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(共60张PPT)
碰撞模型的拓展　动量守恒在板块模型中的应用
专题强化六
目标
要求
1.会分析、计算“滑块—弹簧”模型有关问题.2.理解“滑块—斜(曲)面”模型与碰撞的相似性，会解决相关问题.3.会用动量观点和能量观点分析计算“滑块—木板”模型.
内容索引
题型一　“滑块—弹簧”模型
题型二　“滑块—斜(曲)面”模型
题型三　滑块—木板模型
课时精练
题型一　
“滑块—弹簧”模型
1.模型图示
2.模型特点
(1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒.
(2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒.
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相同，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能).
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞).
例1　(2023·江西南昌市模拟)如图所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物体甲、乙连接，静止在光滑的水平面上.现在使甲瞬间获得水平向右的速度v0＝4 m/s，当甲物体的速度减小到1 m/s时，弹簧最短.下列说法中正确的是
A.此时乙物体的速度大小为1 m/s
B.紧接着甲物体将开始做加速运动
C.甲、乙两物体的质量之比m1∶m2＝1∶4
D.当弹簧恢复原长时，乙物体的速度大小为4 m/s
√
根据题意可知，当弹簧压缩到最短时，两物体速度相同，所以此时乙物体的速度大小也是1 m/s，A正确；
因为弹簧压缩到最短时，甲受力向左，甲继续减速，B错误；
根据动量守恒定律可得m1v0＝(m1＋m2)v，解得m1∶m2＝1∶3，C错误；
例2　(多选)如图甲所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接并静止在光滑的水平地面上.现使A以3 m/s的速度向B运动压缩弹簧，A、B的速度—时间图像如图乙，则有
A.在t1、t3时刻两物块达到共同速度
1 m/s，且弹簧都处于压缩状态
B.从t3到t4过程中，弹簧由压缩状态
恢复原长
C.两物块的质量之比m1∶m2＝1∶2
D.在t2时刻A与B的动能之比Ek1∶Ek2＝1∶8
√
√
开始时A逐渐减速，B逐渐加速，弹簧被压缩，t1时刻二者速度相同，系统动能最小，势能最大，弹簧被压缩到最短，然后弹簧逐渐恢复原长，B仍然加速，A先减速为零，然后反向加速，
t2时刻，弹簧恢复原长，由于此时两物块速度方向相反，因此弹簧的长度将逐渐增大，两物块均减速，A减为零后又向B运动的方向加速，在t3时刻，两物块速度相同，系统动能最小，弹簧最长，因此从t3到t4过程中，弹簧由伸长状态恢复原长，故A、B错误；
根据动量守恒定律，t＝0时刻和t＝t1时刻系统总动量相等，有m1v1＝(m1＋m2)v2，其中v1＝3 m/s，v2＝1 m/s，解得m1∶m2＝1∶2，故C正确；
在t2时刻A的速度为vA＝－1 m/s，B的速度为vB＝2 m/s，根据Ek＝
且m1∶m2＝1∶2，求出Ek1∶Ek2＝1∶8，故D正确.
例3　如图所示，一轻弹簧的两端分别与质量为2m、3m的B、C两物块固定连接，放在光滑水平面上，开始时物块C被锁定.另一质量为m的小物块A以速度v0与B发生弹性正碰(碰撞过程中没有机械能的损失，碰撞时间极短可忽略不计).当弹簧再次恢复原长时物块C的锁定被解除，所有过程都在弹簧弹性限度范围内(A与B不会发生第二次碰撞).求：
(1)弹簧第一次被压缩至最短时弹簧的弹性势能；
由于A与B发生弹性碰撞，有mv0＝mvA＋2mvB
(2)弹簧第一次伸长到最长时弹簧的弹性势能.
对物块B、C和弹簧组成的系统，当B、C第一次共速时弹簧第一次伸长到最长，
题型二
“滑块—斜(曲)面”模型
1.模型图示
2.模型特点
例4　(多选)质量为M的带有 光滑圆弧轨道的小车静止置于光滑水平面上，如图所示，一质量也为M的小球以速度v0水平冲上小车，到达某一高度后，小球又返回小车的左端，重力加速度为g，则
A.小球以后将向左做平抛运动
B.小球将做自由落体运动
√
√
例5　如图所示，一质量M＝2 kg的带有弧形轨道的平台置于足够长的水平轨道上，弧形轨道与水平轨道平滑连接，水平轨道上静置一小球B.从弧形轨道上距离水平轨道高h＝0.3 m处由静止释放一质量mA＝1 kg的小球A，小球A沿轨道下滑后与小球B发生弹性正碰，碰后小球A被弹回，且恰好追不上平台.已知所有接触面均光滑，重力加速度为g＝10 m/s2.求小球B的质量.
