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(共66张PPT)
传送带模型和“滑块—木板”模型
目标
要求
1.会对传送带上的物体进行受力分析，能正确解答传送带上物体的动力学问题.2.能正确运用动力学观点处理“滑块—木板模型”.
专题强化三
内容索引
题型一　传送带模型
题型二　“滑块—木板”模型
课时精练
题型一
传送带模型
1.水平传送带
情景 滑块的运动情况
传送带不足够长(未达到和传送带相对静止) 传送带足够长
一直加速 先加速后匀速
v0v0>v时，一直减速 v0>v时，先减速再匀速
滑块一直减速到右端 滑块先减速到速度为0，后被传送带传回左端
若v0若v0>v，则返回到左端时速度为v
2.倾斜传送带
情景 滑块的运动情况
传送带不足够长 传送带足够长
一直加速(一定满足关系gsin θ<μgcos θ) 先加速后匀速(一定满足关系gsin θ<μgcos θ)
一直加速(加速度为gsin θ＋μgcos θ) 若μ≥tan θ，先加速后匀速
若μ v0v0>v时，若μv时，若μ≥tan θ，先减速后匀速；若μ (摩擦力方向一定沿斜面向上) gsin θ>μgcos θ，一直加速； gsin θ＝μgcos θ，一直匀速
gsin θ<μgcos θ，一直减速 gsin θ<μgcos θ，先减速到速度为0后反向加速，若v0≤v，加速到原位置时速度大小为v0；若v0>v，运动到原位置时速度大小为v
例1　(多选)应用于机场和火车站的安全检查仪，其传送装置可简化为如图所示的模型.传送带始终保持v＝0.4 m/s的恒定速率运行，行李与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，A、B间的距离为2 m，g取10 m/s2.旅客把行李(可视为质点)无初速度地放在A处，则下列说法正确的是
A.开始时行李的加速度大小为2 m/s2
B.行李经过2 s到达B处
C.行李到达B处时速度大小为0.4 m/s
D.行李在传送带上留下的摩擦痕迹长度为0.08 m
考向1　动力学中的水平传送带问题
√
√
开始时，对行李，根据牛顿第二定律有μmg＝ma，解得a＝2 m/s2，故A正确；
由以上分析可知行李在到达B处前已经与传送带共速，所以行李到达B处时速度大小为0.4 m/s，故C正确；
行李在传送带上留下的摩擦痕迹长度为Δx＝vt1－x＝(0.4×0.2－0.04) m＝0.04 m，故D错误.
1.临界状态：当v物＝v带时，摩擦力发生突变，物体的加速度发生突变.
2.物体与传送带的划痕长度Δx等于物体与传送带的相对位移的大小，若有两次相对运动且两次相对运动方向相同，则Δx＝Δx1＋Δx2(图甲)；若两次相对运动方向相反，则Δx等于较长的相对位移大小(图乙).
方法点拨
例2　(2021·辽宁卷·13)机场地勤工作人员利用传送带从飞机上卸行李.如图所示，以恒定速率v1＝0.6 m/s运行的传送带与水平面间的夹角α＝37°，转轴间距L＝3.95 m.工作人员沿传送方向以速度v2＝1.6 m/s从传送带顶端推下一件小包裹(可视为质点).小包裹与传送带间的
动摩擦因数μ＝0.8.取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°
＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)小包裹相对传送带滑动时加速度的大小a；
考向2　动力学中的倾斜传送带问题
答案　0.4 m/s2　
小包裹的初速度v2大于传送带的速度v1，所以开始时小包裹受到的传送带的摩擦力沿传送带向上，因为小包裹所受滑动摩擦力大于重力沿传送带方向上的分力，
即μmgcos θ>mgsin θ，所以小包裹与传送带共速后做匀速直线运动至传送带底端，根据牛顿第二定律可知μmgcos θ－mgsin θ＝ma，解得a＝0.4 m/s2
(2)小包裹通过传送带所需的时间t.
答案　4.5 s
根据(1)可知小包裹开始阶段在传送带上做匀减速直线运动，
在传送带上滑动的距离为
例3　(2023·浙江省浦江中学模拟)如图甲所示，倾斜的传送带正以恒定速率v1沿顺时针方向转动，传送带的倾角为37°.一物块以初速度v0从传送带的底部冲上传送带并沿传送带向上运动，其运动的v－t图像如图乙所示，物块到传送带顶端时速度恰好为零，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则
A.0～1 s内物块受到的摩擦力大小大于
1～2 s内的摩擦力大小
B.摩擦力方向一直与物块运动的方向相反
C.物块与传送带间的动摩擦因数为0.5
D.传送带底端到顶端的距离为10 m
考向3　传送带中的动力学图像
√
由题图乙可知在0～1 s内物块的速度大于传送带的速度，物块所受摩擦力的方向沿传送带向下，与物块运动的方向相反；1～2 s内，物块的速度小于传送带的速度，物块所受摩擦力的方向沿传送带向上，
与物块运动的方向相同，由于物块对传送带的压力相等，根据Ff＝μFN，可知两段时间内物块所受的摩擦力大小相等，A、B错误；
题型二
“滑块—木板”模型
1.模型特点：滑块(视为质点)置于木板上，滑块和木板均相对地面运动，且滑块和木板在摩擦力的作用下发生相对滑动.
