝15.5 s，C正确，A、B、D错误．
课时精练
1．(2023·广东惠州一中月考)图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对手的作用)，图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止．下列关于做功的判断中正确的是(　　)
A．图甲中支持力对人做正功
B．图甲中摩擦力对人做负功
C．图乙中支持力对人做正功
D．图乙中摩擦力对人做负功
答案　A
解析　题图甲中，人匀速上楼，不受摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，与速度方向的夹角为锐角，则支持力做正功，故A正确，B错误；题图乙中，支持力与速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力方向与速度方向相同，做正功，故C、D错误．
2．水平恒力F两次作用在同一静止物体上，使物体沿力的方向发生相同的位移，第一次是在光滑水平面上，第二次是在粗糙水平面上，两次力F做的功和平均功率的大小关系是(　　)
A．W1＝W2，P1>P2 B．W1>W2，P1＝P2
C．W1>W2，P1>P2 D．W1＝W2，P1＝P2
答案　A
解析　根据功的定义，两次水平恒力F做的功相等，即W1＝W2；第一次是在光滑水平面上，第二次是在粗糙水平面上，第二次受到摩擦力作用，作用同样大小的力F，第一次的加速度较大，由x＝at2可知，使物体沿力的方向发生相同的位移，第一次需要的时间较短，根据功率的定义，可知第一次的平均功率较大，即P1>P2，选项A正确．
3.(2021·山东卷·3)如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连．木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动．在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　在运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，根据动能定理－Ff·2πL＝0－mv02，可得摩擦力的大小Ff＝，故选B.
4.(多选)如图所示，竖直平面内有一半圆槽，A、C等高，B为半圆槽最低点，小球(可视为质点)从A点正上方O点由静止释放，从A点切入圆槽，刚好能运动至C点．设球在AB段和BC段运动过程中，运动时间分别为t1、t2，克服摩擦力做的功分别为W1、W2，则(　　)
A．t1>t2 B．t1C．W1>W2 D．W1答案　BC
解析　小球从A点正上方O点由静止释放，做自由落体运动，从A点切入圆槽，刚好能运动至C点．从B到C速率越来越小，AB段平均速率大于BC段平均速率，两段路程相等，所以球在AB段和BC段运动过程中所用的运动时间有t1＜t2，故A错误，B正确；AB段比BC段的速率大，支持力大，摩擦力大，克服摩擦力做的功多，故C正确，D错误．
5．风力发电是一种环保的电能获取方式．某风力发电机的叶片转动形成的圆面积为S，某时间内风的速度大小为v，风向恰好与此圆面垂直；此时空气的密度为ρ，该风力发电机将空气动能转化为电能的效率为η，则风力发电机发电的功率为(　　)
A．ηρSv2 B.ηρSv2
C．ηρSv3 D.ηρSv3
答案　D
解析　时间t内，撞击到风力发电机叶片上的空气的动能为Ek＝mv2＝ρvtSv2，故风力发电机的功率为P＝＝＝ηρSv3，故D正确．
6.如图所示，质量为60 kg的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒．已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离Oa、Ob分别为0.9 m和0.6 m．若她在1 min内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4 m，重力加速度g取10 m/s2，则克服重力做的功和相应的功率约为(　　)
A．430 J,7 W B．4 300 J,70 W
C．720 J,12 W D．7 200 J,120 W
答案　B
解析　设每次做俯卧撑运动过程中，运动员重心变化的高度为h，由几何关系可得＝，即h＝0.24 m，在一次俯卧撑运动过程中，运动员克服重力做功W＝mgh＝60×10×0.24 J＝144 J，所以1 min内克服重力做的总功为W总＝30W＝4 320 J，功率P＝＝72 W，故选B.
7．(多选)(2022·广东卷·9)如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200 W、速度5 m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s匀速行驶．已知小车总质量为50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力．下列说法正确的有(　　)
A．从M到N，小车牵引力大小为40 N
B．从M到N，小车克服摩擦力做功800 J
C．从P到Q，小车重力势能增加1×104 J
D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700 J
答案　ABD
解析　小车从M到N，依题意有P1＝Fv1＝200 W，代入数据解得F＝40 N，故A正确；依题意，小车从M到N，因匀速行驶，小车所受的摩擦力大小为Ff1＝F＝40 N，则摩擦力做功为W1＝－40×20 J＝－800 J，则小车克服摩擦力做功为800 J，故B正确；依题意，从P到Q，重力势能增加量为ΔEp＝mg·PQsin 30°＝5 000 J，故C错误；依题意，小车从P到Q，摩擦力大小为Ff2，有Ff2＋mgsin 30°＝，摩擦力做功为W2＝－Ff2·PQ，联立解得W2＝－700 J，则小车克服摩擦力做功为700 J，故D正确．
8．(2023·浙江温州市一模)2021年10月25日，如图甲所示的全球最大“上回转塔机”成功首发下线，又树立了一面“中国高端制造”的新旗帜．若该起重机某次从t＝0时刻由静止开始向上提升质量为m的物体，其a－t图像如图乙所示，t1时达到额定功率，t1～t2时间内起重机保持额定功率运动，重力加速度为g，不计其他阻力，下列说法正确的是(　　)