答案　3 kg
设小球A下滑到水平轨道上时的速度大小为v1，平台水平速度大小为v，小球A与平台在水平方向动量守恒
由动量守恒定律有0＝mAv1－Mv
联立解得v1＝2 m/s，v＝1 m/s
小球A、B碰后运动方向相反，设小球A、B的速度大小分别为v1′和v2，由于碰后小球A被弹回，且恰好追不上平台，则此时小球A的速度等于平台的速度，有v1′＝1 m/s
由动量守恒定律得mAv1＝－mAv1′＋mBv2
联立解得mB＝3 kg.
题型三
滑块—木板模型
1.模型图示
2.模型特点
(1)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能.
(2)若滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，相对位移最大.
3.求解方法
(1)求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统；
(2)求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体；
(3)求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律Q＝FfΔx或Q＝E初－E末，研究对象为一个系统.
例6　如图所示，质量m1＝0.3 kg的小车静止在光滑的水平面上，车长L＝1.5 m，现有质量m2＝0.2 kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v0从左端滑上小车，最后在车面上某处与小车保持相对静止.物块与车面间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10 m/s2，则
A.物块滑上小车后，系统动量守恒、
机械能守恒
B.增大物块与车面间的动摩擦因数，摩擦生热变大
C.若v0＝2.5 m/s，则物块在车面上滑行的时间为0.24 s
D.若要保证物块不从小车右端滑出，则v0不得大于5 m/s
√
物块与小车组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒；物块滑上小车后在小车上滑动过程中克服摩擦力做功，部分机械能转化为内能，系统机械能不守恒，A错误；
若v0＝2.5 m/s，由动量守恒定律得m2v0＝(m1＋m2)v，解得v＝1 m/s，对物块，由动量定理得－μm2gt＝m2v－m2v0，解得t＝0.3 s，C错误；
例7　如图所示，光滑水平轨道上放置长木板A(上表面粗糙)和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为mA＝2 kg、mB＝1 kg、mC＝2 kg.开始时C静止，A、B一起以v0＝5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞(时间极短)后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞.求A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小.
答案　2 m/s
因碰撞时间极短，A与C碰撞过程动量
守恒，设碰后瞬间A的速度为vA，C的
速度为vC，以向右为正方向，由动量守恒定律得
mAv0＝mAvA＋mCvC ①
碰撞后A与B在摩擦力作用下再次达到共同速度，设共同速度为vAB，由动量守恒定律得
mAvA＋mBv0＝(mA＋mB)vAB ②
A与B达到共同速度后恰好不再与C碰撞，应满足vAB＝vC ③
联立①②③式，代入数据得vA＝2 m/s.
四
课时精练
1.如图所示，子弹以水平速度v0射向原来静止在光滑水平面上的木块，并留在木块中和木块一起运动.在子弹射入木块的过程中，下列说法中正确的是
A.子弹对木块的冲量一定大于木块对子弹的冲量
B.子弹对木块的冲量和木块对子弹的冲量大小一定相等
C.子弹速度的减小量一定等于木块速度的增加量
D.子弹动量变化的大小一定大于木块动量变化的大小
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基础落实练
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水平方向上，子弹所受合外力与木块受到的合外力为作用力与反作用力，它们大小相等、
方向相反、作用时间t相等，根据I＝Ft，可知子弹对木块的冲量与木块对子弹的冲量大小相等、方向相反，故A错误，B正确；
子弹与木块组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，由动量守恒定律可知，子弹动量变化量大小等于木块动量变化量大小，由于子弹与木块的质量不一定相同，子弹速度的减小量不一定等于木块速度的增加量，故C、D错误.
2.质量为m1、m2的滑块A、B分别以速度v1和v2沿斜面匀速下滑，斜面足够长，如图所示，已知v2>v1，有一轻弹簧固定在滑块B上，则弹簧被压缩至最短时滑块A的速度为
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两滑块匀速下滑，则沿斜面方向所受外力为零，相互作用时沿斜面方向合外力仍为零，沿斜面方向动量守恒.当弹簧被压缩时，A加
速，B减速，当压缩至最短时，A、B速度相等.设两滑块速度相等时速度为v，则有m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v，解得弹簧被压缩至最短时
滑块A的速度v＝ 所以选项C正确.
3.(多选)如图所示，光滑水平地面上有A、B两物体，质量都为m，B左端固定一个处在压缩状态的轻弹簧，轻弹簧被装置锁定，当弹簧再受到压缩时锁定装置会失效.A以速率v向右运动，当A撞上弹簧后，设弹簧始终不超过弹性限度，关于它们后续的运动过程，下列说法正确的是
A.A物体最终会静止，B物体最终会以速率v向右运动
B.A、B系统的总动量最终将大于mv
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4.如图所示，光滑水平面上有一矩形长木板，木板左端放一小物块，已知木板质量大于物块质量，t＝0时两者从图中位置以相同的水平速度v0向右运动，碰到右面的竖直挡板后木板以与原来等大反向的速度被反弹回来，运动过程中物块一直未离开木板，则关于物
块运动的速度v随时间t变化的图像可能正确的是
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木板碰到挡板前，物块与木板一直做匀速运动，速度为v0；
木板碰到挡板后，物块向右做匀减速运动，速度减至零后向左做匀加速运动，木板向左做匀减速运动，最终两者速度相同，设为v1.