2.位移关系：如图所示，滑块由木板一端运动到另一端的过程中，滑块和木板同向运动时，位移之差Δx＝x1－x2＝L(板长)；滑块和木板反向运动时，位移大小之和x2＋x1＝L.
3.解题关键点
(1)由滑块与木板的相对运动来判断“板块”间的摩擦力方向.
(2)当滑块与木板速度相同时，“板块”间的摩擦力可能由滑动摩擦力转变为静摩擦力或者两者间不再有摩擦力(水平面上共同匀速运动).
例4　如图所示，在光滑的水平面上有一足够长且质量为M＝4 kg的长木板，在长木板右端有一质量为m＝1 kg的小物块，长木板与小物块间的动摩擦因数为μ＝0.2，长木板与小物块均静止，现用F＝14 N的水平恒力向右拉长木板，经时间t＝1 s撤去水平恒力F，g取10 m/s2，则：
考向1　水平面上的板块问题
(1)在F的作用下，长木板的加速度为多大？
答案　3 m/s2
(2)刚撤去F时，小物块离长木板右端多远？
答案　0.5 m
撤去F之前，小物块只受摩擦力的作用
故am＝μg＝2 m/s2
(3)最终长木板与小物块一起以多大的速度匀速运动？
答案　2.8 m/s
刚撤去F时v＝at＝3 m/s，vm＝amt＝2 m/s
撤去F后，长木板的加速度大小
最终速度v′＝vm＋amt′＝v－a′t′
解得共同速度v′＝2.8 m/s
(4)最终小物块离长木板右端多远？
答案　0.7 m
最终小物块离长木板右端x＝Δx1＋Δx2＝0.7 m.
例5　(2023·湖北宜昌市人文艺术高中检测)如图所示，足够长的木板静止在粗糙的水平地面上，木板的质量M＝2 kg，与地面间的动摩擦因数μ1＝0.1，在木板的左端放置一个质量m＝2 kg的小铅块(视为质点)，小铅块与木板间的动摩擦因数μ2＝0.3.现给铅块一向右的初速度v0＝4 m/s，使其在木板上滑行.g取10 m/s2.
(1)为使小铅块不从木板上滑落，木板
至少有多长？
答案　2 m　
铅块做匀减速运动，则有μ2mg＝ma1
解得a1＝3 m/s2
木板做匀加速运动，则有
μ2mg－μ1(M＋m)g＝Ma2
解得a2＝1 m/s2
两者经时间t达到相同速度v，
则有v＝v0－a1t＝a2t
解得t＝1 s，v＝1 m/s
木板至少长为L＝x1－x2＝2 m
(2)在小铅块恰好没从木板上滑落的情况下，木板在水平面上共滑行多远？
答案　1 m
此后两者一起做匀减速运动直到停下，则有μ1(M＋m)g＝(M＋m)a
解得a＝1 m/s2
设共同滑行位移为x，则v2＝2ax
解得x＝0.5 m
木板共滑行s＝x2＋x＝1 m.
例6　如图所示，质量为M＝1 kg的木板静止在粗糙的水平地面上，木板与地面间的动摩擦因数μ1＝0.1，在木板的左端放置一个质量为m＝1 kg的小铁块(可视为质点)，铁块与木板间的动摩擦因数μ2＝0.4，在木板(足够长)的右端施加一个大小从零开始连续增大的水平向左的力F(图中未画出)，下列能正确表示铁块与木板间的摩擦力Ff随力F大小变化的图像是(重力
加速度g＝10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
考向2　板块问题中的动力学图像问题
√
当F<μ1(M＋m)g＝2 N时，Ff＝0；铁块恰好未与木板发生相对滑动时，铁块的加速度a0＝μ2g，F＝μ1(M＋m)g＋(M＋m)a0＝10 N，
故当2 N＜F≤10 N时，木板、铁块保持相对静止向左做匀加速运动，F－μ1(M＋m)g＝(M＋m)a，Ff＝ma，解得Ff＝ －1(N)；
当F>10 N时，铁块相对木板滑动，此时摩擦力Ff＝μ2mg＝4 N，所以C正确.
处理“板块”模型中动力学问题的流程
方法点拨
三
课时精练
1.如图所示，飞机场运输行李的倾斜传送带保持恒定的速率运行，将行李箱无初速度地放在传送带底端，当传送带将它送入飞机货舱前行李箱已做匀速运动.假设行李箱与传送带之间的动摩擦因数为μ，传送带与水平面的夹角为θ，已知滑动摩擦力近似等于最大静摩擦力，下列说法正确的是
A.要实现这一目的前提是μB.做匀速运动时，行李箱与传送带之间的摩擦力为零
C.全过程传送带对行李箱的摩擦力方向沿传送带向上
D.若使传送带速度足够大，可以无限缩短传送的时间
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基础落实练
要实现这一目的前提是沿传送带向上的最大静摩擦力大于重力沿传送带向下的分力，即μmgcos θ>mgsin θ，可得μ>tan θ，故A错误；
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做匀速运动时，行李箱与传送带之间的摩擦力大小为Ff＝mgsin θ，故B错误；
行李箱在加速阶段和匀速阶段受到的摩擦力方向均沿传送带向上，故C正确；
若使传送带速度足够大，行李箱在传送带上一直做匀加速运动，传送时间不会无限缩短，故D错误.