A．0～t1时间内物体处于失重状态
B．t1～t2时间内物体做减速运动
C．0～t1时间内重力对物体做功为－m(a0t1)2
D．t1～t2时间内起重机额定功率为(mg＋ma0)a0t1
答案　D
解析　0～t1时间内物体向上做匀加速直线运动，因此物体处于超重状态，故A错误；由a－t图像可知t1～t2时间内物体的加速度为正，做加速度减小的加速运动，故B错误；0～t1时间内物体的位移为x1＝a0t12，重力对物体做功W＝－mgx1＝－mga0t12，故C错误；t1时刻物体所受到的牵引力为F，由牛顿第二定律有F－mg＝ma0，解得F＝mg＋ma0，t1时刻物体的速度为v＝a0t1，起重机额定功率为P＝Fv＝(mg＋ma0)a0t1，故D正确．
9．(2021·湖南卷·3)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的．总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶．该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比(F阻＝kv，k为常量)，动车组能达到的最大速度为vm.下列说法正确的是(　　)
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为vm
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为mvm2－Pt
答案　C
解析　对动车组由牛顿第二定律有F牵－F阻＝ma，
动车组匀加速启动，即加速度a恒定，但F阻＝kv随速度增大而增大，则牵引力也随阻力增大而增大，故A错误；
若四节动力车厢输出功率均为额定值，则总功率为4P，由牛顿第二定律有－kv＝ma，故可知加速启动的过程，牵引力减小，阻力增大，则加速度逐渐减小，故B错误；
若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，动车组匀速行驶时加速度为零，有＝kv，
而以额定功率匀速行驶时，有＝kvm，
联立解得v＝vm，故C正确；
若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，
由动能定理可知4Pt－W克阻＝mvm2－0，
可得动车组克服阻力做的功为
W克阻＝4Pt－mvm2，故D错误．
10.一辆汽车由静止开始沿平直公路行驶，汽车所受牵引力F随时间t变化关系图线如图所示．若汽车的质量为1.2×103 kg，阻力恒定，汽车的最大功率恒定，则以下说法正确的是(　　)
A．汽车的最大功率为5×104 W
B．汽车匀加速运动阶段的加速度为 m/s2
C．汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动
D．汽车从静止开始运动12 s内的位移是60 m
答案　A
解析　由题图可知，汽车在前4 s内的牵引力不变，汽车做匀加速直线运动，4～12 s内汽车的牵引力逐渐减小，则车的加速度逐渐减小，汽车做加速度减小的加速运动，直到车的速度达到最大值，以后做匀速直线运动，可知在4 s末汽车的功率达到最大值；汽车的速度达到最大值后牵引力等于阻力，所以阻力Ff＝2×103 N，前4 s内汽车的牵引力为F＝5×103 N，由牛顿第二定律F－Ff＝ma可得a＝2.5 m/s2,4 s末汽车的速度v1＝at1＝2.5×4 m/s＝10 m/s，所以汽车的最大功率P＝Fv1＝5×103×10 W＝5×104 W，A正确，B、C错误；汽车在前4 s内的位移x1＝at12＝×2.5×42 m＝20 m，汽车的最大速度为vm＝＝ m/s＝25 m/s，汽车在4～12 s内的位移设为x2，根据动能定理可得Pt－Ffx2＝mvm2－mv12，代入数据可得x2＝42.5 m，所以汽车的总位移x＝x1＋x2＝20 m＋42.5 m＝62.5 m，D错误．
11．质量为1.0×103 kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始向上运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动(g取10 m/s2)．求：
(1)汽车做匀加速运动的时间；
(2)汽车所能达到的最大速率；
(3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前已达到最大速率，汽车从坡底到坡顶所需时间．
答案　(1)7 s　(2)8 m/s　(3)22 s
解析　(1)由牛顿第二定律得
F－mgsin 30°－Ff＝ma
设匀加速过程的末速度为v，则有P＝Fv
v＝at1，解得t1＝7 s.
(2)当达到最大速度vm时，加速度为零，
有Fm＝mgsin 30°＋Ff
则有P＝Fmvm＝(mgsin 30°＋Ff)vm
解得vm＝8 m/s.
(3)汽车匀加速运动的位移x1＝at12，在后一阶段对汽车由动能定理得
Pt2－(mgsin 30°＋Ff)x2＝mvm2－mv2
又有x＝x1＋x2，解得t2≈15 s
故汽车运动的总时间为t＝t1＋t2＝22 s.
12.一辆玩具赛车在水平直线跑道上由静止开始以10 kW的恒定功率加速前进，赛车瞬时速度的倒数和瞬时加速度a的关系如图所示，已知赛车在跑道上所受到的阻力恒定，赛车到达终点前已达到最大速度．下列说法中正确的是(　　)
A．赛车做加速度逐渐增大的加速直线运动
B．赛车的质量为20 kg
C．赛车所受阻力大小为500 N
D．赛车速度大小为5 m/s时，加速度大小为50 m/s2
答案　C
解析　由牛顿第二定律有－Ff＝ma，可知赛车做加速度逐渐减小的加速直线运动，将公式整理得＝a＋，可见－a图像的斜率恒定为，与纵轴的截距为，可得＝0.05 s/m，＝ s3/m2，解得m＝25 kg，Ff＝500 N，将v＝5 m/s代入公式，解得a＝60 m/s2，故C正确，A、B、D错误．

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