设木板的质量为M，物块的质量为m，取向左为正方向，则由动量
守恒定律有Mv0－mv0＝(M＋m)v1，得v1＝ ＜v0，故A正确，B、C、D错误.
5.(2023·山西运城市高三模拟)如图所示，在光滑的水平地面上有一静止的质量为M的四分之一光滑圆弧滑块，圆弧的半径为R，最低点处刚好与水平地面相切.一质量为m的小球以一定的初速度v0沿水平地面向右运动，不计小球冲上圆弧滑块过程中的机械能损失.如果圆弧滑块固定，则小球恰能冲到圆弧面上与圆心等高处；如果圆弧滑块不固定，则小球在圆弧面上能到达的最大高度为 则小球与滑块质量之比m∶M为
A.1∶2 B.1∶3
C.2∶1 D.3∶1
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6.如图所示，光滑弧形滑块P锁定在光滑水平地面上，其弧形底端切线水平，小球Q(视为质点)的质量为滑块P质量的一半，小球Q从滑块P顶端由静止释放，Q离开P时的动能为Ek1.现解除锁定，仍让Q从滑块P顶端由静止释放，Q离开P时的动能为Ek2，Ek1和Ek2的比值为
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设滑块P的质量为2m，则Q的质量为m，弧形滑块顶端与底端的竖直距离为h；
P锁定时，Q下滑过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得mgh＝Ek1；
7.(多选)如图甲所示，在光滑水平面上，轻质弹簧一端固定，物体A以速度v0向右运动压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量为x.现让弹簧一端连接另一质量为m的物体B(如图乙所示)，物体A以2v0的速度向右压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量仍为x，则
A.A物体的质量为3m
B.A物体的质量为2m
C.弹簧压缩量最大时的弹性势能为
D.弹簧压缩量最大时的弹性势能为mv02
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能力综合练
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对题图甲，设物体A的质量为M，由机械能守恒定律可得，弹簧压缩量为x时弹性势能Ep＝
8.(多选)(2023·江西吉安市高三模拟)如图所示，质量m＝2 kg的物块A以初速度v0＝2 m/s滑上放在光滑水平面上的长木板B，A做匀减速运动，B做匀加速运动，经过时间t＝1 s，物块A、长木板B达到共同速度v＝1 m/s之后又开始做匀速运动，重力加速度g取10 m/s2，由此可求出
A.长木板B的质量为2 kg
B.物块A与长木板B之间的动摩擦因数为0.1
C.长木板B的长度至少为2 m
D.物块A与长木板B组成的系统损失的机械能为2 J
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A做匀减速运动，B做匀加速运动，最后一起做匀速运动，共同速度v＝1 m/s，取向右为
正方向，设B的质量为M，根据动量守恒定律得mv0＝(m＋M)v，解得M＝2 kg，故A正确；
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9.(多选)如图所示，一质量M＝8.0 kg的长木板B放在光滑水平地面上，在其右端放一个质量m＝2.0 kg 的小木块A.给A和B大小均为5.0 m/s、方向相反的初速度，使A开始向左运动，B开始向右运动，A始终没有滑离B板，A、B之间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g取10 m/s2.则在整个过程中，下列说法正确的是
A.小木块A的速度减为零时，长木板 B 的速
度大小为3.75 m/s
B.小木块A的速度方向一直向左，不可能为零
C.小木块A与长木板B共速时速度大小为3 m/s
D.长木板的长度可能为10 m
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木块与木板组成的系统动量守恒，由于初速度大小均为v0＝5.0 m/s，所以木板的动量大于小木块的动量，系统合动量方向向右，所以木块A先向左做匀减速运动，速度减为零后反向向右做匀加速运动，最后木块与木板一起做匀速直线运动，以向右为正方向，由动量守恒定律可知，当木块A的速度减为零时，有Mv0－mv0＝MvB，代入数据解得vB＝3.75 m/s，故A正确，B错误；
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最终木块与木板速度相同，根据动量守恒定律可得Mv0－mv0＝(M＋m)v，代入数据解得v＝3 m/s，故C正确；
10.如图所示，一质量m1＝0.45 kg的平板小车静止在光滑的水平轨道上.车顶右端放一质量m2＝0.5 kg的小物块，小物块可视为质点，小物块与小车上表面之间的动摩擦因数μ＝0.5.现有一质量m0＝0.05 kg的子弹以v0＝100 m/s的水平速度射中小车左端，并留在小车中，子弹与小车相互作用时间很短.g取10 m/s2，求：
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(1)子弹刚射入小车时，小车的速度大小v1；
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答案　10 m/s　
子弹射入小车的过程中，子弹与小车组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得m0v0＝(m0＋m1)v1，代入数据解得v1＝10 m/s.