2.(多选)图甲为一转动的传送带，以恒定的速率v顺时针转动.在传送带的右侧有一滑块以初速度v0从光滑水平面滑上传送带，运动一段时间后离开传送带，这一过程中滑块运动的v－t图像如图乙所示.由图像可知滑块
A.从右端离开传送带
B.从左端离开传送带
C.先受滑动摩擦力的作用，后受静摩
擦力的作用
D.变速运动过程中受滑动摩擦力的作用
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由题图乙可知，滑块先向左做匀减速运动减速到零，再向右做匀加速运动，最后以与传送带相同的速度做匀速直线运动，故从右端离开传送带，故A正确，B错误；
滑块先向左做匀减速运动，受到向右的滑动摩擦力，再向右做匀加速运动，还是受到向右的滑动摩擦力，所以变速运动过程中受滑动摩擦力的作用，与传送带共速后做匀速直线运动，不受摩擦力作用，故C错误，D正确.
3.(多选)如图甲所示，光滑水平面上静置一个薄长木板，长木板上表面粗糙，其质量为M，t＝0时刻，质量为m的物块以速度v水平滑上长木板，此后木板与物块运动的v－t图像如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是
A.M＝m
B.M＝2m
C.木板的长度为8 m
D.木板与物块间的动摩擦因数为0.1
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4.(2023·甘肃省模拟)如图所示，水平匀速转动的传送带左右两端相距L＝3.5 m，物块A(可看作质点)以水平速度v0＝4 m/s滑上传送带左端，物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，设A到达传送带右端时的瞬时速度为v，g取10 m/s2，下列说法不正确的是
A.若传送带速度等于2 m/s，物块不可能先做减速运动
后做匀速运动
B.若传送带速度等于3.5 m/s，v可能等于3 m/s
C.若A到达传送带右端时的瞬时速度v等于3 m/s，传送带可能沿逆时针方向转动
D.若A到达传送带右端时的瞬时速度v等于3 m/s，则传送带的速度不大于3 m/s
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物块在传送带上的加速度大小为a＝ ＝1 m/s2，假设物块一直做匀减速运动到传送带右端，根据v′2－v02＝－2aL，解得v′＝3 m/s>2 m/s，
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可知当传送带速度等于2 m/s时，物块一直减速到最右端，故A正确；
当传送带速度等于3.5 m/s，传送带逆时针转动时，v等于3 m/s，故B正确；
若A到达传送带右端时的瞬时速度v等于3 m/s，传送带可能沿逆时针方向转动，此方向传送带的速度可以为任意值，故C正确，D错误.
5.(2023·浙江省丽水第二高级中学模拟)如图所示，一足够长的水平传送带以恒定的速度v运动，每隔时间T轻轻放上相同的物块，物块从静止开始做匀加速直线运动，每个物块的加速度都相同.当物块与传送带相对静止后，相邻两物块的间距大小
A.彼此间的间距大小满足：1∶3∶5∶7…
B.彼此间的间距大小满足：1∶2∶3∶4…
C.与传送带的速度大小有关，恒为vT
D.与传送带的速度大小有关，恒为
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能力综合练
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6.(多选)如图甲所示，一滑块置于足够长的长木板左端，木板放置在水平地面上.已知滑块和木板的质量均为2 kg，现在滑块上施加一个F＝0.5t (N)的变力作用，从t＝0时刻开始计时，滑块所受摩擦力随时间变化的关系如图乙所示.设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是
A.滑块与木板间的动摩擦因数为0.4
B.木板与水平地面间的动摩擦因数为0.2
C.图乙中t2＝24 s
D.木板的最大加速度为2 m/s2
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由题图乙可知，滑块与木板之间的滑动摩擦力大小为8 N，则滑块与木板间的动摩擦因数为μ＝
＝0.4，选项A正确.
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由题图乙可知，t1时刻木板相对地面开始滑动，此时滑块与木板相对静止，则木板与水平地面间的动摩擦因数为μ′＝ ＝0.1，选项B错误.
t2时刻，滑块与木板将要发生相对滑动，此时滑块与木板间的摩擦力达到最大静摩擦力Ffm＝8 N，此时两者的加速度相同，且木板的加速度达到
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最大，则对木板：Ffm－μ′·2mg＝mam，解得am＝2 m/s2；对滑块：F－Ffm＝mam，解得F＝12 N，则由 F＝0.5t (N)可知，t2＝24 s，选项C、D正确.
