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2023年上海市初中学业水平考试数学二模试题（解答卷）
一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．|–2|的相反数是 ( )
A． B．–2 C． D．2
解：=2，则2的相反数为－2.
2．下列运算正确的是 （ ）
A． B． C． D．
解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：B．
3.若反比例函数的图像在第一，三象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：∵反比例函数（m为常数）的图象位于第一、三象限，
∴m-1＞0，
∴m＞1，
故选：C．
2021年4月，教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中
明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间．
小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图．
对小明本周7天的校外体育活动时间，下列说法：
①极差是18分钟；
②平均时间为64分钟；
③众数是63分钟；
④中位数是57分钟．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：极差为（分钟），故①不正确；
平均时间为（分钟），故②正确；
众数为63分钟，故③正确；
本周7天的校外体育活动时间从小到大排列为55，57，63，63，65，70，75，
所以中位数为63分钟，故④不正确；
故选：B．
5.下列命题中，假命题是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形对角线交点到四条边的距离相等
解：A、矩形的对角线相等，正确，是真命题；
B、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；
C、矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；
D、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题，
故选：D．
6.如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（　　）
A．30° B．40° C．45° D．50°
连接AC、GE、EC，如图所示：
则四边形ACEG为正方形，
∴∠EAG=45°，
故选C．
二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7.合并同类项：﹣5a2+2a2＝___．
解：，
故答案为：．
8已知函数，那么f（4）＝______．
解：，
（4）．
故答案为：．
9.解方程组的结果为__________.
解：由方程①，得x＝3y③，
将③代入②，得(3y)2+y2＝20，
整理，得y2＝2，
解这个方程，得y1＝，y2＝﹣④，
将④代入③，得x1＝3，＝﹣3，
所以，原方程组的解是
10.关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）＝0有实数根，则k的取值范围是_____．
解：＝（2k+1）2﹣4k（k﹣1）
＝4k2+4k+1﹣4k2+4k
＝8k+1≥0，
∴k≥，
∵k≠0，
故答案为：k≥且k≠0．
如图所示，两个可以自由转动的转盘，每个盘面被等分成几个面积相等的扇形区域，
并涂上图中所示的颜色，分别转动两个转盘,转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，重转），
两个指针指向区域的颜色相同的概率为________．
解：根据题意画出树状图如下：
根据树状图可知：
所有等可能的结果有12种，
颜色相同的有2种，
所以两个指针指向区域的颜色相同的概率为：，
故答案为：．
12.某服装原价为100元，连续两次涨价a%，售价为121元，则a的值为____．
解：根据题意得：
，
解得：，（舍去）．
故答案为10．
某学校计划开设A，B，C，D四门校本课程供全体学生选修，规定每人必须并且只能选修其中一门．
为了了解各门课程的选修人数，现从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，
并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图．已知该校全体学生人数为1200名，
由此可以估计选修C课程的学生有_____人．
解：由统计图可知共调查了20+12+10+8=50人，
50人中选修C课程的10名学生占，
由此估计，全校1200名学生中选修C课程的人数为1200×=240人.
14.已知关于x的方程mx+3=4的解为x=1，则直线y=（m﹣2）x﹣3一定不经过第___象限．
解：∵关于x的方程mx+3=4的解为x=1，
∴m+3=4，
∴m=1，
∴直线y=（m﹣2）x﹣3为直线y=﹣x﹣3，
∴直线y=（m﹣2）x﹣3一定不经过第一象限，
故答案为：一．
15.如图，在梯形中，，，点E在上，且，
下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
解：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，则AD∥BE．
∵BE=AD，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AB=DE，AB∥DE．
∴，
故选：D．
如图，是的弦，点在上，以为边作等边三角形，
点在圆内，且恰好经过点，其中，则的长为__________．
解：过O作OE⊥BC于E，由垂径定理得：BD=2BE.
∵△ABC是等边三角形，BC=12，
∴
∵OA=8，
∴OC=12 8=4,
∴
∴BE=12 2=10，
即BD=2BE=20，
故答案为20.
如图，利用标杆测量楼高，点A，D，B在同一直线上，，，
垂足分别为E，C．若测得，，，则楼高______m．
解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即：，
解得：BC=9.
故答案为：9.