(2)要使小物块不脱离小车，小车的长度至少为多少.
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答案　5 m
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子弹、小车、小物块组成的系统动量守恒，设当小物块与小车共速时，共同速度为v2，两者相对位移大小为L，
联立解得L＝5 m，故要使小物块不脱离小车，小车的长度至少为5 m.
11.如图所示，一轻质弹簧的一端固定在滑块B上，另一端与滑块C接触但未连接，B、C与弹簧整体静止放在离地面高为H＝5 m的光滑水平桌面上.现有一滑块A从光滑曲面上离桌面高h＝1.8 m处由静止开始滑下，与滑块B发生碰撞并粘在一起压缩弹簧推动滑块C向前运动，经过一段时间，滑块C脱离弹簧，继续在水平桌面上匀速运动，一段距离后从桌面边缘飞出.已知mA＝1 kg，mB＝2 kg，mC＝3 kg，滑块A、B、C均可看作质点，取g＝10 m/s2，不计空气阻力.求：
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素养提升练
(1)滑块A与滑块B碰撞结束瞬间的速度大小；
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答案　2 m/s　
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律有mAgh＝ 解得v1＝6 m/s
滑块A与B碰撞的过程，A、B系统的动量守恒，取水平向右为正方向，碰撞结束瞬间具有共同速度，设为v2，由动量守恒定律有mAv1＝(mA＋mB)v2，
代入数据解得v2＝ ＝2 m/s
滑块A从光滑曲面上高h处由静止开始滑下的过程中机械能守恒，设其滑到水平桌面时的速度大小为v1，由机械能守恒定
(2)被压缩弹簧的最大弹性势能；
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答案　3 J　
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滑块A、B发生碰撞后与滑块C一起压缩弹簧，压缩的过程中系统机械能守恒，被压缩弹簧的弹性势能最大时，滑块A、B、C速度相同，设为v3，取水平向右为正方向，由动量守恒定律有mAv1＝(mA＋mB＋mC)v3，解得v3＝ ＝1 m/s
由机械能守恒定律有
代入数据解得Ep＝3 J
(3)滑块C落地点与桌面边缘的水平距离.
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答案　2 m
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被压缩弹簧再次恢复自然长度时，滑块C脱离弹簧，设此时滑块A、B的速度为v4，滑块C的速度为v5，取水平向右为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律有
(mA＋mB)v2＝(mA＋mB)v4＋mCv5
联立解得v4＝0，v5＝2 m/s
滑块C从桌面边缘飞出后做平抛运动
x＝v5t，H＝
联立解得x＝2 m.专题强化六　碰撞模型的拓展　动量守恒在板块模型中的应用
目标要求　1.会分析、计算“滑块—弹簧”模型有关问题.2.理解“滑块—斜(曲)面”模型与碰撞的相似性，会解决相关问题.3.会用动量观点和能量观点分析计算“滑块—木板”模型．
题型一　“滑块—弹簧”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒．
(2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相同，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)．
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)．
例1　(2023·江西南昌市模拟)如图所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物体甲、乙连接，静止在光滑的水平面上．现在使甲瞬间获得水平向右的速度v0＝4 m/s，当甲物体的速度减小到1 m/s时，弹簧最短．下列说法中正确的是(　　)
A．此时乙物体的速度大小为1 m/s
B．紧接着甲物体将开始做加速运动
C．甲、乙两物体的质量之比m1∶m2＝1∶4
D．当弹簧恢复原长时，乙物体的速度大小为4 m/s
答案　A
解析　根据题意可知，当弹簧压缩到最短时，两物体速度相同，所以此时乙物体的速度大小也是1 m/s，A正确；因为弹簧压缩到最短时，甲受力向左，甲继续减速，B错误；根据动量守恒定律可得m1v0＝(m1＋m2)v，解得m1∶m2＝1∶3，C错误；当弹簧恢复原长时，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有m1v0＝m1v1′＋m2v2′，m1v02＝m1v1′2＋m2v2′2，联立解得v2′＝2 m/s，D错误．