7.(2023·山东泰安市模拟)如图所示，水平传送带AB间的距离为16 m，质量分别为2 kg、4 kg的物块P、Q通过绕在光滑定滑轮上的细线连接，Q在传送带的左端，且连接物块Q的细线水平，当传送带以8 m/s的速度逆时针转动时，Q恰好静止.重力加速度取g＝10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力.当传送带以8 m/s的速度顺时针转动时，下列说法正确的是
A.Q与传送带间的动摩擦因数为0.6
B.Q从传送带左端滑到右端所用的时间为2.4 s
C.Q从传送带左端滑到右端，相对传送带运动的距离为4.8 m
D.Q从传送带左端滑到右端的过程细线受到的拉力大小恒为20 N
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当传送带以v＝8 m/s的速度逆时针转动时，Q恰好静止不动，对Q受力分析知mPg＝μmQg，解得μ＝0.5，A错误；
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加速阶段的位移之差为Δx＝vt1－x＝4.8 m，即Q从传送带左端到右端相对传送带运动的距离为4.8 m，C正确；
当Q加速时，对P分析有mPg－FT＝mPa，解得FT＝ 之后做匀速直线运动，有FT′＝20 N，D错误.
8.(2023·浙江绍兴市适应性测试)新疆的农业已经进入高度自动化时代，棉花、番茄等农作物的采摘基本采用机械化设备.如图甲所示是番茄自动化采摘设备，其输送番茄的装置可简化为如图乙所示传送带.已知A、B间距为L＝4 m，与水平方向夹角为θ＝37°，以v＝1 m/s速度顺时针传送，质量m＝100 g的番茄与传送带间动摩擦因数μ＝0.8，现把番茄从A点无初速释放(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，
g＝10 m/s2，不考虑番茄滚动).
(1)求番茄刚释放时的加速度大小；
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答案　0.4 m/s2　
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刚释放时，对番茄受力分析，根据牛顿第二定律可得
μmgcos θ－mgsin θ＝ma1
代入数据解得a1＝0.4 m/s2.
(2)求番茄从A点到B点运动的时间t；
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答案　5.25 s　
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番茄在传送带上先做加速运动，后做匀速运动，匀加速运动的位移大小为x＝
＝1.25 m
则从A点到B点运动的时间为t＝t1＋t2＝5.25 s.
(3)画出运动过程中番茄所受摩擦力大小和时间的Ff－t图像.
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答案　见解析图
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匀加速运动阶段，摩擦力大小为Ff＝μmgcos θ＝0.64 N，匀速运动阶段，摩擦力大小为Ff＝mgsin θ＝0.60 N，则摩擦力大小和时间的Ff－t图像如图.
9.(2023·辽宁大连市检测)如图所示，一质量M＝2 kg的长木板B静止在粗糙水平面上，其右端有一质量m＝2 kg的小滑块A，对B施加一水平向右且大小为F＝14 N的拉力；t＝3 s后撤去拉力，撤去拉力时滑块仍然在木板上.已知A、B间的动摩擦因数为μ1＝0.1，B与地面间的动摩擦因数为μ2＝0.2，重力加速度取g＝10 m/s2.
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素养提升练
(1)求有拉力时木板B和滑块A的加速度大小；
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答案　2 m/s2　1 m/s2
对滑块A根据牛顿第二定律可得μ1mg＝ma1，故A的加速度大小为a1＝1 m/s2，方向向右；
对木板B根据牛顿第二定律可得F－μ1mg－μ2(m＋M)g＝Ma2，解得木板B加速度大小为a2＝2 m/s2.
(2)要使滑块A不从木板B左端掉落，求木板B的最小长度.
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答案　5.25 m
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故木板B的长度至少为L＝x2－x1＋x2′－x1′
代入数据解得L＝5.25 m.专题强化三　传送带模型和“滑块—木板”模型
目标要求　1.会对传送带上的物体进行受力分析，能正确解答传送带上物体的动力学问题.
2.能正确运用动力学观点处理“滑块—木板模型”．
题型一　传送带模型
1．水平传送带
情景 滑块的运动情况
传送带不足够长(未达到和传送带相对静止) 传送带足够长
一直加速 先加速后匀速
v0v0>v时，一直减速 v0>v时，先减速再匀速
滑块一直减速到右端 滑块先减速到速度为0，后被传送带传回左端 若v0v，则返回到左端时速度为v
2.倾斜传送带
情景 滑块的运动情况