18.如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，
过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为________．
解：∵，且，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
如图，连接AD，则，
∴当时，的值最小，此时，的面积，
∴，
∴的最小值为；
故答案为．
三．解答题（本大题共7题，满分78分）
19.（本大题满分10分）
计算：．
解：原式．
20.（本大题满分10份）
解不等式组，并写出整数解．
解：
由①得：x≤1，
由②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
∴其整数解为0，1．
21.（本大题满分10分）
如图，已知是一次函数与反比例函数图象的两个交点，
轴于轴于．
（1）求一次函数解析式及的值；
（2）是线段上的一点，连接若和面积相等，求点坐标．
解：（1）把代入反比例函数得，，
的图象过点，则
，解得，
一次函数的解析式为；
（2）连接如图，
设，
由和面积相等得
，
解得，
∴，
点坐标是．
22.（本大题满分10分）
如图，在路灯下，小明（用线段表示）的影子是，
在处有一棵大树（用线段表示），它的影子是．
(1)请确定路灯的位置（用点表示）；
(2)若身高1.6米的小明的影长3米，他在距离灯的底部18米处，求路灯的高度．
解：（1）点位置如图；
（2）过点作于点，
，
，
，
，
，，，
，
，
解得．
即路灯的高度为11.2米．
23.（本大题满分12分，第（1）、（2）问满分各6分）
如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求AC的长．
（1）证明：∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，
即AF＝CE，
∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC，
在△ADF和△CBE中，，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵∠CEB＝∠EBA＋∠EAB＝2∠EBA，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴AE＝BE＝3，
∴CF＝AE＝3，
∴AC＝AE＋EF＋CF＝3＋2＋3＝8．
24.如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点，
点为第一象限内抛物线上的动点．连接交于点，连接．
(1)试确定抛物线的解析式；
(2)当时，请求出点的坐标；
(3)如图，连接，设点横坐标为，
求当为何值时，四边形的面积最大？并求出点的坐标．
解：（1）将点点和点代入二次函数表达式得：
即：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）如图1：在中，令，解得，
∴，则
∵，即：，
过点分别作轴的垂线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故点；
（3）由（2），可得，
由点的坐标得，设直线的表达式为
则
解得：
∴直线的表达式为，
过点作轴交于点，如图，
设点的坐标为，则点，
设四边形的面积为，
则
∴当时，，四边形的面积最大，点的坐标为．
25．(1)【问题发现】
如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：
①线段CF与DG的数量关系为__________；
②直线CF与DG所夹锐角的度数为_____________．
(2)【拓展探究】
如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，
请利用图②进行说明．
(3)【解决问题】
如图③，和都是等腰直角三角形，，，O为AC的中点．
若点D在直线BC上运动，连接OE，
则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为____________（直接写出结果）．
解：（1）如图①中，①线段CF与DG的数量关系为CF＝DG；
②直线CF与DG所夹锐角的度数为45°．
理由：如图①中，连接AF．易证A，F，C三点共线．
∵AF＝AG．AC＝AD，
∴CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG．
故答案为CF＝DG，45°．
（2）解：结论不变．
理由：连接AC，AF，延长CF交DG的延长线于点K，AG交FK于点O．
∵∠CAD＝∠FAG＝45°，
∴∠CAF＝∠DAG，
∵AC＝AD，AF＝AG，
∴＝＝，
∴△CAF∽△DAG，
∴＝＝，∠AFC＝∠AGD，
∴CF＝DG，∠AFO＝∠OGK，
∵∠AOF＝∠GOK，
∴∠K＝∠FAO＝45°．
（3）解：如图3中，连接EC．
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABC＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∴点E的运动轨迹是在射线CE上，当OE⊥CE时，OE的长最短，
∵AB=AC=10
∴OA=OC=5
∵
当OE⊥CE时，为等腰直角三角形
则
∴
∴OE=
∴OE的最小值为，
故答案为： ，2023年上海市初中学业水平考试数学二模试题（原题卷）
一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．|–2|的相反数是 ( )
A． B．–2 C． D．2
2．下列运算正确的是 （ ）
A． B． C． D．
3.若反比例函数的图像在第一，三象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2021年4月，教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中
明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间．
小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图．
对小明本周7天的校外体育活动时间，下列说法：
①极差是18分钟；
②平均时间为64分钟；
③众数是63分钟；
④中位数是57分钟．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.下列命题中，假命题是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形对角线交点到四条边的距离相等
6.如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（　　）
A．30° B．40° C．45° D．50°
二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7.合并同类项：﹣5a2+2a2＝___．
8已知函数，那么f（4）＝______．
9.解方程组的结果为__________.
10.关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）＝0有实数根，则k的取值范围是_____．
如图所示，两个可以自由转动的转盘，每个盘面被等分成几个面积相等的扇形区域，
并涂上图中所示的颜色，分别转动两个转盘,转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，重转），
两个指针指向区域的颜色相同的概率为________．
12.某服装原价为100元，连续两次涨价a%，售价为121元，则a的值为____．
某学校计划开设A，B，C，D四门校本课程供全体学生选修，规定每人必须并且只能选修其中一门．
为了了解各门课程的选修人数，现从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，
并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图．已知该校全体学生人数为1200名，
由此可以估计选修C课程的学生有_____人．
14.已知关于x的方程mx+3=4的解为x=1，则直线y=（m﹣2）x﹣3一定不经过第___象限．
15.如图，在梯形中，，，点E在上，且，
下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
如图，是的弦，点在上，以为边作等边三角形，
点在圆内，且恰好经过点，其中，则的长为__________．
如图，利用标杆测量楼高，点A，D，B在同一直线上，，，
垂足分别为E，C．若测得，，，则楼高______m．
18.如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，
过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为________．
三．解答题（本大题共7题，满分78分）
19.（本大题满分10分）
计算：．
20.（本大题满分10份）
解不等式组，并写出整数解．
21.（本大题满分10分）
如图，已知是一次函数与反比例函数图象的两个交点，
轴于轴于．
（1）求一次函数解析式及的值；
（2）是线段上的一点，连接若和面积相等，求点坐标．
22.（本大题满分10分）
如图，在路灯下，小明（用线段表示）的影子是，
在处有一棵大树（用线段表示），它的影子是．
(1)请确定路灯的位置（用点表示）；
(2)若身高1.6米的小明的影长3米，他在距离灯的底部18米处，求路灯的高度．
23.（本大题满分12分，第（1）、（2）问满分各6分）
如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求AC的长．
24.如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点，
点为第一象限内抛物线上的动点．连接交于点，连接．
(1)试确定抛物线的解析式；
(2)当时，请求出点的坐标；
(3)如图，连接，设点横坐标为，
求当为何值时，四边形的面积最大？并求出点的坐标．
25．(1)【问题发现】
如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：
①线段CF与DG的数量关系为__________；
②直线CF与DG所夹锐角的度数为_____________．
(2)【拓展探究】
如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，
请利用图②进行说明．
(3)【解决问题】
如图③，和都是等腰直角三角形，，，O为AC的中点．
若点D在直线BC上运动，连接OE，
则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为____________（直接写出结果）．

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