例2　(多选)如图甲所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接并静止在光滑的水平地面上．现使A以3 m/s的速度向B运动压缩弹簧，A、B的速度—时间图像如图乙，则有(　　)
A．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1 m/s，且弹簧都处于压缩状态
B．从t3到t4过程中，弹簧由压缩状态恢复原长
C．两物块的质量之比m1∶m2＝1∶2
D．在t2时刻A与B的动能之比Ek1∶Ek2＝1∶8
答案　CD
解析　开始时A逐渐减速，B逐渐加速，弹簧被压缩，t1时刻二者速度相同，系统动能最小，势能最大，弹簧被压缩到最短，然后弹簧逐渐恢复原长，B仍然加速，A先减速为零，然后反向加速，t2时刻，弹簧恢复原长，由于此时两物块速度方向相反，因此弹簧的长度将逐渐增大，两物块均减速，A减为零后又向B运动的方向加速，在t3时刻，两物块速度相同，系统动能最小，弹簧最长，因此从t3到t4过程中，弹簧由伸长状态恢复原长，故A、B错误；根据动量守恒定律，t＝0时刻和t＝t1时刻系统总动量相等，有m1v1＝(m1＋m2)v2，其中v1＝3 m/s，v2＝1 m/s，解得m1∶m2＝1∶2，故C正确；在t2时刻A的速度为vA＝－1 m/s，B的速度为vB＝2 m/s，根据Ek＝mv2，且m1∶m2＝1∶2，求出Ek1∶Ek2＝1∶8，故D正确．
例3　如图所示，一轻弹簧的两端分别与质量为2m、3m的B、C两物块固定连接，放在光滑水平面上，开始时物块C被锁定．另一质量为m的小物块A以速度v0与B发生弹性正碰(碰撞过程中没有机械能的损失，碰撞时间极短可忽略不计)．当弹簧再次恢复原长时物块C的锁定被解除，所有过程都在弹簧弹性限度范围内(A与B不会发生第二次碰撞)．求：
(1)弹簧第一次被压缩至最短时弹簧的弹性势能；
(2)弹簧第一次伸长到最长时弹簧的弹性势能．
答案　(1)mv02　(2)mv02
解析　(1)由于A与B发生弹性碰撞，有mv0＝mvA＋2mvB
mv02＝mvA2＋×2mvB2
解得 vA＝－v0，vB＝v0
可知A与B碰后A被弹回，B向左运动压缩弹簧．物块B和弹簧组成的系统机械能守恒，在弹簧压缩到最短时，有Ep1＝×2mvB2，可得Ep1＝mv02
(2)对物块B、C和弹簧组成的系统，当B、C第一次共速时弹簧第一次伸长到最长，则有：2mvB＝(2m＋3m)v，×2mvB2＝×(2m＋3m)v2＋Ep2，解得 Ep2＝mv02.
题型二　“滑块—斜(曲)面”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)上升到最大高度：m与M具有共同水平速度v共，此时m的竖直速度vy＝0.系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，mv02＝(M＋m)v共2＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于弧形轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为m的重力势能)．
(2)返回最低点：m与M分离点．水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv02＝mv12＋Mv22(相当于完成了弹性碰撞)．
例4　(多选)质量为M的带有光滑圆弧轨道的小车静止置于光滑水平面上，如图所示，一质量也为M的小球以速度v0水平冲上小车，到达某一高度后，小球又返回小车的左端，重力加速度为g，则(　　)
A．小球以后将向左做平抛运动
B．小球将做自由落体运动
C．此过程小球对小车做的功为Mv02
D．小球在圆弧轨道上上升的最大高度为
答案　BC
解析　小球上升到最高点时与小车相对静止，有相同的速度v′，由动量守恒定律和机械能守恒定律有Mv0＝2Mv′，Mv02＝×2Mv′2＋Mgh，联立解得h＝，故D错误；从小球滚上小车到滚下并离开小车过程，系统在水平方向上动量守恒，由于无摩擦力做功，机械能守恒，此过程类似于弹性碰撞，作用后两者交换速度，即小球返回小车左端时速度变为零，开始做自由落体运动，小车速度变为v0，动能为Mv02，即此过程小球对小车做的功为Mv02，故B、C正确，A错误．
例5　如图所示，一质量M＝2 kg的带有弧形轨道的平台置于足够长的水平轨道上，弧形轨道与水平轨道平滑连接，水平轨道上静置一小球B.从弧形轨道上距离水平轨道高h＝0.3 m处由静止释放一质量mA＝1 kg的小球A，小球A沿轨道下滑后与小球B发生弹性正碰，碰后小球A被弹回，且恰好追不上平台．已知所有接触面均光滑，重力加速度为g＝10 m/s2.求小球B的质量．
答案　3 kg
解析　设小球A下滑到水平轨道上时的速度大小为v1，平台水平速度大小为v，小球A与平台在水平方向动量守恒
由动量守恒定律有0＝mAv1－Mv
由能量守恒定律有mAgh＝mAv12＋Mv2
联立解得v1＝2 m/s，v＝1 m/s
小球A、B碰后运动方向相反，设小球A、B的速度大小分别为v1′和v2，由于碰后小球A被弹回，且恰好追不上平台，则此时小球A的速度等于平台的速度，有v1′＝1 m/s
由动量守恒定律得mAv1＝－mAv1′＋mBv2
由能量守恒定律有mAv12＝mAv1′2＋mBv22，
联立解得mB＝3 kg.