传送带不足够长 传送带足够长
一直加速(一定满足关系gsin θ<μgcos θ) 先加速后匀速(一定满足关系gsin θ<μgcos θ)
一直加速(加速度为gsin θ＋μgcos θ) 若μ≥tan θ，先加速后匀速
若μv0v0>v时，若μv时，若μ≥tan θ，先减速后匀速；若μ(摩擦力方向一定沿斜面向上) gsin θ>μgcos θ，一直加速； gsin θ＝μgcos θ，一直匀速
gsin θ<μgcos θ，一直减速 gsin θ<μgcos θ，先减速到速度为0后反向加速，若v0≤v，加速到原位置时速度大小为v0；若v0>v，运动到原位置时速度大小为v
考向1　动力学中的水平传送带问题
例1　(多选)应用于机场和火车站的安全检查仪，其传送装置可简化为如图所示的模型．传送带始终保持v＝0.4 m/s的恒定速率运行，行李与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，A、B间的距离为2 m，g取10 m/s2.旅客把行李(可视为质点)无初速度地放在A处，则下列说法正确的是(　　)
A．开始时行李的加速度大小为2 m/s2
B．行李经过2 s到达B处
C．行李到达B处时速度大小为0.4 m/s
D．行李在传送带上留下的摩擦痕迹长度为0.08 m
答案　AC
解析　开始时，对行李，根据牛顿第二定律有μmg＝ma，解得a＝2 m/s2，故A正确；设行李做匀加速运动的时间为t1，行李做匀加速运动的末速度为v＝0.4 m/s，根据v＝at1，代入数据解得t1＝0.2 s，匀加速运动的位移大小x＝at12＝×2×0.22 m＝0.04 m，匀速运动的时间为t2＝＝ s＝4.9 s，可得行李从A到B的时间为t＝t1＋t2＝5.1 s，故B错误；由以上分析可知行李在到达B处前已经与传送带共速，所以行李到达B处时速度大小为0.4 m/s，故C正确；行李在传送带上留下的摩擦痕迹长度为Δx＝vt1－x＝(0.4×0.2－0.04) m＝0.04 m，故D错误．
1．临界状态：当v物＝v带时，摩擦力发生突变，物体的加速度发生突变．
2．物体与传送带的划痕长度Δx等于物体与传送带的相对位移的大小，若有两次相对运动且两次相对运动方向相同，则Δx＝Δx1＋Δx2(图甲)；若两次相对运动方向相反，则Δx等于较长的相对位移大小(图乙)．
考向2　动力学中的倾斜传送带问题
例2　(2021·辽宁卷·13)机场地勤工作人员利用传送带从飞机上卸行李．如图所示，以恒定速率v1＝0.6 m/s运行的传送带与水平面间的夹角α＝37°，转轴间距L＝3.95 m．工作人员沿传送方向以速度v2＝1.6 m/s从传送带顶端推下一件小包裹(可视为质点)．小包裹与传送带间的动摩擦因数μ＝0.8.取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)小包裹相对传送带滑动时加速度的大小a；
(2)小包裹通过传送带所需的时间t.
答案　(1)0.4 m/s2　(2)4.5 s
解析　(1)小包裹的初速度v2大于传送带的速度v1，所以开始时小包裹受到的传送带的摩擦力沿传送带向上，因为小包裹所受滑动摩擦力大于重力沿传送带方向上的分力，即μmgcos θ>mgsin θ，所以小包裹与传送带共速后做匀速直线运动至传送带底端，根据牛顿第二定律可知μmgcos θ－mgsin θ＝ma，解得a＝0.4 m/s2
(2)根据(1)可知小包裹开始阶段在传送带上做匀减速直线运动，
用时t1＝＝ s＝2.5 s
在传送带上滑动的距离为
x1＝t1＝×2.5 m＝2.75 m
共速后，匀速运动的时间为t2＝＝ s＝2 s，所以小包裹通过传送带所需的时间为t＝t1＋t2＝4.5 s.
考向3　传送带中的动力学图像
例3　(2023·浙江省浦江中学模拟)如图甲所示，倾斜的传送带正以恒定速率v1沿顺时针方向转动，传送带的倾角为37°.一物块以初速度v0从传送带的底部冲上传送带并沿传送带向上运动，其运动的v－t图像如图乙所示，物块到传送带顶端时速度恰好为零，sin 37°＝0.6，
cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则(　　)
A．0～1 s内物块受到的摩擦力大小大于1～2 s内的摩擦力大小
B．摩擦力方向一直与物块运动的方向相反
C．物块与传送带间的动摩擦因数为0.5
D．传送带底端到顶端的距离为10 m
答案　D
解析　由题图乙可知在0～1 s内物块的速度大于传送带的速度，物块所受摩擦力的方向沿传送带向下，与物块运动的方向相反；1～2 s内，物块的速度小于传送带的速度，物块所受摩擦力的方向沿传送带向上，与物块运动的方向相同，由于物块对传送带的压力相等，根据Ff＝μFN，可知两段时间内物块所受的摩擦力大小相等，A、B错误；在0～1 s内物块的加速度大小为a＝||＝ m/s2＝8 m/s2，根据牛顿第二定律有mgsin 37°＋μmgcos 37°＝ma，解得μ＝0.25，C错误；物块运动的位移大小等于v－t图线与横轴所围图形的“面积”大小，为s＝×1 m＋ m＝10 m，所以传送带底端到顶端的距离为10 m，D正确．
题型二　“滑块—木板”模型
1．模型特点：滑块(视为质点)置于木板上，滑块和木板均相对地面运动，且滑块和木板在摩擦力的作用下发生相对滑动．
2．位移关系：如图所示，滑块由木板一端运动到另一端的过程中，滑块和木板同向运动时，位移之差Δx＝x1－x2＝L(板长)；滑块和木板反向运动时，位移大小之和x2＋x1＝L.