题型三　滑块—木板模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能．
(2)若滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，相对位移最大．
3．求解方法
(1)求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统；
(2)求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体；
(3)求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律Q＝FfΔx或Q＝E初－E末，研究对象为一个系统．
例6　如图所示，质量m1＝0.3 kg的小车静止在光滑的水平面上，车长L＝1.5 m，现有质量m2＝0.2 kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v0从左端滑上小车，最后在车面上某处与小车保持相对静止．物块与车面间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10 m/s2，则(　　)
A．物块滑上小车后，系统动量守恒、机械能守恒
B．增大物块与车面间的动摩擦因数，摩擦生热变大
C．若v0＝2.5 m/s，则物块在车面上滑行的时间为0.24 s
D．若要保证物块不从小车右端滑出，则v0不得大于5 m/s
答案　D
解析　物块与小车组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒；物块滑上小车后在小车上滑动过程中克服摩擦力做功，部分机械能转化为内能，系统机械能不守恒，A错误；系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得m2v0＝(m1＋m2)v，系统产生的热量Q＝m2v02－(m1＋m2)v2＝，则增大物块与车面间的动摩擦因数，摩擦生热不变，B错误；若v0＝2.5 m/s，由动量守恒定律得m2v0＝(m1＋m2)v，解得v＝1 m/s，对物块，由动量定理得－μm2gt＝m2v－m2v0，解得t＝0.3 s，C错误；要使物块恰好不从小车右端滑出，需物块到车面右端时与小车有共同的速度v′，以向右为正方向，由动量守恒定律得m2v0′＝(m1＋m2)v′，由能量守恒定律得m2v0′2＝(m1＋m2)v′2＋μm2gL，解得v0′＝5 m/s，D正确．
例7　如图所示，光滑水平轨道上放置长木板A(上表面粗糙)和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为mA＝2 kg、mB＝1 kg、mC＝2 kg.开始时C静止，A、B一起以v0＝5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞(时间极短)后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞．求A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小．
答案　2 m/s
解析　因碰撞时间极短，A与C碰撞过程动量守恒，设碰后瞬间A的速度为vA，C的速度为vC，以向右为正方向，由动量守恒定律得
mAv0＝mAvA＋mCvC①
碰撞后A与B在摩擦力作用下再次达到共同速度，设共同速度为vAB，由动量守恒定律得
mAvA＋mBv0＝(mA＋mB)vAB②
A与B达到共同速度后恰好不再与C碰撞，应满足vAB＝vC③
联立①②③式，代入数据得vA＝2 m/s.
课时精练
1.如图所示，子弹以水平速度v0射向原来静止在光滑水平面上的木块，并留在木块中和木块一起运动．在子弹射入木块的过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．子弹对木块的冲量一定大于木块对子弹的冲量
B．子弹对木块的冲量和木块对子弹的冲量大小一定相等
C．子弹速度的减小量一定等于木块速度的增加量
D．子弹动量变化的大小一定大于木块动量变化的大小
答案　B
解析　水平方向上，子弹所受合外力与木块受到的合外力为作用力与反作用力，它们大小相等、方向相反、作用时间t相等，根据I＝Ft，可知子弹对木块的冲量与木块对子弹的冲量大小相等、方向相反，故A错误，B正确；子弹与木块组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，由动量守恒定律可知，子弹动量变化量大小等于木块动量变化量大小，由于子弹与木块的质量不一定相同，子弹速度的减小量不一定等于木块速度的增加量，故C、D错误．
2.质量为m1、m2的滑块A、B分别以速度v1和v2沿斜面匀速下滑，斜面足够长，如图所示，已知v2>v1，有一轻弹簧固定在滑块B上，则弹簧被压缩至最短时滑块A的速度为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　两滑块匀速下滑，则沿斜面方向所受外力为零，相互作用时沿斜面方向合外力仍为零，沿斜面方向动量守恒．当弹簧被压缩时，A加速，B减速，当压缩至最短时，A、B速度相等．设两滑块速度相等时速度为v，则有m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v，解得弹簧被压缩至最短时滑块A的速度v＝，所以选项C正确．
3.(多选)如图所示，光滑水平地面上有A、B两物体，质量都为m，B左端固定一个处在压缩状态的轻弹簧，轻弹簧被装置锁定，当弹簧再受到压缩时锁定装置会失效．A以速率v向右运动，当A撞上弹簧后，设弹簧始终不超过弹性限度，关于它们后续的运动过程，下列说法正确的是(　　)
A．A物体最终会静止，B物体最终会以速率v向右运动
B．A、B系统的总动量最终将大于mv
C．A、B系统的总动能最终将大于mv2
D．当弹簧的弹性势能最大时，A、B的总动能为mv2
答案　CD
4.如图所示，光滑水平面上有一矩形长木板，木板左端放一小物块，已知木板质量大于物块质量，t＝0时两者从图中位置以相同的水平速度v0向右运动，碰到右面的竖直挡板后木板以与原来等大反向的速度被反弹回来，运动过程中物块一直未离开木板，则关于物块运动的速度v随时间t变化的图像可能正确的是(　　)
答案　A
解析　木板碰到挡板前，物块与木板一直做匀速运动，速度为v0；木板碰到挡板后，物块向右做匀减速运动，速度减至零后向左做匀加速运动，木板向左做匀减速运动，最终两者速度相同，设为v1.设木板的质量为M，物块的质量为m，取向左为正方向，则由动量守恒定律有Mv0－mv0＝(M＋m)v1，得v1＝v0＜v0，故A正确，B、C、D错误．
5.(2023·山西运城市高三模拟)如图所示，在光滑的水平地面上有一静止的质量为M的四分之一光滑圆弧滑块，圆弧的半径为R，最低点处刚好与水平地面相切．一质量为m的小球以一定的初速度v0沿水平地面向右运动，不计小球冲上圆弧滑块过程中的机械能损失．如果圆弧滑块固定，则小球恰能冲到圆弧面上与圆心等高处；如果圆弧滑块不固定，则小球在圆弧面上能到达的最大高度为.则小球与滑块质量之比m∶M为(　　)
A．1∶2 B．1∶3
C．2∶1 D．3∶1
答案　C
解析　当圆弧滑块固定时，有mv02＝mgR；当圆弧滑块不固定时，取水平向右为正方向，根据系统水平方向动量守恒，有mv0＝(m＋M)v，根据机械能守恒定律有mv02＝mg＋(m＋M)v2，联立解得m∶M＝2∶1，故选C.
6.如图所示，光滑弧形滑块P锁定在光滑水平地面上，其弧形底端切线水平，小球Q(视为质点)的质量为滑块P质量的一半，小球Q从滑块P顶端由静止释放，Q离开P时的动能为Ek1.现解除锁定，仍让Q从滑块P顶端由静止释放，Q离开P时的动能为Ek2，Ek1和Ek2的比值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设滑块P的质量为2m，则Q的质量为m，弧形滑块顶端与底端的竖直距离为h；P锁定时，Q下滑过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得mgh＝Ek1；P解除锁定，Q下滑过程中，P、Q组成的系统在水平方向动量守恒，以水平向左为正方向，由动量守恒定律得mvQ－2mvP＝0，由机械能守恒定律得mgh＝mvQ2＋×2mvP2，Q离开P时的动能Ek2＝mvQ2，联立解得＝，故C正确．
7．(多选)如图甲所示，在光滑水平面上，轻质弹簧一端固定，物体A以速度v0向右运动压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量为x.现让弹簧一端连接另一质量为m的物体B(如图乙所示)，物体A以2v0的速度向右压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量仍为x，则(　　)
A．A物体的质量为3m
B．A物体的质量为2m
C．弹簧压缩量最大时的弹性势能为mv02
D．弹簧压缩量最大时的弹性势能为mv02
答案　AC
解析　对题图甲，设物体A的质量为M，由机械能守恒定律可得，弹簧压缩量为x时弹性势能Ep＝Mv02；对题图乙，物体A以2v0的速度向右压缩弹簧，A、B及弹簧组成的系统动量守恒，弹簧达到最大压缩量时，A、B二者速度相同，由动量守恒定律有M·2v0＝(M＋m)v，由能量守恒定律有Ep＝M·(2v0)2－(M＋m)v2，联立解得M＝3m，Ep＝mv02，选项A、C正确，B、D错误．
8.(多选)(2023·江西吉安市高三模拟)如图所示，质量m＝2 kg的物块A以初速度v0＝2 m/s滑上放在光滑水平面上的长木板B，A做匀减速运动，B做匀加速运动，经过时间t＝1 s，物块A、长木板B达到共同速度v＝1 m/s之后又开始做匀速运动，重力加速度g取10 m/s2，由此可求出(　　)
A．长木板B的质量为2 kg
B．物块A与长木板B之间的动摩擦因数为0.1
C．长木板B的长度至少为2 m
D．物块A与长木板B组成的系统损失的机械能为2 J
答案　ABD
解析　A做匀减速运动，B做匀加速运动，最后一起做匀速运动，共同速度v＝1 m/s，取向右为正方向，设B的质量为M，根据动量守恒定律得mv0＝(m＋M)v，解得M＝2 kg，故A正确；木板B匀加速运动的加速度aB＝＝1 m/s2，根据牛顿第二定律，对B有μmg＝MaB，解得μ＝0.1，故B正确；前1 s内B的位移xB＝·t＝×1 m＝0.5 m，A的位移xA＝×1 m＝1.5 m，所以木板B的最小长度L＝xA－xB＝1 m，故C错误；A、B组成的系统损失的机械能ΔE＝mv02－(m＋M)v2＝2 J，故D正确．
9.(多选)如图所示，一质量M＝8.0 kg的长木板B放在光滑水平地面上，在其右端放一个质量m＝2.0 kg 的小木块 A．给A和B大小均为5.0 m/s、方向相反的初速度，使A开始向左运动，B开始向右运动，A始终没有滑离B板，A、B之间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g取10 m/s2.则在整个过程中，下列说法正确的是(　　)
A．小木块A的速度减为零时，长木板 B 的速度大小为3.75 m/s
B．小木块A的速度方向一直向左，不可能为零
C．小木块A与长木板B共速时速度大小为3 m/s
D．长木板的长度可能为10 m
答案　ACD