3．解题关键点
(1)由滑块与木板的相对运动来判断“板块”间的摩擦力方向．
(2)当滑块与木板速度相同时，“板块”间的摩擦力可能由滑动摩擦力转变为静摩擦力或者两者间不再有摩擦力(水平面上共同匀速运动)．
考向1　水平面上的板块问题
例4　如图所示，在光滑的水平面上有一足够长且质量为M＝4 kg的长木板，在长木板右端有一质量为m＝1 kg的小物块，长木板与小物块间的动摩擦因数为μ＝0.2，长木板与小物块均静止，现用F＝14 N的水平恒力向右拉长木板，经时间t＝1 s撤去水平恒力F，g取
10 m/s2，则：
(1)在F的作用下，长木板的加速度为多大？
(2)刚撤去F时，小物块离长木板右端多远？
(3)最终长木板与小物块一起以多大的速度匀速运动？
(4)最终小物块离长木板右端多远？
答案　(1)3 m/s2　(2)0.5 m　(3)2.8 m/s
(4)0.7 m
解析　(1)对长木板，根据牛顿第二定律可得a＝，解得a＝3 m/s2
(2)撤去F之前，小物块只受摩擦力的作用
故am＝μg＝2 m/s2
Δx1＝at2－amt2＝0.5 m
(3)刚撤去F时v＝at＝3 m/s，vm＝amt＝2 m/s
撤去F后，长木板的加速度大小
a′＝＝0.5 m/s2
最终速度v′＝vm＋amt′＝v－a′t′
解得共同速度v′＝2.8 m/s
(4)在t′内，小物块和长木板的相对位移Δx2＝－，解得Δx2＝0.2 m
最终小物块离长木板右端x＝Δx1＋Δx2＝0.7 m.
例5　(2023·湖北宜昌市人文艺术高中检测)如图所示，足够长的木板静止在粗糙的水平地面上，木板的质量M＝2 kg，与地面间的动摩擦因数μ1＝0.1，在木板的左端放置一个质量m＝2 kg的小铅块(视为质点)，小铅块与木板间的动摩擦因数μ2＝0.3.现给铅块一向右的初速度v0＝4 m/s，使其在木板上滑行．g取10 m/s2.
(1)为使小铅块不从木板上滑落，木板至少有多长？
(2)在小铅块恰好没从木板上滑落的情况下，木板在水平面上共滑行多远？
答案　(1)2 m　(2)1 m
解析　(1)铅块做匀减速运动，则有μ2mg＝ma1
解得a1＝3 m/s2
木板做匀加速运动，则有
μ2mg－μ1(M＋m)g＝Ma2
解得a2＝1 m/s2
两者经时间t达到相同速度v，
则有v＝v0－a1t＝a2t
解得t＝1 s，v＝1 m/s
此过程铅块的位移x1＝v0t－a1t2＝2.5 m
木板的位移x2＝a2t2＝0.5 m
木板至少长为L＝x1－x2＝2 m
(2)此后两者一起做匀减速运动直到停下，则有μ1(M＋m)g＝(M＋m)a
解得a＝1 m/s2
设共同滑行位移为x，则v2＝2ax
解得x＝0.5 m
木板共滑行s＝x2＋x＝1 m.
考向2　板块问题中的动力学图像问题
例6　如图所示，质量为M＝1 kg的木板静止在粗糙的水平地面上，木板与地面间的动摩擦因数μ1＝0.1，在木板的左端放置一个质量为m＝1 kg的小铁块(可视为质点)，铁块与木板间的动摩擦因数μ2＝0.4，在木板(足够长)的右端施加一个大小从零开始连续增大的水平向左的力F(图中未画出)，下列能正确表示铁块与木板间的摩擦力Ff随力F大小变化的图像是(重力加速度g＝10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　　)
答案　C
解析　当F<μ1(M＋m)g＝2 N时，Ff＝0；铁块恰好未与木板发生相对滑动时，铁块的加速度a0＝μ2g，F＝μ1(M＋m)g＋(M＋m)a0＝10 N，故当2 N＜F≤10 N时，木板、铁块保持相对静止向左做匀加速运动，F－μ1(M＋m)g＝(M＋m)a，Ff＝ma，解得Ff＝－1(N)；当F>10 N时，铁块相对木板滑动，此时摩擦力Ff＝μ2mg＝4 N，所以C正确．
　　　 　　处理“板块”模型中动力学问题的流程
课时精练
1.如图所示，飞机场运输行李的倾斜传送带保持恒定的速率运行，将行李箱无初速度地放在传送带底端，当传送带将它送入飞机货舱前行李箱已做匀速运动．假设行李箱与传送带之间的动摩擦因数为μ，传送带与水平面的夹角为θ，已知滑动摩擦力近似等于最大静摩擦力，下列说法正确的是(　　)
A．要实现这一目的前提是μB．做匀速运动时，行李箱与传送带之间的摩擦力为零
C．全过程传送带对行李箱的摩擦力方向沿传送带向上
D．若使传送带速度足够大，可以无限缩短传送的时间
答案　C
解析　要实现这一目的前提是沿传送带向上的最大静摩擦力大于重力沿传送带向下的分力，即μmgcos θ>mgsin θ，可得μ>tan θ，故A错误；做匀速运动时，行李箱与传送带之间的摩擦力大小为Ff＝mgsin θ，故B错误；行李箱在加速阶段和匀速阶段受到的摩擦力方向均沿传送带向上，故C正确；若使传送带速度足够大，行李箱在传送带上一直做匀加速运动，传送时间不会无限缩短，故D错误．
2．(多选)图甲为一转动的传送带，以恒定的速率v顺时针转动．在传送带的右侧有一滑块以初速度v0从光滑水平面滑上传送带，运动一段时间后离开传送带，这一过程中滑块运动的v－t图像如图乙所示．由图像可知滑块(　　)
A．从右端离开传送带
B．从左端离开传送带
C．先受滑动摩擦力的作用，后受静摩擦力的作用
D．变速运动过程中受滑动摩擦力的作用
答案　AD
解析　由题图乙可知，滑块先向左做匀减速运动减速到零，再向右做匀加速运动，最后以与传送带相同的速度做匀速直线运动，故从右端离开传送带，故A正确，B错误；滑块先向左做匀减速运动，受到向右的滑动摩擦力，再向右做匀加速运动，还是受到向右的滑动摩擦力，所以变速运动过程中受滑动摩擦力的作用，与传送带共速后做匀速直线运动，不受摩擦力作用，故C错误，D正确．
3．(多选)如图甲所示，光滑水平面上静置一个薄长木板，长木板上表面粗糙，其质量为M，t＝0时刻，质量为m的物块以速度v水平滑上长木板，此后木板与物块运动的v－t图像如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．M＝m
B．M＝2m
C．木板的长度为8 m
D．木板与物块间的动摩擦因数为0.1
答案　BC
解析　物块相对木板运动的过程中，在水平方向上只受到木板给的滑动摩擦力的作用，故μmg＝ma1，而v－t图像的斜率表示加速度，故物块的加速度大小为a1＝ m/s2＝2 m/s2，解得μ＝0.2，对木板受力分析可知μmg＝Ma2，由v－t图像可知木板的加速度大小为a2＝ m/s2＝1 m/s2，联立解得M＝2m，A、D错误，B正确；从题图乙可知物块和木板在t＝2 s时分离，两者在0～2 s内的v－t图像与t轴围成的面积之差等于木板的长度，故L＝×(7＋3)×2 m－×2×2 m＝8 m，C正确．
4.(2023·甘肃省模拟)如图所示，水平匀速转动的传送带左右两端相距L＝3.5 m，物块A(可看作质点)以水平速度v0＝4 m/s滑上传送带左端，物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，设A到达传送带右端时的瞬时速度为v，g取10 m/s2，下列说法不正确的是(　　)
A．若传送带速度等于2 m/s，物块不可能先做减速运动后做匀速运动
B．若传送带速度等于3.5 m/s，v可能等于3 m/s
C．若A到达传送带右端时的瞬时速度v等于3 m/s，传送带可能沿逆时针方向转动
D．若A到达传送带右端时的瞬时速度v等于3 m/s，则传送带的速度不大于3 m/s
答案　D
解析　物块在传送带上的加速度大小为a＝＝1 m/s2，假设物块一直做匀减速运动到传送带右端，根据v′2－v02＝－2aL，解得v′＝3 m/s>2 m/s，可知当传送带速度等于2 m/s时，物块一直减速到最右端，故A正确；当传送带速度等于3.5 m/s，传送带逆时针转动时，v等于3 m/s，故B正确；若A到达传送带右端时的瞬时速度v等于3 m/s，传送带可能沿逆时针方向转动，此方向传送带的速度可以为任意值，故C正确，D错误．
5．(2023·浙江省丽水第二高级中学模拟)如图所示，一足够长的水平传送带以恒定的速度v运动，每隔时间T轻轻放上相同的物块，物块从静止开始做匀加速直线运动，每个物块的加速度都相同．当物块与传送带相对静止后，相邻两物块的间距大小(　　)
A．彼此间的间距大小满足：1∶3∶5∶7…
B．彼此间的间距大小满足：1∶2∶3∶4…
C．与传送带的速度大小有关，恒为vT
D．与传送带的速度大小有关，恒为vT
答案　C
解析　物块轻放在水平传送带上，先做初速度为零的匀加速直线运动，当物块与传送带相对静止后，以速度v做匀速直线运动；设物块的速度达到v用时为t，则物块的位移x＝at2，相邻的物块运动位移为x′＝at2＋vT，两物块的间距Δx＝x′－x＝vT，故选C.