解析　木块与木板组成的系统动量守恒，由于初速度大小均为v0＝5.0 m/s，所以木板的动量大于小木块的动量，系统合动量方向向右，所以木块A先向左做匀减速运动，速度减为零后反向向右做匀加速运动，最后木块与木板一起做匀速直线运动，以向右为正方向，由动量守恒定律可知，当木块A的速度减为零时，有Mv0－mv0＝MvB，代入数据解得vB＝3.75 m/s，故A正确，B错误；最终木块与木板速度相同，根据动量守恒定律可得Mv0－mv0＝(M＋m)v，代入数据解得v＝3 m/s，故C正确；最终木块与木板相对静止，一起做匀速直线运动，对系统由能量守恒定律可知Mv02＋mv02－(M＋m)v2＝μmgx，代入数据解得x＝8 m，木板的最小长度为8 m，则长度可能为10 m，故D正确．
10．如图所示，一质量m1＝0.45 kg的平板小车静止在光滑的水平轨道上．车顶右端放一质量m2＝0.5 kg的小物块，小物块可视为质点，小物块与小车上表面之间的动摩擦因数μ＝0.5.现有一质量m0＝0.05 kg的子弹以v0＝100 m/s的水平速度射中小车左端，并留在小车中，子弹与小车相互作用时间很短．g取10 m/s2，求：
(1)子弹刚射入小车时，小车的速度大小v1；
(2)要使小物块不脱离小车，小车的长度至少为多少．
答案　(1)10 m/s　(2)5 m
解析　(1)子弹射入小车的过程中，子弹与小车组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得m0v0＝(m0＋m1)v1，代入数据解得v1＝10 m/s.
(2)子弹、小车、小物块组成的系统动量守恒，设当小物块与小车共速时，共同速度为v2，两者相对位移大小为L，由动量守恒定律和能量守恒定律有(m0＋m1)v1＝(m0＋m1＋m2)v2，μm2gL＝(m0＋m1)v12－(m0＋m1＋m2)v22，联立解得L＝5 m，故要使小物块不脱离小车，小车的长度至少为5 m.
11．如图所示，一轻质弹簧的一端固定在滑块B上，另一端与滑块C接触但未连接，B、C与弹簧整体静止放在离地面高为H＝5 m的光滑水平桌面上．现有一滑块A从光滑曲面上离桌面高h＝1.8 m处由静止开始滑下，与滑块B发生碰撞并粘在一起压缩弹簧推动滑块C向前运动，经过一段时间，滑块C脱离弹簧，继续在水平桌面上匀速运动，一段距离后从桌面边缘飞出．已知mA＝1 kg，mB＝2 kg，mC＝3 kg，滑块A、B、C均可看作质点，取g＝10 m/s2，不计空气阻力．求：
(1)滑块A与滑块B碰撞结束瞬间的速度大小；
(2)被压缩弹簧的最大弹性势能；
(3)滑块C落地点与桌面边缘的水平距离．
答案　(1)2 m/s　(2)3 J　(3)2 m
解析　(1)滑块A从光滑曲面上高h处由静止开始滑下的过程中机械能守恒，设其滑到水平桌面时的速度大小为v1，由机械能守恒定律有mAgh＝mAv12，解得v1＝6 m/s
滑块A与B碰撞的过程，A、B系统的动量守恒，取水平向右为正方向，碰撞结束瞬间具有共同速度，设为v2，由动量守恒定律有mAv1＝(mA＋mB)v2，
代入数据解得v2＝v1＝2 m/s
(2)滑块A、B发生碰撞后与滑块C一起压缩弹簧，压缩的过程中系统机械能守恒，被压缩弹簧的弹性势能最大时，滑块A、B、C速度相同，设为v3，取水平向右为正方向，由动量守恒定律有mAv1＝(mA＋mB＋mC)v3，解得v3＝v1＝1 m/s
由机械能守恒定律有
Ep＝(mA＋mB)v22－(mA＋mB＋mC)v32
代入数据解得Ep＝3 J
(3)被压缩弹簧再次恢复自然长度时，滑块C脱离弹簧，设此时滑块A、B的速度为v4，滑块C的速度为v5，取水平向右为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律有
(mA＋mB)v2＝(mA＋mB)v4＋mCv5
(mA＋mB)v22＝(mA＋mB)v42＋mCv52
联立解得v4＝0，v5＝2 m/s
滑块C从桌面边缘飞出后做平抛运动
x＝v5t，H＝gt2
联立解得x＝2 m.

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