6．(多选)如图甲所示，一滑块置于足够长的长木板左端，木板放置在水平地面上．已知滑块和木板的质量均为2 kg，现在滑块上施加一个F＝0.5t (N)的变力作用，从t＝0时刻开始计时，滑块所受摩擦力随时间变化的关系如图乙所示．设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)
A．滑块与木板间的动摩擦因数为0.4
B．木板与水平地面间的动摩擦因数为0.2
C．图乙中t2＝24 s
D．木板的最大加速度为2 m/s2
答案　ACD
解析　由题图乙可知，滑块与木板之间的滑动摩擦力大小为8 N，则滑块与木板间的动摩擦因数为μ＝＝0.4，选项A正确．由题图乙可知，t1时刻木板相对地面开始滑动，此时滑块与木板相对静止，则木板与水平地面间的动摩擦因数为μ′＝＝0.1，选项B错误．t2时刻，滑块与木板将要发生相对滑动，此时滑块与木板间的摩擦力达到最大静摩擦力Ffm＝8 N，此时两者的加速度相同，且木板的加速度达到最大，则对木板：Ffm－μ′·2mg＝mam，解得am＝2 m/s2；对滑块：F－Ffm＝mam，解得F＝12 N，则由 F＝0.5t (N)可知，t2＝24 s，选项C、D正确．
7.(2023·山东泰安市模拟)如图所示，水平传送带AB间的距离为16 m，质量分别为2 kg、4 kg的物块P、Q通过绕在光滑定滑轮上的细线连接，Q在传送带的左端，且连接物块Q的细线水平，当传送带以8 m/s的速度逆时针转动时，Q恰好静止．重力加速度取g＝10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当传送带以8 m/s的速度顺时针转动时，下列说法正确的是(　　)
A．Q与传送带间的动摩擦因数为0.6
B．Q从传送带左端滑到右端所用的时间为2.4 s
C．Q从传送带左端滑到右端，相对传送带运动的距离为4.8 m
D．Q从传送带左端滑到右端的过程细线受到的拉力大小恒为20 N
答案　C
解析　当传送带以v＝8 m/s的速度逆时针转动时，Q恰好静止不动，对Q受力分析知mPg＝μmQg，解得μ＝0.5，A错误；当传送带以v＝8 m/s的速度顺时针转动，物块Q先做初速度为零的匀加速直线运动，有mPg＋μmQg＝(mP＋mQ)a，解得a＝ m/s2，当物块Q速度达到传送带速度，即8 m/s后，做匀速直线运动，由v＝at1，解得匀加速的时间t1＝1.2 s，匀加速的位移为x＝＝4.8 m，则匀速运动的时间为t2＝＝1.4 s，Q从传送带左端滑到右端所用的时间为t总＝t1＋t2＝2.6 s，B错误；加速阶段的位移之差为Δx＝vt1－x＝4.8 m，即Q从传送带左端到右端相对传送带运动的距离为4.8 m，C正确；当Q加速时，对P分析有mPg－FT＝mPa，解得FT＝ N，之后做匀速直线运动，有FT′＝20 N，D错误．
8．(2023·浙江绍兴市适应性测试)新疆的农业已经进入高度自动化时代，棉花、番茄等农作物的采摘基本采用机械化设备．如图甲所示是番茄自动化采摘设备，其输送番茄的装置可简化为如图乙所示传送带．已知A、B间距为L＝4 m，与水平方向夹角为θ＝37°，以v＝1 m/s速度顺时针传送，质量m＝100 g的番茄与传送带间动摩擦因数μ＝0.8，现把番茄从A点无初速释放(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，不考虑番茄滚动)．
(1)求番茄刚释放时的加速度大小；
(2)求番茄从A点到B点运动的时间t；
(3)画出运动过程中番茄所受摩擦力大小和时间的Ff－t图像．
答案　(1)0.4 m/s2　(2)5.25 s　(3)见解析图
解析　(1)刚释放时，对番茄受力分析，根据牛顿第二定律可得
μmgcos θ－mgsin θ＝ma1
代入数据解得a1＝0.4 m/s2.
(2)番茄在传送带上先做加速运动，后做匀速运动，匀加速运动的位移大小为x＝＝1.25 m
则匀加速运动的时间为t1＝＝2.5 s
匀速运动的时间为t2＝＝2.75 s
则从A点到B点运动的时间为t＝t1＋t2＝5.25 s.
(3)匀加速运动阶段，摩擦力大小为Ff＝μmgcos θ＝0.64 N，匀速运动阶段，摩擦力大小为Ff＝mgsin θ＝0.60 N，则摩擦力大小和时间的Ff－t图像如图．
9.(2023·辽宁大连市检测)如图所示，一质量M＝2 kg的长木板B静止在粗糙水平面上，其右端有一质量m＝2 kg的小滑块A，对B施加一水平向右且大小为F＝14 N的拉力；t＝3 s后撤去拉力，撤去拉力时滑块仍然在木板上．已知A、B间的动摩擦因数为μ1＝0.1，B与地面间的动摩擦因数为μ2＝0.2，重力加速度取g＝10 m/s2.
(1)求有拉力时木板B和滑块A的加速度大小；
(2)要使滑块A不从木板B左端掉落，求木板B的最小长度．
答案　(1)2 m/s2　1 m/s2(2)5.25 m
解析　(1)对滑块A根据牛顿第二定律可得μ1mg＝ma1，故A的加速度大小为a1＝1 m/s2，方向向右；对木板B根据牛顿第二定律可得F－μ1mg－μ2(m＋M)g＝Ma2，解得木板B加速度大小为a2＝2 m/s2.
(2)撤去外力瞬间，A的位移大小为x1＝a1t2＝4.5 m，B的位移大小为x2＝a2t2＝9 m，撤去外力时，滑块A和木板B的速度分别为v1＝a1t＝3 m/s，v2＝a2t＝6 m/s，撤去外力后，滑块A的受力没变，故滑块A仍然做加速运动，加速度不变，木板B做减速运动，其加速度大小变为a2′＝＝5 m/s2，设再经过时间t′两者达到共速，则有v1＋a1t′＝v2－a2′t′
撤去外力后，A的位移大小为x1′＝v1t′＋a1t′2
B的位移大小为x2′＝v2t′－a2′t′2
故木板B的长度至少为L＝x2－x1＋x2′－x1′
代入数据解得L＝5.25 m.

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